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全国版高考数学必刷题：第十五单元 直线和圆的方程
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这是一份全国版高考数学必刷题：第十五单元 直线和圆的方程，共41页。试卷主要包含了已知平行直线l1，已知圆M，若圆C1等内容，欢迎下载使用。
第十五单元 直线和圆的方程
考点一
求圆的方程
1.(2016年浙江卷)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .
【解析】由二元二次方程表示圆的条件可得a2=a+2,解得a=2或a=-1.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+52=0,配方得x+122+(y+1)2=-54<0,不表示圆;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,则圆心坐标是(-2,-4),半径是5.
【答案】(-2,-4) 5
2.(2014年山东卷)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为23,则圆C的标准方程为 .
【解析】因为圆心在直线x-2y=0上,所以可设圆心坐标为(2b,b).
又圆C与y轴的正半轴相切,所以b>0,圆的半径为2b.
由勾股定理可得b2+(3)2=4b2,解得b=±1.
又因为b>0,所以b=1,所以圆C的圆心坐标为(2,1),半径为2,
所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
【答案】(x-2)2+(y-1)2=4
3.(2015年全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .
【解析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,-2)三点,
则有16+0+4D+0+F=0,0+4+0+2E+F=0,0+4+0-2E+F=0, 解得D=-3,E=0,F=-4,
故所求圆的方程为x2+y2-3x-4=0,标准方程为x-322+y2=254.
【答案】x-322+y2=254
考点二
有关距离的计算
4.(2015年全国Ⅱ卷)已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( ).
A.53 B.213 C.253 D.43
【解析】由已知可得|AB|=|AC|=|BC|=2,所以△ABC是等边三角形,所以其外接圆圆心即为三角形的重心,其坐标为1+0+23,0+3+33,即1,233,故圆心到原点的距离为1+2332=213.
【答案】B
5.(2016年上海卷)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离为 .
【解析】d=|c1-c2|a2+b2=|-1-1|22+12=255.
【答案】255
6.(2016年全国Ⅱ卷)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( ).
A.-43 B.-34 C.3 D.2
【解析】圆x2+y2-2x-8y+13=0的标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,由圆心到直线ax+y-1=0的距离为1可知|a+4-1|a2+12=1,解得a=-43,故选A.
【答案】A
考点三
直线与圆的位置关系
7.(2014年安徽卷)过点P(-3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( ).
A.0,π6 B.0,π3 C.0,π6 D.0,π3
【解析】设直线l:y+1=k(x+3),即kx-y+3k-1=0,由题意知,圆心O到直线l的距离d=|k·0-0+3k-1|k2+1≤1,解得0≤k≤3,则直线l的倾斜角的取值范围是0,π3,选D.
【答案】D
8.(2016年山东卷)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( ).
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
【解析】∵x2+y2-2ay=0(a>0),∴x2+(y-a)2=a2(a>0),
∴圆心M(0,a),r1=a.
依题意,有a2=a2-2,解得a=2.
∴圆M的方程为x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,圆心M(0,2),半径r1=2.
又圆N:(x-1)2+(y-1)2=1,圆心N(1,1),半径r2=1,
∴|MN|=(0-1)2+(2-1)2=2.
∵r1-r2=1,r1+r2=3,1<|MN|<3,
∴两圆相交.
【答案】B
9.(2014年湖南卷)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=( ).
A.21 B.19 C.9 D.-11
【解析】圆C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1.
圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=25-m.
由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2,即5=1+25-m,所以m=9.故选C.
【答案】C
10.(2015年山东卷)过点P(1,3)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则PA·PB= .
【解析】如图所示,由题意可知OA⊥AP,OB⊥BP,OP=1+3=2,又OA=OB=1,可以求得AP=BP=3,∠APB=60°,故PA·PB=3×3×cos 60°=32.
【答案】32
考点四
直线和圆的综合应用
11.(2014年福建卷)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( ).
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
【解析】由直线l与直线x+y+1=0垂直,可设直线l的方程为x-y+n=0.又直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心(0,3),则n=3,所以直线l的方程为x-y+3=0,故选D.
【答案】D
12.(2014年浙江卷)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( ).
A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
【解析】圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,r2=2-a,
则圆心(-1,1)到直线x+y+2=0的距离为|-1+1+2|2=2.
由22+(2)2=2-a,得a=-4,故选B.
【答案】B
13.(2015年山东卷)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ).
A.-53或-35 B.-32或-23
C.-54或-45 D.-43或-34
【解析】由已知,得点(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3).由入射光线与反射光线的对称性,知反射光线一定过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,则有d=|-3k-2-2k-3|k2+1=1,解得k=-43或k=-34,故选D.
【答案】D
14.(2016年全国Ⅰ卷)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为 .
【解析】圆C:x2+y2-2ay-2=0化为标准方程是C:x2+(y-a)2=a2+2,所以圆心C(0,a),半径r=a2+2.|AB|=23,点C到直线y=x+2a即x-y+2a=0的距离d=|0-a+2a|2,由勾股定理得2322+|0-a+2a|22=a2+2,解得a2=2,所以r=2,所以圆C的面积为π×22=4π.
【答案】4π
15.(2014年全国Ⅱ卷)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是 .
【解析】由题意可知M在直线y=1上运动,设直线y=1与圆x2+y2=1相切于点P(0,1).当x0=0即点M与点P重合时,显然圆上存在点N(±1,0)符合要求;当x0≠0时,过点M作圆的切线,
切点之一为点P,此时对于圆上任意一点N,都有∠OMN≤∠OMP,故要存在∠OMN=45°,只需∠OMP≥45°.特别地,当∠OMP=45°时,有x0=±1.结合图形可知,符合条件的x0的取值范围为[-1,1].
【答案】[-1,1]
高频考点:求直线的方程,求圆的方程,判断两条直线的位置关系,判断直线与圆的位置关系.
命题特点:本部分内容是解析几何的基础知识,需要掌握求直线与圆的方程的基本方法、熟悉距离公式以及会判断直线与圆的位置关系,需要掌握求切线方程的基本方法以及会运用弦长公式:这些内容在题型考查中既可以作为一个考点单独在选择题、填空题中考查,也可以在解答题中与圆锥曲线一起综合考查.
§15.1 直线方程与两条直线的位置关系
一
直线的倾斜角
1.定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫作这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
2.倾斜角的范围为[0,π).
二
直线的斜率
1.定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan α.倾斜角是90°的直线没有斜率.
2.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=y2-y1x2-x1=y1-y2x1-x2.
三
直线方程的五种形式
点斜式: .
斜截式: .
两点式:y-y1y2-y1=x-x1x2-x1.
截距式:xa+yb=1.
一般式: .
四
两条直线平行与垂直的判定
1.两条不重合的直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则
(1)l1∥l2⇔k1=k2;
(2)l1⊥l2⇔ .
2.直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0,则
(1)A1B2-A2B1≠0⇔l1与l2相交;
(2)A1B2-A2B1=0⇔l1与l2平行或重合;
(3) ⇔l1与l2垂直.
五
距离
1.点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= .
2.两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)之间的距离d= .
☞左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( )
(2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( )
(3)如果两条直线l1与l2垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.( )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
(5)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-1k,且线段AB的中点在直线l上.( )
2 直线3x-y+a=0的倾斜角为( ).
A.30° B.60°
C.150° D.120°
3 过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ).
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
4 已知两条直线l1:x+y-1=0,l2:3x+ay+2=0且l1⊥l2,则a等于( ).
A.-13 B.13
C.-3 D.3
5 已知直线3x+4y-3=0与6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是 .
6 若A(1,2),B(-2,3),C(4,y)在同一条直线上,则y的值是 .
知识清单
三、y-y0=k(x-x0) y=kx+b Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
四、1.(2)k1·k2=-1 2.(3)A1A2+B1B2=0
五、1.|Ax0+By0+C|A2+B2 2.|C1-C2|A2+B2
基础训练
1.【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.【解析】∵直线的斜率为3,∴倾斜角为60°.
【答案】B
3.【解析】由题意知所求直线方程为x-2y+c=0,因为该直线过点(1,0),所以1-0+c=0,即c=-1.所以所求直线方程为x-2y-1=0.
【答案】A
4.【解析】∵l1⊥l2,∴3+a=0,∴a=-3.
【答案】C
5.【解析】由题意知36=4m,∴m=8,∴所求距离为|7+3|32+42=2.
【答案】2
6.【解析】∵A(1,2),B(-2,3),∴过A,B两点的直线方程是y-2=-13(x-1).∵点(4,y)在此直线上,∴y-2=-13×(4-1),∴y=1.
【答案】1
题型一
直线的倾斜角与斜率
【例1】(1)直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是( ).
A.[0,π) B.0,π4∪3π4,π
C.0,π4 D.0,π4∪π2,π
(2)若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( ).
A.π6,π3 B.π6,π2
C.π3,π2 D.π6,π2
【解析】(1)因为直线xsin α+y+2=0的斜率k=-sin α,
-1≤sin α≤1,所以-1≤k≤1.
设直线xsin α+y+2=0的倾斜角为θ,所以-1≤tan θ≤1,而θ∈[0,π),故倾斜角的取值范围是0,π4∪3π4,π.
(2)如图,直线l:y=kx-3,过定点P(0,-3),
又A(3,0),所以kPA=33,故直线PA的倾斜角为π6,
所以满足条件的直线l的倾斜角的取值范围是π6,π2.
【答案】(1)B (2)B
已知斜率求倾斜角的范围,可借助k=tan α的图象,利用正切函数k=tan α的单调性求解.
【变式训练1】(1)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则1a+1b的值为 .
(2)曲线y=x3-x+5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为 .
【解析】(1)由题意知过B(a,0),C(0,b)两点的直线为xa+yb=1.因为点A在直线BC上,所以2a+2b=1,即1a+1b=12.
(2)设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0,π)).因为y'=3x2-1≥-1,所以tan θ≥-1.结合正切函数的图象可知,θ的取值范围为0,π2∪3π4,π.
【答案】(1)12 (2)0,π2∪3π4,π
题型二
两条直线的位置关系
【例2】(1)(2017吉安一中期中)“a=-2”是“直线l1:ax-y+3=0与l2:2x-(a+1)y+4=0互相平行”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)两条平行直线2x-y-2=0和4x-2y+3=0之间的距离是 .
【解析】(1)直线l1:ax-y+3=0与l2:2x-(a+1)y+4=0互相平行的充要条件为-(a+1)a=(-1)×2且a2≠34,即a=-2或a=1,因此“a=-2”是“直线l1:ax-y+3=0与l2:2x-(a+1)y+4=0互相平行”的充分不必要条件.故选A.
(2)直线方程2x-y-2=0即4x-2y-4=0,利用两条平行直线距离公式得其距离d=|-4-3|42+(-2)2=7510.
【答案】(1)A (2)7510
(1)利用两条直线的平行与垂直关系的判断公式求解;
(2)运用两条平行直线间的距离公式求解,或转化为点到直线的距离求解.
【变式训练2】(1)直线l0:x-y+1=0,直线l1:ax-2y+1=0与l0平行,且直线l2:x+by+3=0与l0垂直,则a+b=( ).
A.3 B.2 C.1 D.-1
(2)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( ).
A.2x-y+5=0或2x-y-5=0
B.2x+y+5=0或2x+y-5=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x+y+5=0或2x+y-5=0
【解析】(1)因为l0∥l1,所以1a=12,解得a=2.因为l0⊥l2,所以-1b=-1,解得b=1,所以a+b=3.
(2)设所求切线方程为2x+y+c=0,依题意有|0+0+c|22+12=5,解得c=±5,
所以所求切线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.故选D.
【答案】(1)A (2)D
题型三
求直线的方程
【例3】根据下列条件,分别求满足条件的直线的一般式方程:
(1)过点(5,10),且原点到该直线的距离为5;
(2)与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2);
(3)经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直.
【解析】(1)由题意知,当直线的斜率不存在时符合题意,此时直线方程为x=5.
当直线的斜率存在时,设其方程为y-10=k(x-5),即kx-y+(10-5k)=0.
由点到直线的距离公式得|10-5k|1+k2=5,解得k=34.
此时直线的方程为3x-4y+25=0.
综上所述,所求直线的方程为x=5或3x-4y+25=0.
(2)设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0.
因为l经过点(1,2),所以3×1+4×2+m=0,解得m=-11.
所以所求直线的方程为3x+4y-11=0.
(3)由方程组x-2y+4=0,x+y-2=0,得x=0,y=2,即交点为P(0,2).
设所求直线为l,因为l⊥l3,直线l3的斜率为34,所以直线l的斜率k1=-43,
所以直线l的方程为y-2=-43x,即4x+3y-6=0.
求直线的方程需弄清两个条件:一是直线的倾斜角或斜率;二是直线上某点的坐标.
【变式训练3】(1)过点A(2,3),且将圆C:x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线的方程为 .
(2)从点(2,3)射出的光线沿与直线x-2y=0平行的方向射到y轴上,则经y轴反射后的光线所在的直线的方程为 .
【解析】(1)由题意知圆心为C(1,2),依题意知,点A(2,3),C(1,2)在所求直线上.由两点式得y-23-2=x-12-1,即x-y+1=0.
(2)由题意得,入射光线的方程为y-3=12(x-2),即x-2y+4=0,与y轴的交点为(0,2).又(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),∴反射光线所在的直线过(0,2),(-2,3).由直线方程的两点式可得反射光线的方程为y-23-2=x-0-2-0,即x+2y-4=0.
【答案】(1)x-y+1=0 (2)x+2y-4=0
方法
对称问题的解题技巧
涉及对称问题,主要有以下几种情况:
1.若点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0对称的点是Q(x'0,y'0),则线段PQ的中点在直线l上且直线PQ⊥l,由此可得方程组A·x' 0+x02+B·y' 0+y02+C=0,y0-y' 0x0-x' 0·-AB=-1,解方程组得到x'0,y'0的值,从而求得对称点的坐标.
2.若直线l:Ax+By+C=0关于点P(x0,y0)对称的直线为l',由于直线l'必与直线l:Ax+By+C=0平行,故可设直线l'的方程为Ax+By+C0=0.利用距离公式并结合图形可求得直线l'的方程.
3.若直线l:Ax+By+C=0关于直线l0:A0x+B0y+C0=0对称的直线为l',则在直线l:Ax+By+C=0上取两点,求出这两点关于直线l0对称的两点的坐标,再由两点式便可得直线l'的方程.
【突破训练】已知直线l:3x-y+3=0,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点;
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程;
(3)直线l关于点(1,2)的对称直线方程.
【解析】(1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P'(x',y').
∵kPP'·kl=-1,∴y'-yx'-x×3=-1. ①
又∵PP'的中点在直线3x-y+3=0上,
∴3×x'+x2-y'+y2+3=0. ②
由①②得x'=-4x+3y-95, ③y'=3x+4y+35. ④
把x=4,y=5代入③④,得x'=-2,y'=7,
∴点P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2,7).
(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,
得关于l的对称直线方程为-4x+3y-95-3x+4y+35-2=0,
化简得7x+y+22=0.
(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),设其关于点(1,2)的对称点为M'(x',y'),
∴x'+02=1,y'+32=2,解得x'=2,y'=1,∴M'(2,1).
又l关于点(1,2)的对称直线平行于l,
∴所求对称直线的斜率k=3,
∴对称直线的方程为y-1=3×(x-2),
即3x-y-5=0.
1.(2017北京东城区期末)已知直线l的倾斜角为α,斜率为k,那么“α>π3”是“k>3”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】当π2<α<π时,k<0;当k>3时,π3<α<π2.
所以“α>π3”是“k>3”的必要不充分条件.故选B.
【答案】B
2.(2017沧州市一中月考)若直线l1:ax+y-1=0与l2:3x+(a+2)y+1=0平行,则a的值为( ).
A.1 B.-3
C.0或-12 D.1或-3
【解析】由题意可得a(a+2)=3,解得a=1或a=-3.当a=-3时两条直线重合,故应舍去.所以选A.
【答案】A
3.(2017襄阳四中月考)方程(1+4k)x-(2-3k)y+(2-14k)=0表示的直线必经过点( ).
A.(2,2) B.(-2,2)
C.(-6,2) D.345,225
【解析】原方程可化为x-2y+2+k(4x+3y-14)=0,由x-2y+2=0,4x+3y-14=0,解得x=2,y=2,所以直线过定点(2,2).
【答案】A
4.(2017广州模拟)已知直线l1:2ax+(a+1)y+1=0,l2:(a+1)x+(a-1)y=0,若l1⊥l2,则a=( ).
A.2或12 B.13或-1 C.13 D.-1
【解析】由题意知2a(a+1)+(a+1)(a-1)=0,解得a=13或a=-1.故选B.
【答案】B
5.(2017广州综合测试)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为( ).
A.-43,23 B.43,-23
C.-43,23,43 D.-43,-23,23
【解析】三条直线不能围成三角形,则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.若直线2x-3y+1=0平行直线mx-y-1=0,则m=23;若直线4x+3y+5=0平行直线mx-y-1=0,则m=-43;若三条直线相交于同一点,则m=-23,故选D.
【答案】D
6.(2017沙市中学月考)若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为( ).
A.5 B.6
C.23 D.25
【解析】直线y=2x,x+y=3的交点为(1,2),代入mx+ny+5=0得m+2n+5=0.m2+n2表示点(m,n)与(0,0)的距离,其最小值为原点到直线的距离d=55=5,∴m2+n2的最小值为5.
【答案】A
7.(2017云南师大附中月考)已知倾斜角为θ的直线l与直线m:x-2y+3=0垂直,则tan 2θ= .
【解析】∵直线l与m垂直,∴12·tan θ=-1⇒tan θ=-2,
∴tan 2θ=2tanθ1-tan2θ=2×(-2)1-4=43.
【答案】43
8.(2017河南豫东、豫北十校联考)△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),则边BC的垂直平分线的直线方程为 .
【解析】设BC的中点的坐标为(x,y),
则x=2-22=0,y=1+32=2,即(0,2).
∵直线BC的斜率k1=-12,
∴BC的垂直平分线的直线斜率k2=2,
∴所求的直线方程为2x-y+2=0.
【答案】2x-y+2=0
9.(2016深圳市调研)若a=logπ21,b=logπ32,c=logπ54,则( ).
A.a
【解析】因为logπxx-1=logπx-0x-1表示函数y=logπx图象上的点(x,y)与点D(1,0)连线的斜率.
所以令a=kDA,b=kDB,c=kDC,由图知kDA>kDB>kDC,即c
10.(2017大庆铁人中学期末)将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=( ).
A.345 B.365 C.283 D.323
【解析】由题意可得,对称轴所在的直线即为点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中垂线.
由于点(0,2)与点(4,0)连成的线段的中点为(2,1),斜率为-12,故对称轴所在的直线的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.根据点(7,3)与点(m,n)重合,可得
n-3m-7×2=-1,2×m+72-n+32-3=0,解得m=35,n=315,
所以m+n=345,故选A.
【答案】A
11.如图,平面中两条直线l1和l2相交于点O,对于平面上任意一点M,若p和q分别是M到直线l1和l2的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”.已知常数p≥0,q≥0,给出下列命题:
①若p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有一个;
②若pq=0,且p+q≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有两个;
③若pq≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有四个.
上述命题中,正确命题的个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】①正确,此点为点O;②正确,注意到p,q为常数,由p,q中必有一个为零,另一个非零,从而可知有且仅有两个点,这两个点分别在两条直线上,且到另一条直线的距离为q(或p),两点关于点O对称;③正确,四个交点分别为与直线l1相距p的两条平行线和与直线l2相距q的两条平行线的交点.
【答案】D
12.(2017汕头潮南实验学校月考)若直线m被两条平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为22,则m的倾斜角可以是 .(写出所有正确答案的序号)
①15°,②30°,③45°,④60°,⑤75°.
【解析】两条平行直线间的距离为d=|3-1|1+1=2,由图(图略)知直线m与l1的夹角为30°,l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.
【答案】①⑤
13.(2017鸡泽一中月考)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a= .
【解析】曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为0-(-4)2-2=2,
则曲线C1与直线l不能相交,
即x2+a>x,∴x2+a-x>0.
设C1:y=x2+a上点为(x0,y0),
则点(x0,y0)到直线l的距离d=x0-y02=-x0+x02+a2=x0-122+a-142≥4a-142=2,
所以a=94.
【答案】94
14.(2017天河中学检测)设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.证明:
(1)l1与l2相交;
(2)l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.
【解析】(1)假设l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2.
代入k1k2+2=0,得k12+2=0,
此与k1为实数的事实相矛盾.
从而k1≠k2,即l1与l2相交.
(2)由方程组y=k1x+1,y=k2x-1,
解得交点P的坐标(x,y)为x=2k2-k1,y=k2+k1k2-k1.
而2x2+y2=22k2-k12+k2+k1k2-k12
=8+k22+k12+2k1k2k22+k12-2k1k2=k12+k22+4k12+k22+4=1.
此即表明交点P(x,y)在椭圆2x2+y2=1上.
§15.2 圆的方程
一
圆的方程
1.圆的标准方程
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表示圆心为 ,半径为r的圆的标准方程.
(2)特别地,以原点为圆心,半径为r(r>0)的圆的标准方程为 .
2.圆的一般方程
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心为 ,半径为 .
二
点与圆的位置关系
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),
①(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点在圆上;
②(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点在圆外;
③(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点在圆内.
☞左学右考
1 方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( ).
A.141
C.m<14 D.m>1
2 若点(2a,a+1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是( ).
A.-1
知识清单
一、1.(1)(a,b) (2)x2+y2=r2
2.-D2,-E2 D2+E2-4F2
二、①= ②> ③<
基础训练
1.【解析】由题意知,(4m)2+(-2)2-4×5m=16m2-20m+4>0,解得m<14或m>1.
【答案】B
2.【解析】由题意知(2a)2+a2<5,即5a2<5,解得-1
3.【解析】AB的中点为2+02,0+22,即(1,1).∴圆心为(1,1).∵|AB|=22,∴圆的半径为2.∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
【答案】(x-1)2+(y-1)2=2
题型一
求圆的方程
【例1】求下列各圆的方程:
(1)已知圆心在直线y=-4x上,且圆与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2);
(2)经过点A(5,2),点B(3,2),且圆心在直线2x-y-3=0上;
(3)经过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2).
【解析】(1)过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为(1,-4).
所以半径r=(3-1)2+(-2+4)2=22,
故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
(2)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则(5-a)2+(2-b)2=r2,(3-a)2+(2-b)2=r2,2a-b-3=0,得a=4,b=5,r2=10.
故圆C的方程为(x-4)2+(y-5)2=10.
(3)设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因为圆过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2),
所以1+144+D+12E+F=0,49+100+7D+10E+F=0,81+4-9D+2E+F=0,
解得D=-2,E=-4,F=-95.
所以所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.
求圆的方程的三种方法:
(1)直接法:直接求出圆心坐标和半径,从而求出方程.
(2)待定系数法:①设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;②选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
(3)平面几何法:利用圆的几何性质(圆心在圆的任意弦的垂直平分线上)确定圆心.
【变式训练1】(1)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为( ).
A.(x+3)2+(y-1)2=1
B.(x-3)2+(y+1)2=1
C.(x+3)2+(y+1)2=1
D.(x-3)2+(y-1)2=1
(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为 .
【解析】(1)到直线3x-4y=0及3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立方程组3x-4y+5=0,y=-x-4,解得x=-3,y=-1.两条平行直线之间的距离为2,所以半径为1,从而圆M的方程为(x+3)2+(y+1)2=1.选C.
(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,
设C(a,0),且a>0,
所以圆心到直线2x-y=0的距离d=2a5=455,
解得a=2,
所以圆C的半径r=|CM|=4+5=3,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
【答案】(1)C (2)(x-2)2+y2=9
题型二
与圆有关的最值或范围问题
【例2】(1)已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上各点到l的距离的最小值为 .
(2)已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上不同的两点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点.若M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是( ).
A.3 B.32 C.3-2 D.3+2
【解析】(1)圆C:(x-1)2+(y-1)2=2的圆心是(1,1),半径r=2,圆心到直线l:x-y+4=0的距离d=42=22,圆上的点到直线的距离最小值为d-r=2.
(2)因为M,N关于直线x-y-1=0对称,所以圆心-k2,0在直线x-y-1=0上,即-k2-1=0,解得k=-2,所以圆的方程为x2+y2-2x=0,即圆心为(1,0),半径为r=1.要使△PAB面积的值最大,即此时点P到直线的距离为圆心(1,0)到直线AB的距离与圆半径之和.因为圆心(1,0)到直线AB的距离为322,|AB|=22,所以△PAB面积的最大值为S=12×22×322+1=3+2.故选D.
【答案】(1)2 (2)D
与圆上的点有关的距离的最值问题都要与圆心联系起来.①当直线与圆相离时,圆心到直线的距离为d,圆半径为r,则圆上的点到直线的距离的最大值为d+r,最小值为d-r;②过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦;③圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题常利用两点间距离公式转化为二元函数的最值问题,利用消元法转化为一元函数在某个区间上的最值问题求解.
【变式训练2】(1)设点P和点Q分别在x2+(y-6)2=2和椭圆x210+y2=1上,则点P,点Q之间的最大距离为( ).
A.52 B.46+2
C.7+2 D.62
(2)过点M(1,2)的直线l与圆:(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B两点,设C为圆的圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程是 .
【解析】(1)依题意点P,点Q之间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径2.设Q(x,y),则圆心(0,6)与点Q的距离d=x2+(y-6)2=-9y2-12y+46 =-9y+232+50≤52,所以点P,点Q之间的最大距离为62.故选D.
(2)要使∠ACB最小,由圆心角定理可知,需AB最短.由勾股定理可知,当圆心到直线l的距离最大时,|AB|最短,即线段CM垂直于直线l.因为线段CM的斜率k=4-23-1=1,所以所求的直线斜率为-1,由点斜式可得y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
【答案】(1)D (2)x+y-3=0
题型三
与圆有关的轨迹方程
【例3】已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
【解析】(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,
所以圆心为C(0,4),半径为4.
设M(x,y),CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y),
由圆的几何性质,CM⊥MP,所以CM·MP=0,
所以x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,
即(x-1)2+(y-3)2=2.
因为点P在圆C的内部,所以直线l一定与圆心C相交,所以上式方程满足题意.
所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.
因为|OP|=|OM|,设线段PM中点为点D,所以OD⊥PM.又点P在圆N上,从而ND⊥PM,所以ON⊥PM.
因为ON的斜率为3,所以直线l的斜率为-13,
故l的方程为y=-13x+83.
又|OM|=|OP|=22,O到直线l的距离为4105,
故|PM|=4105,所以△POM的面积为165.
与圆有关的轨迹问题可用下面的方法解决:(1)直接法.直接根据题目提供的条件列出方程.(2)几何法.利用圆的几何性质列方程.(3)代入法.找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
【变式训练3】已知一个圆经过点A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上.
(1)求此圆的方程;
(2)若点D为所求圆上任意一点,且点C(3,0),求线段CD的中点M的轨迹方程.
【解析】(1)因为A(3,1),B(-1,3),所以kAB=3-1-1-3=-12,线段AB的中点坐标为(1,2),从而线段AB的垂直平分线的斜率为2,方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.
由方程组2x-y=0,3x-y-2=0,解得x=2,y=4,
所以圆心N(2,4),半径r=|NA|=(2-3)2+(4-1)2=10,
故所求圆N的方程为(x-2)2+(y-4)2=10.
(2)设M(x,y),D(x1,y1),则由C(3,0)及M为线段CD的中点得x=x1+32,y=y1+02,解得x1=2x-3,y1=2y.
又点D在圆N上,所以(2x-3-2)2+(2y-4)2=10,
化简得x-522+(y-2)2=52.
故所求的轨迹方程为x-522+(y-2)2=52.
方法
数形结合思想在解决关于圆的方程的问题中的应用
研究与圆有关的最值问题时,可借助图形,利用数形结合求解.常见的最值问题有以下几种类型:①形如μ=y-bx-a的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;③形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
【突破训练】在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上,若PA·PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是 .
【解析】设P(x,y),由PA·PB≤20和x2+y2=50,得2x-y+5≤0.
由2x-y+5=0,x2+y2=50,
解得x=-5,y=-5或x=1,y=7.
如图,由2x-y+5≤0,得点P在圆左边弧CD上,
所以点P横坐标的取值范围为[-52,1].
【答案】[-52,1]
1.(2017包头市期中)若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则a的值为( ).
A.-2或2 B.12或32 C.2或0 D.-2或0
【解析】由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1-2+a|2=22,解得a=0或a=2.故选C.
【答案】C
2.(2017广西名校一模)过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ).
A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4
【解析】AB的垂直平分线为直线y=x,其与直线x+y-2=0的交点是(1,1),即为圆的圆心,故半径r=2.
【答案】C
3.(2017新泰一中月考)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( ).
A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x+2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1
【解析】设圆上任意一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则x=4+x02,y=-2+y02,解得x0=2x-4,y0=2y+2.因为点Q在圆x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,
化简得(x-2)2+(y+1)2=1.
【答案】A
4.(2015年全国Ⅱ卷)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交于y轴于M,N两点,则MN=( ).
A.26 B.8 C.46 D.10
【解析】由题意得kAB=3-21-4=-13,kCB=2+74-1=3,所以kABkCB=-1,所以AB⊥CB,即△ABC为直角三角形,则外接圆的圆心为AC的中点(1,-2),半径为5,所以外接圆方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0,则有y=±26-2,所以MN=46,故选C.
【答案】C
5.(2017汕头模拟)已知圆x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值是 .
【解析】由D2+E2-4F>0,即8(m-1)2-4(2m2-6m+4)>0,解得m>1.因为圆过坐标原点,所以2m2-6m+4=0,解得m=2或m=1.因此m=2.
【答案】2
6.(2017温州一模)已知动点M到定点(8,0)的距离等于M到(2,0)的距离的2倍,那么点M的轨迹方程是 .
【解析】设点M的坐标为(x,y),利用动点满足的几何关系列式得(x-8)2+y2=2(x-2)2+y2,化简得x2+y2=16.
【答案】x2+y2=16
7.(2015年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .
【解析】mx-y-2m-1=0可化为m(x-2)-(y+1)=0,
则动直线恒过定点M(2,-1),
故满足题意的圆与直线切于点M时,半径最大,
从而r=(2-1)2+(-1-0)2=2,
故标准方程为(x-1)2+y2=2.
【答案】(x-1)2+y2=2
8.(2017丽水联考)点A(2,0)是圆x2+y2=4上一点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程.
【解析】(1)设线段AP的中点为M(x,y),
由中点公式得点P坐标为P(2x-2,2y).
∵点P在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,
故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设线段PQ的中点为N(x,y),
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,
∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,
故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
9.(2017长春市质量监测一)已知圆(x-1)2+(y-1)2=4上到直线y=x+b的距离等于1的点有且仅有两个,则b的取值范围是( ).
A.(-2,0)∪(0,2)
B.(-32,32)
C.(-32,-2)∪(2,32)
D.(-32,-2]∪(2,32]
【解析】由已知得圆的半径为2,可知圆心到直线的距离属于(1,3)时,满足只有两个圆上的点到直线l的距离为1,根据点到直线的距离公式可得1<|1-1+b|2<3,因此b∈(-32,-2)∪(2,32).故选C.
【答案】C
10.(2017福州三中测试卷)下面四个命题:
①直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3,3);
②圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x-y+2=0的距离都等于1;
③若函数y=f(x)在x=a及x=b之间的一段图象可以近似地看作直线,且a
其中正确的是( ).
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④
【解析】易知①是正确的;②圆心(0,0)到直线的距离d=1,又半径为2,故②正确;③斜率k≈f(b)-f(a)b-a,直线近似为f(x)-f(a)=f(b)-f(a)b-a(x-a),把(c,f(c))代入解得f(c)≈f(a)+c-ab-a·f(b)-f(a),故③正确;④当m=0时,C2:y=0与C1:x2+y2-2x=0只有两个交点,故④错误.
【答案】A
11.(2016如东高中期中)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-2,0),点B是圆C:(x-2)2+y2=4上的点,点M为AB中点,若直线l:y=kx-5k上存在点P,使得∠OPM=30°,则实数k的取值范围为 .
【解析】因为点M为AB的中点,所以OM=12CB=1,即点M轨迹为以原点为圆心的单位圆.当PM为单位圆切线时,∠OPM取最大值,即∠OPM≥30°,从而OP=1sin∠OPM≤2,因此原点到直线l:y=kx-5k距离不大于2,即|-5k|k2+1≤2⇒-2≤k≤2.
【答案】-2≤k≤2
12.(2017黄冈二模)已知点B(4,0),直线kx+y+3=0过定点A,若点P是圆x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为 .
【解析】由已知得点A的坐标为(0,-3),如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P,这时点P与直线AB距离最小,即△ABP的面积最小.直线AB的方程为x4+y-3=1,
即3x-4y-12=0,圆心C到直线AB的距离为d=|3×0-4×1-12|32+(-4)2=165,故△ABP的面积的最小值为12×5×165-1=112.
【答案】112
13.(2017绵阳质检)已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
(1)求圆C的方程;
(2)设Q为圆C上的一个动点,求PQ·MQ的最小值.
【解析】(1)设圆心C(a,b),则a-22+b-22+2=0,b+2a+2=1,
解得a=0,b=0,则圆C的方程为x2+y2=r2(r>0),
将点P的坐标代入得r2=2,故圆C的方程为x2+y2=2.
(2)设Q的坐标为(x,y),则x2+y2=2,
所以PQ·MQ=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.
因为(x+y)2=x2+y2+2xy≤2(x2+y2)=4,当x=y=±1时,等号成立,所以-2≤x+y≤2.
所以PQ·MQ的最小值为-4.
14.(2015年广东卷)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆心C1的坐标.
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,
所以圆心C1的坐标为(3,0).
(2)设M的坐标为(x,y),
因为点M为弦AB的中点,即C1M⊥AB,
所以kC1M·kAB=-1,即yx-3·yx=-1,
所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x-322+y2=94,从原点作圆C1的切线时,得交点的横坐标为53,当点M与圆心C1重合时,点M的横坐标取得最大值3,所以点M的横坐标范围为53
且E53,253,
F53,-253,
又直线L:y=k(x-4)过定点D(4,0),
当直线L与圆C相切时,由|k32-4-0|k2+12=32,得k=±34.
又kDE=-kDF=-0--2534-53=-257,结合上图可知,当k∈-34,34∪-257,257时,直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.
§15.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
一
直线与圆的位置关系与判断方法
方法
过程
依据
结论
代数法
联立方程组消去x(或y)得一元二次方程,计算Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
几何法
计算圆心到直线的距离d,比较d与半径r的关系
d
d=r
d>r
二
圆与圆的位置关系
圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0),
圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).
方法
位置
关系
几何法:圆心距d与r1,r2的关系
代数法:两圆方程联立,组成方程组的解的情况
外离
d>r1+r2
外切
d=r1+r2
相交
|r1-r2|
内切
d=|r1-r2|(r1≠r2)
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
☞左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,那么两圆相交.( )
(2)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.( )
(3)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.( )
(4)若两圆的公共点的横坐标有且只有一个值,则两圆一定是相切.( )
(5)若点P(a,b)在圆x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆相离.( )
2 已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则( ).
A.l与C相交 B.l与C相切
C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能
3 圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为( ).
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
4 已知两圆x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0,则它们的公共弦所在直线的方程为 ;公共弦长为 .
5 直线l过点A(2,4)且与圆x2+y2=4相切,则直线l的方程为 .
知识清单
一、相交 相切 相离 相交 相切 相离
二、无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解
基础训练
1.【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
2.【解析】圆C:x2+y2-4x=0是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,而点P(3,0)到圆心的距离为d=(3-2)2+(0-0)2=1<2,点P(3,0)恒在圆内,所以过点P(3,0)不管怎么样画直线,都与圆相交.故选A.
【答案】A
3.【解析】两圆圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为2和3,圆心距d=42+12=17.
∵3-2
4.【解析】由两圆的方程x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0,相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x+y-5=0.圆心(5,5)到直线2x+y-5=0的距离为105=25,弦长的一半为50-20=30,得公共弦长为230.
【答案】2x+y-5=0 230
5.【解析】显然x=2为所求切线之一;另设y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,而|4-2k|k2+1=2,k=34,即切线为3x-4y+10=0,∴x=2或3x-4y+10=0为所求.
【答案】x=2或3x-4y+10=0
题型一
直线与圆的位置关系
【例1】(1)圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是k∈ .
(2)已知圆x2+y2=1和圆外一点P(1,2),过点P作圆的切线,则切线方程为 .
【解析】(1)圆心(0,0)到直线y=kx+2的距离d=2k2+1,直线与圆没有公共点的充要条件是d>1,即2k2+1>1,解得k∈(-3,3).
(2)当直线的斜率不存在时,直线方程为x=1,该直线是圆的切线;
当直线的斜率存在时,设直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,
若直线与圆相切,则|2-k|k2+1=1,解得k=34,代入切线方程整理得3x-4y+5=0,
综上可得,圆的切线方程为3x-4y+5=0或x=1.
【答案】(1)(-3,3) (2)3x-4y+5=0或x=1
(1)判断直线与圆的位置关系时,若两个方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较烦琐,则用代数法.
(2)过圆上一点,只有一条切线.过圆外一点,有两条切线,如果求出的切线只有一条,那么需结合图形把斜率不存在的那条切线补上.
【变式训练1】若直线y=x+b与曲线x=1-y2恰有一个公共点,则b的取值范围是 .
【解析】由x=1-y2知,曲线表示半圆(如图).当-1
题型二
圆的弦长与切线长问题
【例2】(1)过原点且与直线6x-3y+1=0平行的直线l被圆x2+(y-3)2=7所截得的弦长为 .
(2)从直线x-y+3=0上的点向圆x2+y2-4x-4y+7=0引切线,则切线长的最小值为 .
【解析】(1)由题意可得l的方程为2x-y=0,
∵圆心(0,3)到l的距离d=33=1,
∴所求弦长l=2R2-d2=27-1=26.
(2)设直线x-y+3=0上的点为P(t,t+3),圆的圆心为C,已知圆的圆心C的坐标和半径分别为(2,2)和1,则切线长为L=PC2-r2=(t-2)2+(t+1)2-1=2t2-2t+4,故当t=12时,Lmin=2×14-2×12+4=142.
【答案】(1)26 (2)142
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形;(2)设直线上动点坐标,运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系,再运用二次函数的图象与性质求出其最小值,从而使得问题获解.
【变式训练2】(1)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( ).
A.2 B.42 C.6 D.210
(2)已知直线l过点P(0,5),且被圆C:x2+y2+4x-12y+24=0截得的线段长为43,则直线l的方程为 .
【解析】(1)∵直线x+ay-1=0是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,
∴圆心C(2,1)在直线x+ay-1=0上,
∴2+a-1=0,∴a=-1,∴A(-4,-1).
∴|AC|2=36+4=40.又r=2,
∴|AB|2=40-4=36.∴|AB|=6.故选C.
(2)如图所示,AB=43,D是AB的中点,CD⊥AB,AD=23,
圆C的方程可化为(x+2)2+(y-6)2=16,圆心C(-2,6),半径r=4,故AC=4,
在Rt△ACD中,可得CD=2.
当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.
由点C到直线AB的距离公式,得|-2k-6+5|k2+(-1)2=2,解得k=34.
此时直线l的方程为3x-4y+20=0.
当直线l的斜率不存在时,方程为x=0,
则y2-12y+24=0,∴y1=6+23,y2=6-23,
∴|y2-y1|=43,故x=0满足题意.
∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.
【答案】(1)C (2)3x-4y+20=0或x=0
题型三
圆和圆的位置关系
【例3】(1)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度为22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( ).
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
(2)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为23,则a= .
【解析】(1)圆M的圆心为M(0,a),半径r1=a,所以|a|2=a2-2,a=2,即M(0,2),r1=2.圆N的圆心为N(1,1),半径r2=1,又12+(2-1)2=2,
所以r1-r2<|MN|
【答案】(1)B (2)1
两个圆的位置关系的判断常用几何法,即利用两个圆的圆心之间的距离与两个圆的半径之间的关系,一般不采用代数法.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
【变式训练3】若圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为2的点,则实数a的取值范围是( ).
A.(-3,-1)∪(1,3) B.(-3,3)
C.[-1,1] D.[-3,-1]∪[1,3]
【解析】因为圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在点到原点距离为2,所以圆(x-a)2+(y-a)2=8与圆x2+y2=2有公共点,所以两圆心之间的距离范围为[2,32],解得1≤a≤3或-3≤a≤-1,所以实数a的取值范围是-3,-1∪1,3,故选D.
【答案】D
方法一
与面积有关的最值问题的求解策略
面积的最值问题,一般转化为寻求与圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.
【突破训练1】(2017届高三七校联考期中考试)已知直线l:x-y=1与圆M:x2+y2-2x+2y-1=0相交于两点A,C,
点B,D分别在圆M上运动,且位于直线AC两侧,则四边形ABCD面积的最大值为 .
【解析】x2+y2-2x+2y-1=0⇒(x-1)2+(y+1)2=3,圆心M到直线l:x-y=1距离为|1+1-1|2=12=22,由图象(图略)可知,当BD过圆心M且垂直于AC时,四边形ABCD面积取得最大值,最大值为12·AC·BD=12×23-12×23=30.
【答案】30
方法二
方程思想在直线与圆的位置关系中的应用
将直线的方程与圆的方程联立化为关于x的方程,设出交点坐标,利用根与系数关系,将x1x2,x1+x2,y1y2,y1+y2用k表示出来,再结合题中条件处理,若涉及弦长,则利用弦长公式计算,若是直线与圆的位置关系,则利用判别式求解.
【突破训练2】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若OM·ON=12,其中O为坐标原点,求MN.
【解析】(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|1+k2<1.
解得4-73
(2)设M的坐标为(x1,y1),N的坐标为(x2,y2).
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,
整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.
所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2.
OM·ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.
由题设可得4k(1+k)1+k2+8=12,解得k=1,
所以直线l的方程为y=x+1.
故圆心C在直线l上,所以|MN|=2.
1.(2017江西八校联考)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围为( ).
A.[-3,-1] B.[-1,3]
C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
【解析】由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为2,
∴|a-0+1|12+(-1)2≤2,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.
【答案】C
2.(2017成都市四模)直线x+2y-5+5=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( ).
A.1 B.2 C.46 D.4
【解析】将x2+y2-2x-4y=0化为(x-1)2+(y-2)2=5,所以该圆的圆心(1,2)到直线x+2y-5+5=0的距离为d=55=1,则直线x+2y-5+5=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为25-1=4.故选D.
【答案】D
3.(2016蚌埠质检)过点P(3,1)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( ).
A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0
【解析】如图,由题意知AB⊥PC,kPC=12,∴kAB=-2,∴直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.
【答案】A
4.(2017东城区二模)已知直线x+y=m(m>0)与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其中O为坐标原点),那么m的值为( ).
A.33 B.22 C.2 D.3
【解析】由题意知∠OPQ=30°,则圆心O到直线x+y=m(m>0)的距离等于12.根据点到直线距离公式有|-m|2=12,因为m>0,所以m=22,故选B.
【答案】B
5.(2017重庆巴蜀中学月考)已知圆C:(x-3)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0),t>0.若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则t的最小值为( ).
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】由题意以AB为直径的圆与圆C有公共点,又圆C的圆心坐标为(3,1),半径为1,以AB为直径的圆的圆心为(0,0),半径为t,则t-1≤(3)2+12≤t+1,解得1≤t≤3.所以t的最小值为1,故选D.
【答案】D
6.设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围为( ).
A.[1-3,1+3]
B.(-∞,1-3]∪[1+3,+∞)
C.[2-22,2+22]
D.(-∞,2-22]∪[2+22,+∞)
【解析】直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径,即|m+n|(m+1)2+(n+1)2=1,化简得mn=m+n+1.由基本不等式得m+n+1=mn≤m+n22,当m=n时,等号成立.令t=m+n,则t2-4t-4≥0,解得t∈(-∞,2-22]∪[2+22,+∞).
【答案】D
7.(2017北京海淀模拟)已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线l1:y=3x,l2:y=kx-1.若l1,l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2,则k的值为 .
【解析】圆C:(x-2)2+y2=4的圆心为C(2,0),半径为2.
圆心到直线l1:y=3x的距离为232=3,所以直线l1被圆C所截得的弦长为24-3=2.
圆心到直线l2:y=kx-1的距离d=|2k-1|1+k2,所以l2被圆C所截得的弦长为4=24-d2,所以d=0,所以2k-1=0,解得k=12.
【答案】12
8.(2017大理二模)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的圆心在x正半轴上,半径为2,且与直线x-3y+2=0相切.
(1)求圆C的方程.
(2)在圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设圆心的坐标为(x0,0)(x0>0),它到直线x-3y+2=0的距离d=|x0+2|1+3=2,解得x0=2或x0=-6(舍去),
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4.
(2)存在,理由如下:
因为点M(m,n)在圆C上,所以(m-2)2+n2=4,
即n2=4-(m-2)2=4m-m2且0≤m≤4.
又因为原点到直线l:mx+ny=1的距离h=1m2+n2=14m<1,解得14
所以S△OAB=12AB·h=h2-h4=14m-14m2=-14m-122+14.
因为116≤14m<1,
所以当14m=12,即m=12时,S△OAB取得最大值12,
此时点M的坐标是12,72或12,-72,△OAB的面积取得最大值12.
9.(2017哈师大附中三模)直线x+2y=m(m>0)与☉O:x2+y2=5交于不同的两点A,B,若OA+OB>2AB,则m的取值范围为( ).
A.(5,25) B.(25,5)
C.(5,5) D.(2,5)
【解析】设AB的中点为D,则OD⊥AB.∵OA+OB>2AB.∴2OD>2AB,∴AB4.∵直线x+2y=m(m>0)与☉O:x2+y2=5交于不同的两点A,B,∴OD2<5,∴5>OD2>4,∴5>-m52>4,∵m>0,∴25
10.(2017广州模拟)已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A,B两点,O为坐标原点,若AO·AB=32,则实数m的值为( ).
A.±1 B.±32 C.±22 D.±12
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则AO=(-x1,-y1),AB=(x2-x1,y2-y1),由y=x+m,x2+y2=1,得2x2+2mx+m2-1=0,故Δ=4m2-8(m2-1)=8-4m2>0,-2
11.(2017皖南八校联考)已知不等式-x2+2x≤ax+a恒成立,则a的取值范围是 .
【解析】由题意知直线y=a(x+1)恒在半圆(x-1)2+y2=1(y≥0)上方(可相切),当a=33时,直线y=a(x+1)与半圆(x-1)2+y2=1(y≥0)相切,所以a的取值范围是33,+∞.
【答案】33,+∞
12.(2017东莞市二模)已知过原点的直线l1与直线l2:x+3y+1=0垂直,圆C的方程为x2+y2-2ax-2ay=1-2a2(a>0),若直线l1与圆C交于M,N两点,则当△CMN的面积最大时,圆心C的坐标为 .
【解析】由题意得l1:y=3x,圆C:(x-a)2+(y-a)2=1,所以△CMN的面积为12sin∠MCN,当∠MCN=π2时,△CMN的面积最大,此时C到l1的距离d=|3a-a|10=22⇒a=52,即圆心C的坐标为52,52.
【答案】52,52
13.(河北省保定市2017届高三二模)在平面直角坐标系xOy中,圆x2+y2-4x=0的圆心为Q.
(1)求过点P(0,-4)且与圆Q相切的直线的方程;
(2)若过点P(0,-4)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,问是否存在常数k,使得平行四边形OACB为矩形?请说明理由.
【解析】(1)由题意知,圆心Q坐标为(2,0),半径为2,
当切线斜率存在时,设切线方程为y=kx-4,
当|2k-4|1+k2=2,解得k=34,
∴所求的切线方程为y=34x-4.
当切线斜率不存在时,切线方程为x=0.
(2)假设存在满足条件的实数k,则设A的坐标为(x1,y1),B的坐标为(x2,y2),
联立y=kx-4,x2+y2-4x=0,得(1+k2)x2-(8k+4)x+16=0.
∵Δ=16(2k+1)2-64(1+k2)>0,
∴k>34或由(1)知k>34.
∴x1x2=161+k2,y1y2=(kx1-4)×(kx2-4),
由题意得OA·OB=0,∴x1x2+y1y2=0,且x1+x2=8k+41+k2,解得k=2.
∴存在常数k为2,使得平行四边形OACB为矩形.
14.(2016年江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程.
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程.
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.
【解析】圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,
所以圆心M(6,7),半径为5.
(1)因为圆心M在直线x=6上,所以由题意可得,圆N的直径长与圆M的半径长之和为圆心M的纵坐标值,所以圆N的直径为2,圆心N的坐标为(6,1).
所以圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)如图,因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为4-02-0=2.
设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=|2×6-7+m|5=|m+5|5.
因为BC=OA=22+42=25,而MC2=d2+BC22,所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)因为TA+TP=TQ,所以TA=TQ-TP=PQ.
因为|PQ|≤2×5=10,所以|TA|≤10.
即(t-2)2+42≤100,
解得2-221≤t≤2+221.
因此实数t的取值范围是[2-221,2+221].
第十五单元 直线和圆的方程
考点一
求圆的方程
1.(2016年浙江卷)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .
【解析】由二元二次方程表示圆的条件可得a2=a+2,解得a=2或a=-1.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+52=0,配方得x+122+(y+1)2=-54<0,不表示圆;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,则圆心坐标是(-2,-4),半径是5.
【答案】(-2,-4) 5
2.(2014年山东卷)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为23,则圆C的标准方程为 .
【解析】因为圆心在直线x-2y=0上,所以可设圆心坐标为(2b,b).
又圆C与y轴的正半轴相切,所以b>0,圆的半径为2b.
由勾股定理可得b2+(3)2=4b2,解得b=±1.
又因为b>0,所以b=1,所以圆C的圆心坐标为(2,1),半径为2,
所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
【答案】(x-2)2+(y-1)2=4
3.(2015年全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .
【解析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,-2)三点,
则有16+0+4D+0+F=0,0+4+0+2E+F=0,0+4+0-2E+F=0, 解得D=-3,E=0,F=-4,
故所求圆的方程为x2+y2-3x-4=0,标准方程为x-322+y2=254.
【答案】x-322+y2=254
考点二
有关距离的计算
4.(2015年全国Ⅱ卷)已知三点A(1,0),B(0,3),C(2,3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( ).
A.53 B.213 C.253 D.43
【解析】由已知可得|AB|=|AC|=|BC|=2,所以△ABC是等边三角形,所以其外接圆圆心即为三角形的重心,其坐标为1+0+23,0+3+33,即1,233,故圆心到原点的距离为1+2332=213.
【答案】B
5.(2016年上海卷)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离为 .
【解析】d=|c1-c2|a2+b2=|-1-1|22+12=255.
【答案】255
6.(2016年全国Ⅱ卷)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( ).
A.-43 B.-34 C.3 D.2
【解析】圆x2+y2-2x-8y+13=0的标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,由圆心到直线ax+y-1=0的距离为1可知|a+4-1|a2+12=1,解得a=-43,故选A.
【答案】A
考点三
直线与圆的位置关系
7.(2014年安徽卷)过点P(-3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( ).
A.0,π6 B.0,π3 C.0,π6 D.0,π3
【解析】设直线l:y+1=k(x+3),即kx-y+3k-1=0,由题意知,圆心O到直线l的距离d=|k·0-0+3k-1|k2+1≤1,解得0≤k≤3,则直线l的倾斜角的取值范围是0,π3,选D.
【答案】D
8.(2016年山东卷)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( ).
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
【解析】∵x2+y2-2ay=0(a>0),∴x2+(y-a)2=a2(a>0),
∴圆心M(0,a),r1=a.
依题意,有a2=a2-2,解得a=2.
∴圆M的方程为x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,圆心M(0,2),半径r1=2.
又圆N:(x-1)2+(y-1)2=1,圆心N(1,1),半径r2=1,
∴|MN|=(0-1)2+(2-1)2=2.
∵r1-r2=1,r1+r2=3,1<|MN|<3,
∴两圆相交.
【答案】B
9.(2014年湖南卷)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=( ).
A.21 B.19 C.9 D.-11
【解析】圆C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1.
圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=25-m.
由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2,即5=1+25-m,所以m=9.故选C.
【答案】C
10.(2015年山东卷)过点P(1,3)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则PA·PB= .
【解析】如图所示,由题意可知OA⊥AP,OB⊥BP,OP=1+3=2,又OA=OB=1,可以求得AP=BP=3,∠APB=60°,故PA·PB=3×3×cos 60°=32.
【答案】32
考点四
直线和圆的综合应用
11.(2014年福建卷)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( ).
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
【解析】由直线l与直线x+y+1=0垂直,可设直线l的方程为x-y+n=0.又直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心(0,3),则n=3,所以直线l的方程为x-y+3=0,故选D.
【答案】D
12.(2014年浙江卷)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( ).
A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
【解析】圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,r2=2-a,
则圆心(-1,1)到直线x+y+2=0的距离为|-1+1+2|2=2.
由22+(2)2=2-a,得a=-4,故选B.
【答案】B
13.(2015年山东卷)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ).
A.-53或-35 B.-32或-23
C.-54或-45 D.-43或-34
【解析】由已知,得点(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3).由入射光线与反射光线的对称性,知反射光线一定过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,则有d=|-3k-2-2k-3|k2+1=1,解得k=-43或k=-34,故选D.
【答案】D
14.(2016年全国Ⅰ卷)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为 .
【解析】圆C:x2+y2-2ay-2=0化为标准方程是C:x2+(y-a)2=a2+2,所以圆心C(0,a),半径r=a2+2.|AB|=23,点C到直线y=x+2a即x-y+2a=0的距离d=|0-a+2a|2,由勾股定理得2322+|0-a+2a|22=a2+2,解得a2=2,所以r=2,所以圆C的面积为π×22=4π.
【答案】4π
15.(2014年全国Ⅱ卷)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是 .
【解析】由题意可知M在直线y=1上运动,设直线y=1与圆x2+y2=1相切于点P(0,1).当x0=0即点M与点P重合时,显然圆上存在点N(±1,0)符合要求;当x0≠0时,过点M作圆的切线,
切点之一为点P,此时对于圆上任意一点N,都有∠OMN≤∠OMP,故要存在∠OMN=45°,只需∠OMP≥45°.特别地,当∠OMP=45°时,有x0=±1.结合图形可知,符合条件的x0的取值范围为[-1,1].
【答案】[-1,1]
高频考点:求直线的方程,求圆的方程,判断两条直线的位置关系,判断直线与圆的位置关系.
命题特点:本部分内容是解析几何的基础知识,需要掌握求直线与圆的方程的基本方法、熟悉距离公式以及会判断直线与圆的位置关系,需要掌握求切线方程的基本方法以及会运用弦长公式:这些内容在题型考查中既可以作为一个考点单独在选择题、填空题中考查,也可以在解答题中与圆锥曲线一起综合考查.
§15.1 直线方程与两条直线的位置关系
一
直线的倾斜角
1.定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫作这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
2.倾斜角的范围为[0,π).
二
直线的斜率
1.定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tan α.倾斜角是90°的直线没有斜率.
2.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=y2-y1x2-x1=y1-y2x1-x2.
三
直线方程的五种形式
点斜式: .
斜截式: .
两点式:y-y1y2-y1=x-x1x2-x1.
截距式:xa+yb=1.
一般式: .
四
两条直线平行与垂直的判定
1.两条不重合的直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则
(1)l1∥l2⇔k1=k2;
(2)l1⊥l2⇔ .
2.直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0,则
(1)A1B2-A2B1≠0⇔l1与l2相交;
(2)A1B2-A2B1=0⇔l1与l2平行或重合;
(3) ⇔l1与l2垂直.
五
距离
1.点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= .
2.两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)之间的距离d= .
☞左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( )
(2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( )
(3)如果两条直线l1与l2垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.( )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
(5)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-1k,且线段AB的中点在直线l上.( )
2 直线3x-y+a=0的倾斜角为( ).
A.30° B.60°
C.150° D.120°
3 过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ).
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
4 已知两条直线l1:x+y-1=0,l2:3x+ay+2=0且l1⊥l2,则a等于( ).
A.-13 B.13
C.-3 D.3
5 已知直线3x+4y-3=0与6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是 .
6 若A(1,2),B(-2,3),C(4,y)在同一条直线上,则y的值是 .
知识清单
三、y-y0=k(x-x0) y=kx+b Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
四、1.(2)k1·k2=-1 2.(3)A1A2+B1B2=0
五、1.|Ax0+By0+C|A2+B2 2.|C1-C2|A2+B2
基础训练
1.【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.【解析】∵直线的斜率为3,∴倾斜角为60°.
【答案】B
3.【解析】由题意知所求直线方程为x-2y+c=0,因为该直线过点(1,0),所以1-0+c=0,即c=-1.所以所求直线方程为x-2y-1=0.
【答案】A
4.【解析】∵l1⊥l2,∴3+a=0,∴a=-3.
【答案】C
5.【解析】由题意知36=4m,∴m=8,∴所求距离为|7+3|32+42=2.
【答案】2
6.【解析】∵A(1,2),B(-2,3),∴过A,B两点的直线方程是y-2=-13(x-1).∵点(4,y)在此直线上,∴y-2=-13×(4-1),∴y=1.
【答案】1
题型一
直线的倾斜角与斜率
【例1】(1)直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是( ).
A.[0,π) B.0,π4∪3π4,π
C.0,π4 D.0,π4∪π2,π
(2)若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( ).
A.π6,π3 B.π6,π2
C.π3,π2 D.π6,π2
【解析】(1)因为直线xsin α+y+2=0的斜率k=-sin α,
-1≤sin α≤1,所以-1≤k≤1.
设直线xsin α+y+2=0的倾斜角为θ,所以-1≤tan θ≤1,而θ∈[0,π),故倾斜角的取值范围是0,π4∪3π4,π.
(2)如图,直线l:y=kx-3,过定点P(0,-3),
又A(3,0),所以kPA=33,故直线PA的倾斜角为π6,
所以满足条件的直线l的倾斜角的取值范围是π6,π2.
【答案】(1)B (2)B
已知斜率求倾斜角的范围,可借助k=tan α的图象,利用正切函数k=tan α的单调性求解.
【变式训练1】(1)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则1a+1b的值为 .
(2)曲线y=x3-x+5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为 .
【解析】(1)由题意知过B(a,0),C(0,b)两点的直线为xa+yb=1.因为点A在直线BC上,所以2a+2b=1,即1a+1b=12.
(2)设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0,π)).因为y'=3x2-1≥-1,所以tan θ≥-1.结合正切函数的图象可知,θ的取值范围为0,π2∪3π4,π.
【答案】(1)12 (2)0,π2∪3π4,π
题型二
两条直线的位置关系
【例2】(1)(2017吉安一中期中)“a=-2”是“直线l1:ax-y+3=0与l2:2x-(a+1)y+4=0互相平行”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)两条平行直线2x-y-2=0和4x-2y+3=0之间的距离是 .
【解析】(1)直线l1:ax-y+3=0与l2:2x-(a+1)y+4=0互相平行的充要条件为-(a+1)a=(-1)×2且a2≠34,即a=-2或a=1,因此“a=-2”是“直线l1:ax-y+3=0与l2:2x-(a+1)y+4=0互相平行”的充分不必要条件.故选A.
(2)直线方程2x-y-2=0即4x-2y-4=0,利用两条平行直线距离公式得其距离d=|-4-3|42+(-2)2=7510.
【答案】(1)A (2)7510
(1)利用两条直线的平行与垂直关系的判断公式求解;
(2)运用两条平行直线间的距离公式求解,或转化为点到直线的距离求解.
【变式训练2】(1)直线l0:x-y+1=0,直线l1:ax-2y+1=0与l0平行,且直线l2:x+by+3=0与l0垂直,则a+b=( ).
A.3 B.2 C.1 D.-1
(2)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( ).
A.2x-y+5=0或2x-y-5=0
B.2x+y+5=0或2x+y-5=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0
D.2x+y+5=0或2x+y-5=0
【解析】(1)因为l0∥l1,所以1a=12,解得a=2.因为l0⊥l2,所以-1b=-1,解得b=1,所以a+b=3.
(2)设所求切线方程为2x+y+c=0,依题意有|0+0+c|22+12=5,解得c=±5,
所以所求切线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.故选D.
【答案】(1)A (2)D
题型三
求直线的方程
【例3】根据下列条件,分别求满足条件的直线的一般式方程:
(1)过点(5,10),且原点到该直线的距离为5;
(2)与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2);
(3)经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直.
【解析】(1)由题意知,当直线的斜率不存在时符合题意,此时直线方程为x=5.
当直线的斜率存在时,设其方程为y-10=k(x-5),即kx-y+(10-5k)=0.
由点到直线的距离公式得|10-5k|1+k2=5,解得k=34.
此时直线的方程为3x-4y+25=0.
综上所述,所求直线的方程为x=5或3x-4y+25=0.
(2)设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0.
因为l经过点(1,2),所以3×1+4×2+m=0,解得m=-11.
所以所求直线的方程为3x+4y-11=0.
(3)由方程组x-2y+4=0,x+y-2=0,得x=0,y=2,即交点为P(0,2).
设所求直线为l,因为l⊥l3,直线l3的斜率为34,所以直线l的斜率k1=-43,
所以直线l的方程为y-2=-43x,即4x+3y-6=0.
求直线的方程需弄清两个条件:一是直线的倾斜角或斜率;二是直线上某点的坐标.
【变式训练3】(1)过点A(2,3),且将圆C:x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线的方程为 .
(2)从点(2,3)射出的光线沿与直线x-2y=0平行的方向射到y轴上,则经y轴反射后的光线所在的直线的方程为 .
【解析】(1)由题意知圆心为C(1,2),依题意知,点A(2,3),C(1,2)在所求直线上.由两点式得y-23-2=x-12-1,即x-y+1=0.
(2)由题意得,入射光线的方程为y-3=12(x-2),即x-2y+4=0,与y轴的交点为(0,2).又(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),∴反射光线所在的直线过(0,2),(-2,3).由直线方程的两点式可得反射光线的方程为y-23-2=x-0-2-0,即x+2y-4=0.
【答案】(1)x-y+1=0 (2)x+2y-4=0
方法
对称问题的解题技巧
涉及对称问题,主要有以下几种情况:
1.若点P(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0对称的点是Q(x'0,y'0),则线段PQ的中点在直线l上且直线PQ⊥l,由此可得方程组A·x' 0+x02+B·y' 0+y02+C=0,y0-y' 0x0-x' 0·-AB=-1,解方程组得到x'0,y'0的值,从而求得对称点的坐标.
2.若直线l:Ax+By+C=0关于点P(x0,y0)对称的直线为l',由于直线l'必与直线l:Ax+By+C=0平行,故可设直线l'的方程为Ax+By+C0=0.利用距离公式并结合图形可求得直线l'的方程.
3.若直线l:Ax+By+C=0关于直线l0:A0x+B0y+C0=0对称的直线为l',则在直线l:Ax+By+C=0上取两点,求出这两点关于直线l0对称的两点的坐标,再由两点式便可得直线l'的方程.
【突破训练】已知直线l:3x-y+3=0,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点;
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程;
(3)直线l关于点(1,2)的对称直线方程.
【解析】(1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P'(x',y').
∵kPP'·kl=-1,∴y'-yx'-x×3=-1. ①
又∵PP'的中点在直线3x-y+3=0上,
∴3×x'+x2-y'+y2+3=0. ②
由①②得x'=-4x+3y-95, ③y'=3x+4y+35. ④
把x=4,y=5代入③④,得x'=-2,y'=7,
∴点P(4,5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2,7).
(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,
得关于l的对称直线方程为-4x+3y-95-3x+4y+35-2=0,
化简得7x+y+22=0.
(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),设其关于点(1,2)的对称点为M'(x',y'),
∴x'+02=1,y'+32=2,解得x'=2,y'=1,∴M'(2,1).
又l关于点(1,2)的对称直线平行于l,
∴所求对称直线的斜率k=3,
∴对称直线的方程为y-1=3×(x-2),
即3x-y-5=0.
1.(2017北京东城区期末)已知直线l的倾斜角为α,斜率为k,那么“α>π3”是“k>3”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】当π2<α<π时,k<0;当k>3时,π3<α<π2.
所以“α>π3”是“k>3”的必要不充分条件.故选B.
【答案】B
2.(2017沧州市一中月考)若直线l1:ax+y-1=0与l2:3x+(a+2)y+1=0平行,则a的值为( ).
A.1 B.-3
C.0或-12 D.1或-3
【解析】由题意可得a(a+2)=3,解得a=1或a=-3.当a=-3时两条直线重合,故应舍去.所以选A.
【答案】A
3.(2017襄阳四中月考)方程(1+4k)x-(2-3k)y+(2-14k)=0表示的直线必经过点( ).
A.(2,2) B.(-2,2)
C.(-6,2) D.345,225
【解析】原方程可化为x-2y+2+k(4x+3y-14)=0,由x-2y+2=0,4x+3y-14=0,解得x=2,y=2,所以直线过定点(2,2).
【答案】A
4.(2017广州模拟)已知直线l1:2ax+(a+1)y+1=0,l2:(a+1)x+(a-1)y=0,若l1⊥l2,则a=( ).
A.2或12 B.13或-1 C.13 D.-1
【解析】由题意知2a(a+1)+(a+1)(a-1)=0,解得a=13或a=-1.故选B.
【答案】B
5.(2017广州综合测试)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为( ).
A.-43,23 B.43,-23
C.-43,23,43 D.-43,-23,23
【解析】三条直线不能围成三角形,则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.若直线2x-3y+1=0平行直线mx-y-1=0,则m=23;若直线4x+3y+5=0平行直线mx-y-1=0,则m=-43;若三条直线相交于同一点,则m=-23,故选D.
【答案】D
6.(2017沙市中学月考)若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为( ).
A.5 B.6
C.23 D.25
【解析】直线y=2x,x+y=3的交点为(1,2),代入mx+ny+5=0得m+2n+5=0.m2+n2表示点(m,n)与(0,0)的距离,其最小值为原点到直线的距离d=55=5,∴m2+n2的最小值为5.
【答案】A
7.(2017云南师大附中月考)已知倾斜角为θ的直线l与直线m:x-2y+3=0垂直,则tan 2θ= .
【解析】∵直线l与m垂直,∴12·tan θ=-1⇒tan θ=-2,
∴tan 2θ=2tanθ1-tan2θ=2×(-2)1-4=43.
【答案】43
8.(2017河南豫东、豫北十校联考)△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),则边BC的垂直平分线的直线方程为 .
【解析】设BC的中点的坐标为(x,y),
则x=2-22=0,y=1+32=2,即(0,2).
∵直线BC的斜率k1=-12,
∴BC的垂直平分线的直线斜率k2=2,
∴所求的直线方程为2x-y+2=0.
【答案】2x-y+2=0
9.(2016深圳市调研)若a=logπ21,b=logπ32,c=logπ54,则( ).
A.a
【解析】因为logπxx-1=logπx-0x-1表示函数y=logπx图象上的点(x,y)与点D(1,0)连线的斜率.
所以令a=kDA,b=kDB,c=kDC,由图知kDA>kDB>kDC,即c
10.(2017大庆铁人中学期末)将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=( ).
A.345 B.365 C.283 D.323
【解析】由题意可得,对称轴所在的直线即为点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中垂线.
由于点(0,2)与点(4,0)连成的线段的中点为(2,1),斜率为-12,故对称轴所在的直线的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.根据点(7,3)与点(m,n)重合,可得
n-3m-7×2=-1,2×m+72-n+32-3=0,解得m=35,n=315,
所以m+n=345,故选A.
【答案】A
11.如图,平面中两条直线l1和l2相交于点O,对于平面上任意一点M,若p和q分别是M到直线l1和l2的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”.已知常数p≥0,q≥0,给出下列命题:
①若p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有一个;
②若pq=0,且p+q≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有两个;
③若pq≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有四个.
上述命题中,正确命题的个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】①正确,此点为点O;②正确,注意到p,q为常数,由p,q中必有一个为零,另一个非零,从而可知有且仅有两个点,这两个点分别在两条直线上,且到另一条直线的距离为q(或p),两点关于点O对称;③正确,四个交点分别为与直线l1相距p的两条平行线和与直线l2相距q的两条平行线的交点.
【答案】D
12.(2017汕头潮南实验学校月考)若直线m被两条平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为22,则m的倾斜角可以是 .(写出所有正确答案的序号)
①15°,②30°,③45°,④60°,⑤75°.
【解析】两条平行直线间的距离为d=|3-1|1+1=2,由图(图略)知直线m与l1的夹角为30°,l1的倾斜角为45°,所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.
【答案】①⑤
13.(2017鸡泽一中月考)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a= .
【解析】曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为0-(-4)2-2=2,
则曲线C1与直线l不能相交,
即x2+a>x,∴x2+a-x>0.
设C1:y=x2+a上点为(x0,y0),
则点(x0,y0)到直线l的距离d=x0-y02=-x0+x02+a2=x0-122+a-142≥4a-142=2,
所以a=94.
【答案】94
14.(2017天河中学检测)设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.证明:
(1)l1与l2相交;
(2)l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.
【解析】(1)假设l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2.
代入k1k2+2=0,得k12+2=0,
此与k1为实数的事实相矛盾.
从而k1≠k2,即l1与l2相交.
(2)由方程组y=k1x+1,y=k2x-1,
解得交点P的坐标(x,y)为x=2k2-k1,y=k2+k1k2-k1.
而2x2+y2=22k2-k12+k2+k1k2-k12
=8+k22+k12+2k1k2k22+k12-2k1k2=k12+k22+4k12+k22+4=1.
此即表明交点P(x,y)在椭圆2x2+y2=1上.
§15.2 圆的方程
一
圆的方程
1.圆的标准方程
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表示圆心为 ,半径为r的圆的标准方程.
(2)特别地,以原点为圆心,半径为r(r>0)的圆的标准方程为 .
2.圆的一般方程
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆心为 ,半径为 .
二
点与圆的位置关系
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),
①(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点在圆上;
②(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点在圆外;
③(x0-a)2+(y0-b)2 r2⇔点在圆内.
☞左学右考
1 方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( ).
A.14
C.m<14 D.m>1
2 若点(2a,a+1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是( ).
A.-1
知识清单
一、1.(1)(a,b) (2)x2+y2=r2
2.-D2,-E2 D2+E2-4F2
二、①= ②> ③<
基础训练
1.【解析】由题意知,(4m)2+(-2)2-4×5m=16m2-20m+4>0,解得m<14或m>1.
【答案】B
2.【解析】由题意知(2a)2+a2<5,即5a2<5,解得-1
3.【解析】AB的中点为2+02,0+22,即(1,1).∴圆心为(1,1).∵|AB|=22,∴圆的半径为2.∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
【答案】(x-1)2+(y-1)2=2
题型一
求圆的方程
【例1】求下列各圆的方程:
(1)已知圆心在直线y=-4x上,且圆与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2);
(2)经过点A(5,2),点B(3,2),且圆心在直线2x-y-3=0上;
(3)经过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2).
【解析】(1)过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为(1,-4).
所以半径r=(3-1)2+(-2+4)2=22,
故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
(2)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则(5-a)2+(2-b)2=r2,(3-a)2+(2-b)2=r2,2a-b-3=0,得a=4,b=5,r2=10.
故圆C的方程为(x-4)2+(y-5)2=10.
(3)设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因为圆过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2),
所以1+144+D+12E+F=0,49+100+7D+10E+F=0,81+4-9D+2E+F=0,
解得D=-2,E=-4,F=-95.
所以所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.
求圆的方程的三种方法:
(1)直接法:直接求出圆心坐标和半径,从而求出方程.
(2)待定系数法:①设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;②选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
(3)平面几何法:利用圆的几何性质(圆心在圆的任意弦的垂直平分线上)确定圆心.
【变式训练1】(1)已知圆M与直线3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圆心在直线y=-x-4上,则圆M的方程为( ).
A.(x+3)2+(y-1)2=1
B.(x-3)2+(y+1)2=1
C.(x+3)2+(y+1)2=1
D.(x-3)2+(y-1)2=1
(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为 .
【解析】(1)到直线3x-4y=0及3x-4y+10=0的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立方程组3x-4y+5=0,y=-x-4,解得x=-3,y=-1.两条平行直线之间的距离为2,所以半径为1,从而圆M的方程为(x+3)2+(y+1)2=1.选C.
(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,
设C(a,0),且a>0,
所以圆心到直线2x-y=0的距离d=2a5=455,
解得a=2,
所以圆C的半径r=|CM|=4+5=3,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
【答案】(1)C (2)(x-2)2+y2=9
题型二
与圆有关的最值或范围问题
【例2】(1)已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上各点到l的距离的最小值为 .
(2)已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上不同的两点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点.若M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是( ).
A.3 B.32 C.3-2 D.3+2
【解析】(1)圆C:(x-1)2+(y-1)2=2的圆心是(1,1),半径r=2,圆心到直线l:x-y+4=0的距离d=42=22,圆上的点到直线的距离最小值为d-r=2.
(2)因为M,N关于直线x-y-1=0对称,所以圆心-k2,0在直线x-y-1=0上,即-k2-1=0,解得k=-2,所以圆的方程为x2+y2-2x=0,即圆心为(1,0),半径为r=1.要使△PAB面积的值最大,即此时点P到直线的距离为圆心(1,0)到直线AB的距离与圆半径之和.因为圆心(1,0)到直线AB的距离为322,|AB|=22,所以△PAB面积的最大值为S=12×22×322+1=3+2.故选D.
【答案】(1)2 (2)D
与圆上的点有关的距离的最值问题都要与圆心联系起来.①当直线与圆相离时,圆心到直线的距离为d,圆半径为r,则圆上的点到直线的距离的最大值为d+r,最小值为d-r;②过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦;③圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题常利用两点间距离公式转化为二元函数的最值问题,利用消元法转化为一元函数在某个区间上的最值问题求解.
【变式训练2】(1)设点P和点Q分别在x2+(y-6)2=2和椭圆x210+y2=1上,则点P,点Q之间的最大距离为( ).
A.52 B.46+2
C.7+2 D.62
(2)过点M(1,2)的直线l与圆:(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B两点,设C为圆的圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程是 .
【解析】(1)依题意点P,点Q之间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径2.设Q(x,y),则圆心(0,6)与点Q的距离d=x2+(y-6)2=-9y2-12y+46 =-9y+232+50≤52,所以点P,点Q之间的最大距离为62.故选D.
(2)要使∠ACB最小,由圆心角定理可知,需AB最短.由勾股定理可知,当圆心到直线l的距离最大时,|AB|最短,即线段CM垂直于直线l.因为线段CM的斜率k=4-23-1=1,所以所求的直线斜率为-1,由点斜式可得y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
【答案】(1)D (2)x+y-3=0
题型三
与圆有关的轨迹方程
【例3】已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
【解析】(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,
所以圆心为C(0,4),半径为4.
设M(x,y),CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y),
由圆的几何性质,CM⊥MP,所以CM·MP=0,
所以x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,
即(x-1)2+(y-3)2=2.
因为点P在圆C的内部,所以直线l一定与圆心C相交,所以上式方程满足题意.
所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.
因为|OP|=|OM|,设线段PM中点为点D,所以OD⊥PM.又点P在圆N上,从而ND⊥PM,所以ON⊥PM.
因为ON的斜率为3,所以直线l的斜率为-13,
故l的方程为y=-13x+83.
又|OM|=|OP|=22,O到直线l的距离为4105,
故|PM|=4105,所以△POM的面积为165.
与圆有关的轨迹问题可用下面的方法解决:(1)直接法.直接根据题目提供的条件列出方程.(2)几何法.利用圆的几何性质列方程.(3)代入法.找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
【变式训练3】已知一个圆经过点A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直线3x-y-2=0上.
(1)求此圆的方程;
(2)若点D为所求圆上任意一点,且点C(3,0),求线段CD的中点M的轨迹方程.
【解析】(1)因为A(3,1),B(-1,3),所以kAB=3-1-1-3=-12,线段AB的中点坐标为(1,2),从而线段AB的垂直平分线的斜率为2,方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.
由方程组2x-y=0,3x-y-2=0,解得x=2,y=4,
所以圆心N(2,4),半径r=|NA|=(2-3)2+(4-1)2=10,
故所求圆N的方程为(x-2)2+(y-4)2=10.
(2)设M(x,y),D(x1,y1),则由C(3,0)及M为线段CD的中点得x=x1+32,y=y1+02,解得x1=2x-3,y1=2y.
又点D在圆N上,所以(2x-3-2)2+(2y-4)2=10,
化简得x-522+(y-2)2=52.
故所求的轨迹方程为x-522+(y-2)2=52.
方法
数形结合思想在解决关于圆的方程的问题中的应用
研究与圆有关的最值问题时,可借助图形,利用数形结合求解.常见的最值问题有以下几种类型:①形如μ=y-bx-a的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;③形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
【突破训练】在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上,若PA·PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是 .
【解析】设P(x,y),由PA·PB≤20和x2+y2=50,得2x-y+5≤0.
由2x-y+5=0,x2+y2=50,
解得x=-5,y=-5或x=1,y=7.
如图,由2x-y+5≤0,得点P在圆左边弧CD上,
所以点P横坐标的取值范围为[-52,1].
【答案】[-52,1]
1.(2017包头市期中)若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则a的值为( ).
A.-2或2 B.12或32 C.2或0 D.-2或0
【解析】由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1-2+a|2=22,解得a=0或a=2.故选C.
【答案】C
2.(2017广西名校一模)过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ).
A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4
【解析】AB的垂直平分线为直线y=x,其与直线x+y-2=0的交点是(1,1),即为圆的圆心,故半径r=2.
【答案】C
3.(2017新泰一中月考)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( ).
A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x+2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1
【解析】设圆上任意一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则x=4+x02,y=-2+y02,解得x0=2x-4,y0=2y+2.因为点Q在圆x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,
化简得(x-2)2+(y+1)2=1.
【答案】A
4.(2015年全国Ⅱ卷)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交于y轴于M,N两点,则MN=( ).
A.26 B.8 C.46 D.10
【解析】由题意得kAB=3-21-4=-13,kCB=2+74-1=3,所以kABkCB=-1,所以AB⊥CB,即△ABC为直角三角形,则外接圆的圆心为AC的中点(1,-2),半径为5,所以外接圆方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0,则有y=±26-2,所以MN=46,故选C.
【答案】C
5.(2017汕头模拟)已知圆x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值是 .
【解析】由D2+E2-4F>0,即8(m-1)2-4(2m2-6m+4)>0,解得m>1.因为圆过坐标原点,所以2m2-6m+4=0,解得m=2或m=1.因此m=2.
【答案】2
6.(2017温州一模)已知动点M到定点(8,0)的距离等于M到(2,0)的距离的2倍,那么点M的轨迹方程是 .
【解析】设点M的坐标为(x,y),利用动点满足的几何关系列式得(x-8)2+y2=2(x-2)2+y2,化简得x2+y2=16.
【答案】x2+y2=16
7.(2015年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .
【解析】mx-y-2m-1=0可化为m(x-2)-(y+1)=0,
则动直线恒过定点M(2,-1),
故满足题意的圆与直线切于点M时,半径最大,
从而r=(2-1)2+(-1-0)2=2,
故标准方程为(x-1)2+y2=2.
【答案】(x-1)2+y2=2
8.(2017丽水联考)点A(2,0)是圆x2+y2=4上一点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程.
【解析】(1)设线段AP的中点为M(x,y),
由中点公式得点P坐标为P(2x-2,2y).
∵点P在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,
故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设线段PQ的中点为N(x,y),
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,
∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,
故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
9.(2017长春市质量监测一)已知圆(x-1)2+(y-1)2=4上到直线y=x+b的距离等于1的点有且仅有两个,则b的取值范围是( ).
A.(-2,0)∪(0,2)
B.(-32,32)
C.(-32,-2)∪(2,32)
D.(-32,-2]∪(2,32]
【解析】由已知得圆的半径为2,可知圆心到直线的距离属于(1,3)时,满足只有两个圆上的点到直线l的距离为1,根据点到直线的距离公式可得1<|1-1+b|2<3,因此b∈(-32,-2)∪(2,32).故选C.
【答案】C
10.(2017福州三中测试卷)下面四个命题:
①直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3,3);
②圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x-y+2=0的距离都等于1;
③若函数y=f(x)在x=a及x=b之间的一段图象可以近似地看作直线,且a
其中正确的是( ).
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④
【解析】易知①是正确的;②圆心(0,0)到直线的距离d=1,又半径为2,故②正确;③斜率k≈f(b)-f(a)b-a,直线近似为f(x)-f(a)=f(b)-f(a)b-a(x-a),把(c,f(c))代入解得f(c)≈f(a)+c-ab-a·f(b)-f(a),故③正确;④当m=0时,C2:y=0与C1:x2+y2-2x=0只有两个交点,故④错误.
【答案】A
11.(2016如东高中期中)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-2,0),点B是圆C:(x-2)2+y2=4上的点,点M为AB中点,若直线l:y=kx-5k上存在点P,使得∠OPM=30°,则实数k的取值范围为 .
【解析】因为点M为AB的中点,所以OM=12CB=1,即点M轨迹为以原点为圆心的单位圆.当PM为单位圆切线时,∠OPM取最大值,即∠OPM≥30°,从而OP=1sin∠OPM≤2,因此原点到直线l:y=kx-5k距离不大于2,即|-5k|k2+1≤2⇒-2≤k≤2.
【答案】-2≤k≤2
12.(2017黄冈二模)已知点B(4,0),直线kx+y+3=0过定点A,若点P是圆x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为 .
【解析】由已知得点A的坐标为(0,-3),如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P,这时点P与直线AB距离最小,即△ABP的面积最小.直线AB的方程为x4+y-3=1,
即3x-4y-12=0,圆心C到直线AB的距离为d=|3×0-4×1-12|32+(-4)2=165,故△ABP的面积的最小值为12×5×165-1=112.
【答案】112
13.(2017绵阳质检)已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
(1)求圆C的方程;
(2)设Q为圆C上的一个动点,求PQ·MQ的最小值.
【解析】(1)设圆心C(a,b),则a-22+b-22+2=0,b+2a+2=1,
解得a=0,b=0,则圆C的方程为x2+y2=r2(r>0),
将点P的坐标代入得r2=2,故圆C的方程为x2+y2=2.
(2)设Q的坐标为(x,y),则x2+y2=2,
所以PQ·MQ=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.
因为(x+y)2=x2+y2+2xy≤2(x2+y2)=4,当x=y=±1时,等号成立,所以-2≤x+y≤2.
所以PQ·MQ的最小值为-4.
14.(2015年广东卷)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
(1)求圆心C1的坐标.
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.
(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,
所以圆心C1的坐标为(3,0).
(2)设M的坐标为(x,y),
因为点M为弦AB的中点,即C1M⊥AB,
所以kC1M·kAB=-1,即yx-3·yx=-1,
所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x-322+y2=94,从原点作圆C1的切线时,得交点的横坐标为53,当点M与圆心C1重合时,点M的横坐标取得最大值3,所以点M的横坐标范围为53
且E53,253,
F53,-253,
又直线L:y=k(x-4)过定点D(4,0),
当直线L与圆C相切时,由|k32-4-0|k2+12=32,得k=±34.
又kDE=-kDF=-0--2534-53=-257,结合上图可知,当k∈-34,34∪-257,257时,直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.
§15.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
一
直线与圆的位置关系与判断方法
方法
过程
依据
结论
代数法
联立方程组消去x(或y)得一元二次方程,计算Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
几何法
计算圆心到直线的距离d,比较d与半径r的关系
d
d=r
d>r
二
圆与圆的位置关系
圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0),
圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).
方法
位置
关系
几何法:圆心距d与r1,r2的关系
代数法:两圆方程联立,组成方程组的解的情况
外离
d>r1+r2
外切
d=r1+r2
相交
|r1-r2|
内切
d=|r1-r2|(r1≠r2)
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
☞左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,那么两圆相交.( )
(2)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.( )
(3)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.( )
(4)若两圆的公共点的横坐标有且只有一个值,则两圆一定是相切.( )
(5)若点P(a,b)在圆x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆相离.( )
2 已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则( ).
A.l与C相交 B.l与C相切
C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能
3 圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为( ).
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
4 已知两圆x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0,则它们的公共弦所在直线的方程为 ;公共弦长为 .
5 直线l过点A(2,4)且与圆x2+y2=4相切,则直线l的方程为 .
知识清单
一、相交 相切 相离 相交 相切 相离
二、无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解
基础训练
1.【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
2.【解析】圆C:x2+y2-4x=0是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,而点P(3,0)到圆心的距离为d=(3-2)2+(0-0)2=1<2,点P(3,0)恒在圆内,所以过点P(3,0)不管怎么样画直线,都与圆相交.故选A.
【答案】A
3.【解析】两圆圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为2和3,圆心距d=42+12=17.
∵3-2
4.【解析】由两圆的方程x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0,相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x+y-5=0.圆心(5,5)到直线2x+y-5=0的距离为105=25,弦长的一半为50-20=30,得公共弦长为230.
【答案】2x+y-5=0 230
5.【解析】显然x=2为所求切线之一;另设y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,而|4-2k|k2+1=2,k=34,即切线为3x-4y+10=0,∴x=2或3x-4y+10=0为所求.
【答案】x=2或3x-4y+10=0
题型一
直线与圆的位置关系
【例1】(1)圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是k∈ .
(2)已知圆x2+y2=1和圆外一点P(1,2),过点P作圆的切线,则切线方程为 .
【解析】(1)圆心(0,0)到直线y=kx+2的距离d=2k2+1,直线与圆没有公共点的充要条件是d>1,即2k2+1>1,解得k∈(-3,3).
(2)当直线的斜率不存在时,直线方程为x=1,该直线是圆的切线;
当直线的斜率存在时,设直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,
若直线与圆相切,则|2-k|k2+1=1,解得k=34,代入切线方程整理得3x-4y+5=0,
综上可得,圆的切线方程为3x-4y+5=0或x=1.
【答案】(1)(-3,3) (2)3x-4y+5=0或x=1
(1)判断直线与圆的位置关系时,若两个方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较烦琐,则用代数法.
(2)过圆上一点,只有一条切线.过圆外一点,有两条切线,如果求出的切线只有一条,那么需结合图形把斜率不存在的那条切线补上.
【变式训练1】若直线y=x+b与曲线x=1-y2恰有一个公共点,则b的取值范围是 .
【解析】由x=1-y2知,曲线表示半圆(如图).当-1
题型二
圆的弦长与切线长问题
【例2】(1)过原点且与直线6x-3y+1=0平行的直线l被圆x2+(y-3)2=7所截得的弦长为 .
(2)从直线x-y+3=0上的点向圆x2+y2-4x-4y+7=0引切线,则切线长的最小值为 .
【解析】(1)由题意可得l的方程为2x-y=0,
∵圆心(0,3)到l的距离d=33=1,
∴所求弦长l=2R2-d2=27-1=26.
(2)设直线x-y+3=0上的点为P(t,t+3),圆的圆心为C,已知圆的圆心C的坐标和半径分别为(2,2)和1,则切线长为L=PC2-r2=(t-2)2+(t+1)2-1=2t2-2t+4,故当t=12时,Lmin=2×14-2×12+4=142.
【答案】(1)26 (2)142
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形;(2)设直线上动点坐标,运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系,再运用二次函数的图象与性质求出其最小值,从而使得问题获解.
【变式训练2】(1)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( ).
A.2 B.42 C.6 D.210
(2)已知直线l过点P(0,5),且被圆C:x2+y2+4x-12y+24=0截得的线段长为43,则直线l的方程为 .
【解析】(1)∵直线x+ay-1=0是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,
∴圆心C(2,1)在直线x+ay-1=0上,
∴2+a-1=0,∴a=-1,∴A(-4,-1).
∴|AC|2=36+4=40.又r=2,
∴|AB|2=40-4=36.∴|AB|=6.故选C.
(2)如图所示,AB=43,D是AB的中点,CD⊥AB,AD=23,
圆C的方程可化为(x+2)2+(y-6)2=16,圆心C(-2,6),半径r=4,故AC=4,
在Rt△ACD中,可得CD=2.
当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.
由点C到直线AB的距离公式,得|-2k-6+5|k2+(-1)2=2,解得k=34.
此时直线l的方程为3x-4y+20=0.
当直线l的斜率不存在时,方程为x=0,
则y2-12y+24=0,∴y1=6+23,y2=6-23,
∴|y2-y1|=43,故x=0满足题意.
∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.
【答案】(1)C (2)3x-4y+20=0或x=0
题型三
圆和圆的位置关系
【例3】(1)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度为22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( ).
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
(2)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为23,则a= .
【解析】(1)圆M的圆心为M(0,a),半径r1=a,所以|a|2=a2-2,a=2,即M(0,2),r1=2.圆N的圆心为N(1,1),半径r2=1,又12+(2-1)2=2,
所以r1-r2<|MN|
【答案】(1)B (2)1
两个圆的位置关系的判断常用几何法,即利用两个圆的圆心之间的距离与两个圆的半径之间的关系,一般不采用代数法.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
【变式训练3】若圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为2的点,则实数a的取值范围是( ).
A.(-3,-1)∪(1,3) B.(-3,3)
C.[-1,1] D.[-3,-1]∪[1,3]
【解析】因为圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在点到原点距离为2,所以圆(x-a)2+(y-a)2=8与圆x2+y2=2有公共点,所以两圆心之间的距离范围为[2,32],解得1≤a≤3或-3≤a≤-1,所以实数a的取值范围是-3,-1∪1,3,故选D.
【答案】D
方法一
与面积有关的最值问题的求解策略
面积的最值问题,一般转化为寻求与圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.
【突破训练1】(2017届高三七校联考期中考试)已知直线l:x-y=1与圆M:x2+y2-2x+2y-1=0相交于两点A,C,
点B,D分别在圆M上运动,且位于直线AC两侧,则四边形ABCD面积的最大值为 .
【解析】x2+y2-2x+2y-1=0⇒(x-1)2+(y+1)2=3,圆心M到直线l:x-y=1距离为|1+1-1|2=12=22,由图象(图略)可知,当BD过圆心M且垂直于AC时,四边形ABCD面积取得最大值,最大值为12·AC·BD=12×23-12×23=30.
【答案】30
方法二
方程思想在直线与圆的位置关系中的应用
将直线的方程与圆的方程联立化为关于x的方程,设出交点坐标,利用根与系数关系,将x1x2,x1+x2,y1y2,y1+y2用k表示出来,再结合题中条件处理,若涉及弦长,则利用弦长公式计算,若是直线与圆的位置关系,则利用判别式求解.
【突破训练2】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若OM·ON=12,其中O为坐标原点,求MN.
【解析】(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|1+k2<1.
解得4-73
(2)设M的坐标为(x1,y1),N的坐标为(x2,y2).
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,
整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.
所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2.
OM·ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.
由题设可得4k(1+k)1+k2+8=12,解得k=1,
所以直线l的方程为y=x+1.
故圆心C在直线l上,所以|MN|=2.
1.(2017江西八校联考)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围为( ).
A.[-3,-1] B.[-1,3]
C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
【解析】由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为2,
∴|a-0+1|12+(-1)2≤2,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.
【答案】C
2.(2017成都市四模)直线x+2y-5+5=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为( ).
A.1 B.2 C.46 D.4
【解析】将x2+y2-2x-4y=0化为(x-1)2+(y-2)2=5,所以该圆的圆心(1,2)到直线x+2y-5+5=0的距离为d=55=1,则直线x+2y-5+5=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为25-1=4.故选D.
【答案】D
3.(2016蚌埠质检)过点P(3,1)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( ).
A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0
【解析】如图,由题意知AB⊥PC,kPC=12,∴kAB=-2,∴直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.
【答案】A
4.(2017东城区二模)已知直线x+y=m(m>0)与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其中O为坐标原点),那么m的值为( ).
A.33 B.22 C.2 D.3
【解析】由题意知∠OPQ=30°,则圆心O到直线x+y=m(m>0)的距离等于12.根据点到直线距离公式有|-m|2=12,因为m>0,所以m=22,故选B.
【答案】B
5.(2017重庆巴蜀中学月考)已知圆C:(x-3)2+(y-1)2=1和两点A(-t,0),B(t,0),t>0.若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则t的最小值为( ).
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】由题意以AB为直径的圆与圆C有公共点,又圆C的圆心坐标为(3,1),半径为1,以AB为直径的圆的圆心为(0,0),半径为t,则t-1≤(3)2+12≤t+1,解得1≤t≤3.所以t的最小值为1,故选D.
【答案】D
6.设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围为( ).
A.[1-3,1+3]
B.(-∞,1-3]∪[1+3,+∞)
C.[2-22,2+22]
D.(-∞,2-22]∪[2+22,+∞)
【解析】直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径,即|m+n|(m+1)2+(n+1)2=1,化简得mn=m+n+1.由基本不等式得m+n+1=mn≤m+n22,当m=n时,等号成立.令t=m+n,则t2-4t-4≥0,解得t∈(-∞,2-22]∪[2+22,+∞).
【答案】D
7.(2017北京海淀模拟)已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线l1:y=3x,l2:y=kx-1.若l1,l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2,则k的值为 .
【解析】圆C:(x-2)2+y2=4的圆心为C(2,0),半径为2.
圆心到直线l1:y=3x的距离为232=3,所以直线l1被圆C所截得的弦长为24-3=2.
圆心到直线l2:y=kx-1的距离d=|2k-1|1+k2,所以l2被圆C所截得的弦长为4=24-d2,所以d=0,所以2k-1=0,解得k=12.
【答案】12
8.(2017大理二模)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的圆心在x正半轴上,半径为2,且与直线x-3y+2=0相切.
(1)求圆C的方程.
(2)在圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设圆心的坐标为(x0,0)(x0>0),它到直线x-3y+2=0的距离d=|x0+2|1+3=2,解得x0=2或x0=-6(舍去),
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4.
(2)存在,理由如下:
因为点M(m,n)在圆C上,所以(m-2)2+n2=4,
即n2=4-(m-2)2=4m-m2且0≤m≤4.
又因为原点到直线l:mx+ny=1的距离h=1m2+n2=14m<1,解得14
所以S△OAB=12AB·h=h2-h4=14m-14m2=-14m-122+14.
因为116≤14m<1,
所以当14m=12,即m=12时,S△OAB取得最大值12,
此时点M的坐标是12,72或12,-72,△OAB的面积取得最大值12.
9.(2017哈师大附中三模)直线x+2y=m(m>0)与☉O:x2+y2=5交于不同的两点A,B,若OA+OB>2AB,则m的取值范围为( ).
A.(5,25) B.(25,5)
C.(5,5) D.(2,5)
【解析】设AB的中点为D,则OD⊥AB.∵OA+OB>2AB.∴2OD>2AB,∴AB
10.(2017广州模拟)已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A,B两点,O为坐标原点,若AO·AB=32,则实数m的值为( ).
A.±1 B.±32 C.±22 D.±12
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则AO=(-x1,-y1),AB=(x2-x1,y2-y1),由y=x+m,x2+y2=1,得2x2+2mx+m2-1=0,故Δ=4m2-8(m2-1)=8-4m2>0,-2
11.(2017皖南八校联考)已知不等式-x2+2x≤ax+a恒成立,则a的取值范围是 .
【解析】由题意知直线y=a(x+1)恒在半圆(x-1)2+y2=1(y≥0)上方(可相切),当a=33时,直线y=a(x+1)与半圆(x-1)2+y2=1(y≥0)相切,所以a的取值范围是33,+∞.
【答案】33,+∞
12.(2017东莞市二模)已知过原点的直线l1与直线l2:x+3y+1=0垂直,圆C的方程为x2+y2-2ax-2ay=1-2a2(a>0),若直线l1与圆C交于M,N两点,则当△CMN的面积最大时,圆心C的坐标为 .
【解析】由题意得l1:y=3x,圆C:(x-a)2+(y-a)2=1,所以△CMN的面积为12sin∠MCN,当∠MCN=π2时,△CMN的面积最大,此时C到l1的距离d=|3a-a|10=22⇒a=52,即圆心C的坐标为52,52.
【答案】52,52
13.(河北省保定市2017届高三二模)在平面直角坐标系xOy中,圆x2+y2-4x=0的圆心为Q.
(1)求过点P(0,-4)且与圆Q相切的直线的方程;
(2)若过点P(0,-4)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,问是否存在常数k,使得平行四边形OACB为矩形?请说明理由.
【解析】(1)由题意知,圆心Q坐标为(2,0),半径为2,
当切线斜率存在时,设切线方程为y=kx-4,
当|2k-4|1+k2=2,解得k=34,
∴所求的切线方程为y=34x-4.
当切线斜率不存在时,切线方程为x=0.
(2)假设存在满足条件的实数k,则设A的坐标为(x1,y1),B的坐标为(x2,y2),
联立y=kx-4,x2+y2-4x=0,得(1+k2)x2-(8k+4)x+16=0.
∵Δ=16(2k+1)2-64(1+k2)>0,
∴k>34或由(1)知k>34.
∴x1x2=161+k2,y1y2=(kx1-4)×(kx2-4),
由题意得OA·OB=0,∴x1x2+y1y2=0,且x1+x2=8k+41+k2,解得k=2.
∴存在常数k为2,使得平行四边形OACB为矩形.
14.(2016年江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程.
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程.
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.
【解析】圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,
所以圆心M(6,7),半径为5.
(1)因为圆心M在直线x=6上,所以由题意可得,圆N的直径长与圆M的半径长之和为圆心M的纵坐标值,所以圆N的直径为2,圆心N的坐标为(6,1).
所以圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)如图,因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为4-02-0=2.
设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=|2×6-7+m|5=|m+5|5.
因为BC=OA=22+42=25,而MC2=d2+BC22,所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)因为TA+TP=TQ,所以TA=TQ-TP=PQ.
因为|PQ|≤2×5=10,所以|TA|≤10.
即(t-2)2+42≤100,
解得2-221≤t≤2+221.
因此实数t的取值范围是[2-221,2+221].
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