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全国版高考数学必刷题：第九单元 平面向量
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这是一份全国版高考数学必刷题：第九单元 平面向量，共57页。
第九单元 平面向量
考点一
平面向量的线性运算
1.(2015年全国Ⅱ卷)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= .
【解析】∵λa+b与a+2b平行,∴λa+b=t(a+2b)(t∈R),即λa+b=ta+2tb,
∴λ=t,1=2t,解得λ=12,t=12.
【答案】12
2.(2015年全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则( ).
A.AD=-13AB+43AC
B.AD=13AB-43AC
C.AD=43AB+13AC
D.AD=43AB-13AC
【解析】AD=AC+CD=AC+13BC=AC+13(AC-AB)=43AC-13AB=-13AB+43AC.故选A.
【答案】A
3.(2017年全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为( ).
A.3 B.22 C.5 D.2
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则点C的坐标为(2,1).
设BD与圆C切于点E,连接CE,则CE⊥BD.
∵CD=1,BC=2,
∴BD=12+22=5,
EC=BC·CDBD=25=255,
即圆C的半径为255,
∴点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=45.
设P(x0,y0),则x0=2+255cosθ,y0=1+255sinθ(θ为参数),
而AP=(x0,y0),AB=(0,1),AD=(2,0).
∵AP=λAB+μAD=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),
∴μ=12x0=1+55cos θ,λ=y0=1+255sin θ.
两式相加,得
λ+μ=1+255sin θ+1+55cos θ=2+sin(θ+φ)≤3
其中sinφ=55,cosφ=255,
当且仅当θ=π2+2kπ-φ,k∈Z时,λ+μ取得最大值3.
故选A.
【答案】A
考点二
向量的数量积运算
4.(2016年全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( ).
A.-8 B.-6 C.6 D.8
【解析】因为a=(1,m),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2).
因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,所以12-2(m-2)=0,解得m=8.
【答案】D
5.(2016年全国Ⅲ卷)已知向量BA=12,32,BC=32,12,则∠ABC=( ).
A.30° B.45° C.60° D.120°
【解析】因为BA=12,32,BC=32,12,所以BA·BC=34+34=32.又因为BA·BC=|BA||BC|cos∠ABC=1×1×cos∠ABC,所以cos∠ABC=32.又0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC=30°.故选A.
【答案】A
6.(2017年天津卷)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为 .
【解析】由题意,知|AB|=3,|AC|=2,
AB·AC=3×2×cos 60°=3,
AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC,
∴ AD·AE=13AB+23AC·(λAC-AB)
=λ-23AB·AC-13AB2+2λ3AC2
=λ-23×3-13×32+2λ3×22
=113λ-5=-4,解得λ=311.
【答案】311
7.(2017年北京卷)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( ).
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由题意知|m|≠0,|n|≠0.
设m与n的夹角为θ.
若存在负数λ,使得m=λn,
则m与n反向共线,θ=180°,
所以m·n=|m||n|cos θ=-|m||n|<0.
当90°<θ<180°时,m·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.
故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.
故选A.
【答案】A
8.(2017年山东卷)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若3e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是 .
【解析】由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,
|3e1-e2|=(3e1-e2)2=3e12-23e1·e2+e22
=3-0+1=2.
同理|e1+λe2|=1+λ2.
所以cos 60°=(3e1-e2)·(e1+λe2)|3e1-e2||e1+λe2|
=3e12+(3λ-1)e1·e2-λe2221+λ2=3-λ21+λ2=12,
解得λ=33.
【答案】33
考点三
与向量的模有关的运算
9.(2017年全国Ⅰ卷)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .
【解析】|a+2b|=(a+2b)2
=a2+4a·b+4b2
=22+4×2×1×cos60°+4×12
=12=23.
【答案】23
10.(2016年全国Ⅰ卷)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .
【解析】∵|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2,∴a·b=0.
又a=(m,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2.
【答案】-2
11.(2017年浙江卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .
【解析】设a,b的夹角为θ.
∵|a|=1,|b|=2,
∴|a+b|+|a-b|=(a+b)2+(a-b)2
=5+4cosθ+5-4cosθ.
令y=5+4cosθ+5-4cosθ,
则y2=10+225-16cos2θ.
∵θ∈[0,π],∴cos2θ∈[0,1],∴y2∈[16,20],
∴y∈[4,25],即|a+b|+|a-b|∈[4,25].
【答案】4 25
考点四
平面向量在平面几何中的应用
12.(2017年全国Ⅱ卷)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA·(PB+PC)的最小值是( ).
A.-2 B.-32 C.-43 D.-1
【解析】如图,PB+PC=2PD(D为BC的中点),则PA·(PB+PC)=2PA·PD.
要使PA·PD最小,则PA与PD方向相反,即点P在线段AD上,则(2PA·PD)min=-2|PA||PD|,问题转化为求|PA||PD|的最大值.
又|PA|+|PD|=|AD|=2×32=3,
∴|PA||PD|≤|PA|+|PD|22=322=34,
∴[PA·(PB+PC)]min=(2PA·PD)min=-2×34=-32.
故选B.
【答案】B
13.(2017年浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,则( ).
A.I1
又OB与CA所成角为钝角,
∴I1-I2<0,即I1
=|OA||OB|cos∠AOB-|OC||OD|cos∠COD
=cos∠AOB(|OA||OB|-|OC||OD|),
又∠AOB为钝角,OA
∴I3
【答案】C
高频考点:向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积均是高考热点,在历年高考中都有出现.
命题特点:1.高考每年都会出现一道小题,考查的内容有向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积.
2.一般以容易题出现,但偶尔会以中档题和难题出现,所以难度要把控好.
§9.1 平面向量的概念及线性运算
一
向量的有关概念
1.向量:既有大小又有方向的量;向量的大小叫作向量的长度(或模).
2.零向量:长度为 的向量;其方向是任意的,记作0.
3.单位向量:长度等于 的向量.非零向量a的单位向量为± a|a|
4.平行向量(也称共线向量):方向 或 的非零向量.(0与任一向量平行或共线)
5.相等向量:长度 且方向 的向量.
6.相反向量:长度 且方向 的向量.
二
向量的线性运算
1.向量的加(减)法法则有 法则和 法则,向量的加法运算满足 和 .
2.实数λ与向量a的积是一个向量,且|λa|=|λ||a|;当λ 0时,λa的方向与a的方向相同;当λ 0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.
3.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一实数λ,使得b=λa.
☞ 左学右考
1 如图,在正方形ABCD中,E为CD的中点,F为BC上靠近点B的一个三等分点,则EF=( ).
A.12AB-13AD
B.23AB+12AD
C.13AB-12AD
D.12AB-23AD
2 下列命题中,正确的个数是( ).
①若|a|=|b|,则a=b;
②若a=b,则a∥b;
③|AB|=|BA|;
④若a∥b,b∥c,则a∥c.
A.1 B.2 C.3 D.4
3 已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2OA+OB+OC=0,则( ).
A.AO=OD B.AO=2OD
C.AO=3OD D.2AO=OD
知识清单
一、2.零 3.1个单位 4.相同 相反 5.相等 相同
6.相等 相反
二、1.平行四边形 三角形 交换律 结合律 2.> <
基础训练
1.【解析】EF=EC+CF=12AB-23AD.
【答案】D
2.【解析】∵a与b的方向不能确定,∴①错误;②③正确;若b为零向量,则a与c的方向不能确定,∴④错误.
【答案】B
3.【解析】由2OA+OB+OC=0可知,O是底边BC上的中线AD的中点,故AO=OD.
【答案】A
题型一
平面向量的概念辨析
【例1】给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a∥b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“AB∥DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要不充分条件;③若a=b,b=c,则a=c;④“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b”.
其中正确命题的序号是 .
【解析】①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定共线.
②正确.若四边形ABCD为平行四边形,则AB∥DC且|AB|=|DC|.
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同.
又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,
∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故“|a|=|b|且a∥b”不是“a=b”的充要条件,而是必要不充分条件.
综上所述,正确命题的序号是②③.
【答案】②③
正确理解相等向量、共线向量、单位向量以及向量的模等相关概念及其含义是解题的关键.
【变式训练1】下列命题中正确的是( ).
A.若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.|a|=|b|,则a=±b
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
【解析】由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;模相等的两个向量方向是不确定的,所以B不正确;向量的平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,由零向量与任一向量都共线,可知C正确,故选C.
【答案】C
题型二
向量的线性运算
【例2】(2017龙岩模拟)如图,下列结论正确的是( ).
①PQ=32a+32b;②PT=32a-b;
③PS=32a-12b;④PR=32a+b.
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【解析】①根据向量的加法法则,得PQ=32a+32b,故①正确;②根据向量的减法法则,得PT=32a-32b,故②错误;③PS=PQ+QS=32a+32b-2b=32a-12b,故③正确;④PR=PQ+QR=32a+32b-b=32a+12b,故④错误.故选C.
【答案】C
结合图形性质,准确、灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.
【变式训练2】如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD=( ).
A.a-12b
B.12a-b
C.a+12b
D.12a+b
【解析】连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且CD=12AB=12a,所以AD=AC+CD=b+12a.
【答案】D
题型三
共线向量定理及应用
【例3】设两个非零向量a与b不共线.
(1)若AB=a+2b,BC=3a-5b,CD=-5a+b,求证:A,B,D三点共线.
(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.
【解析】(1)∵AB=a+2b,BC=3a-5b,CD=-5a+b,
∴BD=BC+CD=3a-5b-5a+b=-2a-4b
=-2(a+2b)=-2AB,
∴AB与BD共线.
又∵它们有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)∵ka+b与a+kb共线,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a,b是不共线的两个非零向量,
∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.
解决点共线或向量共线的问题,要利用向量共线定理,先设后求.
【变式训练3】已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,其中向量e1,e2不共线,若存在实数λ,μ,使向量d=λa+μb与c共线,求λμ的值.
【解析】∵d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)
=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,
要使d与c共线,则应有实数k,使d=kc,
即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,
∴2λ+2μ=2k,-3λ+3μ=-9k,得λ=-2μ,
∴λμ=-2.
方法
待定系数法在平面向量的线性运算中的应用
用两个已知向量来表示另一向量的问题中,找不到问题的
切入口,可利用待定系数法求解.例如用a、b表示OA,可设OA=ma+nb,再结合图形,利用向量共线建立方程,用方程的思想求解.方程思想是解决此类题的关键,要注意体会.
【突破训练】如图,在△ABO中,OC=14OA,OD=12OB,AD与BC相交于点M,设OA=a,OB=b.试用a和b表示向量OM.
【解析】设OM=ma+nb,则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb.
AD=OD-OA=12OB-OA=-a+12b.
∵A,M,D三点共线,∴AM与AD共线.
∴存在实数t,使得AM=tAD,
即(m-1)a+nb=t-a+12b.
∴(m-1)a+nb=-ta+12tb.
∴m-1=-t,n=t2,消去t得,m+2n=1. ①
∵CM=OM-OC=ma+nb-14a=m-14a+nb,
CB=OB-OC=b-14a=-14a+b.
又∵C,M,B三点共线,∴CM与CB共线.
∴存在实数t1,使得CM=t1CB,
∴m-14a+nb=t1-14a+b,
∴m-14=-14t1,n=t1,消去t1得,4m+n=1. ②
由①②得m=17,n=37,
∴OM=17a+37b.
1.(2017湖南二模)设e0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|e0;②若a与e0平行,则a=|a|e0;③若a与e0平行且|a|=1,则a=e0.上述命题中,假命题的个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】向量是既有大小又有方向的量,a与|a|e0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与e0平行,则a与e0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|e0,故②③也是假命题.
【答案】D
2.(2017南城中学质检)如图,在正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF=( ).
A.0 B.BE
C.AD D.CF
【解析】由图知BA+CD+EF=BA+AF+CB=CB+BF=CF.
【答案】D
3.(2017运城一中质检)设a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为( ).
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】∵BC=a+b,CD=a-2b,
∴BD=BC+CD=2a-b.
又∵A,B,D三点共线,∴AB,BD共线.
设AB=λBD,∴2a+pb=λ(2a-b),
∴p=-λ,2=2λ,∴λ=1,p=-1.
【答案】B
4.(2017四平二中二模)已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么( ).
A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向
【解析】∵c∥d,∴c=λd,即ka+b=λ(a-b),∴k=λ,λ=-1.
【答案】D
5.(2017西宁市一模)如图,在△ABC中,点D在边BC上,且CD=2DB,点E在边AD上,且AD=3AE,则用向量AB,AC表示CE为( ).
A.CE=29AB+89AC
B.CE=29AB-89AC
C.CE=29AB+79AC
D.CE=29AB-79AC
【解析】CE=CA+AE,AE=13AD,AD=AB+BD,BD=13BC,BC=BA+AC,∴BD=13(BA+AC),∴AD=AB+BD=AB+13BA+13AC,
∴AE=13AB+13BA+13AC,
∴CE=CA+13AB+19BA+19AC
=13AB+19BA+CA+19AC=29AB+89CA.
又∵89CA=-89AC,∴CE=29AB-89AC.
【答案】B
6.(2017四川质检)向量e1,e2不共线,AB=3(e1+e2),CB=e2-e1,CD=2e1+e2,给出下列结论:①A,B,C三点共线;②A,B,D三点共线;③B,C,D三点共线;④A,C,D三点共线.其中所有正确结论的序号为 .
【解析】由AC=AB-CB=4e1+2e2=2CD,且AB与CB不共线,可得A,C,D三点共线,且点B不在此直线上.
【答案】④
7.(2017河北三模)如图,在△ABC中,已知D是AB边上一点,若AD=2DB,CD=13CA+λCB,则λ= .
【解析】由题图知CD=CA+AD, ①
CD=CB+BD, ②
且AD+2BD=0.
由①+②×2,得3CD=CA+2CB,
∴CD=13CA+23CB,∴λ=23.
【答案】23
8.(2017唐山一模)已知向量a,b是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使a,b共线的条件是 .(将所有正确的序号填在横线上)
①2a-3b=4e,且a+2b=-3e;
②存在相异实数λ,μ,使λa+μb=0;
③xa+yb=0(实数x,y满足x+y=0).
【解析】由①得10a-b=0,故①正确;②正确;对于③,当x=y=0时,a与b不一定共线,故③错误.
【答案】①②
9.(2017黄冈二模)已知a,b是不共线的向量,AB=λa+b,AC=a+μb,λ,μ∈R,则A,B,C三点共线的充要条件为( ).
A.λ+μ=2 B.λ-μ=1
C.λμ=-1 D.λμ=1
【解析】因为A,B,C三点共线,所以AB∥AC.设AB=mAC(m≠0),所以λ=m,1=mμ,则λμ=1.
【答案】D
10.(2017安徽二模)已知A,B,C是△ABC的三个顶点,O为平面内一点,满足OA+OB+OC=0,若实数λ满足AB+AC+λOA=0,则λ的值为( ).
A.3 B.32 C.-2 D.23
【解析】∵OA+OB+OC=0,∴O为△ABC的重心,设BC的中点为D,∴AO=23AD,∴AD=32AO,而AB+AC=2AD=2×32AO=3AO,∴λ=3.
【答案】A
11.(2017河南四校联考)设e1,e2是两个不共线的向量,已知向量AB=2e1+e2sin α-π2<α<π2,CB=e1-54e2,CD=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则函数f(x)=2cos(x+α)在[0,π)上的值域为( ).
A.-1,12 B.[-2,3]
C.(-2,1] D.(-1,3]
【解析】若A,B,D三点共线,则存在实数λ,使AB=λBD,即AB=λ(CD-CB),∴2e1+e2sin α=λ(CD-CB)=λe1+14e2,∴λ=2,sin α=14λ,∴sin α=12.∵-π2<α<π2,∴α=π6.∵0≤x<π,∴π6≤x+α<7π6,∴-2≤f(x)≤3.
【答案】B
12.(2017江西联考)在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=23,BC=2,点E在线段CD上,若AE=AD+μAB,则μ的取值范围是 .
【解析】由题意可求得AD=1,CD=3,所以AB=2DC.
因为AE=AD+μAB,所以AE=AD+2μDC.
又因为0≤2μ≤1,所以0≤μ≤12.
【答案】0,12
13.(2017怀化模拟)已知a,b为两个不共线的向量,若四边形ABCD满足AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b.
(1)试用a,b表示向量AD;
(2)证明四边形ABCD为梯形.
【解析】(1)AD=AB+BC+CD
=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)
=(1-4-5)a+(2-1-3)b
=-8a-2b.
(2)因为AD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC,
即AD∥BC且|AD|=2|BC|,
所以在四边形ABCD中,AD∥BC且AD≠BC,
即四边形ABCD为梯形.
§9.2 平面向量基本定理及坐标表示
一
平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a, 一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 .
二
平面向量的坐标运算
1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b= ,a-b= ,
λa= ,|a|=x12+y12.
2.向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= ,|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.
三
平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.
a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
☞ 左学右考
1 已知向量m=(2,-5),n=(-1,3),则2m-3n等于( ).
A.(1,-1)
B.(7,-19)
C.(7,-1)
D.(1,19)
2 已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b与b平行,则k= .
3 在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若AC=λAE+μAF,其中λ,μ∈R,求λ+μ的值.
知识清单
一、不共线 有且只有 基底
二、1.(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1)
2.(2)(x2-x1,y2-y1)
基础训练
1.【解析】原式=2(2,-5)-3(-1,3)=(7,-19).
【答案】B
2.【解析】由ka+b与b平行,得-3(2k+2)=2(k-3),∴k=0.
【答案】0
3.【解析】∵AC=AB+AD,AE=AD+12AB,AF=AB+12AD,
∴AC=λAE+μAF=λ+12μAD+12λ+μAB,则λ+12μ=1,12λ+μ=1,两式相加得λ+μ=43.
题型一
平面向量基本定理的应用
【例1】(2017山东省滨州市联考)在△ABC中,M为边BC上的任意一点,点N在线段AM上,且满足AN=13NM,若AN=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λ+μ的值为( ).
A.14 B.13 C.1 D.4
【解析】∵AN=13NM,∴AN=14AM.
又AN=λAB+μAC,∴AM=4λAB+4μAC.
∵B,M,C三点共线,∴4λ+4μ=1,∴λ+μ=14.
【答案】A
利用基底表示未知向量,实质就是利用向量的加法、减法及数乘进行线性运算;向量的表示是向量应用的前提.
【变式训练1】(2017福建莆田一中高一月考)如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC=a,BD=b,则AF=( ).
A.14a+12b B.12a+14b
C.23a+13b D.13a+23b
【解析】∵AC=a,BD=b,∴AD=AO+OD=12AC+12BD=12a+12b.∵E是OD的中点,∴|DE||EB|=13,∴|DF|=13|AB|.
∴DF=13AB=13(OB-OA)
=13×-12BD+12AC=16a-16b,
∴AF=AD+DF=12a+12b+16a-16b=23a+13b,故选C.
【答案】C
题型二
向量坐标的基本运算
【例2】已知a=(2,1),b=(1,x),c=(-1,1).若(a+b)∥(b-c),且c=ma+nb,则m+n等于( ).
A.14 B.1 C.-13 D.-12
【解析】a+b=(3,1+x),b-c=(2,x-1).由(a+b)∥(b-c),得3(x-1)-2(x+1)=0,解得x=5,∴c=ma+nb=(2m+n,m+5n),即2m+n=-1,m+5n=1,解得m=-23,n=13.
【答案】C
向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两个端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
【变式训练2】(1)(2017河南洛阳模拟)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若MN=-3a,则点N的坐标为( ).
A.(2,0) B.(-3,6) C.(6,2) D.(-2,0)
(2)(2017海南中学模考)已知向量AB=(1,-3),BC=(-1,-2),AD=(2,4),则CD=( ).
A.(4,-1) B.(0,9) C.(2,-1) D.(2,9)
【解析】(1)MN=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设N(x,y),则MN=(x-5,y+6)=(-3,6),所以x-5=-3,y+6=6,解得x=2,y=0,即N(2,0).
(2)因为AB+BC=AC=(1,-3)+(-1,-2)=(0,-5),AD=(2,4),
所以CD=AD-AC=(2,4)-(0,-5)=(2,9).
【答案】(1)A (2)D
题型三
共线向量的坐标表示
【例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题:
(1)若向量a=mb+nc,求实数m,n;
(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;
(3)若d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=5,求d.
【解析】(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),
∴-m+4n=3,2m+n=2,解得m=59,n=89.
(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∵(a+kc)∥(2b-a),
∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0,
∴k=-1613.
(3)设d=(x,y),则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).
由题意得4(x-4)-2(y-1)=0,(x-4)2+(y-1)2=5,
解得x=3,y=-1或x=5,y=3.
∴d=(3,-1)或d=(5,3).
(1)运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合.
(2)根据平行的条件建立方程求参数,是解决这类题目的常用方法.
【变式训练3】(1)(2017南昌模拟)已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是( ).
A.-23 B.43 C.12 D.13
(2)(2017福建石狮市联考)设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则1a+2b的最小值是( ).
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】(1)AB=OB-OA=(4-k,-7),AC=OC-OA=(-2k,-2).∵A,B,C三点共线,∴AB∥AC,则-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-23.
(2)由已知条件得AB=(a-1,1),BC=(-b-a,1),若A,B,C三点共线,则AB∥BC,由向量共线定理得(a-1)×1=
1×(-b-a),∴2a+b=1,故1a+2b=1a+2b(2a+b)=4+ba+4ab≥4+24=8.
【答案】(1)A (2)D
方法
利用转化和化归的思想解决向量的线性运算问题
复杂的向量线性运算是向量运算的难点,比较难以找到问题的突破口,但根据图形建立适当的平面直角坐标系,将线性问题转化成向量的坐标运算,是解决此类问题的常用方法,此方法容易理解且过程简单.
【突破训练】(2016年四川卷)在平面内,定点A,B,C,D满足|DA|=|DB|=|DC|,DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2,动点P,M满足|AP|=1,PM=MC,则|BM|2的最大值是( ).
A.434 B.494
C.37+634 D.37+2334
【解析】∵|DA|=|DB|=|DC|,
∴点A,B,C在以点D为圆心的圆上.
又∵DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2,
∴DA,DB,DC两两夹角相等,均为120°(如图).
设圆D的半径为r,则DA·DB=r·r·cos 120°=-2,∴r=2.
∵PM=MC,∴M为PC的中点.
∵|AP|=1,
∴点P在以点A为圆心,1为半径的圆上.
由上知△ABC是边长为23的等边三角形.
设AC的中点为O,连接DO,OM,则B,D,O三点共线,则|BO|=3,BM=BO+OM=BO+12AP.
∴|BM|2=BO+12AP2=|BO|2+BO·AP+14|AP|2
=9+3×1×cos+14
=374+3cos≤374+3=494,
当BO与AP同向时取等号,即|BM|2的最大值是494.
【答案】B
1.(2017福建三明质检)已知向量a=(3,1),b=(x,-1),若a-b与b共线,则x的值为( ).
A.-3 B.1 C.2 D.1或2
【解析】∵a=(3,1),b=(x,-1),∴a-b=(3-x,2).
又∵a-b与b共线,∴2x=x-3,∴x=-3.
【答案】A
2.(2017陕西汉中二模)已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是( ).
A.a·b=2 B.a∥b
C.|a|=|b| D.b⊥(a+b)
【解析】因为a=(-2,0),a-b=(-3,-1),所以b=(1,1),所以a·b=-2,|a|=2,|b|=2,所以选项A,B,C都不正确.而a+b=(-1,1),则b·(a+b)=0,故选D.
【答案】D
3.(2017福建泉州调研)若向量a,b不共线,则下列各组向量中,可以作为一组基底的是( ).
A.a-2b与-a+2b B.3a-5b与6a-10b
C.a-2b与5a+7b D.2a-3b与12a-34b
【解析】不共线的两个向量可以作为一组基底.因为a-2b与5a+7b不共线,所以a-2b与5a+7b可以作为一组基底.
【答案】C
4.(2017山东烟台模拟)已知△ABC的顶点分别为A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,则点D的坐标为( ).
A.-95,75 B.92,-75
C.95,75 D.-92,-75
【解析】设点D的坐标为(x,y),∵AD是边BC上的高,∴AD⊥BC,∴AD⊥BC.又C,B,D三点共线,∴BC∥BD.∵AD=(x-2,y-1),BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2),
∴-6(x-2)-3(y-1)=0,-6(y-2)+3(x-3)=0,解得x=95,y=75,
∴点D的坐标为95,75.
【答案】C
5.(2017哈尔滨模拟)如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,OP=xOA+yOB,且BP=2PA,则( ).
A.x=23,y=13
B.x=13,y=23
C.x=14,y=34
D.x=34,y=14
【解析】由题意知OP=OB+BP,又BP=2PA,所以OP=OB+23BA=OB+23(OA-OB)=23OA+13OB,所以x=23,y=13.
【答案】A
6.(2017宁夏中卫二模)已知向量a=(x,2),b=(2,1),c=(3,x),若a∥b,则向量a在向量c方向上的投影为 .
【解析】由a∥b,得x×1-2×2=0,解得x=4,所以c=(3,4),a=(4,2),a·c=12+8=20,所以向量a在向量c方向上的投影为2032+42=4.
【答案】4
7.(2017江西九江模拟)在梯形ABCD中,AB∥DC,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为 .
【解析】∵在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥DC,∴DC=2AB.设点D的坐标为(x,y),则DC=(4-x,2-y),AB=(1,-1),∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),∴4-x=2,2-y=-2,解得x=2,y=4,即点D的坐标为(2,4).
【答案】(2,4)
8.(2017南京模拟)如图,在△ABC中,H为边BC上异于点B,C的点,M为AH的中点,若AM=λAB+μAC,则λ+μ= .
【解析】由B,H,C三点共线知,BH=kBC(k≠0,1),则AH=AB+BH=AB+kBC=AB+k(AC-AB)=(1-k)AB+kAC,所以AM=12AH=12(1-k)AB+k2AC.又AM=λAB+μAC,所以λ=12(1-k),μ=k2,从而λ+μ=12.
【答案】12
9.(2017郑州质检)已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),点P在第一、三象限的角平分线上,且AP=AB+λAC(λ∈R),则λ等于( ).
A.-32 B.-12 C.12 D.32
【解析】设P(x,y),则AP=(x-2,y-3).
∴AB+λAC=(3+5λ,1+7λ).
∵AP=AB+λAC,∴x-2=3+5λ,y-3=1+7λ,∴x=5+5λ,y=4+7λ,
由点P在第一、三象限的角平分线上,得5+5λ=4+7λ,解得λ=12.
【答案】C
10.(2017黑龙江哈尔滨师大附中三模)已知AB⊥AC,AB=AC,点M满足AM=tAB+(1-t)AC,若∠BAM=π3,则t的值为( ).
A.3-2 B.2-1 C.3-12 D.3+12
【解析】由题意可得CBAC=2.因为AM=tAB+AC-tAC,所以AM-AC=tAB-tAC,即CM=tCB,所以t=|CM||CB|.
由正弦定理得CMAC=sin30°sin105°,
所以t=CMAC·ACCB=3-12,故选C.
【答案】C
11.(2017江西南昌模拟)如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若AC=λAM+μBN,则λ+μ的值为( ).
A.85 B.58
C.1 D.-1
【解析】设正方形的边长为2,以点A为原点,AB,AD分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系(如图),则A(0,0),B(2,0),C(2,2),M(2,1),N(1,2),所以AC=(2,2),AM=(2,1),BN=(-1,2),所以2λ-μ=2,λ+2μ=2,解得λ=65,μ=25,所以λ+μ=85.
【答案】A
12.(2017辽宁大连市一模)已知向量OM=(3,1),ON=(-1,3),OF=mOM-nON(m>0,n>0),若m+n∈[1,2],则|OF|的取值范围是( ).
A.[5,25] B.[5,210)
C.(5,10) D.[5,210]
【解析】因为OF=(3m+n,m-3n),所以|OF|=(3m+n)2+(m-3n)2=10(m2+n2).设点P的坐标为(m,n),则|OF|=10|OP|.由题意得P(m,n)为可行域1≤m+n≤2,m,n>0内一点,可行域为一个梯形ABCD(去掉线段BC,AD)及其内部,其中A(1,0),B(0,1),C(0,2),D(2,0),所以点O到直线AB的距离d=22,所以|OP|≥d=22,|OP|<|OD|=2,从而|OF|∈10×22,10×2=[5,210),故选B.
【答案】B
13.(2017重庆联考)正三角形ABC内一点M满足CM=mCA+nCB,∠MCA=45°,则mn的值为( ).
A.3-1 B.3+1 C.3+12 D.3-12
【解析】如图,设正三角形的边长为a,由CM=mCA+nCB,得
CM·CA=mCA2+nCA·CB,CM·CB=mCA·CB+nCB2.
∵cos 15°=cos(60°-45°)=2+64,
∴22|CM|a=ma2+na22,2+64|CM|a=ma22+na2,
∴mn=3-12,故选D.
【答案】D
14.(2017上海模拟)如图,在△ABC中,BO为边AC上的中线,BG=2GO,设CD∥AG,若AD=15AB+λAC(λ∈R),则λ的值为 .
【解析】因为BG=2GO,所以AG=13AB+23AO=13AB+13AC.又CD∥AG,可设CD=mAG,从而AD=AC+CD=AC+m3AB+m3AC=1+m3AC+m3AB.因为AD=15AB+λAC,所以m3=15,λ=1+m3=65.
【答案】65
15.(2017北京西城区质检)在直角△ABC中,|AB|=|AC|=3,且DC=2BD,点P是线段AD上任一点,则AP·CP的取值范围是 .
【解析】如图,分别以AB,AC所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则C(0,3),B(3,0).
∵BD=12DC,
∴D(2,1).
又∵点P是线段AD上任一点,
∴可设P(2y,y),0≤y≤1,则AP·CP=(2y,y)·(2y,y-3)=5y2-3y.
∵0≤y≤1,∴-920≤5y2-3y≤2.
∴AP·CP∈-920,2.
即AP·CP的取值范围是-920,2.
【答案】-920,2
§9.3 平面向量的数量积及应用
一
平面向量的数量积
已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则|a||b|cos θ叫作a和b的数量积(或内积),记作a·b=|a||b|cos θ.
规定:零向量与任一向量的数量积为 .
两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±|a||b|.
二
平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
三
平面向量数量积的重要性质
1.e·a=a·e=|a|cos θ(e为单位向量).
2.非零向量a,b,a⊥b⇔ .
3.当a与b同向时,a·b=|a||b|;
当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
4.a·a=a2,|a|=a·a.
5.cos θ= .
6.|a·b|≤|a||b|.
四
平面向量数量积满足的运算律
1.a·b=b·a(交换律);
2.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)(结合律);
3.(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
五
平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= ,由此得到
1.若a=(x,y),则|a|2= 或|a|=x2+y2.
2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离
|AB|=|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2.
3.设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔ .
☞ 左学右考
1 已知向量a与b的夹角为3π4,且|a|=2,|b|=2,则a(2a+b)等于( ).
A.-1 B.1
C.2 D.22
2 向量a=(3,-4), 向量|b|=2,若a·b=-5,则向量a,b的夹角为( ).
A.π3 B.π6
C.3π4 D.2π3
3 设向量a,b满足a·b=-12,且向量a在向量b方向上的投影为-4,则|b|等于( ).
A.4 B.3
C.2 D.1
4 在△ABC中,M是BC的中点,|AM|=1,AP=2PM,求PA·(PB+PC)的值.
知识清单
一、0
三、2.a·b=0 5.a·b|a||b|
五、x1x2+y1y2 1.x2+y2 3.x1x2+y1y2=0
基础训练
1.【解析】a(2a+b)=2a2+a·b=4-2=2.
【答案】C
2.【解析】cos=a·b|a||b|=-55×2=-12,即向量a,b的夹角为2π3.
【答案】D
3.【解析】设向量a,b的夹角为θ,则a·b=|a|·|b|cos θ=|a|cos θ·|b|=-4|b|=-12,∴|b|=3.
【答案】B
4.【解析】如图,因为M是BC的中点,所以PB+PC=2PM.又AP=2PM,|AM|=1,所以PA·(PB+PC)=PA·2PM=-4|PM|2=-49|AM|2=-49.
题型一
平面向量的数量积的运算
【例1】(2017江西省玉山县一中期中)设D为边长是2的正三角形ABC所在平面内一点,BC=3CD,则AD·AC的值是( ).
A.143 B.-143 C.43 D.4
【解析】∵BC=3CD,∴点D在线段BC的延长线上,且BD=4CD,则|CD|=13|BC|=23,∴AD·AC=(AC+CD)·AC=AC2+CD·AC=4+2×23×12=143.
【答案】A
求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.
【变式训练1】(1)(2017银川一中高一期末)已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( ).
A.-1 B.0 C.1 D.2
(2)(2017长沙模拟)在矩形ABCD中,AB=2,BC=22,E为BC的中点,点F在边CD上,若AB·AF=2,则AE·BF的值是 .
【解析】(1)∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a2=2,a·b=-3.
∴(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.
(2)如图,∵AF=AD+DF,AB·AF=AB·(AD+DF)=AB·AD+AB·DF=AB·DF=2|DF|=2,
∴|DF|=1,∴|CF|=1,∴AE·BF=(AB+BE)·(BC+CF)=AB·BC+AB·CF+BE·BC+BE·CF=AB·CF+BE·BC=2×1×(-1)+2×22×1=2.
【答案】(1)C (2)2
题型二
向量的夹角与向量的模
【例2】已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则a与b的夹角的大小为 ,|a+b|= .
【解析】∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,∴64-4a·b-27=61,∴a·b=-6.∴cos θ=a·b|a||b|=-64×3=-12.又0≤θ≤π,∴θ=2π3.
∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,∴|a+b|=13.
【答案】2π3 13
在数量积的基本运算中,要牢记并熟练运用数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对|a|=a·a,要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.
【变式训练2】(1)(2017四川联考)若非零向量a,b满足|a|=223|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( ).
A.π4 B.π2 C.3π4 D.π
(2)(2017宝鸡模拟)已知平面向量a,b的夹角为π6,且|a|=3,|b|=2,在△ABC中,AB=2a+2b,AC=2a-6b,D为BC的中点,则|AD|= .
【解析】(1)由(a-b)⊥(3a+2b),得(a-b)·(3a+2b)=0,即3a2-a·b-2b2=0.又|a|=223|b|,设=θ,∴3|a|2-|a|·|b|·cos θ-2|b|2=0,∴83|b|2-223|b|2·cos θ-2|b|2=0,∴cos θ=22.又∵0≤θ≤π,∴θ=π4.
(2)∵AD=12(AB+AC)=2a-2b,
∴|AD|2=4(a-b)2=4(a2-2a·b+b2).
∵向量a,b的夹角为π6,
∴|AD|2=4×3-2×3×2×32+4=4,
∴|AD|=2.
【答案】(1)A (2)2
题型三
向量数量积的综合应用
【例3】如图,在等腰三角形ABC中,底边BC=2,AD=DC,AE=12EB,若BD·AC=-12,则CE·AB=( ).
A.-43 B.43
C.-32 D.32
【解析】∵AD=DC,∴D是AC的中点,则BD=12(BA+BC).∵BD·AC=-12,∴12(BA+BC)·(AB+BC)=-12,
即BC2-BA2=-1.∵BC=2,∴AB=5,∴cos∠ABC=55,
∴CE·AB=23BA-BC·AB=-43.
【答案】A
1.坐标法:把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.
2.基向量法:适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.
【变式训练3】(2017河北模拟)在Rt△ABC中,∠A=90°,D是BC边上的动点,且|AB|=3,|AC|=4,AD=λAB+μAC(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,|AD|的值为( ).
A.72 B.3 C.52 D.125
【解析】因为AD=λAB+μAC,而D,B,C三点共线,所以λ+μ=1,所以λμ≤λ+μ22=14,当且仅当λ=μ=12时取等号,此时AD=12AB+12AC,即D是线段BC的中点,所以|AD|=12|BC|=52,故选C.
【答案】C
方法
向量的线性运算与数量积的综合应用
在利用向量数量积的有关性质解题时,会出现过程比较长,且转化后不容易发现解题突破口等问题,可结合向量的线性运算,即利用三角形法则或平行四边形法则找到问题的本质,使问题简单化,形象化.
【突破训练】已知非零向量a与向量b的夹角为钝角,|b|=2.当t=-2时,|b-ta|(t∈R)取得最小值65,则a·(b-a)等于( ).
A.-4825 B.-2 C.-115 D.95
【解析】如图,设OA=a,OB=b,OC=ta,则向量CB=b-ta,
∴当a与b-ta垂直时,|b-ta|取得最小值65,即a⊥(b+2a).
又∵|b|=2,|b+2a|=65,∴|a|=45,cos=45⇒cos=-45,
则a·(b-a)=a·b-a2=45×2×-45-1625=-4825.
【答案】A
1.(2017九江市周考)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k等于( ).
A.-12 B.6 C.-6 D.12
【解析】∵2a-b=(5,2-k), a·(2a-b)=0,∴10+2-k=0,解得k=12.
【答案】D
2.(2017衡水中学押题卷)已知平面向量a,b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=( ).
A.20 B.12 C.43 D.23
【解析】∵|b|=1,|a|=2,=60°,∴a·b=1.
∴|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=12,∴|a+2b|=23.
【答案】D
3.(2017银川模拟)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=( ).
A.1 B.2 C.3 D.5
【解析】|a+b|2=a2+2a·b+b2=10,|a-b|2=a2-2a·b+b2=6,两式相减,得4a·b=4,∴a·b=1.
【答案】A
4.(2017葫芦岛市二模)已知e1,e2是夹角为90°的两个单位向量,且a=3e1-e2,b=2e1+e2,则a,b的夹角为( ).
A.120° B.60° C.45° D.30°
【解析】设a,b的夹角为θ,则cos θ=a·b|a||b|=(3e1-e2)·(2e1+e2)(3e1-e2)2(2e1+e2)2.
∵(3e1-e2)·(2e1+e2)=6e12-e22=5,(3e1-e2)2=9e12+e22=10,(2e1+e2)2=4e12+e22=5,∴cos θ=22,∴θ=45°.
【答案】C
5.(2017马鞍山市二模)已知向量OA与OB的夹角为60°,且|OA|=3,|OB|=2,若OC=mOA+nOB,且OC⊥AB,则实数mn的值为( ).
A.16 B.14 C.6 D.4
【解析】OA·OB=3×2×cos 60°=3,∵OC=mOA+nOB,OC⊥AB,∴(mOA+nOB)·AB=(mOA+nOB)·(OB-OA)=(m-n)OA·OB-mOA2+nOB2=0,∴3(m-n)-9m+4n=0,∴mn=16.
【答案】A
6.(2017银川模拟)已知向量a=(1,2),b=(3,-4),则向量a在向量b方向上的投影为( ).
A.-2 B.-1 C.0 D.2
【解析】向量a在向量b方向的投影为|a|cos=a·b|b|=-1.
【答案】B
7.(2017辽宁省模拟)若向量a,b满足|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|= .
【解析】∵|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,∴(a+b)·a=0,(2a+b)·b=0,即a·b=-1,b2+2a·b=0,解得|b|=2.
【答案】2
8.(2017石嘴山中学月考)在菱形ABCD中,若AC=4,则CA·AB= .
【解析】设∠CAB=θ,AB=BC=a,由余弦定理得a2=16+a2-8acos θ,∴acos θ=2,
∴CA·AB=4×a×cos(π-θ)=-4acos θ=-8.
【答案】-8
9.(2017四川五校联考)在△ABC中,AB=2,AC=3,AB·BC=1,则BC等于( ).
A.3 B.7 C.22 D.23
【解析】∵AB·BC=1,且AB=2,∴1=|AB||BC|cos(π-B),∴|AB||BC|cos B=-1.在△ABC中,|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cos B,即9=4+|BC|2-2×(-1).∴|BC|=3.
【答案】A
10.(2017陕西省二模)已知向量a,b的夹角为锐角,|a|=3,|b|=11,且a与a-b夹角的余弦值为33,则a·b等于( ).
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】∵a与a-b夹角的余弦值为33,∴a·(a-b)=33|a|·|a-b|,即3-a·b=|a-b|,∴(3-a·b)2=(a-b)2,化简得(a·b)2-4a·b-5=0,解得a·b=5或a·b=-1(舍去).
【答案】B
11.(2017湖北省三模)如图,在五边形ABCDE中,四边形ABCD是矩形,△ADE是等腰直角三角形,且AB=3,AD=4,则BD·BE=( ).
A.18 B.20
C.21 D.23
【解析】延长BA至F,使得EF⊥AF(图略),则BE=BD+DE=53BA+12AD.又BD=BA+AD,∴BD·BE=(BA+AD)·53BA+12AD=53BA2+12AD2=23.
【答案】D
12.(2017山东一模)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=4,D是AB上一点,且AB·CD=5,则|BD|等于( ).
A.6 B.4 C.2 D.1
【解析】设AD=λAB,∵CD=AD-AC,∴AB·CD=AB·(AD-AC)=λAB2-AB·AC=5,∴25λ=15,解得λ=35,∴|BD|=25|AB|=2.
【答案】C
13.(2017哈尔滨模拟)设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=acos θ-bsin θ,若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=32,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为( ).
A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π6
【解析】由题设知,若向量e1,e2的夹角为θ,则e2,-e1的夹角为π-θ.由题意可得f(e1,e2)=e1cos θ-e2sin θ, f(e2,-e1)=e2cos(π-θ)+e1sin(π-θ)=e1sin θ-e2cos θ,故f(e1,e2)·f(e2,-e1)=(e1cos θ-e2sin θ)·(e1sin θ-e2cos θ)=e12cos θsin θ-e1·e2cos2θ-e1·e2sin2θ+e22cos θsin θ=2sin θcos θ-32.∵e1·e2=32,∴cos θ=32,sin θ=12,∴2sin θcos θ-32=2×12×32-32=0,∴向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为π2.
【答案】B
14.(2017兰州模拟)已知a,b,c三个向量共面,且均为单位向量, a·b=0,则|a+b-c|的取值范围是 .
【解析】∵a·b=0,∴a⊥b.∵a,b是单位向量,∴|a+b|=2,则当a+b与c反向时,|a+b-c|取最大值为2+1;当a+b与c同向时,|a+b-c|取最小值为2-1.
【答案】[2-1,2+1]
15.(2017太原模拟)若等边△ABC的边长为23,平面内一点M满足CM=16CB+23CA,则MA·MB= .
【解析】由题意,建立如图所示的平面直角坐标系,
∴CB=(3,-3),CA=(-3,-3),∴CM=16CB+23CA=-32,-52,
∵OM=OC+CM=(0,3)+-32,-52=-32,12,
∴MA·MB=-32,-12·332,-12=-2.
【答案】-2
16.(2017宝山区三模)如图,在同一平面内,点P位于两平行直线l1,l2同侧,且点P到l1,l2的距离分别为1,3,点M,N分别在l1,l2上,|PM+PN|=8,则PM·PN的最大值为 .
【解析】过点P作与l1垂直的直线,并以该直线为y轴,l1为x轴建立平面直角坐标系(如图),则l1:y=0,l2:y=2,P(0,-1).
设M(a,0),N(b,2),
∴PM=(a,1),PN=(b,3),PM+PN=(a+b,4).
由|PM+PN|=8,可知(a+b)2+16=64,∴a+b=43或a+b=-43.
又∵PM·PN=ab+3,
∴当a+b=43时,PM·PN=ab+3=-a2+43a+3,当a+b=-43时,PM·PN=ab+3=-a2-43a+3,可知两种情况最大值均为15.
【答案】15
阶段总结三
微专题一
三角函数
三角函数是高考热点和必考内容,一般以选择题或填空题的形式出现,考查的主要内容为:三角函数图象与性质(图象的解析式、值域或最值,单调区间和对称性等)、图象的变换,而基本关系式和诱导公式通常会与上述知识点相结合.复习备考时,应做到:
1.理解记忆同角三角函数基本关系式和诱导公式,通过训练加强公式运用能力的培养,寻找化简求值中的规律.
2.会作三角函数的图象,理解三种图象变换,通过图象研究三角函数性质,同时会对三角函数进行恒等变形,然后讨论图象、性质.
3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用.
【例1】(1)(2017河南调研)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2的部分图象如图所示,则把函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数图象的解析式是( ).
A.y=2sin 2x
B.y=2sin2x-π3
C.y=2sin2x-π6
D.y=2sinx-π6
(2)已知θ∈π2,2π,且2cos2θ2-π4=3cos θ+1,则函数f(x)=2sin(x+θ)在-π2,π3上的最大值为( ).
A.1 B.2 C.3 D.-2
【分析】(1)先根据图象得到函数f(x)的解析式,再利用“左加右减”原则进行平移即可得到函数图象的解析式.
(2)先根据已知条件求出θ的值,再根据x的取值范围求出x+θ的取值范围,进而求函数f(x)的最大值.
【解析】(1)由图可知,34T=5π12+π3=3π4,所以T=π,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).又因为f5π12=2sin5π6+φ=2,所以5π6+φ=π2+2kπ(k∈Z),因为-π2<φ<π2,所以φ=-π3,所以f(x)=2sin2x-π3,所以函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数图象的解析式是f(x)=2sin 2x.
(2)由2cos2θ2-π4=3cos θ+1,得cosθ-π2=3cos θ,即tan θ=3.∵θ∈π2,2π,∴θ=4π3,则f(x)=-2sinx+π3.又∵x∈-π2,π3,∴x+π3∈-π6,2π3,∴当x+π3=-π6时,f(x)max=1.
【答案】(1)A (2)A
【拓展训练1】(1)把函数y=sin 3x的图象适当变化就可以得到y=22(sin 3x-cos 3x)的图象,这个变化可以是( ).
A.沿x轴方向向右平移π4个单位长度
B.沿x轴方向向左平移π4个单位长度
C.沿x轴方向向右平移π12个单位长度
D.沿x轴方向向左平移π12个单位长度
(2)关于f(x)=3sin2x+π4,有以下命题:
①若f(x1)=f(x2)=0,则x1-x2=kπ(k∈Z);
②f(x)的图象与g(x)=3cos2x-π4的图象相同;
③f(x)在区间-7π8,-3π8上是减函数;
④f(x)的图象关于点-π8,0对称.
其中正确的命题是 .(填序号)
【解析】(1)∵y=22(sin 3x-cos 3x)=sin3x-π4=sin 3x-π12,
∴将函数y=sin 3x的图象沿x轴方向向右平移π12个单位长度可以得到函数y=22(sin 3x-cos 3x)的图象.
(2)①由f(x)=3sin2x+π4知,若f(x1)=f(x2)=0,则x1-x2=kπ2(k∈Z),故①不正确;
②∵f(x)=3sin2x+π4=3cosπ2-2x+π4=3cos2x-π4,∴f(x)的图象与g(x)=3cos2x-π4的图象相同,故②正确;
③∵f(x)=3sin2x+π4的单调递减区间是π2+2kπ≤2x+π4≤ 3π2+2kπ,即x∈π8+kπ,5π8+kπ,k∈Z,∴f(x)在区间-7π8,-3π8上是减函数,故③正确;
④∵f(x)=3sin2x+π4的对称中心是kπ2-π8,0(k∈Z),∴f(x)的图象关于点-π8,0对称,故④正确.
【答案】(1)C (2)②③④
微专题二
三角恒等变换
三角恒等变换是高考热点和必考内容,有时以选择题或填空题的形式出现,有时与三角函数或解三角形相结合,通过三角恒等变换,化简三角函数式,进一步研究函数的性质、解三角形等,是常考题型.复习备考时,应做到:
1.牢记和差公式、倍角公式,把握公式特征.
2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换,三角变换中角的变换技巧是解题的关键.
【例2】(1)函数f(x)=sin2x-π6+2cos2x-1的单调递增区间是 .
(2)已知θ∈0,π4且sin θ-cos θ=-144,则2cos2θ-1cosπ4+θ等于( ).
A.23 B.43 C.34 D.32
【分析】(1)先通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数,再利用正弦函数的单调递增区间,求f(x)的单调递增区间.
(2)先根据已知条件求出sinπ4-θ的值,进而求得cosπ4-θ的值,再利用二倍角公式和诱导公式将2cos2θ-1cosπ4+θ化简求得结果.
【解析】(1)f(x)=sin2x-π6+2cos2x-1=32sin 2x+12cos 2x=sin2x+π6,由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6,k∈Z.
(2)由sin θ-cos θ=-144,得sinπ4-θ=74.∵θ∈0,π4,∴cosπ4-θ=34,∴2cos2θ-1cosπ4+θ=cos2θsinπ4-θ=sinπ2-2θsinπ4-θ=sin2π4-θsinπ4-θ=2cosπ4-θ=32.
【答案】(1)kπ-π3,kπ+π6,k∈Z (2)D
【拓展训练2】(1)若2cosxsinx+π4sin2x=34,则tanx+7π4= .
(2)若函数f(x)=1+cos2x4sinπ2+x-asin x2cosπ-x2的最大值为2,则a= .
【解析】(1)∵cosx(sinx+cosx)2sinxcosx=tanx+12tanx=34,
∴tan x=2,
∴tanx+7π4=tanx-π4=tanx-11+tanx=13.
(2)f(x)=2cos2x4cosx+asinx2cos x2=12cos x+12asin x=14+a24sin(x+φ),其中tan φ=1a,由已知得1+a24=4,解得a=±15.
【答案】(1)13 (2)±15
微专题三
解三角形
解三角形是必考内容,而且常与三角恒等变换公式相结合.复习备考时,应做到:
1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用.
2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换.
【例3】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知acos B=bcos A,边BC上的中线长为4.
(1)若A=π6,求c;
(2)求△ABC面积的最大值.
【分析】(1)先由正弦定理与两角和与差的正弦公式求得角B,从而求得c与a的关系,再用余弦定理求得c的值;(2)先用余弦定理求得a,再用三角形面积公式结合基本不等式即可求得△ABC面积的最大值.
【解析】(1)由acos B=bcos A及正弦定理得sin Acos B=sin Bcos A,
∴sin(A-B)=0,∴B=A=π6,∴c=3a.
由余弦定理得16=c2+a22-2c·a2cos π6,
解得c=8217.
(2)由A=B知c=2acos A,
∵16=c2+a22-2c·a2cos A,∴a2=641+8cos2A,
∴S△ABC=12acsin A=64sinAcosAsin2A+9cos2A.
∵sin2A+9cos2A≥6sin Acos A,当且仅当sin A=3cos A时,等号成立,
∴S△ABC=64sinAcosAsin2A+9cos2A≤323,
即△ABC面积的最大值为323.
【拓展训练3】(2017四川省资阳市联考)如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足2c-acosA=bcosB,D是BC边上的一点.
(1)求角B的大小;
(2)若AC=7,AD=5,DC=3,求AB的长.
【解析】(1)由2c-acosA=bcosB,得2ccos B-acos B=bcos A,即2ccos B=acos B+bcos A.
由正弦定理,得2sin Ccos B=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin C,所以cos B=22.
又0°
由余弦定理得cos∠ADC=AD2+DC2-AC22AD·DC=52+32-722×5×3=-12,
所以∠ADC=120°,∠ADB=60°.
在△ABD中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°,
由正弦定理,得ABsin∠ADB=ADsinB,
所以AB=AD·sin∠ADBsinB=5sin60°sin45°=5×3222=562.
微专题四
平面向量
平面向量是高考热点,每年必有一道题,一般以选择题或填空题的形式出现,考查的内容包括:向量的基本概念、向量的线性运算、向量的坐标运算和向量的数量积.复习备考时,应做到:
1.重视向量的概念,熟练掌握向量加减法及几何意义.
2.理解平面向量基本定理的意义、作用,会运用定理表示向量,然后再进行向量运算.
3.理解数量积的意义,掌握求数量积的各种方法,理解数量积的运算性质,并能利用数量积解决向量的几何问题.
【例4】(1)(2017河南省开封市届高三上学期月考)已知向量a=(1,3),b=(3,m),且b在a方向上的投影为3,则向量a与b夹角为 .
(2)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=4,BC=2,∠ABC=60°,动点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=λBC,DF=19λDC,则AE·AF的最小值为 .
【分析】(1)由b在a方向上的投影为3,可得m的值,再利用夹角公式可得向量a与b夹角的大小.(2)利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式,根据具体的形式求最值.
【解析】(1)b在a方向上的投影为3,即|b|cos=a·b|a|=3+3m2=3,解得m=3,
∴cos=a·b|a||b|=32,
∴向量a与b夹角为30°.
(2)由题意得AD=BC=CD=2,
则AE·AF=(AB+BE)·(AD+DF)
=(AB+λBC)·(AD+19λDC)
=AB·AD+λBC·AD+19λAB·DC+19BC·DC
=4×2×cos 60°+λ×2×2×cos 60°+19λ×4×2+19×2×2×cos 120°
=349+2λ+89λ≥589(当且仅当λ=23时等号成立).
【答案】(1)30° (2)589
【拓展演练4】(1)已知a,b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题:
P1:|a+b|>2⇔θ∈0,π2
P2:|a+b|>2⇔θ∈0,π2
P3:|a-b|>2⇔θ∈π2,π
P4:|a-b|>2⇔θ∈π2,π
其中真命题是( ).
A.P1,P4 B.P1,P3
C.P2,P3 D.P2,P4
(2)向量a,b,c满足|a|≥1,|a+b|=|a-b|=2,(c-a)·(c-b)=3,则|c|的取值范围为 .
【解析】(1)由|a+b|>2得a2+2a·b+b2>2,∴a·b>0,∴θ∈0,π2,故P2正确.
由|a-b|>2得a2-2a·b+b2>2,∴a·b<0,∴θ∈π2,π,故P4正确.
(2)∵|a+b|=|a-b|=2,∴a⊥b,则(c-a)·(c-b)=c2-c·(a+b)=3,
∴cos=|c|2-32|c|∈[-1,1],解得1≤|c|≤3.
【答案】(1)D (2)[1,3]
微专题五
自主招生真题赏析
本专题供参加自主招生考试的学生使用
1.A、B、C为△ABC的内角,且△ABC不为直角三角形.
(1)求证:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
(2)当3tan C-1=tanB+tanCtanA,且sin 2A、sin 2B、sin 2C的倒数成等差数列时,求cosC-A2的值.
【解析】(1)由题意可得A+B+C=π,则A+B=π-C.两边同时取正切得,tan(A+B)=tan(π-C),则tanA+tanB1-tanAtanB=-tan C,所以tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
(2)由3tan C-1=tanB+tanCtanA得,3tan Atan C-tan A=tan B+tan C,3tan Atan C=tan A+tan B+tan C.
又由(1)知3tan Atan C=tan Atan Btan C,
所以tan B=3,B=π3.又2sin2B=1sin2A+1sin2C,
所以sin2A+sin2Csin2Asin2C=2sin2B=232=43,
即2sin(A+C)cos(A-C)-12[cos(2A+2C)-cos(2A-2C)]=43.
将A+C=23π代入上式得,3cos(A-C)-12-12-cos(2A-2C)=43,化简得3cos(A-C)=1+2cos(2A-2C)=4cos2(A-C)-1,即4cos2(A-C)-3cos(A-C)-1=0,
则cos(A-C)=1(此时△ABC为等边三角形)或cos(A-C)=-14.
因为cosC-A2>0,
所以cosC-A2=1+cos(C-A)2=1或64.
2.在△ABC中,tan A∶tan B∶tan C=1∶2∶3,求ACAB的值.
【解析】在△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.设tan A=k,tan B=2k,tan C=3k,则6k=6k3,解得k=0(舍去),k=1或k=-1(舍去),即tan A=1,tan B=2,tan C=3.
故ACAB=sinBsinC=223.
3.实数A、B、C满足A+B+C=π,cos A+cos B+cos C=1,求证:(1-cos A)(1-cos B)(1-cos C)=0.
【解析】因为C=π-A-B,cos A+cos B-cos(A+B)=1,
所以2cosA+B2cosA-B2-2cos2A+B2-1=1,
整理得2cosA+B2cosA-B2-cosA+B2=0,
即cosA+B2(-2)sinA2·sin-B2=0,
解得sinA2=0或sinB2=0或cosA+B2=0.
若sinA2=0,则1-cos A=1-1-2sin2A2=2sin2A2=0;
若sinB2=0,则1-cos B=1-1-2sin2B2=2sin2B2=0;
若cosA+B2=0,则A+B2=kπ+π2,k∈Z,得A+B=2kπ+π,
所以C=-2kπ.故1-cos C=0.
综上可得,(1-cos A)(1-cos B)(1-cos C)=0.
4.在△ABC中,AB=2AC,线段AD是∠A的角平分线,且AD=kAC.
(1)求k的取值范围.
(2)若S△ABC=1,问:当k为何值时,BC最短?
【解析】(1)设AC=t,∠BAC=2θ.
由S△ABD+S△ACD=S△ABC得12·2t·ktsin θ+12·t·ktsin θ=12·2t·tsin 2θ,即ksin θ+12ksin θ=sin 2θ.
即32ksin θ=2sin θcos θ,所以k=43cos θ.
因为θ∈0,π2,所以k∈0,43.
(2)由S△ABC=12·2t·t·sin 2θ=1得t2sin 2θ=1,即t2=1sin2θ.
令u=BC2=(2t)2+t2-2·2t·t·cos 2θ=5t2-4t2cos 2θ=5sin2θ-4cos2θsin2θ=5-4cos2θsin2θ,
所以5-4cos 2θ=usin 2θ,则5=usin 2θ+4cos 2θ=u2+16sin(2θ+φ)≤u2+16,其中tan φ=4u,u≥3.
所以BCmin=3,等号成立,此时sin(2θ+φ)=1.
因为φ=arctan43,2θ=π2-arctan43,cos 2θ=sin(arctan43)
=45=2cos2θ-1,
所以cos θ=910=31010,k=2105,
即当k=2105时,BC最短,为3.
阶段检测三
一、选择题
1.(2017江西南昌模拟)已知向量a=(2,x),b=(1,-1),且a∥b,则|a|=( ).
A.3 B.22 C.23 D.5
【解析】∵a∥b,∴x=-2,则|a|=22.
【答案】B
2.(2017北京东城区模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=3,B=π4,则a=( ).
A.32 B.263 C.322 D.32
【解析】由正弦定理得a=bsinAsinB=32.
【答案】D
3.(2017河南模考)将函数y=sin3x2-π6的图象向左平移π3个单位后得到函数y=sin3x2+φ的图象,则cos 4φ=( ).
A.-12 B.12 C.-32 D.32
【解析】由题意得φ=2kπ+π3(k∈Z),则cos 4φ=cos4π3=-cosπ3=-12.
【答案】A
4.(2017贵阳八校联考)在斜三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,3absin 2C=a2+b2-c2,则sin(π+C)=( ).
A.-16 B.-13 C.-23 D.13
【解析】由3absin 2C=a2+b2-c2,得3sin Ccos C=a2+b2-c22ab=cos C.∵cos C≠0,∴sin C=13,则sin(π+C)=-13.
【答案】B
5.(2017东北三校联考)向量a,b满足|a|=3,|b|=2,(a-b)·(a+2b)=-2,则a与b的夹角为( ).
A.2π3 B.π3 C.5π6 D.π6
【解析】由(a-b)·(a+2b)=-2,得a2+a·b-2b2=-2,∴a·b=-3,∴cos=-12,则a与b的夹角为2π3.
【答案】A
6.(2017山西一模)已知4cosθ+π3cosθ-π6=sin 2θ,则tan2θ-π6等于( ).
A.16 B.39 C.-36 D.-33
【解析】由已知得-4sinθ-π6cosθ-π6=-2sin2θ-π3=-sin 2θ+3cos 2θ=sin 2θ,即tan 2θ=32,∴tan2θ-π6=32-331+32×33=39.
【答案】B
7.(2017上海质检)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)+1|φ|<π2,若f(x)≤1对∀x∈-π3,-π12恒成立,则fπ4的最小值是( ).
A.1 B.2 C.-1 D.-3+1
【解析】当x∈-π3,-π12时,2x+φ∈-2π3+φ,-π6+φ,∵|φ|<π2,f(x)≤1,
∴-π6+φ≤0,-2π3+φ≥-π,得-π3≤φ≤π6,则π2+φ∈π6,2π3,∴fπ4的最小值是2.
【答案】B
8.(2017中山模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3asin B=c,cos B=255,D是AC的中点,且BD=26,则△ABC的面积为( ).
A.5 B.43 C.6 D.62
【解析】由cos B=255,得sin B=55.
∵3asin B=c,
∴35sin A=5sin C,
即35sin A=5sin(A+B),则sin A=cos A,得tan A=1,∴A=π4,则c2+14b2-22bc=26.又c=355a,b=105a,∴95a2+110a2-35a2=26,解得a=25,∴b=22,c=6,则△ABC的面积为12bcsin A=6.
【答案】C
二、填空题
9.(2017佛山质检)函数f(x)=2sin(17π-x)+tan x在-π3,π4上的最小值为 .
【解析】∵函数y=f(x)在-π3,π4上单调递增,∴其最小值为f-π3=-23.
【答案】-23
10.(2017石家庄三校联考)已知x∈(0,π),sinπ3-x=cos2x2+π4,则tan x= .
【解析】由已知得32cos x-12sin x=cosx+π2+12,化简得cos x=33.又∵x∈(0,π),∴sin x=63,∴tan x=2.
【答案】2
11.(2017武汉质检)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,asinA+bsinB-csinCsinBsinC=233a,a=23.若b∈[1,3],则c的最小值为 .
【解析】由asinA+bsinB-csinCsinBsinC=233a及正弦定理,得a2+b2-c22ab=33sin C,即3cos C=3sin C⇒tan C=3,故cos C=12,∴c2=b2-23b+12=(b-3)2+9,∵b∈[1,3],∴当b=3时,c取得最小值3.
【答案】3
12.(2017长沙三模)在平行四边形ABCD中,∠BAD=60°,E是CD上一点,且AE=12AB+BC, |AB|=λ|AD|.若AC·EB=12AD2,则λ= .
【解析】由AE=12AB+BC,得DE=12AB=12DC,即E是CD的中点,
则AC·EB=(AB+AD)·12AB-AD=12AB2-12AB·AD-AD2.又∵∠BAD=60°,|AB|=λ|AD|,AC·EB=12AD2,∴2λ2-λ-6=0,得λ=2或λ=-32(舍去).
【答案】2
三、解答题
13.(2017江西九江联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3bsin A=23asin C.
(1)若A+3C=π,求sin B的值;
(2)若c=3,△ABC的面积为32,求a的值.
【解析】(1)∵A+B+C=π,A+3C=π,∴B=2C.
由3bsin A=23asin C,得233=2sinCcosCsinC,解得cos C=33.
∴sin C=1-cos2C=1-13=63,
∴sin B=sin 2C=2sin Ccos C=2×63×33=223.
(2)由3bsin A=23asin C,得bc=233.
∵c=3,∴b=23.
又∵△ABC的面积为12bcsin A=12×23×3sin A=32,
∴sin A=63,则cos A=±33,
∴a2=b2+c2-2bccos A,∴a=3或a=33.
滚动检测二
一、选择题
1.(2017甘肃二模)设向量a=(2,m),b=(1,-1).若b⊥(a+2b),则实数m等于( ).
A.2 B.4 C.6 D.-3
【解析】∵b⊥(a+2b),∴b·(a+2b)=0,即4-m+2=0,得m=6.
【答案】C
2.(2017福建模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2absinA=3,则sin(π+B)等于( ).
A.34 B.-34 C.23 D.-23
【解析】由正弦定理得sin B=bsinAa=23,∴sin(π+B)=-23.
【答案】D
3.(2017河南质检)已知角θ的终边过点(2,3),则tan7π4+θ等于( ).
A.-15 B.15 C.-5 D.5
【解析】由已知得tan θ=32,则tan7π4+θ=tanθ-11+tanθ=15.
【答案】B
4.(2017西安联考)已知函数y=2x-3x的零点为a,则有( ).
A.a∈(-1,0)
B.a∈(0,1)
C.a∈{y|y=5x-1+2}
D.a∈{x|log12(x-1)>-1}
【解析】由已知得a∈(1,2),又{y|y=5x-1+2}={y|y>2},{x|log12(x-1)>-1}={x|1-1}.
【答案】D
5.(2017厦门二模)已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=ax2x+1.若曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线的斜率为-1,则实数a为( ).
A.-34 B.43 C.32 D.-32
【解析】当x>0时,f'(x)=ax2+2ax(x+1)2,∵函数f(x)是偶函数,f'(-1)=-1,∴f'(1)=1,即3a4=1,得a=43.
【答案】B
6.(2017沈阳三校联考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2bsin 2A=3asin B,且c=2b,则ab等于( ).
A.32 B.43 C.2 D.3
【解析】由2bsin 2A=3asin B,得4sin Bsin Acos A=3sin Asin B,∴cos A=34.
又∵c=2b,∴a2=b2+c2-2bccos A=2b2,∴ab=2.
【答案】C
7.(2017湖南八校联考)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ0<φ<π2个单位长度后得到函数g(x)的图象.若函数g(x)在区间0,π3上单调递增,且函数g(x)的最大负零点在区间-π3,-π12上,则φ的取值范围为( ).
A.π12,π4 B.π6,5π12
C.π6,π3 D.π6,π4
【解析】由题意知g(x)=sin(2x-2φ),则函数g(x)的单调递增区间为kπ-π4+φ,kπ+π4+φ(k∈Z),∵0<φ<π2,∴0,π3∈-π4+φ,π4+φ,∴-π4+φ≤0,π4+φ≥π3,解得π12≤φ≤π4.由2x-2φ=kπ,得x=kπ2+φ(k∈Z),∴函数g(x)的最大负零点为φ-π2,则-π3<φ-π2<-π12,解得π6<φ<5π12.
综上可知,φ的取值范围为π6,π4.
【答案】D
8.(2017四川质检)设M(x1,f(x1))和N(x2,g(x2))分别是函数f(x)=ex-12x2和g(x)=x-1图象上的点,且x1≥0,x2>0.若直线MN∥x轴,则M,N两点间的最短距离为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】∵f(x1)=g(x2),∴ex1-12x12=x2-1,∴M,N两点间的距离为|x2-x1|=ex1-12x12+1-x1.设h(x)=ex-12x2-x+1,则h'(x)=ex-x-1,当x≥0时,(ex-x-1)'=ex-1≥0,∴函数y=h'(x)在[0,+∞)上单调递增,则h'(x)≥h'(0)=0,∴函数y=h(x)在[0,+∞)上单调递增,则h(x) ≥h(0)=2.
【答案】B
二、填空题
9.(2017山西运城联考)函数f(x)=cosπx+π3与直线y=0,x=13,x=1所围成的平面图形的面积为 .
【解析】113 f(x)dx=113 cosπx+π3dx
=1πsinπx+π3 13 1=3π,
故所求平面图形的面积为3π.
【答案】3π
10.(2017哈尔滨质检)已知非零向量a,b满足2|a|=3|b|,|a-2b|=|a+b|,则a与b的夹角的余弦值为 .
【解析】由|a-2b|=|a+b|,得2a·b=b2,∴2|a|·|b|cos=|b|2.又∵2|a|=3|b|,∴cos=13.
【答案】13
11.(2017唐山三校联考)在△ABC中,∠C=90°,AB=3,AC=1,若AC=2BD-CB,则CD·CB= .
【解析】由AC=2BD-CB,得AB=2BD,∴AD=32AB.又∵cos A=13,∴CD·CB=(AD-AC)·(AB-AC)=32AB-AC·(AB-AC)=12.
【答案】12
12.(2017河北衡水一模)已知函数f(x)=3-m·3x3x,g(x)=log2(x2+x+2).若对任意x1∈[-1,2],存在x2∈[0,3],使得f(x1)≥g(x2),则m的取值范围是 .
【解析】若对任意x1∈[-1,2],存在x2∈[0,3],使得f(x1)≥g(x2),则f(x)min≥g(x)min.∵函数f(x)=3-m·3x3x=13x-1-m在[-1,2]上单调递减,g(x)在[0,3]上单调递增,∴f(2)=13-m≥g(0)=1,∴m≤-23.
【答案】-∞,-23
三、解答题
13.(2017海南八校二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos B=(3c-b)cos A.
(1)若asin B=22,求b的值;
(2)若a=22,△ABC的面积为2,求△ABC的周长.
【解析】(1)∵acos B=(3c-b)cos A,
∴sin Acos B=3sin Ccos A-sin Bcos A,
即sin Acos B+sin Bcos A=sin C=3sin Ccos A.
∵sin C≠0,∴cos A=13,则sin A=223.
∵asin B=22,∴b=asinBsinA=3.
(2)∵△ABC的面积为2,∴23bc=2,得bc=3.
∵a=22,∴b2+c2-23bc=8,
∴(b+c)2-83bc=8,即(b+c)2=16.
∵b>0,c>0,∴b+c=4,
∴△ABC的周长为a+b+c=4+22.
14.(2017江西吉安模拟)已知函数f(x)=(2x+b)ex,F(x)=bx-ln x,b∈R.
(1)若b<0,且存在区间M,使f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性,求b的取值范围.
(2)若F(x+1)>b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范围.
【解析】(1)f'(x)=ex(2x+b+2),
由f'(x)<0得x<-b+22;由f'(x)>0得x>-b+22.
F(x)的定义域为(0,+∞),且 F'(x)=b-1x=bx-1x.
∵b<0,∴F'(x)<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减.
∵存在区间M,使f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性,∴-b+22>0,得b<-2.
故b的取值范围是(-∞,-2).
(2)由F(x+1)>b得ln(x+1)-bx<0.
设g(x)=ln(x+1)-bx,则g'(x)=11+x-b.
若F(x+1)>b对任意x∈(0,+∞)恒成立,则g(x)<0对任意x∈(0,+∞)恒成立.
(i)若b≥1,则当x∈(0,+∞)时,g'(x)=11+x-b<0,
∴g(x)=ln(1+x)-bx在(0,+∞)上为减函数,
∴g(x)=ln(1+x)-bx
∴g(x)=ln(1+x)-bx在(0,+∞)上为增函数,
∴g(x)=ln(1+x)-bx>g(0)=0,不能使g(x)<0在(0,+∞)上恒成立.
(iii)若0
∴对任意x∈0,1b-1,g(x)=ln(1+x)-bx>g(0)=0,∴不能使g(x)<0在(0,+∞)上恒成立.
综上所述,b的取值范围是[1,+∞).
第九单元 平面向量
考点一
平面向量的线性运算
1.(2015年全国Ⅱ卷)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= .
【解析】∵λa+b与a+2b平行,∴λa+b=t(a+2b)(t∈R),即λa+b=ta+2tb,
∴λ=t,1=2t,解得λ=12,t=12.
【答案】12
2.(2015年全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则( ).
A.AD=-13AB+43AC
B.AD=13AB-43AC
C.AD=43AB+13AC
D.AD=43AB-13AC
【解析】AD=AC+CD=AC+13BC=AC+13(AC-AB)=43AC-13AB=-13AB+43AC.故选A.
【答案】A
3.(2017年全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为( ).
A.3 B.22 C.5 D.2
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则点C的坐标为(2,1).
设BD与圆C切于点E,连接CE,则CE⊥BD.
∵CD=1,BC=2,
∴BD=12+22=5,
EC=BC·CDBD=25=255,
即圆C的半径为255,
∴点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=45.
设P(x0,y0),则x0=2+255cosθ,y0=1+255sinθ(θ为参数),
而AP=(x0,y0),AB=(0,1),AD=(2,0).
∵AP=λAB+μAD=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ),
∴μ=12x0=1+55cos θ,λ=y0=1+255sin θ.
两式相加,得
λ+μ=1+255sin θ+1+55cos θ=2+sin(θ+φ)≤3
其中sinφ=55,cosφ=255,
当且仅当θ=π2+2kπ-φ,k∈Z时,λ+μ取得最大值3.
故选A.
【答案】A
考点二
向量的数量积运算
4.(2016年全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( ).
A.-8 B.-6 C.6 D.8
【解析】因为a=(1,m),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2).
因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,所以12-2(m-2)=0,解得m=8.
【答案】D
5.(2016年全国Ⅲ卷)已知向量BA=12,32,BC=32,12,则∠ABC=( ).
A.30° B.45° C.60° D.120°
【解析】因为BA=12,32,BC=32,12,所以BA·BC=34+34=32.又因为BA·BC=|BA||BC|cos∠ABC=1×1×cos∠ABC,所以cos∠ABC=32.又0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC=30°.故选A.
【答案】A
6.(2017年天津卷)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为 .
【解析】由题意,知|AB|=3,|AC|=2,
AB·AC=3×2×cos 60°=3,
AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC,
∴ AD·AE=13AB+23AC·(λAC-AB)
=λ-23AB·AC-13AB2+2λ3AC2
=λ-23×3-13×32+2λ3×22
=113λ-5=-4,解得λ=311.
【答案】311
7.(2017年北京卷)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( ).
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由题意知|m|≠0,|n|≠0.
设m与n的夹角为θ.
若存在负数λ,使得m=λn,
则m与n反向共线,θ=180°,
所以m·n=|m||n|cos θ=-|m||n|<0.
当90°<θ<180°时,m·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.
故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.
故选A.
【答案】A
8.(2017年山东卷)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若3e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是 .
【解析】由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,
|3e1-e2|=(3e1-e2)2=3e12-23e1·e2+e22
=3-0+1=2.
同理|e1+λe2|=1+λ2.
所以cos 60°=(3e1-e2)·(e1+λe2)|3e1-e2||e1+λe2|
=3e12+(3λ-1)e1·e2-λe2221+λ2=3-λ21+λ2=12,
解得λ=33.
【答案】33
考点三
与向量的模有关的运算
9.(2017年全国Ⅰ卷)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .
【解析】|a+2b|=(a+2b)2
=a2+4a·b+4b2
=22+4×2×1×cos60°+4×12
=12=23.
【答案】23
10.(2016年全国Ⅰ卷)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .
【解析】∵|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2,∴a·b=0.
又a=(m,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2.
【答案】-2
11.(2017年浙江卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .
【解析】设a,b的夹角为θ.
∵|a|=1,|b|=2,
∴|a+b|+|a-b|=(a+b)2+(a-b)2
=5+4cosθ+5-4cosθ.
令y=5+4cosθ+5-4cosθ,
则y2=10+225-16cos2θ.
∵θ∈[0,π],∴cos2θ∈[0,1],∴y2∈[16,20],
∴y∈[4,25],即|a+b|+|a-b|∈[4,25].
【答案】4 25
考点四
平面向量在平面几何中的应用
12.(2017年全国Ⅱ卷)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA·(PB+PC)的最小值是( ).
A.-2 B.-32 C.-43 D.-1
【解析】如图,PB+PC=2PD(D为BC的中点),则PA·(PB+PC)=2PA·PD.
要使PA·PD最小,则PA与PD方向相反,即点P在线段AD上,则(2PA·PD)min=-2|PA||PD|,问题转化为求|PA||PD|的最大值.
又|PA|+|PD|=|AD|=2×32=3,
∴|PA||PD|≤|PA|+|PD|22=322=34,
∴[PA·(PB+PC)]min=(2PA·PD)min=-2×34=-32.
故选B.
【答案】B
13.(2017年浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,则( ).
A.I1
又OB与CA所成角为钝角,
∴I1-I2<0,即I1
=|OA||OB|cos∠AOB-|OC||OD|cos∠COD
=cos∠AOB(|OA||OB|-|OC||OD|),
又∠AOB为钝角,OA
∴I3
【答案】C
高频考点:向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积均是高考热点,在历年高考中都有出现.
命题特点:1.高考每年都会出现一道小题,考查的内容有向量的坐标运算、向量的线性运算及基本定理、向量的数量积.
2.一般以容易题出现,但偶尔会以中档题和难题出现,所以难度要把控好.
§9.1 平面向量的概念及线性运算
一
向量的有关概念
1.向量:既有大小又有方向的量;向量的大小叫作向量的长度(或模).
2.零向量:长度为 的向量;其方向是任意的,记作0.
3.单位向量:长度等于 的向量.非零向量a的单位向量为± a|a|
4.平行向量(也称共线向量):方向 或 的非零向量.(0与任一向量平行或共线)
5.相等向量:长度 且方向 的向量.
6.相反向量:长度 且方向 的向量.
二
向量的线性运算
1.向量的加(减)法法则有 法则和 法则,向量的加法运算满足 和 .
2.实数λ与向量a的积是一个向量,且|λa|=|λ||a|;当λ 0时,λa的方向与a的方向相同;当λ 0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.
3.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一实数λ,使得b=λa.
☞ 左学右考
1 如图,在正方形ABCD中,E为CD的中点,F为BC上靠近点B的一个三等分点,则EF=( ).
A.12AB-13AD
B.23AB+12AD
C.13AB-12AD
D.12AB-23AD
2 下列命题中,正确的个数是( ).
①若|a|=|b|,则a=b;
②若a=b,则a∥b;
③|AB|=|BA|;
④若a∥b,b∥c,则a∥c.
A.1 B.2 C.3 D.4
3 已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2OA+OB+OC=0,则( ).
A.AO=OD B.AO=2OD
C.AO=3OD D.2AO=OD
知识清单
一、2.零 3.1个单位 4.相同 相反 5.相等 相同
6.相等 相反
二、1.平行四边形 三角形 交换律 结合律 2.> <
基础训练
1.【解析】EF=EC+CF=12AB-23AD.
【答案】D
2.【解析】∵a与b的方向不能确定,∴①错误;②③正确;若b为零向量,则a与c的方向不能确定,∴④错误.
【答案】B
3.【解析】由2OA+OB+OC=0可知,O是底边BC上的中线AD的中点,故AO=OD.
【答案】A
题型一
平面向量的概念辨析
【例1】给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a∥b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“AB∥DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要不充分条件;③若a=b,b=c,则a=c;④“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b”.
其中正确命题的序号是 .
【解析】①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定共线.
②正确.若四边形ABCD为平行四边形,则AB∥DC且|AB|=|DC|.
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同.
又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,
∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故“|a|=|b|且a∥b”不是“a=b”的充要条件,而是必要不充分条件.
综上所述,正确命题的序号是②③.
【答案】②③
正确理解相等向量、共线向量、单位向量以及向量的模等相关概念及其含义是解题的关键.
【变式训练1】下列命题中正确的是( ).
A.若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
B.|a|=|b|,则a=±b
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
【解析】由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;模相等的两个向量方向是不确定的,所以B不正确;向量的平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,由零向量与任一向量都共线,可知C正确,故选C.
【答案】C
题型二
向量的线性运算
【例2】(2017龙岩模拟)如图,下列结论正确的是( ).
①PQ=32a+32b;②PT=32a-b;
③PS=32a-12b;④PR=32a+b.
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【解析】①根据向量的加法法则,得PQ=32a+32b,故①正确;②根据向量的减法法则,得PT=32a-32b,故②错误;③PS=PQ+QS=32a+32b-2b=32a-12b,故③正确;④PR=PQ+QR=32a+32b-b=32a+12b,故④错误.故选C.
【答案】C
结合图形性质,准确、灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.
【变式训练2】如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD=( ).
A.a-12b
B.12a-b
C.a+12b
D.12a+b
【解析】连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且CD=12AB=12a,所以AD=AC+CD=b+12a.
【答案】D
题型三
共线向量定理及应用
【例3】设两个非零向量a与b不共线.
(1)若AB=a+2b,BC=3a-5b,CD=-5a+b,求证:A,B,D三点共线.
(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.
【解析】(1)∵AB=a+2b,BC=3a-5b,CD=-5a+b,
∴BD=BC+CD=3a-5b-5a+b=-2a-4b
=-2(a+2b)=-2AB,
∴AB与BD共线.
又∵它们有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)∵ka+b与a+kb共线,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
即ka+b=λa+λkb,∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a,b是不共线的两个非零向量,
∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.
解决点共线或向量共线的问题,要利用向量共线定理,先设后求.
【变式训练3】已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,其中向量e1,e2不共线,若存在实数λ,μ,使向量d=λa+μb与c共线,求λμ的值.
【解析】∵d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)
=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,
要使d与c共线,则应有实数k,使d=kc,
即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,
∴2λ+2μ=2k,-3λ+3μ=-9k,得λ=-2μ,
∴λμ=-2.
方法
待定系数法在平面向量的线性运算中的应用
用两个已知向量来表示另一向量的问题中,找不到问题的
切入口,可利用待定系数法求解.例如用a、b表示OA,可设OA=ma+nb,再结合图形,利用向量共线建立方程,用方程的思想求解.方程思想是解决此类题的关键,要注意体会.
【突破训练】如图,在△ABO中,OC=14OA,OD=12OB,AD与BC相交于点M,设OA=a,OB=b.试用a和b表示向量OM.
【解析】设OM=ma+nb,则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb.
AD=OD-OA=12OB-OA=-a+12b.
∵A,M,D三点共线,∴AM与AD共线.
∴存在实数t,使得AM=tAD,
即(m-1)a+nb=t-a+12b.
∴(m-1)a+nb=-ta+12tb.
∴m-1=-t,n=t2,消去t得,m+2n=1. ①
∵CM=OM-OC=ma+nb-14a=m-14a+nb,
CB=OB-OC=b-14a=-14a+b.
又∵C,M,B三点共线,∴CM与CB共线.
∴存在实数t1,使得CM=t1CB,
∴m-14a+nb=t1-14a+b,
∴m-14=-14t1,n=t1,消去t1得,4m+n=1. ②
由①②得m=17,n=37,
∴OM=17a+37b.
1.(2017湖南二模)设e0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|e0;②若a与e0平行,则a=|a|e0;③若a与e0平行且|a|=1,则a=e0.上述命题中,假命题的个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】向量是既有大小又有方向的量,a与|a|e0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与e0平行,则a与e0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|e0,故②③也是假命题.
【答案】D
2.(2017南城中学质检)如图,在正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF=( ).
A.0 B.BE
C.AD D.CF
【解析】由图知BA+CD+EF=BA+AF+CB=CB+BF=CF.
【答案】D
3.(2017运城一中质检)设a,b不共线,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为( ).
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】∵BC=a+b,CD=a-2b,
∴BD=BC+CD=2a-b.
又∵A,B,D三点共线,∴AB,BD共线.
设AB=λBD,∴2a+pb=λ(2a-b),
∴p=-λ,2=2λ,∴λ=1,p=-1.
【答案】B
4.(2017四平二中二模)已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么( ).
A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向
【解析】∵c∥d,∴c=λd,即ka+b=λ(a-b),∴k=λ,λ=-1.
【答案】D
5.(2017西宁市一模)如图,在△ABC中,点D在边BC上,且CD=2DB,点E在边AD上,且AD=3AE,则用向量AB,AC表示CE为( ).
A.CE=29AB+89AC
B.CE=29AB-89AC
C.CE=29AB+79AC
D.CE=29AB-79AC
【解析】CE=CA+AE,AE=13AD,AD=AB+BD,BD=13BC,BC=BA+AC,∴BD=13(BA+AC),∴AD=AB+BD=AB+13BA+13AC,
∴AE=13AB+13BA+13AC,
∴CE=CA+13AB+19BA+19AC
=13AB+19BA+CA+19AC=29AB+89CA.
又∵89CA=-89AC,∴CE=29AB-89AC.
【答案】B
6.(2017四川质检)向量e1,e2不共线,AB=3(e1+e2),CB=e2-e1,CD=2e1+e2,给出下列结论:①A,B,C三点共线;②A,B,D三点共线;③B,C,D三点共线;④A,C,D三点共线.其中所有正确结论的序号为 .
【解析】由AC=AB-CB=4e1+2e2=2CD,且AB与CB不共线,可得A,C,D三点共线,且点B不在此直线上.
【答案】④
7.(2017河北三模)如图,在△ABC中,已知D是AB边上一点,若AD=2DB,CD=13CA+λCB,则λ= .
【解析】由题图知CD=CA+AD, ①
CD=CB+BD, ②
且AD+2BD=0.
由①+②×2,得3CD=CA+2CB,
∴CD=13CA+23CB,∴λ=23.
【答案】23
8.(2017唐山一模)已知向量a,b是两个非零向量,则在下列四个条件中,能使a,b共线的条件是 .(将所有正确的序号填在横线上)
①2a-3b=4e,且a+2b=-3e;
②存在相异实数λ,μ,使λa+μb=0;
③xa+yb=0(实数x,y满足x+y=0).
【解析】由①得10a-b=0,故①正确;②正确;对于③,当x=y=0时,a与b不一定共线,故③错误.
【答案】①②
9.(2017黄冈二模)已知a,b是不共线的向量,AB=λa+b,AC=a+μb,λ,μ∈R,则A,B,C三点共线的充要条件为( ).
A.λ+μ=2 B.λ-μ=1
C.λμ=-1 D.λμ=1
【解析】因为A,B,C三点共线,所以AB∥AC.设AB=mAC(m≠0),所以λ=m,1=mμ,则λμ=1.
【答案】D
10.(2017安徽二模)已知A,B,C是△ABC的三个顶点,O为平面内一点,满足OA+OB+OC=0,若实数λ满足AB+AC+λOA=0,则λ的值为( ).
A.3 B.32 C.-2 D.23
【解析】∵OA+OB+OC=0,∴O为△ABC的重心,设BC的中点为D,∴AO=23AD,∴AD=32AO,而AB+AC=2AD=2×32AO=3AO,∴λ=3.
【答案】A
11.(2017河南四校联考)设e1,e2是两个不共线的向量,已知向量AB=2e1+e2sin α-π2<α<π2,CB=e1-54e2,CD=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则函数f(x)=2cos(x+α)在[0,π)上的值域为( ).
A.-1,12 B.[-2,3]
C.(-2,1] D.(-1,3]
【解析】若A,B,D三点共线,则存在实数λ,使AB=λBD,即AB=λ(CD-CB),∴2e1+e2sin α=λ(CD-CB)=λe1+14e2,∴λ=2,sin α=14λ,∴sin α=12.∵-π2<α<π2,∴α=π6.∵0≤x<π,∴π6≤x+α<7π6,∴-2≤f(x)≤3.
【答案】B
12.(2017江西联考)在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=23,BC=2,点E在线段CD上,若AE=AD+μAB,则μ的取值范围是 .
【解析】由题意可求得AD=1,CD=3,所以AB=2DC.
因为AE=AD+μAB,所以AE=AD+2μDC.
又因为0≤2μ≤1,所以0≤μ≤12.
【答案】0,12
13.(2017怀化模拟)已知a,b为两个不共线的向量,若四边形ABCD满足AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b.
(1)试用a,b表示向量AD;
(2)证明四边形ABCD为梯形.
【解析】(1)AD=AB+BC+CD
=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)
=(1-4-5)a+(2-1-3)b
=-8a-2b.
(2)因为AD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC,
即AD∥BC且|AD|=2|BC|,
所以在四边形ABCD中,AD∥BC且AD≠BC,
即四边形ABCD为梯形.
§9.2 平面向量基本定理及坐标表示
一
平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a, 一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 .
二
平面向量的坐标运算
1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b= ,a-b= ,
λa= ,|a|=x12+y12.
2.向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= ,|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.
三
平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.
a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
☞ 左学右考
1 已知向量m=(2,-5),n=(-1,3),则2m-3n等于( ).
A.(1,-1)
B.(7,-19)
C.(7,-1)
D.(1,19)
2 已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b与b平行,则k= .
3 在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若AC=λAE+μAF,其中λ,μ∈R,求λ+μ的值.
知识清单
一、不共线 有且只有 基底
二、1.(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1)
2.(2)(x2-x1,y2-y1)
基础训练
1.【解析】原式=2(2,-5)-3(-1,3)=(7,-19).
【答案】B
2.【解析】由ka+b与b平行,得-3(2k+2)=2(k-3),∴k=0.
【答案】0
3.【解析】∵AC=AB+AD,AE=AD+12AB,AF=AB+12AD,
∴AC=λAE+μAF=λ+12μAD+12λ+μAB,则λ+12μ=1,12λ+μ=1,两式相加得λ+μ=43.
题型一
平面向量基本定理的应用
【例1】(2017山东省滨州市联考)在△ABC中,M为边BC上的任意一点,点N在线段AM上,且满足AN=13NM,若AN=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λ+μ的值为( ).
A.14 B.13 C.1 D.4
【解析】∵AN=13NM,∴AN=14AM.
又AN=λAB+μAC,∴AM=4λAB+4μAC.
∵B,M,C三点共线,∴4λ+4μ=1,∴λ+μ=14.
【答案】A
利用基底表示未知向量,实质就是利用向量的加法、减法及数乘进行线性运算;向量的表示是向量应用的前提.
【变式训练1】(2017福建莆田一中高一月考)如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC=a,BD=b,则AF=( ).
A.14a+12b B.12a+14b
C.23a+13b D.13a+23b
【解析】∵AC=a,BD=b,∴AD=AO+OD=12AC+12BD=12a+12b.∵E是OD的中点,∴|DE||EB|=13,∴|DF|=13|AB|.
∴DF=13AB=13(OB-OA)
=13×-12BD+12AC=16a-16b,
∴AF=AD+DF=12a+12b+16a-16b=23a+13b,故选C.
【答案】C
题型二
向量坐标的基本运算
【例2】已知a=(2,1),b=(1,x),c=(-1,1).若(a+b)∥(b-c),且c=ma+nb,则m+n等于( ).
A.14 B.1 C.-13 D.-12
【解析】a+b=(3,1+x),b-c=(2,x-1).由(a+b)∥(b-c),得3(x-1)-2(x+1)=0,解得x=5,∴c=ma+nb=(2m+n,m+5n),即2m+n=-1,m+5n=1,解得m=-23,n=13.
【答案】C
向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两个端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
【变式训练2】(1)(2017河南洛阳模拟)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若MN=-3a,则点N的坐标为( ).
A.(2,0) B.(-3,6) C.(6,2) D.(-2,0)
(2)(2017海南中学模考)已知向量AB=(1,-3),BC=(-1,-2),AD=(2,4),则CD=( ).
A.(4,-1) B.(0,9) C.(2,-1) D.(2,9)
【解析】(1)MN=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设N(x,y),则MN=(x-5,y+6)=(-3,6),所以x-5=-3,y+6=6,解得x=2,y=0,即N(2,0).
(2)因为AB+BC=AC=(1,-3)+(-1,-2)=(0,-5),AD=(2,4),
所以CD=AD-AC=(2,4)-(0,-5)=(2,9).
【答案】(1)A (2)D
题型三
共线向量的坐标表示
【例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题:
(1)若向量a=mb+nc,求实数m,n;
(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;
(3)若d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=5,求d.
【解析】(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),
∴-m+4n=3,2m+n=2,解得m=59,n=89.
(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∵(a+kc)∥(2b-a),
∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0,
∴k=-1613.
(3)设d=(x,y),则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).
由题意得4(x-4)-2(y-1)=0,(x-4)2+(y-1)2=5,
解得x=3,y=-1或x=5,y=3.
∴d=(3,-1)或d=(5,3).
(1)运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合.
(2)根据平行的条件建立方程求参数,是解决这类题目的常用方法.
【变式训练3】(1)(2017南昌模拟)已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是( ).
A.-23 B.43 C.12 D.13
(2)(2017福建石狮市联考)设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则1a+2b的最小值是( ).
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】(1)AB=OB-OA=(4-k,-7),AC=OC-OA=(-2k,-2).∵A,B,C三点共线,∴AB∥AC,则-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-23.
(2)由已知条件得AB=(a-1,1),BC=(-b-a,1),若A,B,C三点共线,则AB∥BC,由向量共线定理得(a-1)×1=
1×(-b-a),∴2a+b=1,故1a+2b=1a+2b(2a+b)=4+ba+4ab≥4+24=8.
【答案】(1)A (2)D
方法
利用转化和化归的思想解决向量的线性运算问题
复杂的向量线性运算是向量运算的难点,比较难以找到问题的突破口,但根据图形建立适当的平面直角坐标系,将线性问题转化成向量的坐标运算,是解决此类问题的常用方法,此方法容易理解且过程简单.
【突破训练】(2016年四川卷)在平面内,定点A,B,C,D满足|DA|=|DB|=|DC|,DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2,动点P,M满足|AP|=1,PM=MC,则|BM|2的最大值是( ).
A.434 B.494
C.37+634 D.37+2334
【解析】∵|DA|=|DB|=|DC|,
∴点A,B,C在以点D为圆心的圆上.
又∵DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2,
∴DA,DB,DC两两夹角相等,均为120°(如图).
设圆D的半径为r,则DA·DB=r·r·cos 120°=-2,∴r=2.
∵PM=MC,∴M为PC的中点.
∵|AP|=1,
∴点P在以点A为圆心,1为半径的圆上.
由上知△ABC是边长为23的等边三角形.
设AC的中点为O,连接DO,OM,则B,D,O三点共线,则|BO|=3,BM=BO+OM=BO+12AP.
∴|BM|2=BO+12AP2=|BO|2+BO·AP+14|AP|2
=9+3×1×cos
=374+3cos
当BO与AP同向时取等号,即|BM|2的最大值是494.
【答案】B
1.(2017福建三明质检)已知向量a=(3,1),b=(x,-1),若a-b与b共线,则x的值为( ).
A.-3 B.1 C.2 D.1或2
【解析】∵a=(3,1),b=(x,-1),∴a-b=(3-x,2).
又∵a-b与b共线,∴2x=x-3,∴x=-3.
【答案】A
2.(2017陕西汉中二模)已知向量a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是( ).
A.a·b=2 B.a∥b
C.|a|=|b| D.b⊥(a+b)
【解析】因为a=(-2,0),a-b=(-3,-1),所以b=(1,1),所以a·b=-2,|a|=2,|b|=2,所以选项A,B,C都不正确.而a+b=(-1,1),则b·(a+b)=0,故选D.
【答案】D
3.(2017福建泉州调研)若向量a,b不共线,则下列各组向量中,可以作为一组基底的是( ).
A.a-2b与-a+2b B.3a-5b与6a-10b
C.a-2b与5a+7b D.2a-3b与12a-34b
【解析】不共线的两个向量可以作为一组基底.因为a-2b与5a+7b不共线,所以a-2b与5a+7b可以作为一组基底.
【答案】C
4.(2017山东烟台模拟)已知△ABC的顶点分别为A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,则点D的坐标为( ).
A.-95,75 B.92,-75
C.95,75 D.-92,-75
【解析】设点D的坐标为(x,y),∵AD是边BC上的高,∴AD⊥BC,∴AD⊥BC.又C,B,D三点共线,∴BC∥BD.∵AD=(x-2,y-1),BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2),
∴-6(x-2)-3(y-1)=0,-6(y-2)+3(x-3)=0,解得x=95,y=75,
∴点D的坐标为95,75.
【答案】C
5.(2017哈尔滨模拟)如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,OP=xOA+yOB,且BP=2PA,则( ).
A.x=23,y=13
B.x=13,y=23
C.x=14,y=34
D.x=34,y=14
【解析】由题意知OP=OB+BP,又BP=2PA,所以OP=OB+23BA=OB+23(OA-OB)=23OA+13OB,所以x=23,y=13.
【答案】A
6.(2017宁夏中卫二模)已知向量a=(x,2),b=(2,1),c=(3,x),若a∥b,则向量a在向量c方向上的投影为 .
【解析】由a∥b,得x×1-2×2=0,解得x=4,所以c=(3,4),a=(4,2),a·c=12+8=20,所以向量a在向量c方向上的投影为2032+42=4.
【答案】4
7.(2017江西九江模拟)在梯形ABCD中,AB∥DC,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为 .
【解析】∵在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥DC,∴DC=2AB.设点D的坐标为(x,y),则DC=(4-x,2-y),AB=(1,-1),∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),∴4-x=2,2-y=-2,解得x=2,y=4,即点D的坐标为(2,4).
【答案】(2,4)
8.(2017南京模拟)如图,在△ABC中,H为边BC上异于点B,C的点,M为AH的中点,若AM=λAB+μAC,则λ+μ= .
【解析】由B,H,C三点共线知,BH=kBC(k≠0,1),则AH=AB+BH=AB+kBC=AB+k(AC-AB)=(1-k)AB+kAC,所以AM=12AH=12(1-k)AB+k2AC.又AM=λAB+μAC,所以λ=12(1-k),μ=k2,从而λ+μ=12.
【答案】12
9.(2017郑州质检)已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),点P在第一、三象限的角平分线上,且AP=AB+λAC(λ∈R),则λ等于( ).
A.-32 B.-12 C.12 D.32
【解析】设P(x,y),则AP=(x-2,y-3).
∴AB+λAC=(3+5λ,1+7λ).
∵AP=AB+λAC,∴x-2=3+5λ,y-3=1+7λ,∴x=5+5λ,y=4+7λ,
由点P在第一、三象限的角平分线上,得5+5λ=4+7λ,解得λ=12.
【答案】C
10.(2017黑龙江哈尔滨师大附中三模)已知AB⊥AC,AB=AC,点M满足AM=tAB+(1-t)AC,若∠BAM=π3,则t的值为( ).
A.3-2 B.2-1 C.3-12 D.3+12
【解析】由题意可得CBAC=2.因为AM=tAB+AC-tAC,所以AM-AC=tAB-tAC,即CM=tCB,所以t=|CM||CB|.
由正弦定理得CMAC=sin30°sin105°,
所以t=CMAC·ACCB=3-12,故选C.
【答案】C
11.(2017江西南昌模拟)如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若AC=λAM+μBN,则λ+μ的值为( ).
A.85 B.58
C.1 D.-1
【解析】设正方形的边长为2,以点A为原点,AB,AD分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系(如图),则A(0,0),B(2,0),C(2,2),M(2,1),N(1,2),所以AC=(2,2),AM=(2,1),BN=(-1,2),所以2λ-μ=2,λ+2μ=2,解得λ=65,μ=25,所以λ+μ=85.
【答案】A
12.(2017辽宁大连市一模)已知向量OM=(3,1),ON=(-1,3),OF=mOM-nON(m>0,n>0),若m+n∈[1,2],则|OF|的取值范围是( ).
A.[5,25] B.[5,210)
C.(5,10) D.[5,210]
【解析】因为OF=(3m+n,m-3n),所以|OF|=(3m+n)2+(m-3n)2=10(m2+n2).设点P的坐标为(m,n),则|OF|=10|OP|.由题意得P(m,n)为可行域1≤m+n≤2,m,n>0内一点,可行域为一个梯形ABCD(去掉线段BC,AD)及其内部,其中A(1,0),B(0,1),C(0,2),D(2,0),所以点O到直线AB的距离d=22,所以|OP|≥d=22,|OP|<|OD|=2,从而|OF|∈10×22,10×2=[5,210),故选B.
【答案】B
13.(2017重庆联考)正三角形ABC内一点M满足CM=mCA+nCB,∠MCA=45°,则mn的值为( ).
A.3-1 B.3+1 C.3+12 D.3-12
【解析】如图,设正三角形的边长为a,由CM=mCA+nCB,得
CM·CA=mCA2+nCA·CB,CM·CB=mCA·CB+nCB2.
∵cos 15°=cos(60°-45°)=2+64,
∴22|CM|a=ma2+na22,2+64|CM|a=ma22+na2,
∴mn=3-12,故选D.
【答案】D
14.(2017上海模拟)如图,在△ABC中,BO为边AC上的中线,BG=2GO,设CD∥AG,若AD=15AB+λAC(λ∈R),则λ的值为 .
【解析】因为BG=2GO,所以AG=13AB+23AO=13AB+13AC.又CD∥AG,可设CD=mAG,从而AD=AC+CD=AC+m3AB+m3AC=1+m3AC+m3AB.因为AD=15AB+λAC,所以m3=15,λ=1+m3=65.
【答案】65
15.(2017北京西城区质检)在直角△ABC中,|AB|=|AC|=3,且DC=2BD,点P是线段AD上任一点,则AP·CP的取值范围是 .
【解析】如图,分别以AB,AC所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则C(0,3),B(3,0).
∵BD=12DC,
∴D(2,1).
又∵点P是线段AD上任一点,
∴可设P(2y,y),0≤y≤1,则AP·CP=(2y,y)·(2y,y-3)=5y2-3y.
∵0≤y≤1,∴-920≤5y2-3y≤2.
∴AP·CP∈-920,2.
即AP·CP的取值范围是-920,2.
【答案】-920,2
§9.3 平面向量的数量积及应用
一
平面向量的数量积
已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则|a||b|cos θ叫作a和b的数量积(或内积),记作a·b=|a||b|cos θ.
规定:零向量与任一向量的数量积为 .
两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±|a||b|.
二
平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
三
平面向量数量积的重要性质
1.e·a=a·e=|a|cos θ(e为单位向量).
2.非零向量a,b,a⊥b⇔ .
3.当a与b同向时,a·b=|a||b|;
当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
4.a·a=a2,|a|=a·a.
5.cos θ= .
6.|a·b|≤|a||b|.
四
平面向量数量积满足的运算律
1.a·b=b·a(交换律);
2.(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)(结合律);
3.(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
五
平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= ,由此得到
1.若a=(x,y),则|a|2= 或|a|=x2+y2.
2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离
|AB|=|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2.
3.设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔ .
☞ 左学右考
1 已知向量a与b的夹角为3π4,且|a|=2,|b|=2,则a(2a+b)等于( ).
A.-1 B.1
C.2 D.22
2 向量a=(3,-4), 向量|b|=2,若a·b=-5,则向量a,b的夹角为( ).
A.π3 B.π6
C.3π4 D.2π3
3 设向量a,b满足a·b=-12,且向量a在向量b方向上的投影为-4,则|b|等于( ).
A.4 B.3
C.2 D.1
4 在△ABC中,M是BC的中点,|AM|=1,AP=2PM,求PA·(PB+PC)的值.
知识清单
一、0
三、2.a·b=0 5.a·b|a||b|
五、x1x2+y1y2 1.x2+y2 3.x1x2+y1y2=0
基础训练
1.【解析】a(2a+b)=2a2+a·b=4-2=2.
【答案】C
2.【解析】cos
【答案】D
3.【解析】设向量a,b的夹角为θ,则a·b=|a|·|b|cos θ=|a|cos θ·|b|=-4|b|=-12,∴|b|=3.
【答案】B
4.【解析】如图,因为M是BC的中点,所以PB+PC=2PM.又AP=2PM,|AM|=1,所以PA·(PB+PC)=PA·2PM=-4|PM|2=-49|AM|2=-49.
题型一
平面向量的数量积的运算
【例1】(2017江西省玉山县一中期中)设D为边长是2的正三角形ABC所在平面内一点,BC=3CD,则AD·AC的值是( ).
A.143 B.-143 C.43 D.4
【解析】∵BC=3CD,∴点D在线段BC的延长线上,且BD=4CD,则|CD|=13|BC|=23,∴AD·AC=(AC+CD)·AC=AC2+CD·AC=4+2×23×12=143.
【答案】A
求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.
【变式训练1】(1)(2017银川一中高一期末)已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( ).
A.-1 B.0 C.1 D.2
(2)(2017长沙模拟)在矩形ABCD中,AB=2,BC=22,E为BC的中点,点F在边CD上,若AB·AF=2,则AE·BF的值是 .
【解析】(1)∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a2=2,a·b=-3.
∴(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.
(2)如图,∵AF=AD+DF,AB·AF=AB·(AD+DF)=AB·AD+AB·DF=AB·DF=2|DF|=2,
∴|DF|=1,∴|CF|=1,∴AE·BF=(AB+BE)·(BC+CF)=AB·BC+AB·CF+BE·BC+BE·CF=AB·CF+BE·BC=2×1×(-1)+2×22×1=2.
【答案】(1)C (2)2
题型二
向量的夹角与向量的模
【例2】已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则a与b的夹角的大小为 ,|a+b|= .
【解析】∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,∴64-4a·b-27=61,∴a·b=-6.∴cos θ=a·b|a||b|=-64×3=-12.又0≤θ≤π,∴θ=2π3.
∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,∴|a+b|=13.
【答案】2π3 13
在数量积的基本运算中,要牢记并熟练运用数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对|a|=a·a,要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.
【变式训练2】(1)(2017四川联考)若非零向量a,b满足|a|=223|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( ).
A.π4 B.π2 C.3π4 D.π
(2)(2017宝鸡模拟)已知平面向量a,b的夹角为π6,且|a|=3,|b|=2,在△ABC中,AB=2a+2b,AC=2a-6b,D为BC的中点,则|AD|= .
【解析】(1)由(a-b)⊥(3a+2b),得(a-b)·(3a+2b)=0,即3a2-a·b-2b2=0.又|a|=223|b|,设
(2)∵AD=12(AB+AC)=2a-2b,
∴|AD|2=4(a-b)2=4(a2-2a·b+b2).
∵向量a,b的夹角为π6,
∴|AD|2=4×3-2×3×2×32+4=4,
∴|AD|=2.
【答案】(1)A (2)2
题型三
向量数量积的综合应用
【例3】如图,在等腰三角形ABC中,底边BC=2,AD=DC,AE=12EB,若BD·AC=-12,则CE·AB=( ).
A.-43 B.43
C.-32 D.32
【解析】∵AD=DC,∴D是AC的中点,则BD=12(BA+BC).∵BD·AC=-12,∴12(BA+BC)·(AB+BC)=-12,
即BC2-BA2=-1.∵BC=2,∴AB=5,∴cos∠ABC=55,
∴CE·AB=23BA-BC·AB=-43.
【答案】A
1.坐标法:把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.
2.基向量法:适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.
【变式训练3】(2017河北模拟)在Rt△ABC中,∠A=90°,D是BC边上的动点,且|AB|=3,|AC|=4,AD=λAB+μAC(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,|AD|的值为( ).
A.72 B.3 C.52 D.125
【解析】因为AD=λAB+μAC,而D,B,C三点共线,所以λ+μ=1,所以λμ≤λ+μ22=14,当且仅当λ=μ=12时取等号,此时AD=12AB+12AC,即D是线段BC的中点,所以|AD|=12|BC|=52,故选C.
【答案】C
方法
向量的线性运算与数量积的综合应用
在利用向量数量积的有关性质解题时,会出现过程比较长,且转化后不容易发现解题突破口等问题,可结合向量的线性运算,即利用三角形法则或平行四边形法则找到问题的本质,使问题简单化,形象化.
【突破训练】已知非零向量a与向量b的夹角为钝角,|b|=2.当t=-2时,|b-ta|(t∈R)取得最小值65,则a·(b-a)等于( ).
A.-4825 B.-2 C.-115 D.95
【解析】如图,设OA=a,OB=b,OC=ta,则向量CB=b-ta,
∴当a与b-ta垂直时,|b-ta|取得最小值65,即a⊥(b+2a).
又∵|b|=2,|b+2a|=65,∴|a|=45,cos
则a·(b-a)=a·b-a2=45×2×-45-1625=-4825.
【答案】A
1.(2017九江市周考)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k等于( ).
A.-12 B.6 C.-6 D.12
【解析】∵2a-b=(5,2-k), a·(2a-b)=0,∴10+2-k=0,解得k=12.
【答案】D
2.(2017衡水中学押题卷)已知平面向量a,b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=( ).
A.20 B.12 C.43 D.23
【解析】∵|b|=1,|a|=2,
∴|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=12,∴|a+2b|=23.
【答案】D
3.(2017银川模拟)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=( ).
A.1 B.2 C.3 D.5
【解析】|a+b|2=a2+2a·b+b2=10,|a-b|2=a2-2a·b+b2=6,两式相减,得4a·b=4,∴a·b=1.
【答案】A
4.(2017葫芦岛市二模)已知e1,e2是夹角为90°的两个单位向量,且a=3e1-e2,b=2e1+e2,则a,b的夹角为( ).
A.120° B.60° C.45° D.30°
【解析】设a,b的夹角为θ,则cos θ=a·b|a||b|=(3e1-e2)·(2e1+e2)(3e1-e2)2(2e1+e2)2.
∵(3e1-e2)·(2e1+e2)=6e12-e22=5,(3e1-e2)2=9e12+e22=10,(2e1+e2)2=4e12+e22=5,∴cos θ=22,∴θ=45°.
【答案】C
5.(2017马鞍山市二模)已知向量OA与OB的夹角为60°,且|OA|=3,|OB|=2,若OC=mOA+nOB,且OC⊥AB,则实数mn的值为( ).
A.16 B.14 C.6 D.4
【解析】OA·OB=3×2×cos 60°=3,∵OC=mOA+nOB,OC⊥AB,∴(mOA+nOB)·AB=(mOA+nOB)·(OB-OA)=(m-n)OA·OB-mOA2+nOB2=0,∴3(m-n)-9m+4n=0,∴mn=16.
【答案】A
6.(2017银川模拟)已知向量a=(1,2),b=(3,-4),则向量a在向量b方向上的投影为( ).
A.-2 B.-1 C.0 D.2
【解析】向量a在向量b方向的投影为|a|cos
【答案】B
7.(2017辽宁省模拟)若向量a,b满足|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|= .
【解析】∵|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,∴(a+b)·a=0,(2a+b)·b=0,即a·b=-1,b2+2a·b=0,解得|b|=2.
【答案】2
8.(2017石嘴山中学月考)在菱形ABCD中,若AC=4,则CA·AB= .
【解析】设∠CAB=θ,AB=BC=a,由余弦定理得a2=16+a2-8acos θ,∴acos θ=2,
∴CA·AB=4×a×cos(π-θ)=-4acos θ=-8.
【答案】-8
9.(2017四川五校联考)在△ABC中,AB=2,AC=3,AB·BC=1,则BC等于( ).
A.3 B.7 C.22 D.23
【解析】∵AB·BC=1,且AB=2,∴1=|AB||BC|cos(π-B),∴|AB||BC|cos B=-1.在△ABC中,|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cos B,即9=4+|BC|2-2×(-1).∴|BC|=3.
【答案】A
10.(2017陕西省二模)已知向量a,b的夹角为锐角,|a|=3,|b|=11,且a与a-b夹角的余弦值为33,则a·b等于( ).
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】∵a与a-b夹角的余弦值为33,∴a·(a-b)=33|a|·|a-b|,即3-a·b=|a-b|,∴(3-a·b)2=(a-b)2,化简得(a·b)2-4a·b-5=0,解得a·b=5或a·b=-1(舍去).
【答案】B
11.(2017湖北省三模)如图,在五边形ABCDE中,四边形ABCD是矩形,△ADE是等腰直角三角形,且AB=3,AD=4,则BD·BE=( ).
A.18 B.20
C.21 D.23
【解析】延长BA至F,使得EF⊥AF(图略),则BE=BD+DE=53BA+12AD.又BD=BA+AD,∴BD·BE=(BA+AD)·53BA+12AD=53BA2+12AD2=23.
【答案】D
12.(2017山东一模)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=4,D是AB上一点,且AB·CD=5,则|BD|等于( ).
A.6 B.4 C.2 D.1
【解析】设AD=λAB,∵CD=AD-AC,∴AB·CD=AB·(AD-AC)=λAB2-AB·AC=5,∴25λ=15,解得λ=35,∴|BD|=25|AB|=2.
【答案】C
13.(2017哈尔滨模拟)设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=acos θ-bsin θ,若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=32,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为( ).
A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π6
【解析】由题设知,若向量e1,e2的夹角为θ,则e2,-e1的夹角为π-θ.由题意可得f(e1,e2)=e1cos θ-e2sin θ, f(e2,-e1)=e2cos(π-θ)+e1sin(π-θ)=e1sin θ-e2cos θ,故f(e1,e2)·f(e2,-e1)=(e1cos θ-e2sin θ)·(e1sin θ-e2cos θ)=e12cos θsin θ-e1·e2cos2θ-e1·e2sin2θ+e22cos θsin θ=2sin θcos θ-32.∵e1·e2=32,∴cos θ=32,sin θ=12,∴2sin θcos θ-32=2×12×32-32=0,∴向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为π2.
【答案】B
14.(2017兰州模拟)已知a,b,c三个向量共面,且均为单位向量, a·b=0,则|a+b-c|的取值范围是 .
【解析】∵a·b=0,∴a⊥b.∵a,b是单位向量,∴|a+b|=2,则当a+b与c反向时,|a+b-c|取最大值为2+1;当a+b与c同向时,|a+b-c|取最小值为2-1.
【答案】[2-1,2+1]
15.(2017太原模拟)若等边△ABC的边长为23,平面内一点M满足CM=16CB+23CA,则MA·MB= .
【解析】由题意,建立如图所示的平面直角坐标系,
∴CB=(3,-3),CA=(-3,-3),∴CM=16CB+23CA=-32,-52,
∵OM=OC+CM=(0,3)+-32,-52=-32,12,
∴MA·MB=-32,-12·332,-12=-2.
【答案】-2
16.(2017宝山区三模)如图,在同一平面内,点P位于两平行直线l1,l2同侧,且点P到l1,l2的距离分别为1,3,点M,N分别在l1,l2上,|PM+PN|=8,则PM·PN的最大值为 .
【解析】过点P作与l1垂直的直线,并以该直线为y轴,l1为x轴建立平面直角坐标系(如图),则l1:y=0,l2:y=2,P(0,-1).
设M(a,0),N(b,2),
∴PM=(a,1),PN=(b,3),PM+PN=(a+b,4).
由|PM+PN|=8,可知(a+b)2+16=64,∴a+b=43或a+b=-43.
又∵PM·PN=ab+3,
∴当a+b=43时,PM·PN=ab+3=-a2+43a+3,当a+b=-43时,PM·PN=ab+3=-a2-43a+3,可知两种情况最大值均为15.
【答案】15
阶段总结三
微专题一
三角函数
三角函数是高考热点和必考内容,一般以选择题或填空题的形式出现,考查的主要内容为:三角函数图象与性质(图象的解析式、值域或最值,单调区间和对称性等)、图象的变换,而基本关系式和诱导公式通常会与上述知识点相结合.复习备考时,应做到:
1.理解记忆同角三角函数基本关系式和诱导公式,通过训练加强公式运用能力的培养,寻找化简求值中的规律.
2.会作三角函数的图象,理解三种图象变换,通过图象研究三角函数性质,同时会对三角函数进行恒等变形,然后讨论图象、性质.
3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用.
【例1】(1)(2017河南调研)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2的部分图象如图所示,则把函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数图象的解析式是( ).
A.y=2sin 2x
B.y=2sin2x-π3
C.y=2sin2x-π6
D.y=2sinx-π6
(2)已知θ∈π2,2π,且2cos2θ2-π4=3cos θ+1,则函数f(x)=2sin(x+θ)在-π2,π3上的最大值为( ).
A.1 B.2 C.3 D.-2
【分析】(1)先根据图象得到函数f(x)的解析式,再利用“左加右减”原则进行平移即可得到函数图象的解析式.
(2)先根据已知条件求出θ的值,再根据x的取值范围求出x+θ的取值范围,进而求函数f(x)的最大值.
【解析】(1)由图可知,34T=5π12+π3=3π4,所以T=π,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).又因为f5π12=2sin5π6+φ=2,所以5π6+φ=π2+2kπ(k∈Z),因为-π2<φ<π2,所以φ=-π3,所以f(x)=2sin2x-π3,所以函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数图象的解析式是f(x)=2sin 2x.
(2)由2cos2θ2-π4=3cos θ+1,得cosθ-π2=3cos θ,即tan θ=3.∵θ∈π2,2π,∴θ=4π3,则f(x)=-2sinx+π3.又∵x∈-π2,π3,∴x+π3∈-π6,2π3,∴当x+π3=-π6时,f(x)max=1.
【答案】(1)A (2)A
【拓展训练1】(1)把函数y=sin 3x的图象适当变化就可以得到y=22(sin 3x-cos 3x)的图象,这个变化可以是( ).
A.沿x轴方向向右平移π4个单位长度
B.沿x轴方向向左平移π4个单位长度
C.沿x轴方向向右平移π12个单位长度
D.沿x轴方向向左平移π12个单位长度
(2)关于f(x)=3sin2x+π4,有以下命题:
①若f(x1)=f(x2)=0,则x1-x2=kπ(k∈Z);
②f(x)的图象与g(x)=3cos2x-π4的图象相同;
③f(x)在区间-7π8,-3π8上是减函数;
④f(x)的图象关于点-π8,0对称.
其中正确的命题是 .(填序号)
【解析】(1)∵y=22(sin 3x-cos 3x)=sin3x-π4=sin 3x-π12,
∴将函数y=sin 3x的图象沿x轴方向向右平移π12个单位长度可以得到函数y=22(sin 3x-cos 3x)的图象.
(2)①由f(x)=3sin2x+π4知,若f(x1)=f(x2)=0,则x1-x2=kπ2(k∈Z),故①不正确;
②∵f(x)=3sin2x+π4=3cosπ2-2x+π4=3cos2x-π4,∴f(x)的图象与g(x)=3cos2x-π4的图象相同,故②正确;
③∵f(x)=3sin2x+π4的单调递减区间是π2+2kπ≤2x+π4≤ 3π2+2kπ,即x∈π8+kπ,5π8+kπ,k∈Z,∴f(x)在区间-7π8,-3π8上是减函数,故③正确;
④∵f(x)=3sin2x+π4的对称中心是kπ2-π8,0(k∈Z),∴f(x)的图象关于点-π8,0对称,故④正确.
【答案】(1)C (2)②③④
微专题二
三角恒等变换
三角恒等变换是高考热点和必考内容,有时以选择题或填空题的形式出现,有时与三角函数或解三角形相结合,通过三角恒等变换,化简三角函数式,进一步研究函数的性质、解三角形等,是常考题型.复习备考时,应做到:
1.牢记和差公式、倍角公式,把握公式特征.
2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换,三角变换中角的变换技巧是解题的关键.
【例2】(1)函数f(x)=sin2x-π6+2cos2x-1的单调递增区间是 .
(2)已知θ∈0,π4且sin θ-cos θ=-144,则2cos2θ-1cosπ4+θ等于( ).
A.23 B.43 C.34 D.32
【分析】(1)先通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数,再利用正弦函数的单调递增区间,求f(x)的单调递增区间.
(2)先根据已知条件求出sinπ4-θ的值,进而求得cosπ4-θ的值,再利用二倍角公式和诱导公式将2cos2θ-1cosπ4+θ化简求得结果.
【解析】(1)f(x)=sin2x-π6+2cos2x-1=32sin 2x+12cos 2x=sin2x+π6,由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6,k∈Z.
(2)由sin θ-cos θ=-144,得sinπ4-θ=74.∵θ∈0,π4,∴cosπ4-θ=34,∴2cos2θ-1cosπ4+θ=cos2θsinπ4-θ=sinπ2-2θsinπ4-θ=sin2π4-θsinπ4-θ=2cosπ4-θ=32.
【答案】(1)kπ-π3,kπ+π6,k∈Z (2)D
【拓展训练2】(1)若2cosxsinx+π4sin2x=34,则tanx+7π4= .
(2)若函数f(x)=1+cos2x4sinπ2+x-asin x2cosπ-x2的最大值为2,则a= .
【解析】(1)∵cosx(sinx+cosx)2sinxcosx=tanx+12tanx=34,
∴tan x=2,
∴tanx+7π4=tanx-π4=tanx-11+tanx=13.
(2)f(x)=2cos2x4cosx+asinx2cos x2=12cos x+12asin x=14+a24sin(x+φ),其中tan φ=1a,由已知得1+a24=4,解得a=±15.
【答案】(1)13 (2)±15
微专题三
解三角形
解三角形是必考内容,而且常与三角恒等变换公式相结合.复习备考时,应做到:
1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用.
2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换.
【例3】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知acos B=bcos A,边BC上的中线长为4.
(1)若A=π6,求c;
(2)求△ABC面积的最大值.
【分析】(1)先由正弦定理与两角和与差的正弦公式求得角B,从而求得c与a的关系,再用余弦定理求得c的值;(2)先用余弦定理求得a,再用三角形面积公式结合基本不等式即可求得△ABC面积的最大值.
【解析】(1)由acos B=bcos A及正弦定理得sin Acos B=sin Bcos A,
∴sin(A-B)=0,∴B=A=π6,∴c=3a.
由余弦定理得16=c2+a22-2c·a2cos π6,
解得c=8217.
(2)由A=B知c=2acos A,
∵16=c2+a22-2c·a2cos A,∴a2=641+8cos2A,
∴S△ABC=12acsin A=64sinAcosAsin2A+9cos2A.
∵sin2A+9cos2A≥6sin Acos A,当且仅当sin A=3cos A时,等号成立,
∴S△ABC=64sinAcosAsin2A+9cos2A≤323,
即△ABC面积的最大值为323.
【拓展训练3】(2017四川省资阳市联考)如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足2c-acosA=bcosB,D是BC边上的一点.
(1)求角B的大小;
(2)若AC=7,AD=5,DC=3,求AB的长.
【解析】(1)由2c-acosA=bcosB,得2ccos B-acos B=bcos A,即2ccos B=acos B+bcos A.
由正弦定理,得2sin Ccos B=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin C,所以cos B=22.
又0°
由余弦定理得cos∠ADC=AD2+DC2-AC22AD·DC=52+32-722×5×3=-12,
所以∠ADC=120°,∠ADB=60°.
在△ABD中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°,
由正弦定理,得ABsin∠ADB=ADsinB,
所以AB=AD·sin∠ADBsinB=5sin60°sin45°=5×3222=562.
微专题四
平面向量
平面向量是高考热点,每年必有一道题,一般以选择题或填空题的形式出现,考查的内容包括:向量的基本概念、向量的线性运算、向量的坐标运算和向量的数量积.复习备考时,应做到:
1.重视向量的概念,熟练掌握向量加减法及几何意义.
2.理解平面向量基本定理的意义、作用,会运用定理表示向量,然后再进行向量运算.
3.理解数量积的意义,掌握求数量积的各种方法,理解数量积的运算性质,并能利用数量积解决向量的几何问题.
【例4】(1)(2017河南省开封市届高三上学期月考)已知向量a=(1,3),b=(3,m),且b在a方向上的投影为3,则向量a与b夹角为 .
(2)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=4,BC=2,∠ABC=60°,动点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=λBC,DF=19λDC,则AE·AF的最小值为 .
【分析】(1)由b在a方向上的投影为3,可得m的值,再利用夹角公式可得向量a与b夹角的大小.(2)利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式,根据具体的形式求最值.
【解析】(1)b在a方向上的投影为3,即|b|cos
∴cos
∴向量a与b夹角为30°.
(2)由题意得AD=BC=CD=2,
则AE·AF=(AB+BE)·(AD+DF)
=(AB+λBC)·(AD+19λDC)
=AB·AD+λBC·AD+19λAB·DC+19BC·DC
=4×2×cos 60°+λ×2×2×cos 60°+19λ×4×2+19×2×2×cos 120°
=349+2λ+89λ≥589(当且仅当λ=23时等号成立).
【答案】(1)30° (2)589
【拓展演练4】(1)已知a,b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题:
P1:|a+b|>2⇔θ∈0,π2
P2:|a+b|>2⇔θ∈0,π2
P3:|a-b|>2⇔θ∈π2,π
P4:|a-b|>2⇔θ∈π2,π
其中真命题是( ).
A.P1,P4 B.P1,P3
C.P2,P3 D.P2,P4
(2)向量a,b,c满足|a|≥1,|a+b|=|a-b|=2,(c-a)·(c-b)=3,则|c|的取值范围为 .
【解析】(1)由|a+b|>2得a2+2a·b+b2>2,∴a·b>0,∴θ∈0,π2,故P2正确.
由|a-b|>2得a2-2a·b+b2>2,∴a·b<0,∴θ∈π2,π,故P4正确.
(2)∵|a+b|=|a-b|=2,∴a⊥b,则(c-a)·(c-b)=c2-c·(a+b)=3,
∴cos
【答案】(1)D (2)[1,3]
微专题五
自主招生真题赏析
本专题供参加自主招生考试的学生使用
1.A、B、C为△ABC的内角,且△ABC不为直角三角形.
(1)求证:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
(2)当3tan C-1=tanB+tanCtanA,且sin 2A、sin 2B、sin 2C的倒数成等差数列时,求cosC-A2的值.
【解析】(1)由题意可得A+B+C=π,则A+B=π-C.两边同时取正切得,tan(A+B)=tan(π-C),则tanA+tanB1-tanAtanB=-tan C,所以tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
(2)由3tan C-1=tanB+tanCtanA得,3tan Atan C-tan A=tan B+tan C,3tan Atan C=tan A+tan B+tan C.
又由(1)知3tan Atan C=tan Atan Btan C,
所以tan B=3,B=π3.又2sin2B=1sin2A+1sin2C,
所以sin2A+sin2Csin2Asin2C=2sin2B=232=43,
即2sin(A+C)cos(A-C)-12[cos(2A+2C)-cos(2A-2C)]=43.
将A+C=23π代入上式得,3cos(A-C)-12-12-cos(2A-2C)=43,化简得3cos(A-C)=1+2cos(2A-2C)=4cos2(A-C)-1,即4cos2(A-C)-3cos(A-C)-1=0,
则cos(A-C)=1(此时△ABC为等边三角形)或cos(A-C)=-14.
因为cosC-A2>0,
所以cosC-A2=1+cos(C-A)2=1或64.
2.在△ABC中,tan A∶tan B∶tan C=1∶2∶3,求ACAB的值.
【解析】在△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.设tan A=k,tan B=2k,tan C=3k,则6k=6k3,解得k=0(舍去),k=1或k=-1(舍去),即tan A=1,tan B=2,tan C=3.
故ACAB=sinBsinC=223.
3.实数A、B、C满足A+B+C=π,cos A+cos B+cos C=1,求证:(1-cos A)(1-cos B)(1-cos C)=0.
【解析】因为C=π-A-B,cos A+cos B-cos(A+B)=1,
所以2cosA+B2cosA-B2-2cos2A+B2-1=1,
整理得2cosA+B2cosA-B2-cosA+B2=0,
即cosA+B2(-2)sinA2·sin-B2=0,
解得sinA2=0或sinB2=0或cosA+B2=0.
若sinA2=0,则1-cos A=1-1-2sin2A2=2sin2A2=0;
若sinB2=0,则1-cos B=1-1-2sin2B2=2sin2B2=0;
若cosA+B2=0,则A+B2=kπ+π2,k∈Z,得A+B=2kπ+π,
所以C=-2kπ.故1-cos C=0.
综上可得,(1-cos A)(1-cos B)(1-cos C)=0.
4.在△ABC中,AB=2AC,线段AD是∠A的角平分线,且AD=kAC.
(1)求k的取值范围.
(2)若S△ABC=1,问:当k为何值时,BC最短?
【解析】(1)设AC=t,∠BAC=2θ.
由S△ABD+S△ACD=S△ABC得12·2t·ktsin θ+12·t·ktsin θ=12·2t·tsin 2θ,即ksin θ+12ksin θ=sin 2θ.
即32ksin θ=2sin θcos θ,所以k=43cos θ.
因为θ∈0,π2,所以k∈0,43.
(2)由S△ABC=12·2t·t·sin 2θ=1得t2sin 2θ=1,即t2=1sin2θ.
令u=BC2=(2t)2+t2-2·2t·t·cos 2θ=5t2-4t2cos 2θ=5sin2θ-4cos2θsin2θ=5-4cos2θsin2θ,
所以5-4cos 2θ=usin 2θ,则5=usin 2θ+4cos 2θ=u2+16sin(2θ+φ)≤u2+16,其中tan φ=4u,u≥3.
所以BCmin=3,等号成立,此时sin(2θ+φ)=1.
因为φ=arctan43,2θ=π2-arctan43,cos 2θ=sin(arctan43)
=45=2cos2θ-1,
所以cos θ=910=31010,k=2105,
即当k=2105时,BC最短,为3.
阶段检测三
一、选择题
1.(2017江西南昌模拟)已知向量a=(2,x),b=(1,-1),且a∥b,则|a|=( ).
A.3 B.22 C.23 D.5
【解析】∵a∥b,∴x=-2,则|a|=22.
【答案】B
2.(2017北京东城区模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=3,B=π4,则a=( ).
A.32 B.263 C.322 D.32
【解析】由正弦定理得a=bsinAsinB=32.
【答案】D
3.(2017河南模考)将函数y=sin3x2-π6的图象向左平移π3个单位后得到函数y=sin3x2+φ的图象,则cos 4φ=( ).
A.-12 B.12 C.-32 D.32
【解析】由题意得φ=2kπ+π3(k∈Z),则cos 4φ=cos4π3=-cosπ3=-12.
【答案】A
4.(2017贵阳八校联考)在斜三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,3absin 2C=a2+b2-c2,则sin(π+C)=( ).
A.-16 B.-13 C.-23 D.13
【解析】由3absin 2C=a2+b2-c2,得3sin Ccos C=a2+b2-c22ab=cos C.∵cos C≠0,∴sin C=13,则sin(π+C)=-13.
【答案】B
5.(2017东北三校联考)向量a,b满足|a|=3,|b|=2,(a-b)·(a+2b)=-2,则a与b的夹角为( ).
A.2π3 B.π3 C.5π6 D.π6
【解析】由(a-b)·(a+2b)=-2,得a2+a·b-2b2=-2,∴a·b=-3,∴cos
【答案】A
6.(2017山西一模)已知4cosθ+π3cosθ-π6=sin 2θ,则tan2θ-π6等于( ).
A.16 B.39 C.-36 D.-33
【解析】由已知得-4sinθ-π6cosθ-π6=-2sin2θ-π3=-sin 2θ+3cos 2θ=sin 2θ,即tan 2θ=32,∴tan2θ-π6=32-331+32×33=39.
【答案】B
7.(2017上海质检)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)+1|φ|<π2,若f(x)≤1对∀x∈-π3,-π12恒成立,则fπ4的最小值是( ).
A.1 B.2 C.-1 D.-3+1
【解析】当x∈-π3,-π12时,2x+φ∈-2π3+φ,-π6+φ,∵|φ|<π2,f(x)≤1,
∴-π6+φ≤0,-2π3+φ≥-π,得-π3≤φ≤π6,则π2+φ∈π6,2π3,∴fπ4的最小值是2.
【答案】B
8.(2017中山模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3asin B=c,cos B=255,D是AC的中点,且BD=26,则△ABC的面积为( ).
A.5 B.43 C.6 D.62
【解析】由cos B=255,得sin B=55.
∵3asin B=c,
∴35sin A=5sin C,
即35sin A=5sin(A+B),则sin A=cos A,得tan A=1,∴A=π4,则c2+14b2-22bc=26.又c=355a,b=105a,∴95a2+110a2-35a2=26,解得a=25,∴b=22,c=6,则△ABC的面积为12bcsin A=6.
【答案】C
二、填空题
9.(2017佛山质检)函数f(x)=2sin(17π-x)+tan x在-π3,π4上的最小值为 .
【解析】∵函数y=f(x)在-π3,π4上单调递增,∴其最小值为f-π3=-23.
【答案】-23
10.(2017石家庄三校联考)已知x∈(0,π),sinπ3-x=cos2x2+π4,则tan x= .
【解析】由已知得32cos x-12sin x=cosx+π2+12,化简得cos x=33.又∵x∈(0,π),∴sin x=63,∴tan x=2.
【答案】2
11.(2017武汉质检)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,asinA+bsinB-csinCsinBsinC=233a,a=23.若b∈[1,3],则c的最小值为 .
【解析】由asinA+bsinB-csinCsinBsinC=233a及正弦定理,得a2+b2-c22ab=33sin C,即3cos C=3sin C⇒tan C=3,故cos C=12,∴c2=b2-23b+12=(b-3)2+9,∵b∈[1,3],∴当b=3时,c取得最小值3.
【答案】3
12.(2017长沙三模)在平行四边形ABCD中,∠BAD=60°,E是CD上一点,且AE=12AB+BC, |AB|=λ|AD|.若AC·EB=12AD2,则λ= .
【解析】由AE=12AB+BC,得DE=12AB=12DC,即E是CD的中点,
则AC·EB=(AB+AD)·12AB-AD=12AB2-12AB·AD-AD2.又∵∠BAD=60°,|AB|=λ|AD|,AC·EB=12AD2,∴2λ2-λ-6=0,得λ=2或λ=-32(舍去).
【答案】2
三、解答题
13.(2017江西九江联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3bsin A=23asin C.
(1)若A+3C=π,求sin B的值;
(2)若c=3,△ABC的面积为32,求a的值.
【解析】(1)∵A+B+C=π,A+3C=π,∴B=2C.
由3bsin A=23asin C,得233=2sinCcosCsinC,解得cos C=33.
∴sin C=1-cos2C=1-13=63,
∴sin B=sin 2C=2sin Ccos C=2×63×33=223.
(2)由3bsin A=23asin C,得bc=233.
∵c=3,∴b=23.
又∵△ABC的面积为12bcsin A=12×23×3sin A=32,
∴sin A=63,则cos A=±33,
∴a2=b2+c2-2bccos A,∴a=3或a=33.
滚动检测二
一、选择题
1.(2017甘肃二模)设向量a=(2,m),b=(1,-1).若b⊥(a+2b),则实数m等于( ).
A.2 B.4 C.6 D.-3
【解析】∵b⊥(a+2b),∴b·(a+2b)=0,即4-m+2=0,得m=6.
【答案】C
2.(2017福建模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2absinA=3,则sin(π+B)等于( ).
A.34 B.-34 C.23 D.-23
【解析】由正弦定理得sin B=bsinAa=23,∴sin(π+B)=-23.
【答案】D
3.(2017河南质检)已知角θ的终边过点(2,3),则tan7π4+θ等于( ).
A.-15 B.15 C.-5 D.5
【解析】由已知得tan θ=32,则tan7π4+θ=tanθ-11+tanθ=15.
【答案】B
4.(2017西安联考)已知函数y=2x-3x的零点为a,则有( ).
A.a∈(-1,0)
B.a∈(0,1)
C.a∈{y|y=5x-1+2}
D.a∈{x|log12(x-1)>-1}
【解析】由已知得a∈(1,2),又{y|y=5x-1+2}={y|y>2},{x|log12(x-1)>-1}={x|1
【答案】D
5.(2017厦门二模)已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=ax2x+1.若曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线的斜率为-1,则实数a为( ).
A.-34 B.43 C.32 D.-32
【解析】当x>0时,f'(x)=ax2+2ax(x+1)2,∵函数f(x)是偶函数,f'(-1)=-1,∴f'(1)=1,即3a4=1,得a=43.
【答案】B
6.(2017沈阳三校联考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2bsin 2A=3asin B,且c=2b,则ab等于( ).
A.32 B.43 C.2 D.3
【解析】由2bsin 2A=3asin B,得4sin Bsin Acos A=3sin Asin B,∴cos A=34.
又∵c=2b,∴a2=b2+c2-2bccos A=2b2,∴ab=2.
【答案】C
7.(2017湖南八校联考)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ0<φ<π2个单位长度后得到函数g(x)的图象.若函数g(x)在区间0,π3上单调递增,且函数g(x)的最大负零点在区间-π3,-π12上,则φ的取值范围为( ).
A.π12,π4 B.π6,5π12
C.π6,π3 D.π6,π4
【解析】由题意知g(x)=sin(2x-2φ),则函数g(x)的单调递增区间为kπ-π4+φ,kπ+π4+φ(k∈Z),∵0<φ<π2,∴0,π3∈-π4+φ,π4+φ,∴-π4+φ≤0,π4+φ≥π3,解得π12≤φ≤π4.由2x-2φ=kπ,得x=kπ2+φ(k∈Z),∴函数g(x)的最大负零点为φ-π2,则-π3<φ-π2<-π12,解得π6<φ<5π12.
综上可知,φ的取值范围为π6,π4.
【答案】D
8.(2017四川质检)设M(x1,f(x1))和N(x2,g(x2))分别是函数f(x)=ex-12x2和g(x)=x-1图象上的点,且x1≥0,x2>0.若直线MN∥x轴,则M,N两点间的最短距离为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】∵f(x1)=g(x2),∴ex1-12x12=x2-1,∴M,N两点间的距离为|x2-x1|=ex1-12x12+1-x1.设h(x)=ex-12x2-x+1,则h'(x)=ex-x-1,当x≥0时,(ex-x-1)'=ex-1≥0,∴函数y=h'(x)在[0,+∞)上单调递增,则h'(x)≥h'(0)=0,∴函数y=h(x)在[0,+∞)上单调递增,则h(x) ≥h(0)=2.
【答案】B
二、填空题
9.(2017山西运城联考)函数f(x)=cosπx+π3与直线y=0,x=13,x=1所围成的平面图形的面积为 .
【解析】113 f(x)dx=113 cosπx+π3dx
=1πsinπx+π3 13 1=3π,
故所求平面图形的面积为3π.
【答案】3π
10.(2017哈尔滨质检)已知非零向量a,b满足2|a|=3|b|,|a-2b|=|a+b|,则a与b的夹角的余弦值为 .
【解析】由|a-2b|=|a+b|,得2a·b=b2,∴2|a|·|b|cos
【答案】13
11.(2017唐山三校联考)在△ABC中,∠C=90°,AB=3,AC=1,若AC=2BD-CB,则CD·CB= .
【解析】由AC=2BD-CB,得AB=2BD,∴AD=32AB.又∵cos A=13,∴CD·CB=(AD-AC)·(AB-AC)=32AB-AC·(AB-AC)=12.
【答案】12
12.(2017河北衡水一模)已知函数f(x)=3-m·3x3x,g(x)=log2(x2+x+2).若对任意x1∈[-1,2],存在x2∈[0,3],使得f(x1)≥g(x2),则m的取值范围是 .
【解析】若对任意x1∈[-1,2],存在x2∈[0,3],使得f(x1)≥g(x2),则f(x)min≥g(x)min.∵函数f(x)=3-m·3x3x=13x-1-m在[-1,2]上单调递减,g(x)在[0,3]上单调递增,∴f(2)=13-m≥g(0)=1,∴m≤-23.
【答案】-∞,-23
三、解答题
13.(2017海南八校二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos B=(3c-b)cos A.
(1)若asin B=22,求b的值;
(2)若a=22,△ABC的面积为2,求△ABC的周长.
【解析】(1)∵acos B=(3c-b)cos A,
∴sin Acos B=3sin Ccos A-sin Bcos A,
即sin Acos B+sin Bcos A=sin C=3sin Ccos A.
∵sin C≠0,∴cos A=13,则sin A=223.
∵asin B=22,∴b=asinBsinA=3.
(2)∵△ABC的面积为2,∴23bc=2,得bc=3.
∵a=22,∴b2+c2-23bc=8,
∴(b+c)2-83bc=8,即(b+c)2=16.
∵b>0,c>0,∴b+c=4,
∴△ABC的周长为a+b+c=4+22.
14.(2017江西吉安模拟)已知函数f(x)=(2x+b)ex,F(x)=bx-ln x,b∈R.
(1)若b<0,且存在区间M,使f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性,求b的取值范围.
(2)若F(x+1)>b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范围.
【解析】(1)f'(x)=ex(2x+b+2),
由f'(x)<0得x<-b+22;由f'(x)>0得x>-b+22.
F(x)的定义域为(0,+∞),且 F'(x)=b-1x=bx-1x.
∵b<0,∴F'(x)<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减.
∵存在区间M,使f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性,∴-b+22>0,得b<-2.
故b的取值范围是(-∞,-2).
(2)由F(x+1)>b得ln(x+1)-bx<0.
设g(x)=ln(x+1)-bx,则g'(x)=11+x-b.
若F(x+1)>b对任意x∈(0,+∞)恒成立,则g(x)<0对任意x∈(0,+∞)恒成立.
(i)若b≥1,则当x∈(0,+∞)时,g'(x)=11+x-b<0,
∴g(x)=ln(1+x)-bx在(0,+∞)上为减函数,
∴g(x)=ln(1+x)-bx
∴g(x)=ln(1+x)-bx在(0,+∞)上为增函数,
∴g(x)=ln(1+x)-bx>g(0)=0,不能使g(x)<0在(0,+∞)上恒成立.
(iii)若0
∴对任意x∈0,1b-1,g(x)=ln(1+x)-bx>g(0)=0,∴不能使g(x)<0在(0,+∞)上恒成立.
综上所述,b的取值范围是[1,+∞).
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