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全国版高考数学必刷题：第三单元 基本初等函数
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这是一份全国版高考数学必刷题：第三单元 基本初等函数，共47页。学案主要包含了变式训练1，变式训练2，变式训练3，突破训练1，突破训练2，拓展训练1，拓展训练2，拓展训练3等内容，欢迎下载使用。
第三单元 基本初等函数(Ⅰ)
考点一
化简求值类
1.(2017年北京卷)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是( ).
(参考数据:lg 3≈0.48)
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
【解析】由题意得,lgMN=lg33611080=lg 3361-lg 1080=361lg 3-80lg 10≈361×0.48-80×1=93.28.
又lg 1033=33,lg 1053=53,lg 1073=73,lg 1093=93,
故与MN最接近的是1093.
故选D.
【答案】D
2.(2015年浙江卷)若a=log43,则2a+2-a= .
【解析】∵a=log43=log223=12log23=log23,
∴2a+2-a=2log23+2-log23=3+2log233=3+33=433.
【答案】433
3.(2015年山东卷)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .
【解析】当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为增函数,由题意得a-1+b=-1,a0+b=0,无解.当0
考点二
比较大小类
4.(2016年全国Ⅰ卷)若a>b>1,0
∴当a>b>1,0bc,选项A不正确.
∵y=xα,α∈(-1,0)在(0,+∞)上是减函数,
∴当a>b>1,0bac,选项B不正确.
∵a>b>1,∴lg a>lg b>0,∴alg a>blg b>0,
∴algb>blga.又∵0
【答案】C
5.(2017年天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( ).
A.a
已知f(x)在R上是增函数,可设0
又log25.1>0,20.8>0,3>0,且log25.1
故选C.
【答案】C
6.(2017年全国Ⅰ卷)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( ).
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
【解析】令t=2x=3y=5z,
∵x,y,z为正数,∴t>1,则x=log2t=lgtlg2,
同理,y=lgtlg3,z=lgtlg5.
∴2x-3y=2lgtlg2-3lgtlg3
=lgt(2lg3-3lg2)lg2×lg3=lgt(lg9-lg8)lg2×lg3>0,
∴2x>3y.
又∵2x-5z=2lgtlg2-5lgtlg5=lgt(2lg5-5lg2)lg2×lg5
=lgt(lg25-lg32)lg2×lg5<0,
∴2x<5z,∴3y<2x<5z.故选D.
【答案】D
考点三
函数应用类
7.(2017年全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( ).
A.-12 B.13 C.12 D.1
【解析】f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=(x-1)2+a[ex-1+e-(x-1)]-1,
令t=x-1,则g(t)=f(t+1)=t2+a(et+e-t)-1.
∵g(-t)=(-t)2+a(e-t+et)-1=g(t),
∴函数g(t)为偶函数.
∵f(x)有唯一零点,∴g(t)也有唯一零点.
又∵g(t)为偶函数,由偶函数的性质知g(0)=0,
∴2a-1=0,解得a=12.故选C.
【答案】C
8.(2016年山东卷)已知函数f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m,其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 .
【解析】
作出f(x)的图象如图所示.当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,∴要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m20.又m>0,解得m>3.
【答案】(3,+∞)
高频考点:二次函数、指数函数、对数函数的图象和性质及其应用,关于指数函数、对数函数的复合函数,特别是涉及指数函数、对数函数、幂函数有关知识的大小关系的比较.
命题特点:以选择题、填空题的形式考查,题目注重基础.
§3.1 二次函数与幂函数
一
二次函数
1.二次函数解析式的三种形式
一般式:f(x)= (a≠0).
顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为 .
两根式(交点式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2分别为f(x)=0的两个实根.(函数对应的方程有实根的情况)
2.二次函数的图象与性质
函数
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域
R
值域
4ac-b24a,+∞
-∞,4ac-b24a
单调性
在-∞,-b2a上单调递减,在-b2a,+∞上单调递增
在-∞,-b2a上单调递增,在-b2a,+∞上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x=-b2a对称
二
幂函数
1.定义:形如 (α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
2.五种常见幂函数的图象
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.( )
(2)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的最值一定是4ac-b24a.( )
(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0).( )
(4)当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数.( )
2 已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2),若f(m)=3,则实数m的值为 .
3 函数y=x13的大致图象是( ).
4 已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是 .
5 幂函数y=xm2-4m(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为 .
知识清单
一、1.ax2+bx+c (h,k)
二、1.y=xα
基础训练
1.【解析】(1)错误,当b=0时,二次函数y=ax2+c(x∈R)是偶函数.
(2)错误,因为x∈[a,b],所以该函数的最值也可能在端点处取得.
(3)错误,当α<0时,y=xα的图象不经过点(0,0).
(4)正确,当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数.
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√
2.【解析】由已知得2=4α,则α=12,所以f(m)=m12=3,解得m=9.
【答案】9
3.【解析】取值验证可知,函数y=x13的大致图象是选项B中的图象.
【答案】B
4.【解析】因为f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,所以Δ=1-20a<0且a>0,解得a>120.
【答案】120,+∞
5.【解析】∵y=xm2-4m(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点,∴m2-4m<0,即0
【答案】2
题型一
二次函数的图象与性质
【例1】已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
(1)若y=f(x)在[-4,6]上是单调函数,求实数a的取值范围;
(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
【解析】(1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=-2a2=-a,
∵f(x)在[-4,6]上为单调函数,∴-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.
故实数a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).
(2)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3
=x2+2x+3=(x+1)2+2,x≤0,x2-2x+3=(x-1)2+2,x>0,
其图象如图所示.
又∵x∈[-4,6],∴f(|x|)的单调递减区间是[-4,-1)和[0,1),单调递增区间是[-1,0)和[1,6].
解决二次函数的图象与性质的问题,关键是充分利用图象的对称轴及图象与坐标轴的交点.
【变式训练1】函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是( ).
A.[-3,0) B.(-∞,-3] C.[-2,0] D.[-3,0]
【解析】当a=0时,f(x)=-3x+1,它在[-1,+∞)上单调递减,满足题意;
当a≠0时,f(x)图象的对称轴为直线x=3-a2a,
由f(x)在[-1,+∞)上单调递减,知a<0,3-a2a≤-1,解得-3≤a<0.
综上可知,实数a的取值范围是[-3,0],故选D.
【答案】D
题型二
二次函数最值的求法
【例2】已知m∈R,函数f(x)=-x2+(3-2m)x+2+m.
(1)若0
【解析】(1)函数f(x)图象的对称轴为直线x=3-2m2,∵00,∴g(m)=4-m.
(2)函数f(x)图象的对称轴为直线x=3-2m2,且函数图象开口向下.
∵m∈(0,1],∴3-2m2>0.
∴当3-2m2
解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”是指区间的两个端点和中点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
【变式训练2】已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在[0,1]上的最大值为2,求a的值.
【解析】函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1的图象的对称轴为直线x=a,且开口向下,分三种情况讨论:
当a≤0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在[0,1]上是减函数,∴f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1;
当0
∵0
综上可知,a=-1或a=2.
题型三
幂函数的图象和性质
【例3】已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上函数值随着x的增大而减小,则满足(a+1)-m3<(3-2a)-m3的实数a的取值范围为 .
【解析】由题意可知该幂函数在(0,+∞)上单调递减,因此3m-9<0,即m<3,又m∈N*,故m=1或m=2.
由函数y=x3m-9的图象关于y轴对称,得3m-9为偶数,所以m=1,故(a+1)-13<(3-2a)-13.
因为函数y=x-13在(0,+∞)和(-∞,0)上单调递减,
所以a+1>3-2a>0或3-2a
若幂函数y=xa(a∈Z)是偶函数,则a必为偶数.若幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递增,则a>0;若幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递减,则a<0.
【变式训练3】已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)在(0,+∞)上是减函数,则n的值为( ).
A.-3 B.1 C.2 D.1或2
【解析】因为f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3.
当n=1时,f(x)=x-2=1x2,它在(0,+∞)上是减函数.
当n=-3时,f(x)=x18,它在(0,+∞)上是增函数.
所以n=1符合题意,故选B.
【答案】B
方法一
利用待定系数法求二次函数的解析式
根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,但所给条件不同,选取的求解方法也不同,选择规律如下:
【突破训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由题意得4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,4ac-b24a=8,解得a=-4,b=4,c=7.
故所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
方法二
分类讨论思想在求解含参数的二次函数的最值问题中的应用
二次函数在某个区间上的最值问题的处理,常常要利用数形结合思想和分类讨论思想,若二次函数的表达式中含有参数或所给区间是变化的,则需要观察二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系),抓住顶点的横坐标是否属于该区间,结合函数的单调性进行分类讨论.
【突破训练2】已知函数f(x)=x2+mx+3,x∈[-1,5],求f(x)的最小值.
【解析】函数f(x)=x+m22+3-m24(x∈[-1,5])的图象关于直线x=-m2对称.
当-m2≤-1,即m≥2时,f(x)在[-1,5]上为增函数,
∴f(x)min=f(-1)=1-m+3=4-m.
当-1<-m2≤5,即-10≤m<2时,f(x)min=f-m2=3-m24.
当-m2>5,即m<-10时,f(x)在[-1,5]上为减函数,
∴f(x)min=f(5)=25+5m+3=28+5m.
综上可知,当m≥2时,f(x)min=4-m;
当-10≤m<2时,f(x)min=3-m24;
当m<-10时,f(x)min=28+5m.
1.(江西赣州厚德外国语学校2018届检测)已知二次函数y=x2+2(a-2)x+5在(4,+∞)上是增函数,则a的取值范围是( ).
A.a≤-2 B.a≥-2 C.a≤-6 D.a≥-6
【解析】由已知得该函数图象的对称轴为直线x=2-a.∵该函数在(4,+∞)上是增函数,∴2-a≤4,可得a≥-2,故选B.
【答案】B
2.(2017山东青岛模拟)若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)=3f(2),则f12的值为( ).
A.13 B.12 C.23 D.43
【解析】设f(x)=xa,∵f(4)=3f(2),∴4a=3×2a,解得a=log23,∴f12=12log23=13.
【答案】A
3.(教材改编)已知函数y=ax2+bx+c,若a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是( ).
【解析】由a+b+c=0,a>b>c知a>0,c<0,排除A,C.又因为f(0)=c<0,所以排除B,故选D.
【答案】D
4.(2017浙江湖州模拟)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),那么( ).
A.f(-2)
5.(山东临沂一中2018届月考)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax-5)的图象关于直线x=0对称,则f(x)的最大值是( ).
A.-4 B.4 C.4或-4 D.-5
【解析】依题意,函数f(x)是偶函数,则y=x2+ax-5是偶函数,故a=0.因此f(x)=(1-x2)(x2-5)=-x4+6x2-5=-(x2-3)2+4,当x2=3时,f(x)取得最大值4.
【答案】B
6.(广东茂名2018届五大联盟联考)已知幂函数f(x)=xa的图象过点3,13,则函数g(x)=(2x-1)f(x)在12,2上的最小值是( ).
A.-1 B.0 C.-2 D.32
【解析】由题意知3a=13,解得a=-1,故g(x)=(2x-1)x-1=2-1x,它在12,2上单调递增,则当x=12时,g(x)取得最小值,最小值是g12=2-2=0.
【答案】B
7.(2017北京昌平区模拟)已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是( ).
A.[0,+∞) B.(-∞,0]
C.[0,4] D.(-∞,0]∪[4,+∞)
【解析】由f(2+x)=f(2-x)可知,函数f(x)的图象的对称轴为直线x=2.又因为函数f(x)在[0,2]上是增函数,所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4,故选C.
【答案】C
8.(2017湖北八校联考)已知二次函数的图象与x轴只有一个交点,对称轴为直线x=3,且与y轴交于点(0,3),则它的解析式为 .
【解析】由题意可设二次函数的解析式为y=a(x-3)2.因为其图象与y轴交于点(0,3),所以3=9a,得a=13,所以y=13(x-3)2=13x2-2x+3.
【答案】y=13x2-2x+3
9.(2017河北保定期末)设a>0,若函数y=8x,当x∈[a,2a]时,y的取值范围为a4,2,则a的值为( ).
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】由题意知8a=2,82a=a4,解得a=4.
【答案】B
10.(2017广东揭阳第二次月考)若函数f(x)=x2+a|x|+a(x∈R)在[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,则实数a的取值范围是( ).
A.-113,-3 B.[-6,-4]
C.[-3,-22] D.[-4,-3]
【解析】∵f(-x)=x2+a|x|+a=f(x),∴f(x)在R上是偶函数.由函数f(x)在[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,可知f(x)在[1,2]上是减函数,∴只需-a2∈[2,3],解得-6≤a≤-4,故选B.
【答案】B
11.(2017江西九江一中期中)函数f(x)=(m2-m-1)·x4m9-m5-1是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值( ).
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
【解析】由题意知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.∵f(x)=(m2-m-1)x4m9-m5-1是幂函数,∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.
当m=2时,指数4×29-25-1=2015>0,满足题意;
当m=-1时,指数4×(-1)9-(-1)5-1=-4<0,不满足题意.
∴f(x)=x2015.∴幂函数f(x)=x2015是定义在R上的奇函数,且是增函数.
又∵a,b∈R,且a+b>0,∴a>-b.
又ab<0,不妨设b<0,则a>-b>0,∴f(a)>f(-b)>0.
又f(-b)=-f(b),∴f(a)>-f(b),∴f(a)+f(b)>0.
故选A.
【答案】A
12.(河南南阳一中2018届月考)已知f(x)=1+2x-x2,则g(x)=f(f(x))( ).
A.在(-2,1)上单调递增 B.在(0,2)上单调递增
C.在(-1,1)上单调递增 D.在(1,2)上单调递增
【解析】令t=f(x),则g(x)=f(t).
当x∈(-2,1)时,f(x)在(-2,1)上单调递增,t∈(-7,2),此时f(t)在(-7,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以g(x)在(-2,1)上不是单调函数,A错误;
当x∈(0,2)时,t∈(1,2)且f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,f(t)在(1,2)上单调递减,所以g(x)在(0,2)上不是单调函数,B错误;
当x∈(-1,1)时,f(x)在(-1,1)上单调递增,t∈(-2,2),此时f(t)在(-2,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以g(x)在(-1,1)上不是单调函数,C错误;
当x∈(1,2)时,t∈(1,2)且f(x)在(1,2)上单调递减,f(t)在(1,2)上也单调递减,所以g(x)在(1,2)上单调递增,D正确.
【答案】D
13.(保定市涞水中学2018届第一次调研)若函数f(x)=(x-a)(x+3)为偶函数,则f(2)= .
【解析】因为函数f(x)=(x-a)(x+3)是偶函数,
所以∀x∈R,f(-x)=f(x),
即(-x-a)(-x+3)=(x-a)(x+3),
即x2+(a-3)x-3a=x2-(a-3)x-3a,解得a=3,
所以f(2)=(2-3)×(2+3)=-5.
【答案】-5
14.(2017江苏南京模拟)直线l:x+y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A、B,幂函数y=f(x)的图象经过点(2,4),若点P在y=f(x)的图象上,且△ABP的面积等于3,则所有满足要求的点P的横坐标的和为 .
【解析】由已知得点A(3,0),B(0,3),则|AB|=32.
设幂函数f(x)=xa,
将点(2,4)代入上式得a=2,∴f(x)=x2.
设点P(x,x2),则点P到直线l的距离d=|x+x2-3|2.
∴S△ABP=12×32×|x+x2-3|2=3,
∴x2+x-3=±2,即x2+x-5=0或x2+x-1=0.
由方程可知这样的点P有四个,其横坐标的和为-1-1=-2.
【答案】-2
§3.2 指数与指数函数
一
分数指数幂
1.规定:正数的正分数指数幂的意义是amn=nam(a>0,m,n∈N+,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a-mn=1nam(a>0,m,n∈N+,且n>1);0的正分数指数幂等于 ;0的负分数指数幂 .
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras= (a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s= (a>0,r,s∈Q);
(3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).
二
指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0
定义域
值域
性质
过定点 ,即当x=0时,y=
在R上是增函数
在R上是
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)nan=(na)n=a.( )
(2)(-1)24=(-1)12.( )
(3)函数y=a-x是R上的增函数.( )
2 已知函数f(x)=ax-2+2的图象恒过定点A,则点A的坐标为( ).
A.(0,1) B.(2,3) C.(3,2) D.(2,2)
3 设a=22.5,b=2.50,c=122.5,则a,b,c的大小关系是( ).
A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c
4 计算:32-13×-760+814×42--2323= .
5 若指数函数y=(2-a)x在定义域内是减函数,则a的取值范围是 .
6 设x+x-1=3,则x2+x-2的值为 .
知识清单
一、1.0 没有意义
2.(1)ar+s (2)ars (3)arbr
二、R (0,+∞) (0,1) 1 减函数
基础训练
1.【解析】(1)错误,当n是偶数时结论不成立.
(2)错误,应为(-1)24=112=1.
(3)错误,当a>1时,函数y=a-x是R上的减函数.
【答案】(1)× (2)× (3)×
2.【解析】由x-2=0,y=1+2,得x=2,y=3,所以函数f(x)的图象恒过定点A(2,3).
【答案】B
3.【解析】因为a=22.5>1,b=2.50=1,c=122.5<1,所以a>b>c.
【答案】C
4.【解析】原式=2313+2-2313=2.
【答案】2
5.【解析】因为y=(2-a)x在定义域内是减函数,所以0<2-a<1,解得1
6.【解析】因为x+x-1=3,所以x2+x-2=(x+x-1)2-2=7.
【答案】7
题型一
指数幂的运算
【例1】化简下列各式:
(1)[(0.06415)-2.5]23-3338-π0;
(2)a43-8a13b4b23+23ab+a23÷a-23-23ba·a·3a25a·3a.
【解析】(1)原式=64100015-5223-27813-1=410315×-52×23-32313-1=52-32-1=0.
(2)原式=a13[(a13)3-(2b13)3](a13)2+a13·2b13+(2b13)2÷a13-2b13a·(a·a23)12(a12·a13)15=a13(a13-2b13)·aa13-2b13·a56a16=a13·a·a23=a2.
指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,然后根据法则计算,注意运算顺序.
【变式训练1】化简下列各式:
(1)2350+2-2×214-12-(0.01)0.5;
(2)56a13·b-2·(-3a12b-1)÷(4a23b-3)12.
【解析】(1)原式=1+14×4912-110012=1+14×23-110=1+16-110=1615.
(2)原式=-52a56b-3÷(4a23b-3)12=-52a56b-3÷(2a13b-32)=-54a12b-32=-5ab4b2.
题型二
指数函数的图象及其应用
【例2】(1)已知实数a,b满足等式2017a=2018b,给出下列五个关系式:①0
(2)已知函数f(x)=|2x-1|,af(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( ).
A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0
C.2-a<2c D.2a+2c<2
【解析】(1)
如图,观察易知a,b的关系为a
(2)作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图.
∵af(c)>f(b),∴结合图象知,0
【答案】(1)B (2)D
对有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.
【变式训练2】
函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( ).
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.0
题型三
指数函数的性质及其应用
【例3】已知函数f(x)=13ax2-4x+3.
(1)若f(x)有最大值3,求a的值;
(2)若f(x)的值域是(0,+∞),求不等式f(x)<3-x2+2x的解集.
【解析】令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=13g(x).
(1)因为f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,
因此必有a>0,3a-4a=-1,解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值为1.
(2)由指数函数的性质知,要使f(x)=13g(x)的值域为(0,+∞),应使g(x)=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a≠0,则g(x)为二次函数,其值域不可能为R).
所以原不等式化为13-4x+3<3-x2+2x,即x2-2x<-4x+3,解得-3
在利用指数函数的性质解决相关问题时,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.
【变式训练3】(1)下列大小关系正确的是( ).
A.1.72.5>1.73 B.0.6-1>0.62
C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)<-12的解集是 .
【解析】(1)选项B中,因为y=0.6x是减函数,所以0.6-1>0.62.
(2)由1-2-x>12,得2-x<12=2-1,即x>1.
因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)<-12的解集是(-∞,-1).
【答案】(1)B (2)(-∞,-1)
方法一
利用换元法解决有关指数函数的问题
【突破训练1】函数y=14x-12x+1在[-3,2]上的值域是 .
【解析】令t=12x,则t∈14,8,故y=t2-t+1=t-122+34.
当t=12时,ymin=34;当t=8时,ymax=57.
故所求函数的值域为34,57.
【答案】34,57
方法二
数形结合思想在解题中的应用
【突破训练2】已知x2-ax<12(a>0且a≠1)对任意的x∈(-1,1)恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】由已知得x2-12
当a>1时,在(-1,1)上,要使y2=ax的图象落在y1=x2-12的图象的上方,则a-1≥12,解得a≤2,∴1
1.(2017河北八所重点中学一模)设a>0,将a2a·3a2表示成分数指数幂的形式,其结果是( ).
A.a12 B.a56 C.a76 D.a32
【解析】a2a·3a2=a2-12-13=a76,故选C.
【答案】C
2.(教材改编)已知函数f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的图象经过点(2,1),则f(x)的值域为( ).
A.[9,81] B.[3,9] C.[1,9] D.[1,+∞)
【解析】由f(x)的图象经过点(2,1)可知b=2,因为f(x)=3x-2在[2,4]上是增函数,所以f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.故f(x)的值域为[1,9].
【答案】C
3.(2017徐汇区校级模拟)已知函数f(x)=ax+a-x,且f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值是( ).
A.14 B.13 C.12 D.11
【解析】因为f(1)=a+1a=3,所以f(2)=a2+a-2=a+1a2-2=7,f(0)=1+1=2,所以f(0)+f(1)+f(2)=2+3+7=12,故选C.
【答案】C
4.(2017湖南益阳六中模拟)若00,且ab+a-b=22,则ab-a-b等于( ).
A.6 B.-2或2 C.-2 D.2
【解析】∵ab+a-b=22,∴a2b+a-2b=8-2=6,∴(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=4.∵00,∴ab
5.(2017河南南阳、信阳等六市一模)设x>0,且10,∴b>1.∵bx1.∵x>0,∴ab>1,∴a>b,∴1
6.(2018届河北省保定市涞水县波峰中学第一次调研)已知a=243,b=323,c=2513,则( ).
A.b
7.(2017石家庄模拟)函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)是指数函数,若以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,则f(x1)f(x2)=( ).
A.1 B.a C.2 D.a2
【解析】由题意得x1+x2=0.∵f(x)=ax,∴f(x1)f(x2)=ax1·ax2=ax1+x2=a0=1,故选A.
【答案】A
8.(2016四川宜宾一诊)已知函数f(x)=x-4+9x+1,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的大致图象为( ).
【解析】∵x∈(0,4),∴x+1>1,
∴f(x)=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5≥29x+1·(x+1)-5=1,当且仅当x=2时取等号.
∴a=2,b=1,
∴g(x)=2|x+1|=2x+1,x≥-1,12x+1,x<-1,此函数的图象可以看成由函数y=2x,x≥0,12x,x<0的图象向左平移1个单位长度所得,结合指数函数的图象及选项可知A正确.
【答案】A
9.(教材改编)函数f(x)=12x-2的定义域是 .
【解析】要使函数f(x)=12x-2的解析式有意义,自变量x应满足12x-2≥0,解得x≤-1,故函数f(x)=12x-2的定义域为(-∞,-1].
【答案】(-∞,-1]
10.(教材改编)已知f(x)=9x-13x+1,且f(a)=3,则f(-a)的值为 .
【解析】∵f(x)=9x-13x+1=32x-13x+1=3x-3-x+1,函数f(x)的定义域为R,∴对任意的x∈R,f(-x)=3-x-3-(-x)+1=3-x-3x+1,∴f(x)+f(-x)=(3x-3-x+1)+(3-x-3x+1)=2,∴f(a)+f(-a)=2,∴f(-a)=2-f(a)=2-3=-1.
【答案】-1
11.(衡阳三中2018届月考)当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是( ).
A.(-2,1) B.(-4,3) C.(-3,4) D.(-1,2)
【解析】∵∀x∈(-∞,-1],(m2-m)·4x-2x<0,∴∀x∈(-∞,-1],(m2-m)<12x.∵f(x)=12x在(-∞,-1]上单调递减,∴当x≤-1时,f(x)≥2.
∴m2-m<2,解得-1
12.(山东潍坊2018届第二次月考)对于函数f(x)=4x-m·2x+1,若存在实数x0,使f(-x0)=-f(x0),则实数m的取值范围是( ).
A.-∞,12 B.12,+∞
C.(-∞,-1] D.[1,+∞)
【解析】∵f(-x0)=-f(x0),∴4-x0-m·2-x0+1=-4x0+m·2x0+1,即2m=2x0+2-x0-22x0+2-x0.
令t=2x0+2-x0(t≥2),则2m=t-2t.
∵h(t)=t-2t在[2,+∞)上单调递增,∴h(t)min=h(2)=1.
根据题意,2m≥1,解得m≥12,故选B.
【答案】B
13.(2017安徽江淮十校三模)函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则下列关于f(bx)和f(cx)的大小关系的判断中,正确的是( ).
A.f(bx)≤f(cx)
B.f(bx)≥f(cx)
C.f(bx)>f(cx)
D.大小关系随x的不同而不同
【解析】∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)图象的对称轴为直线x=1,∴b=2.又∵f(0)=3,∴c=3.
∴f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
若x≥0,则3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x).
若x<0,则3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x).
综上可得,f(3x)≥f(2x).
【答案】A
14.(山东罗庄一中2018届第二次质检)设函数f(x)=1210-ax,a为常数,且f(3)=12.
(1)求a的值;
(2)求使f(x)≥4的x的取值范围;
(3)设函数g(x)=-12x+m,对任意的x∈[3,4],不等式f(x)>g(x)恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)∵f(3)=12,∴1210-3a=12,∴10-3a=1,解得a=3.
(2)由已知得1210-3x≥4=12-2,∴10-3x≤-2,
解得x≥4,故f(x)≥4的x的取值范围为[4,+∞).
(3)f(x)>g(x)在[3,4]上恒成立,
即1210-3x>-12x+m在[3,4]上恒成立,
即m<1210-3x+12x在[3,4]上恒成立.
设h(x)=1210-3x+12x,
则当x∈[3,4]时,m
∴h(x)在[3,4]上为增函数,
∴当x∈[3,4]时,h(x)min=h(3)=12+32=2,∴m<2.
故实数m的取值范围为(-∞,2).
§3.3 对数与对数函数
一
对数的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作 ,其中 叫作对数的底数, 叫作真数.
二
对数的运算
1.对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
(1)loga(M·N)= ;
(2)logaMN= ;
(3)logaMn= (n∈R).
2.对数的换底公式
logab=logcblogca=1logba(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0,且b≠1).
三
对数函数的图象与性质
y=logax(a>1)
y=logax(0
定义域
值域
R
性质
过定点 ,即当x= 时,y=
在(0,+∞)上是
在(0,+∞)上是
四
反函数
指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线 对称.
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)logax·logay=loga(x+y).( )
(2)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0).( )
(3)log2x2=2log2x.( )
(4)当x>1时,logax>0.( )
2 已知a=2-13,b=log213,c=log1213,则( ).
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
3 若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)= .
4 计算:2log510+log514= .
5 若loga34<1(a>0,且a≠1),求实数a的取值范围.
知识清单
一、x=logaN a N
二、1.(1)logaM+logaN (2)logaM-logaN (3)nlogaM
三、(0,+∞) (1,0) 1 0 增函数 减函数
四、y=x
基础训练
1.【解析】(1)错误,如a=x=y=2,结论不成立.
(2)正确,对数函数的图象恒过定点(1,0).
(3)错误,当x<0时,结论不成立.
(4)错误,当a=12时,结论不成立.
【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.【解析】因为01,所以c>a>b.
【答案】D
3.【解析】函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=logax.因为f(2)=1,所以loga2=1,所以a=2,所以f(x)=log2x.
【答案】log2x
4.【解析】原式=log5102+log514=log525=2.
【答案】2
5. 【解析】由题意得loga341时,a>34,即a>1;
当0
题型一
对数的运算
【例1】(1)设2a=5b=m,且1a+1b=2,则m等于( ).
A.10 B.10 C.20 D.100
(2)计算:(1-log63)2+log62×log618log64= .
【解析】(1)∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m,
∴1a+1b=1log2m+1log5m=logm2+logm5=logm10=2,
∴m=10.
(2)原式=(log62)2+log62×log6182log62
=12(log62+log618)=12×2=1.
【答案】(1)A (2)1
在对数的运算中,灵活利用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.
【变式训练1】(1)计算:lg 52+2lg 2-12-1= .
(2)已知4a=2,lg x=a,则x= .
【解析】(1)lg 52+2lg 2-12-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2=(lg 5+lg 2)-2=1-2=-1.
(2)∵4a=2,∴a=log42=12log44=12.
又∵lg x=a,∴lg x=12,∴x=1012=10.
【答案】(1)-1 (2)10
题型二
对数的图象及应用
【例2】(1)函数y=2log4(1-x)的大致图象是( ).
(2)已知00,且a≠1,若logam1=m1-1,logam2=m2-1,则实数a的取值范围是( ).
A.2
(2)由题意知方程logax=x-1有两个不相等的实根m1,m2.在同一个平面直角坐标系内,画出函数y=logax与y=x-1的图象(如图).显然a>1,由图可知m1=1,要使m2>2,则应满足loga2>2-1,即a<2.综上可知,实数a的取值范围是1
在识别函数图象时,要会利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
【变式训练2】已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( ).
A.a>1,c>1
B.a>1,01
D.00时,是由函数y=logax的图象向左平移c个单位长度得到的,所以根据题中图象可知0
题型三
对数的性质及应用
【例3】已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的解集.
【解析】(1)要使函数f(x)有意义,则x+1>0,1-x>0,解得-1
(2)由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),又f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),故f(x)为奇函数.
(3)因为当a>1时,f(x)在定义域(-1,1)内是增函数,所以f(x)>0,即x+11-x>1,解得00的x的解集是{x|0
利用对数函数的性质研究对数型函数的性质,要注意以下四点:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是如果需要将函数解析式变形,就一定要确保其等价性;四是复合函数要弄清它是由哪些基本初等函数复合而成的.
【变式训练3】已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).
(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间.
(2)是否存在实数a,使得f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,
所以a+5=4,所以a=-1,此时f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0,得-1
令g(x)=-x2+2x+3,则g(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减.
又因为y=log4x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3).
(2)假设存在实数a,使得f(x)的最小值为0,则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,
即a>0,3a-1a=1,解得a=12,
故存在实数a=12,使得f(x)的最小值为0.
方法一
比较指数式、对数式的大小
比较大小问题是每年高考的必考内容之一:(1)比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量;有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,若指数相同而底数不同,则构造幂函数;若底数相同而指数不同,则构造指数函数;若引入中间量,一般选0或1.
【突破训练1】(1)若a=20.3,b=logπ3,c=log4|cos 2018|,则( ).
A.b>c>a B.b>a>c
C.a>b>c D.c>a>b
(2)设正实数a,b,c分别满足2a3+a=2,blog2b=1,clog5c=1,则a,b,c的大小关系为( ).
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.a>c>b
【解析】(1)因为20.3>20=1,0=logπ1
(2)令f(x)=2x3+x-2,则f(x)=2x3+x-2在R上单调递增,且f(0)·f(1)=(-2)×1=-2<0,即a∈(0,1).由已知得log2b=1b,log5c=1c,构造函数y1=1x,y2=log2x,y3=log5x,在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象(如图),由图象得1b>a,故选C.
【答案】(1)C (2)C
方法二
利用数形结合思想解决对数问题
【突破训练2】如果不等式x2-logmx<0(m>0,且m≠1)在0,12内恒成立,那么实数m的取值范围是 .
【解析】
构造函数f(x)=x2,g(x)=logmx,要使不等式x2-logmx<0在0,12内恒成立,只需f(x)在0,12内的图象在g(x)图象的下方,
由图可知m>1不满足,则0
故实数m的取值范围是116,1.
【答案】116,1
1.(2017江西八校联考)函数y=log23(2x-1)的定义域是( ).
A.[1,2] B.[1,2) C.12,1 D.12,1
【解析】log23(2x-1)≥0⇒0<2x-1≤1⇒12
2.(山东寿光2018届三校联考)已知函数f(x)=x2+b,x≤0,log2x,x>0,若ff12=3,则b=( ).
A.-1 B.0 C.2 D.3
【解析】因为f12=log212=-1,所以ff12=f(-1)=(-1)2+b=1+b=3,即b=3-1=2.
【答案】C
3.(2017上海中学模拟)已知函数f(x)=alog2x+blog3x+2且f12018=4,则f(2018)的值为( ).
A.-2 B.0 C.1 D.2
【解析】∵f(x)=alog2x+blog3x+2且f12018=4,
∴f12018=alog212018+blog312018+2=4,
∴-alog22018-blog32018+2=4,
即alog22018+blog32018=-2.
∴f(2018)=alog22018+blog32018+2=-2+2=0.
【答案】B
4.(2017石家庄模拟)已知a=log23+log23,b=log29-log23,c=log32,则a,b,c的大小关系是( ).
A.a=bc
C.ab>c
【解析】因为a=log23+log23=log233=32log23>1,b=log29-log23=log233=a,c=log32c.
【答案】B
5.(2017湖北八校联考)函数f(x)=1x+ln|x|的大致图象为( ).
【解析】当x>0时,函数f(x)=1x+ln x,此时代入特殊值验证可排除A;当x<0时,函数f(x)=1x+ln(-x),因为函数y=1x与y=ln(-x)在(-∞,0)上都是减函数,所以函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,排除C、D.故选B.
【答案】B
6.(2017河北唐山期末)已知对数函数 f(x)=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值之积为2,则a=( ).
A.12 B.12或2 C.22 D.2
【解析】∵对数函数 f(x)=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值之积为2,
∴当01时,loga4·loga2=2(loga2)2=2,∴loga2=±1,∴a=2.
综上可知,a的值为12或2.
【答案】B
7.(河北冀州中学2018届10月考)若函数f(x)=logax2+32x(a>0,且a≠1)在区间12,+∞内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间为( ).
A.(0,+∞) B.(2,+∞) C.(1,+∞) D.12,+∞
【解析】令M=x2+32x,当x∈12,+∞时,M∈(1,+∞),因为f(x)>0,所以a>1,所以函数y=logaM为增函数.又因为M=x+342-916,所以M的单调递增区间为-34,+∞.
因为x2+32x>0,所以x>0或x<-32,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
【答案】A
8.(2017上海中学模拟)已知函数y=|log2x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则b-a的最小值为 .
【解析】∵y=|log2x|,∴x=2y或x=2-y.
∵0≤y≤2,∴1≤x≤4或14≤x≤1.
∴(b-a)min=1-14=34.
【答案】34
9.(2017江苏淮安新马一模)已知函数f(x)=lg1-a2x的定义域是12,+∞,则实数a的值为 .
【解析】令1-a2x>0,则a2x<1,∴a<2x,∴当a≤0时,x∈R;当a>0时,x>log2a.
∵函数f(x)=lg1-a2x的定义域是12,+∞,
∴log2a=12,解得a=212=2.∴实数a的值为2.
【答案】2
10.(2017江西第一次联考)若函数f(x)=log2(x2-ax-3a)在区间(-∞,-2]上是减函数,则实数a的取值范围是( ).
A.(-∞,4) B.(-4,4]
C.(-∞,4)∪[2,+∞) D.[-4,4)
【解析】令t=t(x)=x2-ax-3a=x-a22-a24-3a,则由题意可得函数f(x)=log2t,其中t=t(x)在区间(-∞,-2]上是减函数且t(x)>0恒成立,
∴-2≤a2,4+2a-3a>0,得-4≤a<4.
【答案】D
11.(2017山西联考)若函数f(x)=log0.2(5+4x-x2)在区间(a-1,a+1)上单调递减,且b=lg 0.2,c=20.2,则( ).
A.c20=1,所以c>a>b.故选D.
【答案】D
12.(2017东北三省四市一联)已知点(n,an)(n∈N*)在y=ex的图象上,若满足当Tn=ln a1+ln a2+…+ln an>k时,n的最小值为5,则k的取值范围是( ).
A.k<15 B.k<10
C.10≤k<15 D.10
【答案】C
13.(2017杭州第二次质检)已知直线x=m(m>1)与函数f(x)=logax(a>0,a≠1),g(x)=logbx(b>0,b≠1)的图象及x轴分别交于A,B,C三点,若AB=2BC,则( ).
A.b=a2或a=b2 B.a=b-1或a=b3
C.a=b-1或b=a3 D.a=b3
【解析】A,B,C三点的坐标分别为(m,logam),(m,logbm),(m,0).
当a>1>b或b>1>a时,由AB=2BC,得|logam-logbm|=2|logbm|,即logam-logbm=-2logbm,
所以logam=-logbm,即lgmlga=-lgmlgb,所以a=b-1;
当b>a>1或b
综上可知,a=b-1或b=a3,故选C.
【答案】C
14.(2017江西七校联考一模)若函数f(x)=logax+ax-4(a>0且a≠1)的值域为R,则实数a的取值范围是 .
【解析】若函数f(x)=logax+ax-4(a>0且a≠1)的值域为R,则y|y=x+ax-4⊇{y|y>0},即x+ax-4min≤0.
∵当x<0时,显然函数f(x)没有意义,不符合题意;
当x>0时,x+ax≥2a,∴2a≤4,解得a≤4.
故实数a的取值范围是(0,1)∪(1,4].
【答案】(0,1)∪(1,4]
15.(2017浙江台州一模)已知a=2x,b=423,则log2b= ,满足logab≤1的实数x的取值范围是 .
【解析】∵b=423=243,∴log2b=43.
∵logab=log2blog2a=43x=43x≤1,∴x<0或x≥43.
∴满足logab≤1的实数x的取值范围是(-∞,0)∪43,+∞.
【答案】43 (-∞,0)∪43,+∞
阶段总结一
微专题一
空集的呐喊——“勿忘我”
空集是任何集合的子集,即对于任何一个集合A,有⌀⊆A.空集是任何非空集合的真子集.当遇到“A⊆B”时,要注意是否需要讨论A=⌀或A≠⌀两种情况.在解题中,遇到空集,要遵循“⌀优先原则”.
【例1】若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且B⊆A,则m的取值组成的集合为 .
【分析】在解本题时,易出现两个典型错误.一是易忽略对空集的讨论,如B=⌀时,m=0;二是易忽略对字母的讨论,如-1m可以为-3或2.
【解析】由题意可得A={-3,2}.
当m=0时,B=⌀,满足B⊆A;
当m≠0时,方程mx+1=0的解为x=-1m.
由B⊆A,得-1m=-3或-1m=2,即m=13或m=-12.
故所求集合为0,13,-12.
【答案】0,13,-12
【拓展训练1】已知全集U=R,集合A={x|1≤2x-1≤4},B=xy=ln(4-x)x-2.若集合C={x|4-a
由4-x>0,x-2>0得2
当4-a≥a,即a≤2时,C=⌀,满足题意;
当4-a2时,
∵C⊆(A∪B),∴a>2,4-a≥1,a≤4,解得2
微专题二
“三个二次”间的转化
二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称为“三个二次”,它们常有机结合在一起,而二次函数是“三个二次”的核心,通过二次函数的图象将“三个二次”贯穿为一体.因此,有关二次函数的问题,常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决.
【例2】已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1).
(1)求f(x)的最小值;
(2)若f(x)≥-1恒成立,求a的取值范围;
(3)若方程f(x)=0的两个根都在[0,1]内,求a的取值范围.
【分析】(1)分a=0,a>0,a<0三种情况讨论;(2)转化为f(x)min≥-1求解;(3)先求出两个根,再根据根的取值范围求解.
【解析】(1)若a=0,则f(x)=-2x,它在[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=-2.
若a>0,则f(x)=ax2-2x的图象开口向上,且对称轴为直线x=1a.
当0<1a<1,即a>1时,f(x)在0,1a上单调递减,在1a,1上单调递增,∴f(x)min=f1a=1a-2a=-1a.
当1a≥1,即0
∴f(x)=ax2-2x在[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=a-2.
综上所述,f(x)min=a-2,a≤1,-1a,a>1.
(2)依题意,只需f(x)min≥-1即可.
由(1)知,当a≤1时,a-2≥-1,即a≥1,∴a=1;
当a>1时,-1a≥-1,即a≥1,∴a>1.
综上,a的取值范围为[1,+∞).
(3)由题意知,当f(x)=0时,x=0或x=2a(a≠0),
∵0∈[0,1],∴0<2a≤1,∴a≥2.
故a的取值范围为[2,+∞).
【拓展训练2】已知函数f(x)=x2+mx-1,若对任意的x∈[m,m+1],都有f(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是 .
【解析】作出二次函数f(x)的图象(图略),若对任意的x∈[m,m+1],都有f(x)<0,
则有f(m)<0,f(m+1)<0,
即m2+m2-1<0,(m+1)2+m(m+1)-1<0,
解得-22
微专题三
对数的忠告——“懂我”
在对数式中,真数必须是大于0的,所以对数函数y=logax的定义域为(0,+∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系,当底数a与1的大小关系不确定时,要分01两种情况讨论.对于含参数的对数问题,在求定义域和单调区间时,要注意对底数进行讨论.
【例3】已知函数y=logax(a>0且a≠1,2≤x≤4)的最大值比最小值大1,则a的值为 .
【分析】当应用对数函数y=logax的单调性,而底数a不确定时,要分a>1和0
当0
【拓展训练3】若函数f(x)=log12(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数m的取值范围为 .
【解析】要使对数函数f(x)有意义,则-x2+4x+5>0,解得-1
所以函数f(x)=log12 (-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5).
要使函数f(x)=log12(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,
只需3m-2≥2,m+2≤5,3m-2
微专题四
指数型函数恒成立问题一点通
与指数型函数有关的恒成立问题,通常采取转化与化归的思想,即当a>1时,af(x)≥ag(x)恒成立⇔f(x)≥g(x)恒成立⇔f(x)-g(x)≥0恒成立⇔[f(x)-g(x)]min≥0,再构造函数h(x)=f(x)-g(x),求出h(x)的最小值;当0
【例4】已知函数f(x)=b·ax(a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).若不等式1ax+1bx-m≥0对任意的x∈(-∞,1]恒成立,则实数m的最大值为 .
【分析】由已知先确定a,b的值,然后将恒成立问题转化为函数最值问题来解决.
【解析】把A(1,6),B(3,24)两点的坐标代入f(x)=b·ax中,得6=ab,24=b·a3,
结合a>0,且a≠1,解得a=2,b=3,所以f(x)=3·2x.
要使12x+13x≥m在x∈(-∞,1]上恒成立,
只需保证函数y=12x+13x在(-∞,1]上的最小值不小于m.
因为函数y=12x+13x在(-∞,1]上为减函数,
所以在区间(-∞,1]上,当x=1时,y=12x+13x有最小值56,所以只需m≤56.
所以m的最大值为56.
【答案】56
【拓展训练4】已知定义在R上的函数f(x)=2x-12|x|.若2tf(2t)+mf(t)≥0对任意的t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】当t∈[1,2]时,2t22t-122t+m2t-12t≥0恒成立,即m(22t-1)≥-(24t-1)恒成立.
∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1)对任意的t∈[1,2]恒成立.
∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5],
故实数m的取值范围是[-5,+∞).
微专题五
自主招生真题赏析
本专题供参加自主招生考试的学生使用
1.已知实系数二次函数f(x)与g(x),f(x)=g(x)和3f(x)+g(x)=0各有两个重根,f(x)=0有两个相异实根,求证:g(x)=0没有实根.
【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),g(x)=dx2+ex+f(d≠0),则由f(x)=g(x)可得(a-d)x2+(b-e)x+(c-f)=0,∴Δ=(b-e)2-4(a-d)(c-f)=0; ①
由3f(x)+g(x)=0可得(3a+d)x2+(3b+e)x+(3c+f)=0,∴Δ=(3b+e)2-4(3a+d)(3c+f)=0. ②
由①②化简得3b2+e2=12ac+4df,
即e2-4df=3(4ac-b2).
又b2-4ac>0,∴e2-4df<0.∴g(x)没有实根.
2.以某些整数为元素的集合P具有下列性质:①P中的元素有正数,有负数;②P中的元素有奇数,有偶数;③-1∉P;④若x,y∈P,则x+y∈P.试判断实数0和2与集合P的关系.
【解析】由④可知,若x∈P,则kx∈P(k∈N).
(1)0∈P.由①可设x,y∈P,且x>0,y<0,则-yx=|y|x(|y|∈N),故xy,-yx∈P.
由④知0=(-yx)+xy∈P.
(2)2∉P.若2∈P,则P中的负数全为偶数;否则,当-(2k+1)∈P(k∈N)时,-1=(-2k-1)+2k∈P,与③矛盾.于是,由②知P中必有正奇数.
设-2m,2n-1∈P(m,n∈N),取适当的正整数q,使其满足q·|-2m|>2n-1,则负奇数-2qm+(2n-1)∈P.前后矛盾.
3.已知函数f(x)=x2+2x+2,x∈[t,t+1]的最小值是g(t),试写出g(t)的解析式.
【解析】f(x)=x2+2x+2=(x+1)2+1,其图象的对称轴为直线x=-1.
当t≥-1时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,从而g(t)=f(t)=t2+2t+2;
当t+1≤-1,即t≤-2时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,从而g(t)=f(t+1)=(t+1)2+2(t+1)+2=t2+4t+5;
当-2
4.函数y=ax2+8x+bx2+1的最大值为9、最小值为1,求实数a,b的值.
【解析】由y=ax2+8x+bx2+1得yx2+y=ax2+8x+b,即(a-y)x2+8x+(b-y)=0.显然,该方程必有实数根,从而有Δ=64-4(a-y)(b-y)≥0⇒y2-(a+b)y+ab-16≤0.
依题意,1≤y≤9⇔(y-9)(y-1)≤0⇔y2-10y+9≤0,故a+b=10,ab-16=9,解得a=b=5.
阶段检测一
一、选择题
1.(2017山东烟台一模)若集合A={-1,0,1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},C=A∩B,则集合C的真子集的个数为( ).
A.3 B.4 C.7 D.8
【解析】∵集合A={-1,0,1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A}={-3,-1,1,3,5},∴集合C=A∩B={-1,1,3},∴集合C的真子集的个数为23-1=7.
【答案】C
2.(2017广东乐昌一中月考)已知命题p:∀x≥0,2x≥1,命题q:若x>y,则x2>y2.下列命题为真命题的是( ).
A.p∧q B.p∧(?q)
C.(?p)∧(?q) D.(?p)∨q
【解析】命题p为真命题,命题q为假命题(如x=0,y=-3),故?q为真命题.所以p∧(?q)为真命题.
【答案】B
3.(2017河北百校联考)已知f(x)满足对∀x∈R,f(-x)+f(x)=0,且当x≥0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln 5)的值为( ).
A.4 B.-4 C.6 D.-6
【解析】由题意知函数f(x)是奇函数,故f(0)=e0+m=1+m=0,即m=-1,所以f(-ln 5)=-f(ln 5)=-eln5+1=-5+1=-4,故选B.
【答案】B
4.(2017天津市武清区期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递减,若f(log2a)+f(log12a)>2f(1),则实数a的取值范围是( ).
A.12,2 B.(2,+∞) C.(0,2) D.12,+∞
【解析】根据题意,函数f(x)是定义在R上的偶函数,
则f(log2a)+f(log12a)>2f(1)⇔2f(log2a)>2f(1)⇔f(|log2a|)>f(1).
因为函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(|log2a|)>f(1)⇒|log2a|<1,解得12
【答案】A
5.(2017湖南长沙期末)已知a>1,f(x)=ax2+2x,则f(x)<1的一个充分不必要条件是( ).
A.0
∵a>1,∴x2+2x<0,∴-2
6.(2017山东高密月考)已知函数f(x)=loga(x+b)(a,b为常数,a>0,a≠1)的图象如图所示,则函数g(x)=bx2-4x在[0,5]上的最大值是( ).
A.1b4 B.1b5 C.b4 D.b5
【解析】∵函数f(x)=loga(x+b)的零点在(0,1)上,∴b∈(0,1).当x∈[0,5]时,x2-4x在x=2时取最小值-4,此时g(x)=bx2-4x取得最大值1b4.
【答案】A
7.(2017山西四校联考)已知定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(1)=0,若f(x-2)≥0,则x的取值范围是( ).
A.[1,3] B.[1,2)∪(2,3]
C.[1,2]∪[3,+∞) D.(-∞,1]∪[3,+∞)
【解析】∵奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
∴函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增.
又∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.
由f(1)=0得f(-1)=0.
∵f(x-2)≥0,即f(x-2)≥f(1)或f(x-2)≥f(-1)或f(x-2)≥f(0),∴x-2≥1或-1≤x-2<0或x-2=0,
即x≥3或1≤x≤2.
故选C.
【答案】C
8.(2017上海市虹口区一模)定义f(x)={x}为“取上整函数”,其中{x}表示不小于x的最小整数,例如{2.1}=3,{4}=4.下列关于“取上整函数”性质的描述正确的是( ).
①f(2x)=2f(x);
②若f(x1)=f(x2),则x1-x2<1;
③对任意的x1,x2∈R,f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2);
④f(x)+fx+12=f(2x).
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
【解析】对于①,当x=1.4时,f(2x)=f(2.8)=3,2f(1.4)=4,所以f(2x)≠2f(x),故①错误.对于②,若f(x1)=f(x2),当x1是整数时,f(x1)=x1,此时x2>x1-1,即x1-x2<1;当x1不是整数时,f(x1)=[x1]+1([x1]表示不大于x1的最大整数),x2表示比x1的整数部分大1的整数或者是和x1保持相同整数的数,此时x1-x2<1,故②正确.对于③,当x1,x2中有一个是整数时,f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),当x1,x2都不是整数时,f(x1+x2)
二、填空题
9.(2017江苏南通四模)已知y=f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,f(x)=1-2x,则当x∈(0,+∞)时,f(x)的解析式为f(x)= .
【解析】若x∈(0,+∞),则-x∈(-∞,0),∴f(-x)=1-2-x=1-12x.
∵f(x)是奇函数,∴当x∈(0,+∞)时,f(x)=-f(-x)=12x-1.
【答案】12x-1
10.(2017山西重点中学协作体一模)已知函数f(x)=x2-m是定义在区间[-3-m,m2-m]上的奇函数,则f(m)= .
【解析】由已知得m2-m=3+m,即m2-2m-3=0,∴m=3或m=-1.
当m=3时,函数f(x)=x-1,而x∈[-6,6],∴f(x)在x=0处无意义,故舍去.
当m=-1时,函数f(x)=x3,此时x∈[-2,2],∴f(m)=f(-1)=(-1)3=-1.
【答案】-1
11.(广东珠海2018届高三六校联考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ).
(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年
【解析】设从2015年后第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得130×(1+12%)n>200,∴1.12n>200130,两边同时取对数,得nlg 1.12>lg200130,∴n>lg2-lg1.3lg1.12≈0.3-0.110.05=3.8,∴n≥4,故选B.
【答案】B
12.(2017江西宜春一中、高安中学联考)已知命题p:函数f(x)=2|x-a|在区间(4,+∞)上单调递增,命题q:loga2<1.若“?p”是真命题,“p或q”也是真命题,则实数a的取值范围为 .
【解析】∵函数f(x)=2|x-a|的单调递增区间为[a,+∞),
∴若f(x)在区间(4,+∞)上单调递增,则a≤4,即p:a≤4,?p:a>4.
由loga2<1得loga21,则a>2,此时a>2.
综上可知,02,即q:02.
若“?p”是真命题,“p或q”也是真命题,则p是假命题,q是真命题,
即a>4,02,得a>4,
故实数a的取值范围为(4,+∞).
【答案】(4,+∞)
三、解答题
13.(2017辽宁六校模拟)已知函数f(x)=(x+1)(x+a)x2为偶函数.
(1)求实数a的值;
(2)记集合E={y|y=f(x),x∈{-1,1,2}},λ=(lg 2)2+lg 2×lg 5+lg 5-14,判断λ与E的关系;
(3)当x∈1m,1n(m>0,n>0)时,若函数f(x)的值域为[2-3m,2-3n],求m,n的值.
【解析】(1)∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),
即(x+1)(x+a)x2=(-x+1)(-x+a)x2,
即2(a+1)x=0,又∵x∈R且x≠0,∴a=-1.
(2)由(1)可知,f(x)=x2-1x2,当x=±1时,f(x)=0;
当x=2时,f(x)=34.∴E=0,34.
又∵λ=(lg 2)2+lg 2×lg 5+lg 5-14=(lg 2)2+lg 2(1-lg 2)+1-lg 2-14=34,∴λ∈E.
(3)∵f(x)=x2-1x2=1-1x2,x∈1m,1n,
∴f(x)在1m,1n上单调递增.
∴f1m=2-3m,f1n=2-3n,
∴1-m2=2-3m,1-n2=2-3n,即m2-3m+1=0,n2-3n+1=0,
∴m,n是方程x2-3x+1=0的两个根.
又∵1m<1n,且m>0,n>0,∴m>n,
∴m=3+52,n=3-52.
第三单元 基本初等函数(Ⅰ)
考点一
化简求值类
1.(2017年北京卷)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是( ).
(参考数据:lg 3≈0.48)
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
【解析】由题意得,lgMN=lg33611080=lg 3361-lg 1080=361lg 3-80lg 10≈361×0.48-80×1=93.28.
又lg 1033=33,lg 1053=53,lg 1073=73,lg 1093=93,
故与MN最接近的是1093.
故选D.
【答案】D
2.(2015年浙江卷)若a=log43,则2a+2-a= .
【解析】∵a=log43=log223=12log23=log23,
∴2a+2-a=2log23+2-log23=3+2log233=3+33=433.
【答案】433
3.(2015年山东卷)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .
【解析】当a>1时,函数f(x)=ax+b在[-1,0]上为增函数,由题意得a-1+b=-1,a0+b=0,无解.当0
考点二
比较大小类
4.(2016年全国Ⅰ卷)若a>b>1,0
∴当a>b>1,0
∵y=xα,α∈(-1,0)在(0,+∞)上是减函数,
∴当a>b>1,0
∵a>b>1,∴lg a>lg b>0,∴alg a>blg b>0,
∴algb>blga.又∵0
【答案】C
5.(2017年天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( ).
A.a
已知f(x)在R上是增函数,可设0
又log25.1>0,20.8>0,3>0,且log25.1
故选C.
【答案】C
6.(2017年全国Ⅰ卷)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( ).
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
【解析】令t=2x=3y=5z,
∵x,y,z为正数,∴t>1,则x=log2t=lgtlg2,
同理,y=lgtlg3,z=lgtlg5.
∴2x-3y=2lgtlg2-3lgtlg3
=lgt(2lg3-3lg2)lg2×lg3=lgt(lg9-lg8)lg2×lg3>0,
∴2x>3y.
又∵2x-5z=2lgtlg2-5lgtlg5=lgt(2lg5-5lg2)lg2×lg5
=lgt(lg25-lg32)lg2×lg5<0,
∴2x<5z,∴3y<2x<5z.故选D.
【答案】D
考点三
函数应用类
7.(2017年全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( ).
A.-12 B.13 C.12 D.1
【解析】f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=(x-1)2+a[ex-1+e-(x-1)]-1,
令t=x-1,则g(t)=f(t+1)=t2+a(et+e-t)-1.
∵g(-t)=(-t)2+a(e-t+et)-1=g(t),
∴函数g(t)为偶函数.
∵f(x)有唯一零点,∴g(t)也有唯一零点.
又∵g(t)为偶函数,由偶函数的性质知g(0)=0,
∴2a-1=0,解得a=12.故选C.
【答案】C
8.(2016年山东卷)已知函数f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m,其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 .
【解析】
作出f(x)的图象如图所示.当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,∴要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m2
【答案】(3,+∞)
高频考点:二次函数、指数函数、对数函数的图象和性质及其应用,关于指数函数、对数函数的复合函数,特别是涉及指数函数、对数函数、幂函数有关知识的大小关系的比较.
命题特点:以选择题、填空题的形式考查,题目注重基础.
§3.1 二次函数与幂函数
一
二次函数
1.二次函数解析式的三种形式
一般式:f(x)= (a≠0).
顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为 .
两根式(交点式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2分别为f(x)=0的两个实根.(函数对应的方程有实根的情况)
2.二次函数的图象与性质
函数
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域
R
值域
4ac-b24a,+∞
-∞,4ac-b24a
单调性
在-∞,-b2a上单调递减,在-b2a,+∞上单调递增
在-∞,-b2a上单调递增,在-b2a,+∞上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x=-b2a对称
二
幂函数
1.定义:形如 (α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
2.五种常见幂函数的图象
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.( )
(2)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的最值一定是4ac-b24a.( )
(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0).( )
(4)当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数.( )
2 已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2),若f(m)=3,则实数m的值为 .
3 函数y=x13的大致图象是( ).
4 已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是 .
5 幂函数y=xm2-4m(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为 .
知识清单
一、1.ax2+bx+c (h,k)
二、1.y=xα
基础训练
1.【解析】(1)错误,当b=0时,二次函数y=ax2+c(x∈R)是偶函数.
(2)错误,因为x∈[a,b],所以该函数的最值也可能在端点处取得.
(3)错误,当α<0时,y=xα的图象不经过点(0,0).
(4)正确,当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数.
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√
2.【解析】由已知得2=4α,则α=12,所以f(m)=m12=3,解得m=9.
【答案】9
3.【解析】取值验证可知,函数y=x13的大致图象是选项B中的图象.
【答案】B
4.【解析】因为f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,所以Δ=1-20a<0且a>0,解得a>120.
【答案】120,+∞
5.【解析】∵y=xm2-4m(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点,∴m2-4m<0,即0
【答案】2
题型一
二次函数的图象与性质
【例1】已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
(1)若y=f(x)在[-4,6]上是单调函数,求实数a的取值范围;
(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
【解析】(1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=-2a2=-a,
∵f(x)在[-4,6]上为单调函数,∴-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.
故实数a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).
(2)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3
=x2+2x+3=(x+1)2+2,x≤0,x2-2x+3=(x-1)2+2,x>0,
其图象如图所示.
又∵x∈[-4,6],∴f(|x|)的单调递减区间是[-4,-1)和[0,1),单调递增区间是[-1,0)和[1,6].
解决二次函数的图象与性质的问题,关键是充分利用图象的对称轴及图象与坐标轴的交点.
【变式训练1】函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是( ).
A.[-3,0) B.(-∞,-3] C.[-2,0] D.[-3,0]
【解析】当a=0时,f(x)=-3x+1,它在[-1,+∞)上单调递减,满足题意;
当a≠0时,f(x)图象的对称轴为直线x=3-a2a,
由f(x)在[-1,+∞)上单调递减,知a<0,3-a2a≤-1,解得-3≤a<0.
综上可知,实数a的取值范围是[-3,0],故选D.
【答案】D
题型二
二次函数最值的求法
【例2】已知m∈R,函数f(x)=-x2+(3-2m)x+2+m.
(1)若0
【解析】(1)函数f(x)图象的对称轴为直线x=3-2m2,∵0
(2)函数f(x)图象的对称轴为直线x=3-2m2,且函数图象开口向下.
∵m∈(0,1],∴3-2m2>0.
∴当3-2m2
解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”是指区间的两个端点和中点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
【变式训练2】已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在[0,1]上的最大值为2,求a的值.
【解析】函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1的图象的对称轴为直线x=a,且开口向下,分三种情况讨论:
当a≤0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在[0,1]上是减函数,∴f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1;
当0
∵0
综上可知,a=-1或a=2.
题型三
幂函数的图象和性质
【例3】已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上函数值随着x的增大而减小,则满足(a+1)-m3<(3-2a)-m3的实数a的取值范围为 .
【解析】由题意可知该幂函数在(0,+∞)上单调递减,因此3m-9<0,即m<3,又m∈N*,故m=1或m=2.
由函数y=x3m-9的图象关于y轴对称,得3m-9为偶数,所以m=1,故(a+1)-13<(3-2a)-13.
因为函数y=x-13在(0,+∞)和(-∞,0)上单调递减,
所以a+1>3-2a>0或3-2a
若幂函数y=xa(a∈Z)是偶函数,则a必为偶数.若幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递增,则a>0;若幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递减,则a<0.
【变式训练3】已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)在(0,+∞)上是减函数,则n的值为( ).
A.-3 B.1 C.2 D.1或2
【解析】因为f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3.
当n=1时,f(x)=x-2=1x2,它在(0,+∞)上是减函数.
当n=-3时,f(x)=x18,它在(0,+∞)上是增函数.
所以n=1符合题意,故选B.
【答案】B
方法一
利用待定系数法求二次函数的解析式
根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,但所给条件不同,选取的求解方法也不同,选择规律如下:
【突破训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由题意得4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,4ac-b24a=8,解得a=-4,b=4,c=7.
故所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
方法二
分类讨论思想在求解含参数的二次函数的最值问题中的应用
二次函数在某个区间上的最值问题的处理,常常要利用数形结合思想和分类讨论思想,若二次函数的表达式中含有参数或所给区间是变化的,则需要观察二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系),抓住顶点的横坐标是否属于该区间,结合函数的单调性进行分类讨论.
【突破训练2】已知函数f(x)=x2+mx+3,x∈[-1,5],求f(x)的最小值.
【解析】函数f(x)=x+m22+3-m24(x∈[-1,5])的图象关于直线x=-m2对称.
当-m2≤-1,即m≥2时,f(x)在[-1,5]上为增函数,
∴f(x)min=f(-1)=1-m+3=4-m.
当-1<-m2≤5,即-10≤m<2时,f(x)min=f-m2=3-m24.
当-m2>5,即m<-10时,f(x)在[-1,5]上为减函数,
∴f(x)min=f(5)=25+5m+3=28+5m.
综上可知,当m≥2时,f(x)min=4-m;
当-10≤m<2时,f(x)min=3-m24;
当m<-10时,f(x)min=28+5m.
1.(江西赣州厚德外国语学校2018届检测)已知二次函数y=x2+2(a-2)x+5在(4,+∞)上是增函数,则a的取值范围是( ).
A.a≤-2 B.a≥-2 C.a≤-6 D.a≥-6
【解析】由已知得该函数图象的对称轴为直线x=2-a.∵该函数在(4,+∞)上是增函数,∴2-a≤4,可得a≥-2,故选B.
【答案】B
2.(2017山东青岛模拟)若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)=3f(2),则f12的值为( ).
A.13 B.12 C.23 D.43
【解析】设f(x)=xa,∵f(4)=3f(2),∴4a=3×2a,解得a=log23,∴f12=12log23=13.
【答案】A
3.(教材改编)已知函数y=ax2+bx+c,若a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是( ).
【解析】由a+b+c=0,a>b>c知a>0,c<0,排除A,C.又因为f(0)=c<0,所以排除B,故选D.
【答案】D
4.(2017浙江湖州模拟)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),那么( ).
A.f(-2)
5.(山东临沂一中2018届月考)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax-5)的图象关于直线x=0对称,则f(x)的最大值是( ).
A.-4 B.4 C.4或-4 D.-5
【解析】依题意,函数f(x)是偶函数,则y=x2+ax-5是偶函数,故a=0.因此f(x)=(1-x2)(x2-5)=-x4+6x2-5=-(x2-3)2+4,当x2=3时,f(x)取得最大值4.
【答案】B
6.(广东茂名2018届五大联盟联考)已知幂函数f(x)=xa的图象过点3,13,则函数g(x)=(2x-1)f(x)在12,2上的最小值是( ).
A.-1 B.0 C.-2 D.32
【解析】由题意知3a=13,解得a=-1,故g(x)=(2x-1)x-1=2-1x,它在12,2上单调递增,则当x=12时,g(x)取得最小值,最小值是g12=2-2=0.
【答案】B
7.(2017北京昌平区模拟)已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是( ).
A.[0,+∞) B.(-∞,0]
C.[0,4] D.(-∞,0]∪[4,+∞)
【解析】由f(2+x)=f(2-x)可知,函数f(x)的图象的对称轴为直线x=2.又因为函数f(x)在[0,2]上是增函数,所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4,故选C.
【答案】C
8.(2017湖北八校联考)已知二次函数的图象与x轴只有一个交点,对称轴为直线x=3,且与y轴交于点(0,3),则它的解析式为 .
【解析】由题意可设二次函数的解析式为y=a(x-3)2.因为其图象与y轴交于点(0,3),所以3=9a,得a=13,所以y=13(x-3)2=13x2-2x+3.
【答案】y=13x2-2x+3
9.(2017河北保定期末)设a>0,若函数y=8x,当x∈[a,2a]时,y的取值范围为a4,2,则a的值为( ).
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】由题意知8a=2,82a=a4,解得a=4.
【答案】B
10.(2017广东揭阳第二次月考)若函数f(x)=x2+a|x|+a(x∈R)在[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,则实数a的取值范围是( ).
A.-113,-3 B.[-6,-4]
C.[-3,-22] D.[-4,-3]
【解析】∵f(-x)=x2+a|x|+a=f(x),∴f(x)在R上是偶函数.由函数f(x)在[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,可知f(x)在[1,2]上是减函数,∴只需-a2∈[2,3],解得-6≤a≤-4,故选B.
【答案】B
11.(2017江西九江一中期中)函数f(x)=(m2-m-1)·x4m9-m5-1是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2满足f(x1)-f(x2)x1-x2>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值( ).
A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
【解析】由题意知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.∵f(x)=(m2-m-1)x4m9-m5-1是幂函数,∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.
当m=2时,指数4×29-25-1=2015>0,满足题意;
当m=-1时,指数4×(-1)9-(-1)5-1=-4<0,不满足题意.
∴f(x)=x2015.∴幂函数f(x)=x2015是定义在R上的奇函数,且是增函数.
又∵a,b∈R,且a+b>0,∴a>-b.
又ab<0,不妨设b<0,则a>-b>0,∴f(a)>f(-b)>0.
又f(-b)=-f(b),∴f(a)>-f(b),∴f(a)+f(b)>0.
故选A.
【答案】A
12.(河南南阳一中2018届月考)已知f(x)=1+2x-x2,则g(x)=f(f(x))( ).
A.在(-2,1)上单调递增 B.在(0,2)上单调递增
C.在(-1,1)上单调递增 D.在(1,2)上单调递增
【解析】令t=f(x),则g(x)=f(t).
当x∈(-2,1)时,f(x)在(-2,1)上单调递增,t∈(-7,2),此时f(t)在(-7,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以g(x)在(-2,1)上不是单调函数,A错误;
当x∈(0,2)时,t∈(1,2)且f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,f(t)在(1,2)上单调递减,所以g(x)在(0,2)上不是单调函数,B错误;
当x∈(-1,1)时,f(x)在(-1,1)上单调递增,t∈(-2,2),此时f(t)在(-2,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以g(x)在(-1,1)上不是单调函数,C错误;
当x∈(1,2)时,t∈(1,2)且f(x)在(1,2)上单调递减,f(t)在(1,2)上也单调递减,所以g(x)在(1,2)上单调递增,D正确.
【答案】D
13.(保定市涞水中学2018届第一次调研)若函数f(x)=(x-a)(x+3)为偶函数,则f(2)= .
【解析】因为函数f(x)=(x-a)(x+3)是偶函数,
所以∀x∈R,f(-x)=f(x),
即(-x-a)(-x+3)=(x-a)(x+3),
即x2+(a-3)x-3a=x2-(a-3)x-3a,解得a=3,
所以f(2)=(2-3)×(2+3)=-5.
【答案】-5
14.(2017江苏南京模拟)直线l:x+y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A、B,幂函数y=f(x)的图象经过点(2,4),若点P在y=f(x)的图象上,且△ABP的面积等于3,则所有满足要求的点P的横坐标的和为 .
【解析】由已知得点A(3,0),B(0,3),则|AB|=32.
设幂函数f(x)=xa,
将点(2,4)代入上式得a=2,∴f(x)=x2.
设点P(x,x2),则点P到直线l的距离d=|x+x2-3|2.
∴S△ABP=12×32×|x+x2-3|2=3,
∴x2+x-3=±2,即x2+x-5=0或x2+x-1=0.
由方程可知这样的点P有四个,其横坐标的和为-1-1=-2.
【答案】-2
§3.2 指数与指数函数
一
分数指数幂
1.规定:正数的正分数指数幂的意义是amn=nam(a>0,m,n∈N+,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a-mn=1nam(a>0,m,n∈N+,且n>1);0的正分数指数幂等于 ;0的负分数指数幂 .
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras= (a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s= (a>0,r,s∈Q);
(3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).
二
指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0
定义域
值域
性质
过定点 ,即当x=0时,y=
在R上是增函数
在R上是
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)nan=(na)n=a.( )
(2)(-1)24=(-1)12.( )
(3)函数y=a-x是R上的增函数.( )
2 已知函数f(x)=ax-2+2的图象恒过定点A,则点A的坐标为( ).
A.(0,1) B.(2,3) C.(3,2) D.(2,2)
3 设a=22.5,b=2.50,c=122.5,则a,b,c的大小关系是( ).
A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.b>a>c
4 计算:32-13×-760+814×42--2323= .
5 若指数函数y=(2-a)x在定义域内是减函数,则a的取值范围是 .
6 设x+x-1=3,则x2+x-2的值为 .
知识清单
一、1.0 没有意义
2.(1)ar+s (2)ars (3)arbr
二、R (0,+∞) (0,1) 1 减函数
基础训练
1.【解析】(1)错误,当n是偶数时结论不成立.
(2)错误,应为(-1)24=112=1.
(3)错误,当a>1时,函数y=a-x是R上的减函数.
【答案】(1)× (2)× (3)×
2.【解析】由x-2=0,y=1+2,得x=2,y=3,所以函数f(x)的图象恒过定点A(2,3).
【答案】B
3.【解析】因为a=22.5>1,b=2.50=1,c=122.5<1,所以a>b>c.
【答案】C
4.【解析】原式=2313+2-2313=2.
【答案】2
5.【解析】因为y=(2-a)x在定义域内是减函数,所以0<2-a<1,解得1
6.【解析】因为x+x-1=3,所以x2+x-2=(x+x-1)2-2=7.
【答案】7
题型一
指数幂的运算
【例1】化简下列各式:
(1)[(0.06415)-2.5]23-3338-π0;
(2)a43-8a13b4b23+23ab+a23÷a-23-23ba·a·3a25a·3a.
【解析】(1)原式=64100015-5223-27813-1=410315×-52×23-32313-1=52-32-1=0.
(2)原式=a13[(a13)3-(2b13)3](a13)2+a13·2b13+(2b13)2÷a13-2b13a·(a·a23)12(a12·a13)15=a13(a13-2b13)·aa13-2b13·a56a16=a13·a·a23=a2.
指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,然后根据法则计算,注意运算顺序.
【变式训练1】化简下列各式:
(1)2350+2-2×214-12-(0.01)0.5;
(2)56a13·b-2·(-3a12b-1)÷(4a23b-3)12.
【解析】(1)原式=1+14×4912-110012=1+14×23-110=1+16-110=1615.
(2)原式=-52a56b-3÷(4a23b-3)12=-52a56b-3÷(2a13b-32)=-54a12b-32=-5ab4b2.
题型二
指数函数的图象及其应用
【例2】(1)已知实数a,b满足等式2017a=2018b,给出下列五个关系式:①0
(2)已知函数f(x)=|2x-1|,a
A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0
C.2-a<2c D.2a+2c<2
【解析】(1)
如图,观察易知a,b的关系为a
(2)作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图.
∵a
【答案】(1)B (2)D
对有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.
【变式训练2】
函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( ).
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.0
D.0
题型三
指数函数的性质及其应用
【例3】已知函数f(x)=13ax2-4x+3.
(1)若f(x)有最大值3,求a的值;
(2)若f(x)的值域是(0,+∞),求不等式f(x)<3-x2+2x的解集.
【解析】令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=13g(x).
(1)因为f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,
因此必有a>0,3a-4a=-1,解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值为1.
(2)由指数函数的性质知,要使f(x)=13g(x)的值域为(0,+∞),应使g(x)=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a≠0,则g(x)为二次函数,其值域不可能为R).
所以原不等式化为13-4x+3<3-x2+2x,即x2-2x<-4x+3,解得-3
在利用指数函数的性质解决相关问题时,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.
【变式训练3】(1)下列大小关系正确的是( ).
A.1.72.5>1.73 B.0.6-1>0.62
C.0.8-0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)<-12的解集是 .
【解析】(1)选项B中,因为y=0.6x是减函数,所以0.6-1>0.62.
(2)由1-2-x>12,得2-x<12=2-1,即x>1.
因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)<-12的解集是(-∞,-1).
【答案】(1)B (2)(-∞,-1)
方法一
利用换元法解决有关指数函数的问题
【突破训练1】函数y=14x-12x+1在[-3,2]上的值域是 .
【解析】令t=12x,则t∈14,8,故y=t2-t+1=t-122+34.
当t=12时,ymin=34;当t=8时,ymax=57.
故所求函数的值域为34,57.
【答案】34,57
方法二
数形结合思想在解题中的应用
【突破训练2】已知x2-ax<12(a>0且a≠1)对任意的x∈(-1,1)恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】由已知得x2-12
当a>1时,在(-1,1)上,要使y2=ax的图象落在y1=x2-12的图象的上方,则a-1≥12,解得a≤2,∴1
1.(2017河北八所重点中学一模)设a>0,将a2a·3a2表示成分数指数幂的形式,其结果是( ).
A.a12 B.a56 C.a76 D.a32
【解析】a2a·3a2=a2-12-13=a76,故选C.
【答案】C
2.(教材改编)已知函数f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的图象经过点(2,1),则f(x)的值域为( ).
A.[9,81] B.[3,9] C.[1,9] D.[1,+∞)
【解析】由f(x)的图象经过点(2,1)可知b=2,因为f(x)=3x-2在[2,4]上是增函数,所以f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.故f(x)的值域为[1,9].
【答案】C
3.(2017徐汇区校级模拟)已知函数f(x)=ax+a-x,且f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值是( ).
A.14 B.13 C.12 D.11
【解析】因为f(1)=a+1a=3,所以f(2)=a2+a-2=a+1a2-2=7,f(0)=1+1=2,所以f(0)+f(1)+f(2)=2+3+7=12,故选C.
【答案】C
4.(2017湖南益阳六中模拟)若0
A.6 B.-2或2 C.-2 D.2
【解析】∵ab+a-b=22,∴a2b+a-2b=8-2=6,∴(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=4.∵0
5.(2017河南南阳、信阳等六市一模)设x>0,且1
6.(2018届河北省保定市涞水县波峰中学第一次调研)已知a=243,b=323,c=2513,则( ).
A.b
7.(2017石家庄模拟)函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)是指数函数,若以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,则f(x1)f(x2)=( ).
A.1 B.a C.2 D.a2
【解析】由题意得x1+x2=0.∵f(x)=ax,∴f(x1)f(x2)=ax1·ax2=ax1+x2=a0=1,故选A.
【答案】A
8.(2016四川宜宾一诊)已知函数f(x)=x-4+9x+1,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的大致图象为( ).
【解析】∵x∈(0,4),∴x+1>1,
∴f(x)=x-4+9x+1=x+1+9x+1-5≥29x+1·(x+1)-5=1,当且仅当x=2时取等号.
∴a=2,b=1,
∴g(x)=2|x+1|=2x+1,x≥-1,12x+1,x<-1,此函数的图象可以看成由函数y=2x,x≥0,12x,x<0的图象向左平移1个单位长度所得,结合指数函数的图象及选项可知A正确.
【答案】A
9.(教材改编)函数f(x)=12x-2的定义域是 .
【解析】要使函数f(x)=12x-2的解析式有意义,自变量x应满足12x-2≥0,解得x≤-1,故函数f(x)=12x-2的定义域为(-∞,-1].
【答案】(-∞,-1]
10.(教材改编)已知f(x)=9x-13x+1,且f(a)=3,则f(-a)的值为 .
【解析】∵f(x)=9x-13x+1=32x-13x+1=3x-3-x+1,函数f(x)的定义域为R,∴对任意的x∈R,f(-x)=3-x-3-(-x)+1=3-x-3x+1,∴f(x)+f(-x)=(3x-3-x+1)+(3-x-3x+1)=2,∴f(a)+f(-a)=2,∴f(-a)=2-f(a)=2-3=-1.
【答案】-1
11.(衡阳三中2018届月考)当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是( ).
A.(-2,1) B.(-4,3) C.(-3,4) D.(-1,2)
【解析】∵∀x∈(-∞,-1],(m2-m)·4x-2x<0,∴∀x∈(-∞,-1],(m2-m)<12x.∵f(x)=12x在(-∞,-1]上单调递减,∴当x≤-1时,f(x)≥2.
∴m2-m<2,解得-1
12.(山东潍坊2018届第二次月考)对于函数f(x)=4x-m·2x+1,若存在实数x0,使f(-x0)=-f(x0),则实数m的取值范围是( ).
A.-∞,12 B.12,+∞
C.(-∞,-1] D.[1,+∞)
【解析】∵f(-x0)=-f(x0),∴4-x0-m·2-x0+1=-4x0+m·2x0+1,即2m=2x0+2-x0-22x0+2-x0.
令t=2x0+2-x0(t≥2),则2m=t-2t.
∵h(t)=t-2t在[2,+∞)上单调递增,∴h(t)min=h(2)=1.
根据题意,2m≥1,解得m≥12,故选B.
【答案】B
13.(2017安徽江淮十校三模)函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则下列关于f(bx)和f(cx)的大小关系的判断中,正确的是( ).
A.f(bx)≤f(cx)
B.f(bx)≥f(cx)
C.f(bx)>f(cx)
D.大小关系随x的不同而不同
【解析】∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)图象的对称轴为直线x=1,∴b=2.又∵f(0)=3,∴c=3.
∴f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
若x≥0,则3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x).
若x<0,则3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x).
综上可得,f(3x)≥f(2x).
【答案】A
14.(山东罗庄一中2018届第二次质检)设函数f(x)=1210-ax,a为常数,且f(3)=12.
(1)求a的值;
(2)求使f(x)≥4的x的取值范围;
(3)设函数g(x)=-12x+m,对任意的x∈[3,4],不等式f(x)>g(x)恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)∵f(3)=12,∴1210-3a=12,∴10-3a=1,解得a=3.
(2)由已知得1210-3x≥4=12-2,∴10-3x≤-2,
解得x≥4,故f(x)≥4的x的取值范围为[4,+∞).
(3)f(x)>g(x)在[3,4]上恒成立,
即1210-3x>-12x+m在[3,4]上恒成立,
即m<1210-3x+12x在[3,4]上恒成立.
设h(x)=1210-3x+12x,
则当x∈[3,4]时,m
∴h(x)在[3,4]上为增函数,
∴当x∈[3,4]时,h(x)min=h(3)=12+32=2,∴m<2.
故实数m的取值范围为(-∞,2).
§3.3 对数与对数函数
一
对数的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作 ,其中 叫作对数的底数, 叫作真数.
二
对数的运算
1.对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
(1)loga(M·N)= ;
(2)logaMN= ;
(3)logaMn= (n∈R).
2.对数的换底公式
logab=logcblogca=1logba(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0,且b≠1).
三
对数函数的图象与性质
y=logax(a>1)
y=logax(0
定义域
值域
R
性质
过定点 ,即当x= 时,y=
在(0,+∞)上是
在(0,+∞)上是
四
反函数
指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线 对称.
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)logax·logay=loga(x+y).( )
(2)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0).( )
(3)log2x2=2log2x.( )
(4)当x>1时,logax>0.( )
2 已知a=2-13,b=log213,c=log1213,则( ).
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
3 若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)= .
4 计算:2log510+log514= .
5 若loga34<1(a>0,且a≠1),求实数a的取值范围.
知识清单
一、x=logaN a N
二、1.(1)logaM+logaN (2)logaM-logaN (3)nlogaM
三、(0,+∞) (1,0) 1 0 增函数 减函数
四、y=x
基础训练
1.【解析】(1)错误,如a=x=y=2,结论不成立.
(2)正确,对数函数的图象恒过定点(1,0).
(3)错误,当x<0时,结论不成立.
(4)错误,当a=12时,结论不成立.
【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.【解析】因为0
【答案】D
3.【解析】函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=logax.因为f(2)=1,所以loga2=1,所以a=2,所以f(x)=log2x.
【答案】log2x
4.【解析】原式=log5102+log514=log525=2.
【答案】2
5. 【解析】由题意得loga34
当0
题型一
对数的运算
【例1】(1)设2a=5b=m,且1a+1b=2,则m等于( ).
A.10 B.10 C.20 D.100
(2)计算:(1-log63)2+log62×log618log64= .
【解析】(1)∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m,
∴1a+1b=1log2m+1log5m=logm2+logm5=logm10=2,
∴m=10.
(2)原式=(log62)2+log62×log6182log62
=12(log62+log618)=12×2=1.
【答案】(1)A (2)1
在对数的运算中,灵活利用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.
【变式训练1】(1)计算:lg 52+2lg 2-12-1= .
(2)已知4a=2,lg x=a,则x= .
【解析】(1)lg 52+2lg 2-12-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2=(lg 5+lg 2)-2=1-2=-1.
(2)∵4a=2,∴a=log42=12log44=12.
又∵lg x=a,∴lg x=12,∴x=1012=10.
【答案】(1)-1 (2)10
题型二
对数的图象及应用
【例2】(1)函数y=2log4(1-x)的大致图象是( ).
(2)已知0
A.2
(2)由题意知方程logax=x-1有两个不相等的实根m1,m2.在同一个平面直角坐标系内,画出函数y=logax与y=x-1的图象(如图).显然a>1,由图可知m1=1,要使m2>2,则应满足loga2>2-1,即a<2.综上可知,实数a的取值范围是1
在识别函数图象时,要会利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
【变式训练2】已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( ).
A.a>1,c>1
B.a>1,0
D.0
题型三
对数的性质及应用
【例3】已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的解集.
【解析】(1)要使函数f(x)有意义,则x+1>0,1-x>0,解得-1
(2)由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),又f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),故f(x)为奇函数.
(3)因为当a>1时,f(x)在定义域(-1,1)内是增函数,所以f(x)>0,即x+11-x>1,解得0
利用对数函数的性质研究对数型函数的性质,要注意以下四点:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是如果需要将函数解析式变形,就一定要确保其等价性;四是复合函数要弄清它是由哪些基本初等函数复合而成的.
【变式训练3】已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).
(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间.
(2)是否存在实数a,使得f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,
所以a+5=4,所以a=-1,此时f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0,得-1
令g(x)=-x2+2x+3,则g(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减.
又因为y=log4x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3).
(2)假设存在实数a,使得f(x)的最小值为0,则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,
即a>0,3a-1a=1,解得a=12,
故存在实数a=12,使得f(x)的最小值为0.
方法一
比较指数式、对数式的大小
比较大小问题是每年高考的必考内容之一:(1)比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量;有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,若指数相同而底数不同,则构造幂函数;若底数相同而指数不同,则构造指数函数;若引入中间量,一般选0或1.
【突破训练1】(1)若a=20.3,b=logπ3,c=log4|cos 2018|,则( ).
A.b>c>a B.b>a>c
C.a>b>c D.c>a>b
(2)设正实数a,b,c分别满足2a3+a=2,blog2b=1,clog5c=1,则a,b,c的大小关系为( ).
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.a>c>b
【解析】(1)因为20.3>20=1,0=logπ1
(2)令f(x)=2x3+x-2,则f(x)=2x3+x-2在R上单调递增,且f(0)·f(1)=(-2)×1=-2<0,即a∈(0,1).由已知得log2b=1b,log5c=1c,构造函数y1=1x,y2=log2x,y3=log5x,在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象(如图),由图象得1
【答案】(1)C (2)C
方法二
利用数形结合思想解决对数问题
【突破训练2】如果不等式x2-logmx<0(m>0,且m≠1)在0,12内恒成立,那么实数m的取值范围是 .
【解析】
构造函数f(x)=x2,g(x)=logmx,要使不等式x2-logmx<0在0,12内恒成立,只需f(x)在0,12内的图象在g(x)图象的下方,
由图可知m>1不满足,则0
故实数m的取值范围是116,1.
【答案】116,1
1.(2017江西八校联考)函数y=log23(2x-1)的定义域是( ).
A.[1,2] B.[1,2) C.12,1 D.12,1
【解析】log23(2x-1)≥0⇒0<2x-1≤1⇒12
2.(山东寿光2018届三校联考)已知函数f(x)=x2+b,x≤0,log2x,x>0,若ff12=3,则b=( ).
A.-1 B.0 C.2 D.3
【解析】因为f12=log212=-1,所以ff12=f(-1)=(-1)2+b=1+b=3,即b=3-1=2.
【答案】C
3.(2017上海中学模拟)已知函数f(x)=alog2x+blog3x+2且f12018=4,则f(2018)的值为( ).
A.-2 B.0 C.1 D.2
【解析】∵f(x)=alog2x+blog3x+2且f12018=4,
∴f12018=alog212018+blog312018+2=4,
∴-alog22018-blog32018+2=4,
即alog22018+blog32018=-2.
∴f(2018)=alog22018+blog32018+2=-2+2=0.
【答案】B
4.(2017石家庄模拟)已知a=log23+log23,b=log29-log23,c=log32,则a,b,c的大小关系是( ).
A.a=b
C.a
【解析】因为a=log23+log23=log233=32log23>1,b=log29-log23=log233=a,c=log32
【答案】B
5.(2017湖北八校联考)函数f(x)=1x+ln|x|的大致图象为( ).
【解析】当x>0时,函数f(x)=1x+ln x,此时代入特殊值验证可排除A;当x<0时,函数f(x)=1x+ln(-x),因为函数y=1x与y=ln(-x)在(-∞,0)上都是减函数,所以函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,排除C、D.故选B.
【答案】B
6.(2017河北唐山期末)已知对数函数 f(x)=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值之积为2,则a=( ).
A.12 B.12或2 C.22 D.2
【解析】∵对数函数 f(x)=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值之积为2,
∴当0
综上可知,a的值为12或2.
【答案】B
7.(河北冀州中学2018届10月考)若函数f(x)=logax2+32x(a>0,且a≠1)在区间12,+∞内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间为( ).
A.(0,+∞) B.(2,+∞) C.(1,+∞) D.12,+∞
【解析】令M=x2+32x,当x∈12,+∞时,M∈(1,+∞),因为f(x)>0,所以a>1,所以函数y=logaM为增函数.又因为M=x+342-916,所以M的单调递增区间为-34,+∞.
因为x2+32x>0,所以x>0或x<-32,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
【答案】A
8.(2017上海中学模拟)已知函数y=|log2x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则b-a的最小值为 .
【解析】∵y=|log2x|,∴x=2y或x=2-y.
∵0≤y≤2,∴1≤x≤4或14≤x≤1.
∴(b-a)min=1-14=34.
【答案】34
9.(2017江苏淮安新马一模)已知函数f(x)=lg1-a2x的定义域是12,+∞,则实数a的值为 .
【解析】令1-a2x>0,则a2x<1,∴a<2x,∴当a≤0时,x∈R;当a>0时,x>log2a.
∵函数f(x)=lg1-a2x的定义域是12,+∞,
∴log2a=12,解得a=212=2.∴实数a的值为2.
【答案】2
10.(2017江西第一次联考)若函数f(x)=log2(x2-ax-3a)在区间(-∞,-2]上是减函数,则实数a的取值范围是( ).
A.(-∞,4) B.(-4,4]
C.(-∞,4)∪[2,+∞) D.[-4,4)
【解析】令t=t(x)=x2-ax-3a=x-a22-a24-3a,则由题意可得函数f(x)=log2t,其中t=t(x)在区间(-∞,-2]上是减函数且t(x)>0恒成立,
∴-2≤a2,4+2a-3a>0,得-4≤a<4.
【答案】D
11.(2017山西联考)若函数f(x)=log0.2(5+4x-x2)在区间(a-1,a+1)上单调递减,且b=lg 0.2,c=20.2,则( ).
A.c
【答案】D
12.(2017东北三省四市一联)已知点(n,an)(n∈N*)在y=ex的图象上,若满足当Tn=ln a1+ln a2+…+ln an>k时,n的最小值为5,则k的取值范围是( ).
A.k<15 B.k<10
C.10≤k<15 D.10
【答案】C
13.(2017杭州第二次质检)已知直线x=m(m>1)与函数f(x)=logax(a>0,a≠1),g(x)=logbx(b>0,b≠1)的图象及x轴分别交于A,B,C三点,若AB=2BC,则( ).
A.b=a2或a=b2 B.a=b-1或a=b3
C.a=b-1或b=a3 D.a=b3
【解析】A,B,C三点的坐标分别为(m,logam),(m,logbm),(m,0).
当a>1>b或b>1>a时,由AB=2BC,得|logam-logbm|=2|logbm|,即logam-logbm=-2logbm,
所以logam=-logbm,即lgmlga=-lgmlgb,所以a=b-1;
当b>a>1或b
综上可知,a=b-1或b=a3,故选C.
【答案】C
14.(2017江西七校联考一模)若函数f(x)=logax+ax-4(a>0且a≠1)的值域为R,则实数a的取值范围是 .
【解析】若函数f(x)=logax+ax-4(a>0且a≠1)的值域为R,则y|y=x+ax-4⊇{y|y>0},即x+ax-4min≤0.
∵当x<0时,显然函数f(x)没有意义,不符合题意;
当x>0时,x+ax≥2a,∴2a≤4,解得a≤4.
故实数a的取值范围是(0,1)∪(1,4].
【答案】(0,1)∪(1,4]
15.(2017浙江台州一模)已知a=2x,b=423,则log2b= ,满足logab≤1的实数x的取值范围是 .
【解析】∵b=423=243,∴log2b=43.
∵logab=log2blog2a=43x=43x≤1,∴x<0或x≥43.
∴满足logab≤1的实数x的取值范围是(-∞,0)∪43,+∞.
【答案】43 (-∞,0)∪43,+∞
阶段总结一
微专题一
空集的呐喊——“勿忘我”
空集是任何集合的子集,即对于任何一个集合A,有⌀⊆A.空集是任何非空集合的真子集.当遇到“A⊆B”时,要注意是否需要讨论A=⌀或A≠⌀两种情况.在解题中,遇到空集,要遵循“⌀优先原则”.
【例1】若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且B⊆A,则m的取值组成的集合为 .
【分析】在解本题时,易出现两个典型错误.一是易忽略对空集的讨论,如B=⌀时,m=0;二是易忽略对字母的讨论,如-1m可以为-3或2.
【解析】由题意可得A={-3,2}.
当m=0时,B=⌀,满足B⊆A;
当m≠0时,方程mx+1=0的解为x=-1m.
由B⊆A,得-1m=-3或-1m=2,即m=13或m=-12.
故所求集合为0,13,-12.
【答案】0,13,-12
【拓展训练1】已知全集U=R,集合A={x|1≤2x-1≤4},B=xy=ln(4-x)x-2.若集合C={x|4-a
由4-x>0,x-2>0得2
当4-a≥a,即a≤2时,C=⌀,满足题意;
当4-a
∵C⊆(A∪B),∴a>2,4-a≥1,a≤4,解得2
微专题二
“三个二次”间的转化
二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称为“三个二次”,它们常有机结合在一起,而二次函数是“三个二次”的核心,通过二次函数的图象将“三个二次”贯穿为一体.因此,有关二次函数的问题,常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决.
【例2】已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1).
(1)求f(x)的最小值;
(2)若f(x)≥-1恒成立,求a的取值范围;
(3)若方程f(x)=0的两个根都在[0,1]内,求a的取值范围.
【分析】(1)分a=0,a>0,a<0三种情况讨论;(2)转化为f(x)min≥-1求解;(3)先求出两个根,再根据根的取值范围求解.
【解析】(1)若a=0,则f(x)=-2x,它在[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=-2.
若a>0,则f(x)=ax2-2x的图象开口向上,且对称轴为直线x=1a.
当0<1a<1,即a>1时,f(x)在0,1a上单调递减,在1a,1上单调递增,∴f(x)min=f1a=1a-2a=-1a.
当1a≥1,即0
∴f(x)=ax2-2x在[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=a-2.
综上所述,f(x)min=a-2,a≤1,-1a,a>1.
(2)依题意,只需f(x)min≥-1即可.
由(1)知,当a≤1时,a-2≥-1,即a≥1,∴a=1;
当a>1时,-1a≥-1,即a≥1,∴a>1.
综上,a的取值范围为[1,+∞).
(3)由题意知,当f(x)=0时,x=0或x=2a(a≠0),
∵0∈[0,1],∴0<2a≤1,∴a≥2.
故a的取值范围为[2,+∞).
【拓展训练2】已知函数f(x)=x2+mx-1,若对任意的x∈[m,m+1],都有f(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是 .
【解析】作出二次函数f(x)的图象(图略),若对任意的x∈[m,m+1],都有f(x)<0,
则有f(m)<0,f(m+1)<0,
即m2+m2-1<0,(m+1)2+m(m+1)-1<0,
解得-22
微专题三
对数的忠告——“懂我”
在对数式中,真数必须是大于0的,所以对数函数y=logax的定义域为(0,+∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系,当底数a与1的大小关系不确定时,要分0
【例3】已知函数y=logax(a>0且a≠1,2≤x≤4)的最大值比最小值大1,则a的值为 .
【分析】当应用对数函数y=logax的单调性,而底数a不确定时,要分a>1和0
当0
【拓展训练3】若函数f(x)=log12(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数m的取值范围为 .
【解析】要使对数函数f(x)有意义,则-x2+4x+5>0,解得-1
所以函数f(x)=log12 (-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5).
要使函数f(x)=log12(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,
只需3m-2≥2,m+2≤5,3m-2
微专题四
指数型函数恒成立问题一点通
与指数型函数有关的恒成立问题,通常采取转化与化归的思想,即当a>1时,af(x)≥ag(x)恒成立⇔f(x)≥g(x)恒成立⇔f(x)-g(x)≥0恒成立⇔[f(x)-g(x)]min≥0,再构造函数h(x)=f(x)-g(x),求出h(x)的最小值;当0
【例4】已知函数f(x)=b·ax(a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).若不等式1ax+1bx-m≥0对任意的x∈(-∞,1]恒成立,则实数m的最大值为 .
【分析】由已知先确定a,b的值,然后将恒成立问题转化为函数最值问题来解决.
【解析】把A(1,6),B(3,24)两点的坐标代入f(x)=b·ax中,得6=ab,24=b·a3,
结合a>0,且a≠1,解得a=2,b=3,所以f(x)=3·2x.
要使12x+13x≥m在x∈(-∞,1]上恒成立,
只需保证函数y=12x+13x在(-∞,1]上的最小值不小于m.
因为函数y=12x+13x在(-∞,1]上为减函数,
所以在区间(-∞,1]上,当x=1时,y=12x+13x有最小值56,所以只需m≤56.
所以m的最大值为56.
【答案】56
【拓展训练4】已知定义在R上的函数f(x)=2x-12|x|.若2tf(2t)+mf(t)≥0对任意的t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】当t∈[1,2]时,2t22t-122t+m2t-12t≥0恒成立,即m(22t-1)≥-(24t-1)恒成立.
∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1)对任意的t∈[1,2]恒成立.
∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5],
故实数m的取值范围是[-5,+∞).
微专题五
自主招生真题赏析
本专题供参加自主招生考试的学生使用
1.已知实系数二次函数f(x)与g(x),f(x)=g(x)和3f(x)+g(x)=0各有两个重根,f(x)=0有两个相异实根,求证:g(x)=0没有实根.
【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),g(x)=dx2+ex+f(d≠0),则由f(x)=g(x)可得(a-d)x2+(b-e)x+(c-f)=0,∴Δ=(b-e)2-4(a-d)(c-f)=0; ①
由3f(x)+g(x)=0可得(3a+d)x2+(3b+e)x+(3c+f)=0,∴Δ=(3b+e)2-4(3a+d)(3c+f)=0. ②
由①②化简得3b2+e2=12ac+4df,
即e2-4df=3(4ac-b2).
又b2-4ac>0,∴e2-4df<0.∴g(x)没有实根.
2.以某些整数为元素的集合P具有下列性质:①P中的元素有正数,有负数;②P中的元素有奇数,有偶数;③-1∉P;④若x,y∈P,则x+y∈P.试判断实数0和2与集合P的关系.
【解析】由④可知,若x∈P,则kx∈P(k∈N).
(1)0∈P.由①可设x,y∈P,且x>0,y<0,则-yx=|y|x(|y|∈N),故xy,-yx∈P.
由④知0=(-yx)+xy∈P.
(2)2∉P.若2∈P,则P中的负数全为偶数;否则,当-(2k+1)∈P(k∈N)时,-1=(-2k-1)+2k∈P,与③矛盾.于是,由②知P中必有正奇数.
设-2m,2n-1∈P(m,n∈N),取适当的正整数q,使其满足q·|-2m|>2n-1,则负奇数-2qm+(2n-1)∈P.前后矛盾.
3.已知函数f(x)=x2+2x+2,x∈[t,t+1]的最小值是g(t),试写出g(t)的解析式.
【解析】f(x)=x2+2x+2=(x+1)2+1,其图象的对称轴为直线x=-1.
当t≥-1时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,从而g(t)=f(t)=t2+2t+2;
当t+1≤-1,即t≤-2时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,从而g(t)=f(t+1)=(t+1)2+2(t+1)+2=t2+4t+5;
当-2
4.函数y=ax2+8x+bx2+1的最大值为9、最小值为1,求实数a,b的值.
【解析】由y=ax2+8x+bx2+1得yx2+y=ax2+8x+b,即(a-y)x2+8x+(b-y)=0.显然,该方程必有实数根,从而有Δ=64-4(a-y)(b-y)≥0⇒y2-(a+b)y+ab-16≤0.
依题意,1≤y≤9⇔(y-9)(y-1)≤0⇔y2-10y+9≤0,故a+b=10,ab-16=9,解得a=b=5.
阶段检测一
一、选择题
1.(2017山东烟台一模)若集合A={-1,0,1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},C=A∩B,则集合C的真子集的个数为( ).
A.3 B.4 C.7 D.8
【解析】∵集合A={-1,0,1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A}={-3,-1,1,3,5},∴集合C=A∩B={-1,1,3},∴集合C的真子集的个数为23-1=7.
【答案】C
2.(2017广东乐昌一中月考)已知命题p:∀x≥0,2x≥1,命题q:若x>y,则x2>y2.下列命题为真命题的是( ).
A.p∧q B.p∧(?q)
C.(?p)∧(?q) D.(?p)∨q
【解析】命题p为真命题,命题q为假命题(如x=0,y=-3),故?q为真命题.所以p∧(?q)为真命题.
【答案】B
3.(2017河北百校联考)已知f(x)满足对∀x∈R,f(-x)+f(x)=0,且当x≥0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln 5)的值为( ).
A.4 B.-4 C.6 D.-6
【解析】由题意知函数f(x)是奇函数,故f(0)=e0+m=1+m=0,即m=-1,所以f(-ln 5)=-f(ln 5)=-eln5+1=-5+1=-4,故选B.
【答案】B
4.(2017天津市武清区期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递减,若f(log2a)+f(log12a)>2f(1),则实数a的取值范围是( ).
A.12,2 B.(2,+∞) C.(0,2) D.12,+∞
【解析】根据题意,函数f(x)是定义在R上的偶函数,
则f(log2a)+f(log12a)>2f(1)⇔2f(log2a)>2f(1)⇔f(|log2a|)>f(1).
因为函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,所以f(|log2a|)>f(1)⇒|log2a|<1,解得12
【答案】A
5.(2017湖南长沙期末)已知a>1,f(x)=ax2+2x,则f(x)<1的一个充分不必要条件是( ).
A.0
∵a>1,∴x2+2x<0,∴-2
6.(2017山东高密月考)已知函数f(x)=loga(x+b)(a,b为常数,a>0,a≠1)的图象如图所示,则函数g(x)=bx2-4x在[0,5]上的最大值是( ).
A.1b4 B.1b5 C.b4 D.b5
【解析】∵函数f(x)=loga(x+b)的零点在(0,1)上,∴b∈(0,1).当x∈[0,5]时,x2-4x在x=2时取最小值-4,此时g(x)=bx2-4x取得最大值1b4.
【答案】A
7.(2017山西四校联考)已知定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(1)=0,若f(x-2)≥0,则x的取值范围是( ).
A.[1,3] B.[1,2)∪(2,3]
C.[1,2]∪[3,+∞) D.(-∞,1]∪[3,+∞)
【解析】∵奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
∴函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增.
又∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.
由f(1)=0得f(-1)=0.
∵f(x-2)≥0,即f(x-2)≥f(1)或f(x-2)≥f(-1)或f(x-2)≥f(0),∴x-2≥1或-1≤x-2<0或x-2=0,
即x≥3或1≤x≤2.
故选C.
【答案】C
8.(2017上海市虹口区一模)定义f(x)={x}为“取上整函数”,其中{x}表示不小于x的最小整数,例如{2.1}=3,{4}=4.下列关于“取上整函数”性质的描述正确的是( ).
①f(2x)=2f(x);
②若f(x1)=f(x2),则x1-x2<1;
③对任意的x1,x2∈R,f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2);
④f(x)+fx+12=f(2x).
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
【解析】对于①,当x=1.4时,f(2x)=f(2.8)=3,2f(1.4)=4,所以f(2x)≠2f(x),故①错误.对于②,若f(x1)=f(x2),当x1是整数时,f(x1)=x1,此时x2>x1-1,即x1-x2<1;当x1不是整数时,f(x1)=[x1]+1([x1]表示不大于x1的最大整数),x2表示比x1的整数部分大1的整数或者是和x1保持相同整数的数,此时x1-x2<1,故②正确.对于③,当x1,x2中有一个是整数时,f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),当x1,x2都不是整数时,f(x1+x2)
二、填空题
9.(2017江苏南通四模)已知y=f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,f(x)=1-2x,则当x∈(0,+∞)时,f(x)的解析式为f(x)= .
【解析】若x∈(0,+∞),则-x∈(-∞,0),∴f(-x)=1-2-x=1-12x.
∵f(x)是奇函数,∴当x∈(0,+∞)时,f(x)=-f(-x)=12x-1.
【答案】12x-1
10.(2017山西重点中学协作体一模)已知函数f(x)=x2-m是定义在区间[-3-m,m2-m]上的奇函数,则f(m)= .
【解析】由已知得m2-m=3+m,即m2-2m-3=0,∴m=3或m=-1.
当m=3时,函数f(x)=x-1,而x∈[-6,6],∴f(x)在x=0处无意义,故舍去.
当m=-1时,函数f(x)=x3,此时x∈[-2,2],∴f(m)=f(-1)=(-1)3=-1.
【答案】-1
11.(广东珠海2018届高三六校联考)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ).
(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)
A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年
【解析】设从2015年后第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得130×(1+12%)n>200,∴1.12n>200130,两边同时取对数,得nlg 1.12>lg200130,∴n>lg2-lg1.3lg1.12≈0.3-0.110.05=3.8,∴n≥4,故选B.
【答案】B
12.(2017江西宜春一中、高安中学联考)已知命题p:函数f(x)=2|x-a|在区间(4,+∞)上单调递增,命题q:loga2<1.若“?p”是真命题,“p或q”也是真命题,则实数a的取值范围为 .
【解析】∵函数f(x)=2|x-a|的单调递增区间为[a,+∞),
∴若f(x)在区间(4,+∞)上单调递增,则a≤4,即p:a≤4,?p:a>4.
由loga2<1得loga2
综上可知,0
若“?p”是真命题,“p或q”也是真命题,则p是假命题,q是真命题,
即a>4,0
故实数a的取值范围为(4,+∞).
【答案】(4,+∞)
三、解答题
13.(2017辽宁六校模拟)已知函数f(x)=(x+1)(x+a)x2为偶函数.
(1)求实数a的值;
(2)记集合E={y|y=f(x),x∈{-1,1,2}},λ=(lg 2)2+lg 2×lg 5+lg 5-14,判断λ与E的关系;
(3)当x∈1m,1n(m>0,n>0)时,若函数f(x)的值域为[2-3m,2-3n],求m,n的值.
【解析】(1)∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),
即(x+1)(x+a)x2=(-x+1)(-x+a)x2,
即2(a+1)x=0,又∵x∈R且x≠0,∴a=-1.
(2)由(1)可知,f(x)=x2-1x2,当x=±1时,f(x)=0;
当x=2时,f(x)=34.∴E=0,34.
又∵λ=(lg 2)2+lg 2×lg 5+lg 5-14=(lg 2)2+lg 2(1-lg 2)+1-lg 2-14=34,∴λ∈E.
(3)∵f(x)=x2-1x2=1-1x2,x∈1m,1n,
∴f(x)在1m,1n上单调递增.
∴f1m=2-3m,f1n=2-3n,
∴1-m2=2-3m,1-n2=2-3n,即m2-3m+1=0,n2-3n+1=0,
∴m,n是方程x2-3x+1=0的两个根.
又∵1m<1n,且m>0,n>0,∴m>n,
∴m=3+52,n=3-52.
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