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全国版高考数学必刷题：第十二单元 空间几何体的结构特征
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这是一份全国版高考数学必刷题：第十二单元 空间几何体的结构特征，共33页。
第十二单元 空间几何体的结构特征
考点一
根据三视图求简单多面体、切割体等的体积或表面积
1.(2017年全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示,其中正(主)视图和侧(左)视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ).
A.10 B.12 C.14 D.16
【解析】观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的,且直三棱柱的底面是直角边边长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边边长为2的等腰直角三角形,高为2,如图所示.因此该多面体的各个面中有两个梯形,且这两个梯形全等,梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,故这些梯形的面积之和为2×12×(2+4)×2=12.故选B.
【答案】B
2.(2017年全国Ⅱ卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( ).
A.90π B.63π C.42π D.36π
【解析】
由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱被一个平面截去上面虚线部分所得,如图所示.
将圆柱补全,并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于上部分圆柱体积的12加上下部分圆柱的体积,所以该几何体的体积V=π×32×4+π×32×6×12=63π.故选B.
【答案】B
3.(2016年全国Ⅰ卷)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( ).
A.17π B.18π C.20π D.28π
【解析】由几何体的三视图可知,该几何体是一个球体去掉上半球的14,得到的几何体如图.设球的半径为R,则43πR3-18·43πR3=283π,解得R=2.因此它的表面积为78·4πR2+34πR2=17π.故选A.
【答案】A
4.(2015年全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正(主)视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ).
A.1 B.2
C.4 D.8
【解析】如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为r,圆柱的底面半径为r,高为2r,则表面积S=12·4πr2+πr2+4r2+πr·2r=(5π+4)r2.又S=16+20π,∴(5π+4)r2=16+20π,∴r2=4,r=2,故选B.
【答案】B
5.(2016年北京卷)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ).
A.16 B.13 C.12 D.1
【解析】
通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,通过侧(左)视图得高h=1,底面积S=12×1×1=12,所以体积V=13Sh=13×12×1=16.
【答案】A
6.(2016年全国Ⅱ卷)如图所示的是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ).
A.20π B.24π C.28π D.32π
【解析】由三视图可知圆柱的底面直径为4,母线长(高)为4,所以圆柱的侧面积为2π×2×4=16π,底面积为π×22=4π;圆锥的底面直径为4,高为23,所以圆锥的母线长为(23)2+22=4,所以圆锥的侧面积为π×2×4=8π.所以该几何体的表面积为S=16π+4π+8π=28π.
【答案】C
7.(2016年全国Ⅲ卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( ).
A.18+365 B.54+185
C.90 D.81
【解析】由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱,其中有两个侧面为矩形,另两个侧面为平行四边形,则该几何体的表面积为(3×3+3×6+3×35)×2=54+185.故选B.
【答案】B
考点二
简单几何体的内切球或外接球的有关问题
8.(2017年全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ).
A.π B.3π4 C.π2 D.π4
【解析】设圆柱的底面半径为r,球的半径为R,且R=1,
由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r,R及圆柱的高的一半构成直角三角形.
∴r=12-122=32.
∴圆柱的体积V=πr2h=34π×1=3π4.故选B.
【答案】B
9.(2015年全国Ⅱ卷)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( ).
A.36π B.64π C.144π D.256π
【解析】如图,设球的半径为R,∵∠AOB=90°,∴S△AOB=12R2.
∵VO -ABC=VC-AOB,而△AOB的面积为定值,
∴当点C到平面AOB的距离最大时,VO -ABC最大,
∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时,体积VO -ABC最大,最大值为13·12R2·R=36,∴R=6,
∴球O的表面积为4πR2=4π×62=144π.故选C.
【答案】C
10.(2017年天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .
【解析】设正方体的棱长为a,则6a2=18,∴a=3.设球的半径为R,则由题意知2R=a2+a2+a2=3,∴R=32.
故球的体积V=4π3R3=4π3×323=9π2.
【答案】9π2
高频考点:三视图还原几何体,求空间几何体的体积、表面积,几何体外接球、内切球的体积和表面积.
命题特点: 一般是两个小题,选择题或填空题,常常是一个考查三视图,另一个考查球的组合体,题目注重空间想象能力的考查,属中档题.
§12.1 空间几何体的三视图及其应用
一
空间几何体的结构特征
1.简单多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都 ,上下底面是 的多边形.
(2)棱锥的底面是任意多边形,侧面都是有一个 的三角形.
(3)棱台可由 于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上下底面是 的多边形.
2.旋转体的结构特征
(1)圆柱由 绕其 所在直线旋转而成.
(2)圆锥由 绕其 所在直线旋转而成.
(3)圆台由 绕其 所在直线旋转而成.
二
空间几何体的三视图
几何体的三视图包括: 、 、 ,分别是从几何体的 、 、 观察到的几何体的正投影图.
三
表面积和体积
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积
S圆柱= ;S圆锥= ;
S圆台= .
2.柱体、锥体、台体的体积
(1)柱体: .
(2)锥体: .
(3)台体: .
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )
(3)圆锥的三视图中,三个视图均相同.( )
(4)锥体的体积等于底面面积与高之积.( )
2 某几何体的正(主)视图是三角形,则该几何体不可能是( ).
A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱
3 圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为15,若圆台的侧面积为420π,求圆台较小底面的半径.
知识清单
一、1.(1)平行且相等 全等 (2)公共顶点 (3)平行 相似
2.(1)矩形 一边 (2)直角三角形 任一直角边 (3)直角梯形 直角腰
二、正(主)视图 侧(左)视图 俯视图 正前方 正左方 正上方
三、1.2πr(r+h) πr(r+l) π(r2+rl+Rl+R2)
2.(1)V=Sh (2)V=13Sh (3)V=13(S'+S'S+S)h
基础训练
1.【解析】(1)错,因为两个共底面的棱柱叠放时就不一定是棱柱.
(2)错,各侧面三角形必须共顶点.
(3)错,圆锥的三个视图不相同.
(4)错,还应该乘以13.
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)×
2.【解析】圆柱无论如何摆放,其正(主)视图都不可能是三角形.
【答案】A
3.【解析】设圆台较小底面半径为r,则另一个底面半径为3r,由S=π(r+3r)·15=420π,解得r=7.
题型一
由空间几何体的直观图判断三视图
【例1】某几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是( ).
【解析】几何体的俯视图轮廓是矩形,几何体的上部分的棱都是可以看见的线段,所以C,D不正确;几何体的上部分中间的棱与正(主)视图方向垂直,所以A不正确.故选B.
【答案】B
此类题目比较简单,解题的关键是选准视点,弄清楚轮廓线,看得见的轮廓线用实线表示,看不见的轮廓线用虚线表示.
【变式训练1】将正方体(如图①)截去两个三棱锥,得到如图②所示的几何体,则该几何体的侧(左)视图为( ).
【解析】还原正方体后,将D1,D,A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B,且为实线,B1C被遮挡应为虚线.
【答案】B
题型二
根据给出的三视图还原几何体
【例2】一个几何体的三视图如图所示,则组成该几何体的简单几何体为( ).
A.圆柱与圆台 B.圆柱与四棱台
C.四棱柱与四棱台 D.四棱柱与圆台
【解析】由三视图可得该几何体是一个组合体,由几何体上部的三视图均为矩形可知上部是四棱柱,由下部的三视图中有两个梯形可得下部是四棱台,故组成该几何体的简单几何体为四棱柱与四棱台,故选C.
【答案】C
由三视图还原几何体,要遵循以下三步:(1)看视图,明关系;(2)分部分,想整体;(3)综合起来,定整体.
【变式训练2】(1)如图所示的是一个几何体的三视图,则据此可知该几何体的直观图是( ).
(2)如图所示的是一个简单几何体的三视图,则其对应的几何体是( ).
【解析】(1)由三视图知该组合体的上面是锥体,下面是圆柱.
(2)对于A,该几何体的三视图恰好与已知图形相符,故A符合题意;对于B,该几何体的正(主)视图的矩形中,对角线是虚线,故不符合题意;对于C,该几何体的正(主)视图的矩形中,对角线是从左上到右下的方向,故不符合题意;对于D,该几何体的侧(左)视图的矩形中,对角线是虚线,故不符合题意.故选A.
【答案】(1)D (2)A
题型三
根据三视图求几何体的表面积
【例3】某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( ).
A.2+1+52π B.2+1+252π
C.2+(1+5)π D.2+2+52π
【解析】由三视图知几何体为半个圆锥,且圆锥的底面圆半径为1,高为2,圆锥的母线长为5,
∴所求几何体的表面积S=S底面+S侧面=12×π×12+12×2×2+12×π×1×5=2+1+52π.故选A.
【答案】A
组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分的面积的两倍,要注意重叠的面的面积不能算.
【变式训练3】(1)如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( ).
A.36+310 B.36+610
C.54 D.27
(2)如图所示的是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图是面积为82的矩形,则该几何体的表面积是( ).
A.20+82 B.24+82 C.8 D.16
【解析】(1)由三视图可得该几何体是一个以正(主)视图为底面的四棱柱,
其底面积为12×(2+4)×3=9,底面周长为2+4+212+32=6+210,高h=3,故棱柱的表面积S=2×9+(6+210)×3=36+610,故选B.
(2)此几何体是一个三棱柱,且高为8222=4,因为底面是一个等腰直角三角形,直角边长为2,所以其面积为12×2×2=2,故其侧面积为(2+2+22)×4=16+82,表面积为2×2+16+82=20+82.故选A.
【答案】(1)B (2)A
题型四
根据三视图求几何体的体积
【例4】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.83+8π B.163+8π C.83+16π D.163+16π
【解析】由三视图可得该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体.半圆柱的底面半径为2,高为4,故其体积为12×π×22×4=8π;三棱锥的底面积为12×4×2=4,高为2,故其体积为83.所以所求组合体的体积V=83+8π,故选A.
【答案】A
求组合体的体积时,关键是弄清楚几何体是由哪几种简单几何体组合而成的,然后由相应几何体的体积公式得出.
【变式训练4】如图所示的是某几何体的三视图,则这个几何体的体积是( ).
A.2+π3 B.2+π2 C.4+π3 D.4+π2
【解析】由三视图可知,该几何体是由一个半圆柱与一个三棱柱组成的几何体.
这个几何体的体积V=12×π×12×1+12×(2)2×2=2+π2.故选B.
【答案】B
方法一
空间几何体表面积的求法
多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积应注意重合部分的处理.已知三视图求几何体的表面积时,首先根据三视图还原出几何体,此时需要利用线与线的位置关系以及线与面的位置关系分析表面的相对位置关系,然后根据三视图中数据确定对应线段的长度,进而求出表面积.
【突破训练1】(2017大石桥学业考试)下图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ).
A.32 B.16+162 C.48 D.16+322
【解析】由几何体的三视图,得该几何体是底面边长为4,高为2的正四棱锥,所以该四棱锥的斜高为22+22=22.所以该四棱锥的侧面积为4×12×4×22=162,底面积为4×4=16,所以几何体的表面积为16+162.故选B.
【答案】B
方法二
空间几何体体积的求法
1.求简单几何体的体积.若所给的几何体是柱体、锥体或台体,则可直接利用公式求解.
2.求组合体的体积.若所给的几何体是组合体,不能直接利用公式求解,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解,特别是三棱锥的体积常用等体积法求解.
3.求以三视图为背景的几何体的体积,应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.
【突破训练2】(2017枝江模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.13+π12 B.1+π12
C.13+π4 D.1+π4
【解析】根据已知条件可得该几何体是一个四分之一圆锥与三棱柱的组合体.
四分之一圆锥的底面半径为1,高为1,故其体积为13×π4×1=π12;三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形,高为1,故其体积为12×1×2×1=1,
故组合体的体积V=1+π12,选B.
【答案】B
1.(2017西安一模)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正(主)视图中的x的值是( ).
A.2 B.92 C.32 D.3
【解析】根据三视图判断该几何体为四棱锥,其直观图如图所示,
∵V四棱锥=13×1+22×2×x=3,∴x=3.
【答案】D
2.(2017洛阳二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为( ).
A.22 B.52 C.62 D.3
【解析】由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,
则S△AED=12×1×1=12,S△ABC=S△ABE=12×1×2=22,S△ACD=12×1×5=52,故选B.
【答案】B
3.(2017楚雄州一模)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ).
A.96 B.80+42π
C.96+4(2-1)π D.96+4(22-1)π
【解析】由三视图可知该几何体是由边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的,圆锥的底面半径为2,高为2,∴圆锥的母线长为22.∴几何体的表面积为6×42-π×22+π×2×22=96-4π+42π.故选C.
【答案】C
4.(2017江西二模)圆锥的底面半径为a,侧面展开图是半圆面,那么此圆锥的侧面积是( ).
A.2πa2 B.4πa2 C.πa2 D.3πa2
【解析】若圆锥的侧面展开图是半圆,则圆锥的母线长为底面半径的2倍.
因为圆锥的底面半径为a,所以圆锥的母线长为2a,故圆锥的侧面积S=2πa2.
【答案】A
5.(2017福建模拟)某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线,如图所示,若该三棱锥的体积是13,则它的表面积是( ).
A.1 B.2 C.22 D.23
【解析】如图所示,该三棱锥是正方体的面对角线构成的正三棱锥.设正方体的棱长为a,则几何体的体积是a3-4×13×12a3=13a3=13,∴a=1,∴三棱锥的棱长为2,
因此该三棱锥的表面积S=4×34×2=23,故选D.
【答案】D
6.(2017西宁二模)某四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是( ).
A.8 B.83 C.4 D.43
【解析】由三视图可知,该四棱锥是一个底面为正方形的四棱锥,且一条侧棱垂直于底面.由题意知底面正方形对角线的长为2,面积S=12×22=2,四棱锥的高h=2,
所以它的体积是13×2×2=43,故选D.
【答案】D
7.(2017山东二模)已知一几何体的三视图如图所示,俯视图由一个直角三角形和一个半圆组成,则该几何体的体积为( ).
A.6π+12 B.6π+24 C.12π+12 D.24π+12
【解析】由三视图可知该几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体,
V=12×π×22×3+12×2×4×3=6π+12,故选A.
【答案】A
8.(2017商丘二模)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ).
A.23 B.3 C.83 D.4
【解析】如图所示,由三视图可知该几何体为四棱锥P-ABCD,连接BD,
其体积V=VB-PAD+VB-PCD=13×12×1×3×3+13×12×1×3×3=3.故选B.
【答案】B
9.(2017大理州一模)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( ).
A.8+433 B.8+423 C.8+233 D.323
【解析】根据三视图可知,该几何体是组合体,下面是正方体,棱长为2,体积为8;上面是斜高为2,底面边长为2的正四棱锥,所以底面积为4,高为4-1=3,体积为433.所以该几何体的体积为8+433.故选A.
【答案】A
10.(2017湘西州模拟)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某空间几何体的三视图,则该几何体的体积为( ).
A.40 B.803 C.103 D.163
【解析】由几何体的三视图得,该几何体是三棱柱BCE-AGF割去一个三棱锥A-BCD所得的图形,如图所示.∴V几何体CDEFGA=12×4×4×4-13×12×12×4×4×4=803.故选B.
【答案】B
11.(2017合肥一模)一个几何体的三视图如图所示(其中正(主)视图的弧线为四分之一圆周),则该几何体的表面积为( ).
A.72+6π B.72+4π C.48+6π D.48+4π
【解析】由三视图,可得该几何体是一个以正(主)视图为底面的柱体,其底面积为4×4-2×2+14π×22=12+π,底面周长为4+4+2+2+14×2×π×2=12+π,柱体的高为4,
故柱体的表面积S=(12+π)×2+(12+π)×4=72+6π.
【答案】A
12.(2017沈阳三模)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图):底面ABCD为矩形,棱EF∥AB.在此几何体中,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,则此几何体的表面积为( ).
A.83 B.8+83
C.62+23 D.8+62+23
【解析】过点F作FO⊥平面ABCD,垂足为O,取BC的中点P,连接PF,OP,过点F作FQ⊥AB,垂足为Q,连接OQ.∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,∴OP=12(AB-EF)=1,PF=3,OQ=12BC=1,∴OF=PF2-OP2=2,FQ=OF2+OQ2=3,∴S梯形EFBA=S梯形EFCD=12×(2+4)×3=33.
又S△BCF=S△ADE=34×22=3,S矩形ABCD=4×2=8,
∴该几何体的表面积S=33×2+3×2+8=8+83.
【答案】B
13.(2017衡水一模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.43 B.52 C.73 D.53
【解析】该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体,如右图,三棱柱的底面是等腰直角三角形,其面积S1=12×1×2=1,高为1,故三棱柱的体积V1=1×1=1.三棱锥的底面是等腰直角三角形,其面积S2=12×1×2=1,高为1,故三棱锥的体积V2=13×1×1=13.故该几何体的体积V=V1+V2=43.
【答案】A
14.(2017贵阳二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.16π-163 B.16π-323 C.8π-163 D.8π-323
【解析】由三视图可知,该几何体为一个半圆柱挖去一个倒立的四棱锥.
∴该几何体的体积V=12×π×22×4-13×42×2=8π-323.故选D.
【答案】D
15.(2017临翔区校级三模)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为( ).
A.43+8+219 B.43+8+419
C.83+8+419 D.83+8+219
【解析】由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形,面积为43,两个侧面是全等的三角形,三边分别为25,27,4,面积之和为419,另一个侧面为等腰三角形,面积是12×4×4=8,该三棱锥的表面积为43+8+419.
【答案】B
§12.2 球的体积与表面积
一
球的结构、球的体积与表面积
1.球由 绕其直径所在直线旋转一周而成.
2.球的体积与表面积公式
(1)球的体积公式 .
(2)球的表面积公式 .
二
球体的截面的特点
球既是中心对称的几何体,又是 对称的几何体,它的任何截面均为 ,它的三视图都是 .
☞ 左学右考
1 一个球的表面积是16π,则它的体积是 .
2 三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直,三个侧面的面积分别为22,32,62,则该三棱锥的外接球表面积为( ).
A.4π B.6π C.8π D.10π
知识清单
一、1.半圆面
2.(1)V=43πR3 (2)S=4πR2
二、轴 圆面 圆
基础训练
1.【解析】由4πR2=16π得R=2,所以球的体积为V=43πR3=32π3.
【答案】32π3
2.【解析】三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,
它的外接球就是其扩充为长方体的外接球,
设PA=a,PB=b,PC=c,
则12ab=22,12bc=32,12ca=62,
解得a=2,b=1,c=3.
故长方体的体对角线的长为a2+b2+c2=6.
所以球的直径是6,半径R=62,
则球的表面积S=4πR2=6π.
【答案】B
题型一
柱体的外接球
【例1】已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上,且AB=3,BC=3,DE垂直于平面ABCD交球O于点E,则棱锥E-ABCD的体积为 .
【解析】如图所示,BE过球心,∴DE=42-32-(3)2=2,
∴VE-ABCD=13×3×3×2=23.
【答案】23
棱柱的外接球半径的求法:明确球心、球的半径与棱柱底面的外接圆半径的关系是解决问题的关键.
【变式训练1】体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( ).
A.8π B.323π C.12π D.4π
【解析】正方体的体积为8,可知其边长为2,正方体的体对角线为4+4+4=23,即为球的直径,所以球的半径为3,所以球的表面积为4π×(3)2=12π.故选C.
【答案】C
题型二
锥体的外接球
【例2】已知三棱锥A-BCD的四个顶点A,B,C,D都在球O的表面上,BC⊥CD,AC⊥平面BCD,且AC=22,BC=CD=2,则球O的表面积为( ).
A.4π B.8π C.16π D.22π
【解析】∵AC⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,∴AC⊥BC,∵BC⊥CD,AC∩CD=C,∴BC⊥平面ACD,∴三棱锥A-BCD可以扩充为以AC,BC,DC为棱的长方体,外接球的直径为该长方体的体对角线,∴4R2=AC2+BC2+CD2=16,∴R=2,∴球O的表面积为4πR2=16π.
【答案】C
抓住棱锥的线面关系是解决棱锥的外接球问题的关键,三条侧棱两两垂直或对棱相等的三棱锥可放入正方体(或长方体)中考虑.
【变式训练2】(2017广西模拟)某三棱锥的三视图如图所示,其侧(左)视图为直角三角形,则该三棱锥外接球的表面积为( ).
A.50π B.502π C.40π D.402π
【解析】由三视图可得,该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,
其外接球相当于以俯视图为底面的三棱柱的外接球,由底面三边长为3,4,5,得底面外接圆的半径r=52,球心到底面的距离d=52,故球的半径R=522,
故该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=50π.
【答案】A
题型三
多面体的内切球
【例3】 (2016年全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( ).
A.4π B.9π2 C.6π D.32π3
【解析】由题意知,底面三角形的内切圆直径为4,三棱柱的高为3,所以球的最大直径为3,即V的最大值为9π2.
【答案】B
通过三棱柱底面三角形的内切圆直径与三棱柱的高比较来确定球的最大直径.
【变式训练3】已知一个三棱柱,其底面是正三角形,且侧棱与底面垂直,一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切,则这个三棱柱的表面积是( ).
A.63 B.123 C.183 D.243
【解析】由球的体积公式,得43πR3=4π3,∴R=1.
∴正三棱柱的高h=2R=2.
设正三棱柱的底面边长为a,
则其内切圆的半径为13×32a=1,∴a=23.
∴该正三棱柱的表面积为3a×2R+2×34a2=183.
【答案】C
方法
球中的最值问题
求几何体外接球体积、表面积的最值的问题,主要考查二次函数的配方法和基本不等式的运用.
【突破训练】(1)(2017南昌月考)已知矩形ABCD的周长为18,把它沿图中的虚线折成正四棱柱(线段BC四等分),则这个正四棱柱外接球的表面积的最小值为 .
【解析】设正四棱柱的底面边长为x,高为y,则8x+2y=18,即4x+y=9,0
∴外接球的表面积的最小值为9π.
【答案】9π
1.(2017乌鲁木齐期末)球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( ).
A.π3 B.π4 C.π2 D.π
【解析】设正方体的边长为a,则球的半径为3a2,所以球的表面积S1=4πR2=4π×34a2=3πa2,而正方体的表面积S2=6a2,所以比值S1S2=π2.
【答案】C
2.(2017江西二模)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( ).
A.36π B.8π C.9π2 D.27π8
【解析】由几何体的三视图得,该几何体是底面为等腰直角三角形,高为2的直三棱锥,如图所示.
该直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球,设几何体外接球的半径为R,
∵底面是等腰直角三角形,∴底面外接圆的半径为1,
∴R2=1+1=2,
∴外接球的表面积是4πR2=8π.故选B.
【答案】B
3.(2016天津期末)直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB⊥AC,AA1=12,AB=3,AC=4,则球O的半径为( ).
A.3172 B.210 C.132 D.310
【解析】因为三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,所以三棱柱的底面是直角三角形,侧棱与底面垂直,侧面B1BCC1经过球的球心,且球的直径是其对角线的长.因为AB=3,AC=4,所以BC=5,所以BC1=13,所以球的半径为132.故选C.
【答案】C
4. (2017宝清县一模)一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为( ).
A.16π3 B.8π3 C.43 D.23π
【解析】由三视图知,该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面,高为3,底面是一个等腰直角三角形的三棱锥,如图所示.这个几何体的外接球的球心O在高线PD上,且是等边三角形PAC的中心,故这个几何体的外接球的半径R=23PD=233.
所以这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×2332=16π3.
【答案】A
5.(2016安康三模)一直三棱柱的每条棱长都是3,且每个顶点都在球O的表面上,则球O的半径为( ).
A.212 B.3 C.7 D.3
【解析】正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是外接球的球心,球心与顶点的连线长就是半径,所以r=322+(3)2=212.故选A.
【答案】A
6.(2017郑州三模)四面体ABCD中,AB=CD=10,AC=BD=234,AD=BC=241,则四面体ABCD外接球的表面积为( ).
A.50π B.100π C.200π D.300π
【解析】由题意可采用构造法,考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形,
故构造一个长、宽、高分别x、y、z的长方体,使得过同一顶点的三个面的面对角线长分别为10,234,241,则三棱锥A-BCD为长方体中的一个内嵌三棱锥,如图所示,所以x2+y2=100,x2+z2=136,y2+z2=164,
设外接球的半径为R,则有(2R)2=x2+y2+z2=200,所以4R2=200,所以外接球的表面积为S=4πR2=200π.故选C.
【答案】C
7.(2017福建模拟)已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且AB=5,BC=7,AC=2,则此三棱锥的外接球的体积为( ).
A.8π3 B.82π3 C.16π3 D.32π3
【解析】∵AB=5,BC=7,AC=2,
∴PA=1,PC=3,PB=2.
以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱,作长方体如图所示,
则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC的外接球.
∵长方体的体对角线长为1+3+4=22,
∴球的直径为22,半径R=2.
因此,三棱锥P-ABC的外接球的体积是4π3R3=4π3×(2)3=82π3,故选B.
【答案】B
8.(2017张家口模拟)已知一个空间几何体的三视图如图所示,这个空间几何体的顶点均在同一个球面上,则此球的体积与表面积之比为( ).
A.1∶3 B.3∶1 C.4∶1 D.3∶2
【解析】由三视图知几何体是一个正四棱锥,四棱锥的底面是一个边长为2的正方形.因为四棱锥的高为1,所以球心在高所在的直线上,易知球心在底面四边形的中心,故此几何体外接球的半径为1,故球的体积为43×π×13=4π3,表面积为4×π×12=4π,所以球的体积与表面积之比为1∶3,故选A.
【答案】A
9.(2017江南十校联考)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的体积为 .
【解析】根据题意,将三视图还原成如图所示的多面体,由三视图知原正方体的棱长等于2,∵题中的几何体与正方体有相同的外接球,∴该外接球的直径2R=22+22+22=23,得R=3,故该几何体外接球的体积为V=4π3·R3=43π.
【答案】43π
10.(2016广东月考)直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在同一个球面上,若AB=3,AC=2,AA1=263,∠BAC=60°,则这个外接球的表面积为 .
【解析】直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在同一个球面上,若AB=3,AC=2,∠BAC=60°,则BC=9+4-2×3×2×12=7,如图,连接上下底面外心,O为PQ的中点,OP⊥平面ABC,则球的半径为OA,由题意,AP=12×732=73,OP=63,
所以OA=73+69=3,所以外接球的表面积为4πR2=12π.
【答案】12π
11.(2017河南一模)一个四面体的所有顶点都在球面上,它们的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心,边长为1的正方形,则这个四面体的外接球的表面积是( ).
A.π B.3π C.4π D.6π
【解析】由三视图可知,该四面体是正方体的一个内接正四面体,如图.
∴此四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长,即为3.
∴此四面体的外接球的表面积为4π×322=3π.
【答案】B
12.(2016全国模拟)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此三棱锥的体积为( ).
A.14 B.24 C.26 D.212
【解析】根据题意画出图形(如图所示),设球心为O,过A,B,C三点的圆的圆心为O1,则OO1⊥平面ABC,延长CO1交球于点D,则SD⊥平面ABC.∵CO1=23×32=33,
∴OO1=1-13=63,∴高SD=2OO1=263,
∵△ABC是边长为1的正三角形,
∴S△ABC=34,∴V三棱锥S-ABC=13×34×263=26.故选C.
【答案】C
13.(2016南阳校级三模)如图,边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,将△AED,△EBF,△FCD分别沿DE,EF,FD折起,使A,B,C三点重合于点A',若四面体A'EFD的四个顶点在同一个球面上,则该球的半径为( ).
A.2 B.52 C.112 D.62
【解析】由题意可知△A'EF是等腰直角三角形,且A'D⊥平面A'EF.
三棱锥的底面△A'EF扩展为边长为1的正方形,然后扩展为正四棱柱,三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球,正四棱柱的体对角线的长度就是外接球的直径,直径为12+12+22=6.所以球的半径为62.故选D.
【答案】D
14.(2017临翔区校级一模)已知底面边长为23的正三棱锥O-ABC的体积为3,且A,B,C在球O上,则球的体积是( ).
A.205π3 B.8π C.20π D.43π
【解析】正三棱锥的顶点正好是球心,底面三角形的外接圆为一个小圆.因为正三角形ABC的边长为23,所以小圆半径r=2.因为VO-ABC=3,所以三棱锥的高h=1,设球O的半径为R,则R=r2+h2=5,V球=43πR3=43π×(5)3=205π3,故选A.
【答案】A
15.(2017新疆二模)如图所示的是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为 .
【解析】由三视图可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥,其底面是边长为3的正方形,且高为3,其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球,所以外接球半径R满足2R=32+32+32=33,所以外接球的表面积为S=4πR2=27π.
【答案】27π
16.(2017迎泽区校级模拟)如图所示,已知在三棱锥P-ABC中,PA=4,AC=27,PB=BC=23,PA⊥平面PBC,则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为 .
【解析】已知PA⊥平面PBC,PA=4,PB=BC=23,AC=27,
由勾股定理得到AB=27,PC=23,所以△PBC为等边三角形,△ABC为等腰三角形,
所以VP-ABC=VA-PBC=13S△PBC·PA=13×34×12×4=43,
表面积S=12×23×4×2+34×12+12×23×(27)2-(3)2=163,
设内切球半径为r,故43=13×163r,即r=34.
所以三棱锥P-ABC的内切球的表面积为4π×916=9π4.
【答案】9π4
第十二单元 空间几何体的结构特征
考点一
根据三视图求简单多面体、切割体等的体积或表面积
1.(2017年全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示,其中正(主)视图和侧(左)视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ).
A.10 B.12 C.14 D.16
【解析】观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的,且直三棱柱的底面是直角边边长为2的等腰直角三角形,侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边边长为2的等腰直角三角形,高为2,如图所示.因此该多面体的各个面中有两个梯形,且这两个梯形全等,梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,故这些梯形的面积之和为2×12×(2+4)×2=12.故选B.
【答案】B
2.(2017年全国Ⅱ卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( ).
A.90π B.63π C.42π D.36π
【解析】
由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱被一个平面截去上面虚线部分所得,如图所示.
将圆柱补全,并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于上部分圆柱体积的12加上下部分圆柱的体积,所以该几何体的体积V=π×32×4+π×32×6×12=63π.故选B.
【答案】B
3.(2016年全国Ⅰ卷)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( ).
A.17π B.18π C.20π D.28π
【解析】由几何体的三视图可知,该几何体是一个球体去掉上半球的14,得到的几何体如图.设球的半径为R,则43πR3-18·43πR3=283π,解得R=2.因此它的表面积为78·4πR2+34πR2=17π.故选A.
【答案】A
4.(2015年全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正(主)视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ).
A.1 B.2
C.4 D.8
【解析】如图,该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为r,圆柱的底面半径为r,高为2r,则表面积S=12·4πr2+πr2+4r2+πr·2r=(5π+4)r2.又S=16+20π,∴(5π+4)r2=16+20π,∴r2=4,r=2,故选B.
【答案】B
5.(2016年北京卷)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ).
A.16 B.13 C.12 D.1
【解析】
通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,通过侧(左)视图得高h=1,底面积S=12×1×1=12,所以体积V=13Sh=13×12×1=16.
【答案】A
6.(2016年全国Ⅱ卷)如图所示的是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ).
A.20π B.24π C.28π D.32π
【解析】由三视图可知圆柱的底面直径为4,母线长(高)为4,所以圆柱的侧面积为2π×2×4=16π,底面积为π×22=4π;圆锥的底面直径为4,高为23,所以圆锥的母线长为(23)2+22=4,所以圆锥的侧面积为π×2×4=8π.所以该几何体的表面积为S=16π+4π+8π=28π.
【答案】C
7.(2016年全国Ⅲ卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( ).
A.18+365 B.54+185
C.90 D.81
【解析】由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱,其中有两个侧面为矩形,另两个侧面为平行四边形,则该几何体的表面积为(3×3+3×6+3×35)×2=54+185.故选B.
【答案】B
考点二
简单几何体的内切球或外接球的有关问题
8.(2017年全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ).
A.π B.3π4 C.π2 D.π4
【解析】设圆柱的底面半径为r,球的半径为R,且R=1,
由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r,R及圆柱的高的一半构成直角三角形.
∴r=12-122=32.
∴圆柱的体积V=πr2h=34π×1=3π4.故选B.
【答案】B
9.(2015年全国Ⅱ卷)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( ).
A.36π B.64π C.144π D.256π
【解析】如图,设球的半径为R,∵∠AOB=90°,∴S△AOB=12R2.
∵VO -ABC=VC-AOB,而△AOB的面积为定值,
∴当点C到平面AOB的距离最大时,VO -ABC最大,
∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时,体积VO -ABC最大,最大值为13·12R2·R=36,∴R=6,
∴球O的表面积为4πR2=4π×62=144π.故选C.
【答案】C
10.(2017年天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .
【解析】设正方体的棱长为a,则6a2=18,∴a=3.设球的半径为R,则由题意知2R=a2+a2+a2=3,∴R=32.
故球的体积V=4π3R3=4π3×323=9π2.
【答案】9π2
高频考点:三视图还原几何体,求空间几何体的体积、表面积,几何体外接球、内切球的体积和表面积.
命题特点: 一般是两个小题,选择题或填空题,常常是一个考查三视图,另一个考查球的组合体,题目注重空间想象能力的考查,属中档题.
§12.1 空间几何体的三视图及其应用
一
空间几何体的结构特征
1.简单多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都 ,上下底面是 的多边形.
(2)棱锥的底面是任意多边形,侧面都是有一个 的三角形.
(3)棱台可由 于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上下底面是 的多边形.
2.旋转体的结构特征
(1)圆柱由 绕其 所在直线旋转而成.
(2)圆锥由 绕其 所在直线旋转而成.
(3)圆台由 绕其 所在直线旋转而成.
二
空间几何体的三视图
几何体的三视图包括: 、 、 ,分别是从几何体的 、 、 观察到的几何体的正投影图.
三
表面积和体积
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积
S圆柱= ;S圆锥= ;
S圆台= .
2.柱体、锥体、台体的体积
(1)柱体: .
(2)锥体: .
(3)台体: .
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )
(3)圆锥的三视图中,三个视图均相同.( )
(4)锥体的体积等于底面面积与高之积.( )
2 某几何体的正(主)视图是三角形,则该几何体不可能是( ).
A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱
3 圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为15,若圆台的侧面积为420π,求圆台较小底面的半径.
知识清单
一、1.(1)平行且相等 全等 (2)公共顶点 (3)平行 相似
2.(1)矩形 一边 (2)直角三角形 任一直角边 (3)直角梯形 直角腰
二、正(主)视图 侧(左)视图 俯视图 正前方 正左方 正上方
三、1.2πr(r+h) πr(r+l) π(r2+rl+Rl+R2)
2.(1)V=Sh (2)V=13Sh (3)V=13(S'+S'S+S)h
基础训练
1.【解析】(1)错,因为两个共底面的棱柱叠放时就不一定是棱柱.
(2)错,各侧面三角形必须共顶点.
(3)错,圆锥的三个视图不相同.
(4)错,还应该乘以13.
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)×
2.【解析】圆柱无论如何摆放,其正(主)视图都不可能是三角形.
【答案】A
3.【解析】设圆台较小底面半径为r,则另一个底面半径为3r,由S=π(r+3r)·15=420π,解得r=7.
题型一
由空间几何体的直观图判断三视图
【例1】某几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是( ).
【解析】几何体的俯视图轮廓是矩形,几何体的上部分的棱都是可以看见的线段,所以C,D不正确;几何体的上部分中间的棱与正(主)视图方向垂直,所以A不正确.故选B.
【答案】B
此类题目比较简单,解题的关键是选准视点,弄清楚轮廓线,看得见的轮廓线用实线表示,看不见的轮廓线用虚线表示.
【变式训练1】将正方体(如图①)截去两个三棱锥,得到如图②所示的几何体,则该几何体的侧(左)视图为( ).
【解析】还原正方体后,将D1,D,A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B,且为实线,B1C被遮挡应为虚线.
【答案】B
题型二
根据给出的三视图还原几何体
【例2】一个几何体的三视图如图所示,则组成该几何体的简单几何体为( ).
A.圆柱与圆台 B.圆柱与四棱台
C.四棱柱与四棱台 D.四棱柱与圆台
【解析】由三视图可得该几何体是一个组合体,由几何体上部的三视图均为矩形可知上部是四棱柱,由下部的三视图中有两个梯形可得下部是四棱台,故组成该几何体的简单几何体为四棱柱与四棱台,故选C.
【答案】C
由三视图还原几何体,要遵循以下三步:(1)看视图,明关系;(2)分部分,想整体;(3)综合起来,定整体.
【变式训练2】(1)如图所示的是一个几何体的三视图,则据此可知该几何体的直观图是( ).
(2)如图所示的是一个简单几何体的三视图,则其对应的几何体是( ).
【解析】(1)由三视图知该组合体的上面是锥体,下面是圆柱.
(2)对于A,该几何体的三视图恰好与已知图形相符,故A符合题意;对于B,该几何体的正(主)视图的矩形中,对角线是虚线,故不符合题意;对于C,该几何体的正(主)视图的矩形中,对角线是从左上到右下的方向,故不符合题意;对于D,该几何体的侧(左)视图的矩形中,对角线是虚线,故不符合题意.故选A.
【答案】(1)D (2)A
题型三
根据三视图求几何体的表面积
【例3】某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( ).
A.2+1+52π B.2+1+252π
C.2+(1+5)π D.2+2+52π
【解析】由三视图知几何体为半个圆锥,且圆锥的底面圆半径为1,高为2,圆锥的母线长为5,
∴所求几何体的表面积S=S底面+S侧面=12×π×12+12×2×2+12×π×1×5=2+1+52π.故选A.
【答案】A
组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分的面积的两倍,要注意重叠的面的面积不能算.
【变式训练3】(1)如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( ).
A.36+310 B.36+610
C.54 D.27
(2)如图所示的是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图是面积为82的矩形,则该几何体的表面积是( ).
A.20+82 B.24+82 C.8 D.16
【解析】(1)由三视图可得该几何体是一个以正(主)视图为底面的四棱柱,
其底面积为12×(2+4)×3=9,底面周长为2+4+212+32=6+210,高h=3,故棱柱的表面积S=2×9+(6+210)×3=36+610,故选B.
(2)此几何体是一个三棱柱,且高为8222=4,因为底面是一个等腰直角三角形,直角边长为2,所以其面积为12×2×2=2,故其侧面积为(2+2+22)×4=16+82,表面积为2×2+16+82=20+82.故选A.
【答案】(1)B (2)A
题型四
根据三视图求几何体的体积
【例4】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.83+8π B.163+8π C.83+16π D.163+16π
【解析】由三视图可得该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体.半圆柱的底面半径为2,高为4,故其体积为12×π×22×4=8π;三棱锥的底面积为12×4×2=4,高为2,故其体积为83.所以所求组合体的体积V=83+8π,故选A.
【答案】A
求组合体的体积时,关键是弄清楚几何体是由哪几种简单几何体组合而成的,然后由相应几何体的体积公式得出.
【变式训练4】如图所示的是某几何体的三视图,则这个几何体的体积是( ).
A.2+π3 B.2+π2 C.4+π3 D.4+π2
【解析】由三视图可知,该几何体是由一个半圆柱与一个三棱柱组成的几何体.
这个几何体的体积V=12×π×12×1+12×(2)2×2=2+π2.故选B.
【答案】B
方法一
空间几何体表面积的求法
多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积应注意重合部分的处理.已知三视图求几何体的表面积时,首先根据三视图还原出几何体,此时需要利用线与线的位置关系以及线与面的位置关系分析表面的相对位置关系,然后根据三视图中数据确定对应线段的长度,进而求出表面积.
【突破训练1】(2017大石桥学业考试)下图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ).
A.32 B.16+162 C.48 D.16+322
【解析】由几何体的三视图,得该几何体是底面边长为4,高为2的正四棱锥,所以该四棱锥的斜高为22+22=22.所以该四棱锥的侧面积为4×12×4×22=162,底面积为4×4=16,所以几何体的表面积为16+162.故选B.
【答案】B
方法二
空间几何体体积的求法
1.求简单几何体的体积.若所给的几何体是柱体、锥体或台体,则可直接利用公式求解.
2.求组合体的体积.若所给的几何体是组合体,不能直接利用公式求解,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解,特别是三棱锥的体积常用等体积法求解.
3.求以三视图为背景的几何体的体积,应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.
【突破训练2】(2017枝江模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.13+π12 B.1+π12
C.13+π4 D.1+π4
【解析】根据已知条件可得该几何体是一个四分之一圆锥与三棱柱的组合体.
四分之一圆锥的底面半径为1,高为1,故其体积为13×π4×1=π12;三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形,高为1,故其体积为12×1×2×1=1,
故组合体的体积V=1+π12,选B.
【答案】B
1.(2017西安一模)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正(主)视图中的x的值是( ).
A.2 B.92 C.32 D.3
【解析】根据三视图判断该几何体为四棱锥,其直观图如图所示,
∵V四棱锥=13×1+22×2×x=3,∴x=3.
【答案】D
2.(2017洛阳二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为( ).
A.22 B.52 C.62 D.3
【解析】由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,
则S△AED=12×1×1=12,S△ABC=S△ABE=12×1×2=22,S△ACD=12×1×5=52,故选B.
【答案】B
3.(2017楚雄州一模)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ).
A.96 B.80+42π
C.96+4(2-1)π D.96+4(22-1)π
【解析】由三视图可知该几何体是由边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的,圆锥的底面半径为2,高为2,∴圆锥的母线长为22.∴几何体的表面积为6×42-π×22+π×2×22=96-4π+42π.故选C.
【答案】C
4.(2017江西二模)圆锥的底面半径为a,侧面展开图是半圆面,那么此圆锥的侧面积是( ).
A.2πa2 B.4πa2 C.πa2 D.3πa2
【解析】若圆锥的侧面展开图是半圆,则圆锥的母线长为底面半径的2倍.
因为圆锥的底面半径为a,所以圆锥的母线长为2a,故圆锥的侧面积S=2πa2.
【答案】A
5.(2017福建模拟)某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线,如图所示,若该三棱锥的体积是13,则它的表面积是( ).
A.1 B.2 C.22 D.23
【解析】如图所示,该三棱锥是正方体的面对角线构成的正三棱锥.设正方体的棱长为a,则几何体的体积是a3-4×13×12a3=13a3=13,∴a=1,∴三棱锥的棱长为2,
因此该三棱锥的表面积S=4×34×2=23,故选D.
【答案】D
6.(2017西宁二模)某四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是( ).
A.8 B.83 C.4 D.43
【解析】由三视图可知,该四棱锥是一个底面为正方形的四棱锥,且一条侧棱垂直于底面.由题意知底面正方形对角线的长为2,面积S=12×22=2,四棱锥的高h=2,
所以它的体积是13×2×2=43,故选D.
【答案】D
7.(2017山东二模)已知一几何体的三视图如图所示,俯视图由一个直角三角形和一个半圆组成,则该几何体的体积为( ).
A.6π+12 B.6π+24 C.12π+12 D.24π+12
【解析】由三视图可知该几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体,
V=12×π×22×3+12×2×4×3=6π+12,故选A.
【答案】A
8.(2017商丘二模)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ).
A.23 B.3 C.83 D.4
【解析】如图所示,由三视图可知该几何体为四棱锥P-ABCD,连接BD,
其体积V=VB-PAD+VB-PCD=13×12×1×3×3+13×12×1×3×3=3.故选B.
【答案】B
9.(2017大理州一模)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( ).
A.8+433 B.8+423 C.8+233 D.323
【解析】根据三视图可知,该几何体是组合体,下面是正方体,棱长为2,体积为8;上面是斜高为2,底面边长为2的正四棱锥,所以底面积为4,高为4-1=3,体积为433.所以该几何体的体积为8+433.故选A.
【答案】A
10.(2017湘西州模拟)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某空间几何体的三视图,则该几何体的体积为( ).
A.40 B.803 C.103 D.163
【解析】由几何体的三视图得,该几何体是三棱柱BCE-AGF割去一个三棱锥A-BCD所得的图形,如图所示.∴V几何体CDEFGA=12×4×4×4-13×12×12×4×4×4=803.故选B.
【答案】B
11.(2017合肥一模)一个几何体的三视图如图所示(其中正(主)视图的弧线为四分之一圆周),则该几何体的表面积为( ).
A.72+6π B.72+4π C.48+6π D.48+4π
【解析】由三视图,可得该几何体是一个以正(主)视图为底面的柱体,其底面积为4×4-2×2+14π×22=12+π,底面周长为4+4+2+2+14×2×π×2=12+π,柱体的高为4,
故柱体的表面积S=(12+π)×2+(12+π)×4=72+6π.
【答案】A
12.(2017沈阳三模)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图):底面ABCD为矩形,棱EF∥AB.在此几何体中,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,则此几何体的表面积为( ).
A.83 B.8+83
C.62+23 D.8+62+23
【解析】过点F作FO⊥平面ABCD,垂足为O,取BC的中点P,连接PF,OP,过点F作FQ⊥AB,垂足为Q,连接OQ.∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,∴OP=12(AB-EF)=1,PF=3,OQ=12BC=1,∴OF=PF2-OP2=2,FQ=OF2+OQ2=3,∴S梯形EFBA=S梯形EFCD=12×(2+4)×3=33.
又S△BCF=S△ADE=34×22=3,S矩形ABCD=4×2=8,
∴该几何体的表面积S=33×2+3×2+8=8+83.
【答案】B
13.(2017衡水一模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.43 B.52 C.73 D.53
【解析】该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体,如右图,三棱柱的底面是等腰直角三角形,其面积S1=12×1×2=1,高为1,故三棱柱的体积V1=1×1=1.三棱锥的底面是等腰直角三角形,其面积S2=12×1×2=1,高为1,故三棱锥的体积V2=13×1×1=13.故该几何体的体积V=V1+V2=43.
【答案】A
14.(2017贵阳二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.16π-163 B.16π-323 C.8π-163 D.8π-323
【解析】由三视图可知,该几何体为一个半圆柱挖去一个倒立的四棱锥.
∴该几何体的体积V=12×π×22×4-13×42×2=8π-323.故选D.
【答案】D
15.(2017临翔区校级三模)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为( ).
A.43+8+219 B.43+8+419
C.83+8+419 D.83+8+219
【解析】由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形,面积为43,两个侧面是全等的三角形,三边分别为25,27,4,面积之和为419,另一个侧面为等腰三角形,面积是12×4×4=8,该三棱锥的表面积为43+8+419.
【答案】B
§12.2 球的体积与表面积
一
球的结构、球的体积与表面积
1.球由 绕其直径所在直线旋转一周而成.
2.球的体积与表面积公式
(1)球的体积公式 .
(2)球的表面积公式 .
二
球体的截面的特点
球既是中心对称的几何体,又是 对称的几何体,它的任何截面均为 ,它的三视图都是 .
☞ 左学右考
1 一个球的表面积是16π,则它的体积是 .
2 三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直,三个侧面的面积分别为22,32,62,则该三棱锥的外接球表面积为( ).
A.4π B.6π C.8π D.10π
知识清单
一、1.半圆面
2.(1)V=43πR3 (2)S=4πR2
二、轴 圆面 圆
基础训练
1.【解析】由4πR2=16π得R=2,所以球的体积为V=43πR3=32π3.
【答案】32π3
2.【解析】三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,
它的外接球就是其扩充为长方体的外接球,
设PA=a,PB=b,PC=c,
则12ab=22,12bc=32,12ca=62,
解得a=2,b=1,c=3.
故长方体的体对角线的长为a2+b2+c2=6.
所以球的直径是6,半径R=62,
则球的表面积S=4πR2=6π.
【答案】B
题型一
柱体的外接球
【例1】已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上,且AB=3,BC=3,DE垂直于平面ABCD交球O于点E,则棱锥E-ABCD的体积为 .
【解析】如图所示,BE过球心,∴DE=42-32-(3)2=2,
∴VE-ABCD=13×3×3×2=23.
【答案】23
棱柱的外接球半径的求法:明确球心、球的半径与棱柱底面的外接圆半径的关系是解决问题的关键.
【变式训练1】体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( ).
A.8π B.323π C.12π D.4π
【解析】正方体的体积为8,可知其边长为2,正方体的体对角线为4+4+4=23,即为球的直径,所以球的半径为3,所以球的表面积为4π×(3)2=12π.故选C.
【答案】C
题型二
锥体的外接球
【例2】已知三棱锥A-BCD的四个顶点A,B,C,D都在球O的表面上,BC⊥CD,AC⊥平面BCD,且AC=22,BC=CD=2,则球O的表面积为( ).
A.4π B.8π C.16π D.22π
【解析】∵AC⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,∴AC⊥BC,∵BC⊥CD,AC∩CD=C,∴BC⊥平面ACD,∴三棱锥A-BCD可以扩充为以AC,BC,DC为棱的长方体,外接球的直径为该长方体的体对角线,∴4R2=AC2+BC2+CD2=16,∴R=2,∴球O的表面积为4πR2=16π.
【答案】C
抓住棱锥的线面关系是解决棱锥的外接球问题的关键,三条侧棱两两垂直或对棱相等的三棱锥可放入正方体(或长方体)中考虑.
【变式训练2】(2017广西模拟)某三棱锥的三视图如图所示,其侧(左)视图为直角三角形,则该三棱锥外接球的表面积为( ).
A.50π B.502π C.40π D.402π
【解析】由三视图可得,该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,
其外接球相当于以俯视图为底面的三棱柱的外接球,由底面三边长为3,4,5,得底面外接圆的半径r=52,球心到底面的距离d=52,故球的半径R=522,
故该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=50π.
【答案】A
题型三
多面体的内切球
【例3】 (2016年全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( ).
A.4π B.9π2 C.6π D.32π3
【解析】由题意知,底面三角形的内切圆直径为4,三棱柱的高为3,所以球的最大直径为3,即V的最大值为9π2.
【答案】B
通过三棱柱底面三角形的内切圆直径与三棱柱的高比较来确定球的最大直径.
【变式训练3】已知一个三棱柱,其底面是正三角形,且侧棱与底面垂直,一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切,则这个三棱柱的表面积是( ).
A.63 B.123 C.183 D.243
【解析】由球的体积公式,得43πR3=4π3,∴R=1.
∴正三棱柱的高h=2R=2.
设正三棱柱的底面边长为a,
则其内切圆的半径为13×32a=1,∴a=23.
∴该正三棱柱的表面积为3a×2R+2×34a2=183.
【答案】C
方法
球中的最值问题
求几何体外接球体积、表面积的最值的问题,主要考查二次函数的配方法和基本不等式的运用.
【突破训练】(1)(2017南昌月考)已知矩形ABCD的周长为18,把它沿图中的虚线折成正四棱柱(线段BC四等分),则这个正四棱柱外接球的表面积的最小值为 .
【解析】设正四棱柱的底面边长为x,高为y,则8x+2y=18,即4x+y=9,0
∴外接球的表面积的最小值为9π.
【答案】9π
1.(2017乌鲁木齐期末)球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( ).
A.π3 B.π4 C.π2 D.π
【解析】设正方体的边长为a,则球的半径为3a2,所以球的表面积S1=4πR2=4π×34a2=3πa2,而正方体的表面积S2=6a2,所以比值S1S2=π2.
【答案】C
2.(2017江西二模)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( ).
A.36π B.8π C.9π2 D.27π8
【解析】由几何体的三视图得,该几何体是底面为等腰直角三角形,高为2的直三棱锥,如图所示.
该直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球,设几何体外接球的半径为R,
∵底面是等腰直角三角形,∴底面外接圆的半径为1,
∴R2=1+1=2,
∴外接球的表面积是4πR2=8π.故选B.
【答案】B
3.(2016天津期末)直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB⊥AC,AA1=12,AB=3,AC=4,则球O的半径为( ).
A.3172 B.210 C.132 D.310
【解析】因为三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,所以三棱柱的底面是直角三角形,侧棱与底面垂直,侧面B1BCC1经过球的球心,且球的直径是其对角线的长.因为AB=3,AC=4,所以BC=5,所以BC1=13,所以球的半径为132.故选C.
【答案】C
4. (2017宝清县一模)一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为( ).
A.16π3 B.8π3 C.43 D.23π
【解析】由三视图知,该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面,高为3,底面是一个等腰直角三角形的三棱锥,如图所示.这个几何体的外接球的球心O在高线PD上,且是等边三角形PAC的中心,故这个几何体的外接球的半径R=23PD=233.
所以这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×2332=16π3.
【答案】A
5.(2016安康三模)一直三棱柱的每条棱长都是3,且每个顶点都在球O的表面上,则球O的半径为( ).
A.212 B.3 C.7 D.3
【解析】正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是外接球的球心,球心与顶点的连线长就是半径,所以r=322+(3)2=212.故选A.
【答案】A
6.(2017郑州三模)四面体ABCD中,AB=CD=10,AC=BD=234,AD=BC=241,则四面体ABCD外接球的表面积为( ).
A.50π B.100π C.200π D.300π
【解析】由题意可采用构造法,考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形,
故构造一个长、宽、高分别x、y、z的长方体,使得过同一顶点的三个面的面对角线长分别为10,234,241,则三棱锥A-BCD为长方体中的一个内嵌三棱锥,如图所示,所以x2+y2=100,x2+z2=136,y2+z2=164,
设外接球的半径为R,则有(2R)2=x2+y2+z2=200,所以4R2=200,所以外接球的表面积为S=4πR2=200π.故选C.
【答案】C
7.(2017福建模拟)已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且AB=5,BC=7,AC=2,则此三棱锥的外接球的体积为( ).
A.8π3 B.82π3 C.16π3 D.32π3
【解析】∵AB=5,BC=7,AC=2,
∴PA=1,PC=3,PB=2.
以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱,作长方体如图所示,
则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC的外接球.
∵长方体的体对角线长为1+3+4=22,
∴球的直径为22,半径R=2.
因此,三棱锥P-ABC的外接球的体积是4π3R3=4π3×(2)3=82π3,故选B.
【答案】B
8.(2017张家口模拟)已知一个空间几何体的三视图如图所示,这个空间几何体的顶点均在同一个球面上,则此球的体积与表面积之比为( ).
A.1∶3 B.3∶1 C.4∶1 D.3∶2
【解析】由三视图知几何体是一个正四棱锥,四棱锥的底面是一个边长为2的正方形.因为四棱锥的高为1,所以球心在高所在的直线上,易知球心在底面四边形的中心,故此几何体外接球的半径为1,故球的体积为43×π×13=4π3,表面积为4×π×12=4π,所以球的体积与表面积之比为1∶3,故选A.
【答案】A
9.(2017江南十校联考)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的体积为 .
【解析】根据题意,将三视图还原成如图所示的多面体,由三视图知原正方体的棱长等于2,∵题中的几何体与正方体有相同的外接球,∴该外接球的直径2R=22+22+22=23,得R=3,故该几何体外接球的体积为V=4π3·R3=43π.
【答案】43π
10.(2016广东月考)直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在同一个球面上,若AB=3,AC=2,AA1=263,∠BAC=60°,则这个外接球的表面积为 .
【解析】直三棱柱ABC-A1B1C1的各个顶点都在同一个球面上,若AB=3,AC=2,∠BAC=60°,则BC=9+4-2×3×2×12=7,如图,连接上下底面外心,O为PQ的中点,OP⊥平面ABC,则球的半径为OA,由题意,AP=12×732=73,OP=63,
所以OA=73+69=3,所以外接球的表面积为4πR2=12π.
【答案】12π
11.(2017河南一模)一个四面体的所有顶点都在球面上,它们的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心,边长为1的正方形,则这个四面体的外接球的表面积是( ).
A.π B.3π C.4π D.6π
【解析】由三视图可知,该四面体是正方体的一个内接正四面体,如图.
∴此四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长,即为3.
∴此四面体的外接球的表面积为4π×322=3π.
【答案】B
12.(2016全国模拟)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此三棱锥的体积为( ).
A.14 B.24 C.26 D.212
【解析】根据题意画出图形(如图所示),设球心为O,过A,B,C三点的圆的圆心为O1,则OO1⊥平面ABC,延长CO1交球于点D,则SD⊥平面ABC.∵CO1=23×32=33,
∴OO1=1-13=63,∴高SD=2OO1=263,
∵△ABC是边长为1的正三角形,
∴S△ABC=34,∴V三棱锥S-ABC=13×34×263=26.故选C.
【答案】C
13.(2016南阳校级三模)如图,边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,将△AED,△EBF,△FCD分别沿DE,EF,FD折起,使A,B,C三点重合于点A',若四面体A'EFD的四个顶点在同一个球面上,则该球的半径为( ).
A.2 B.52 C.112 D.62
【解析】由题意可知△A'EF是等腰直角三角形,且A'D⊥平面A'EF.
三棱锥的底面△A'EF扩展为边长为1的正方形,然后扩展为正四棱柱,三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球,正四棱柱的体对角线的长度就是外接球的直径,直径为12+12+22=6.所以球的半径为62.故选D.
【答案】D
14.(2017临翔区校级一模)已知底面边长为23的正三棱锥O-ABC的体积为3,且A,B,C在球O上,则球的体积是( ).
A.205π3 B.8π C.20π D.43π
【解析】正三棱锥的顶点正好是球心,底面三角形的外接圆为一个小圆.因为正三角形ABC的边长为23,所以小圆半径r=2.因为VO-ABC=3,所以三棱锥的高h=1,设球O的半径为R,则R=r2+h2=5,V球=43πR3=43π×(5)3=205π3,故选A.
【答案】A
15.(2017新疆二模)如图所示的是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为 .
【解析】由三视图可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥,其底面是边长为3的正方形,且高为3,其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球,所以外接球半径R满足2R=32+32+32=33,所以外接球的表面积为S=4πR2=27π.
【答案】27π
16.(2017迎泽区校级模拟)如图所示,已知在三棱锥P-ABC中,PA=4,AC=27,PB=BC=23,PA⊥平面PBC,则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为 .
【解析】已知PA⊥平面PBC,PA=4,PB=BC=23,AC=27,
由勾股定理得到AB=27,PC=23,所以△PBC为等边三角形,△ABC为等腰三角形,
所以VP-ABC=VA-PBC=13S△PBC·PA=13×34×12×4=43,
表面积S=12×23×4×2+34×12+12×23×(27)2-(3)2=163,
设内切球半径为r,故43=13×163r,即r=34.
所以三棱锥P-ABC的内切球的表面积为4π×916=9π4.
【答案】9π4
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