北师大版必修14.1对数及其运算教案

这是一份北师大版必修14.1对数及其运算教案，共9页。教案主要包含了对数的定义，对数运算性质，对数的换底公式及推论，两个常用的恒等式等内容，欢迎下载使用。


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理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；
掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.

一、对数的定义
一般地，如果 的次幂等于, 就是 ，那么数 叫做 以为底 的对数，记作 ，叫做对数的底数，叫做真数。
特别提醒：
1、对数记号只有在，时才有意义，就是说负数和零是没有对数的。
2、记忆两个关系式：①；②。
3、常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便, 的常用对数， 简记作：。 例如：简记作 ; 简记作。
4、自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为了简便，的自然对数，简记作：。 如：简记作；简记作。
二、对数运算性质：
如果 有：

特别提醒：
1、对于上面的每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立。如是存在的，但是不成立的。
2、注意上述公式的逆向运用：如；
三、对数的换底公式及推论：
对数换底公式：
两个常用的推论:
（1） （2）
四、两个常用的恒等式：
，
类型一 指数式与对数式的相互转化
例1：将下列指数式与对数式进行互化．
(1)3x＝eq \f(1,27)； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x＝64；
(3)5－ eq \s\up10(\f(1,2)) ＝eq \f(1,\r(5))； (4)lgeq \r(2)4＝4；
(5)lg0.001＝－3; (6)lgeq \r(2)－1(eq \r(2)＋1)＝－1.
解析：(1)lg3eq \f(1,27)＝x.
(2) eq lg\s\d6(\f(1,4)) 64＝x.
(3)lg5eq \f(1,\r(5))＝－eq \f(1,2).
(4)(eq \r(2))4＝4.
(5)10－3＝0.001.
(6)(eq \r(2)－1)－1＝eq \r(2)＋1.
答案：见解析
练习1：将下列指数式与对数式进行互化．
(1)e0＝1；
(2)(2＋eq \r(3))－1＝2－eq \r(3)；
(3)lg327＝3；
(4)＝3.
答案：(1)ln1＝0.(2)lg(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))＝－1.(3)33＝27.(4)0.13＝0.001.
练习2：将下列对数式与指数式进行互化．
(1)2－4＝eq \f(1,16)；(2)53＝125；(3)lga＝2；(4)lg232＝5.
答案：(1)lg2eq \f(1,16)＝－4. (2)lg5125＝3. (3)102＝a. (4)25＝32.
类型二 对数基本性质的应用
例2：求下列各式中x的值．
(1)lg2(lg5x)＝0； (2)lg3(lgx)＝1；
解析：(1)∵lg2(lg5x)＝0，
∴lg5x＝1，∴x＝5.
(2)∵lg3(lgx)＝1，∴lgx＝3，∴x＝103＝1 000.
答案：（1）x＝5.（2） x＝1 000.
练习1：已知lg2(lg3(lg4x))＝lg3(lg4(lg2y))＝0，求x＋y的值．
答案：80
练习2：(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)已知4a＝2，lgx＝a，则x＝______.
答案：eq \r(10)
类型三 对数的运算法则
例3：计算(1)lga2＋lgaeq \f(1,2)(a>0且a≠1)；
(2)lg318－lg32；
(3)2lg510＋lg50.25；
解析：(1)lga2＋lgaeq \f(1,2)＝lga(2×eq \f(1,2))＝lga1＝0.
(2)lg318－lg32＝lg3(18÷2)＝lg39＝2.
(3)2lg510＋lg50.25＝lg5100＋lg50.25
＝lg5(100×0.25)＝lg525＝2.
答案: （1）0 （2）2 （3）2
练习1：(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)计算lg535＋2lg2eq \r(2)－lg5eq \f(1,50)－lg514的值．
答案:4
练习2：(2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)计算：2lg510＋lg50.25的值为________．
答案：2
类型四 带有附加条件的对数式的运算
例4：lg2＝a，lg3＝b，试用a、b表示lg108，lgeq \f(18,25).
解析：lg108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg33＋lg22＝3lg3＋2lg2＝2a＋3b.
lgeq \f(18,25)＝lg18－lg25＝lg(2×32)－lgeq \f(102,22)＝lg2＋lg32－lg102＋lg22＝lg2＋2lg3－2＋2lg2＝3a＋2b－2.
答案：3a＋2b－2.
练习1：已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求lgeq \r(45).
答案：0.8266
练习2：若lgx－lgy＝a，则lg(eq \f(x,2))3－lg(eq \f(y,2))3等于( )
A．eq \f(a,2) B．a C．eq \f(3a,2) D．3a
答案:D
类型五 应用换底公式求值
例5: 计算：lgeq \f(1,2)－lgeq \f(5,8)＋lg12.5－lg89·lg278.
解析：lgeq \f(1,2)－lgeq \f(5,8)＋lg12.5－lg89·lg278
＝lgeq \f(1,2)－lgeq \f(5,8)＋lgeq \f(25,2)－eq \f(lg9,lg8)·eq \f(lg8,lg27)
＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(8,5)×\f(25,2)))－eq \f(2lg3,3lg3)＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
练习1: 计算(lg2125＋lg425＋lg85)·(lg52＋lg254＋lg1258)．
答案：13
练习2: lg89·lg32的值为( )
A．eq \f(2,3) B．1 C．eq \f(3,2) D．2
答案：A
类型六 应用换底公式化简
例6: 已知lg89＝a，lg25＝b，用a、b表示lg3.
解析：∵lg89＝eq \f(lg9,lg8)＝eq \f(2lg3,3lg2)＝a，①
又∵lg25＝eq \f(lg5,lg2)＝eq \f(1－lg2,lg2)＝b，②
由①②消去lg2可得：lg3＝eq \f(3a,21＋b).
答案：lg3＝eq \f(3a,21＋b).
练习1: (2014～2015学年度安徽合肥一中高一上学期期中测试)已知lg23＝a，lg37＝b，则lg1456＝( )
A．eq \f(ab＋3,ab＋1) B．eq \f(ab＋3,ab＋1) C．eq \f(b＋3,ab＋1) D．eq \f(ab－3,ab＋1)
答案：A
练习2: 已知lg72＝p，lg75＝q，则lg5用p、q表示为( )
A．pq B．eq \f(q,p＋q) C．eq \f(1＋pq,p＋q) D．eq \f(pq,1＋pq)
答案：B
1、使对数lga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A．0＜a＜eq \f(1,2)且a≠1 B．0＜a＜eq \f(1,2)
C．a＞0且a≠1 D．a＜eq \f(1,2)
答案： B
2、(2014～2015学年度辽宁沈阳二中高一上学期期中测试)已知x、y为正实数，则下列各式正确的是( )
A．2lgx＋lgy2＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy
C．2(lgx·lgy)＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx·2lgy
答案：A
3、(2014～2015学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)若lg2＝a，lg3＝b，则eq \f(lg12,lg15)等于( )
A．eq \f(2a＋b,1－a＋b) B．eq \f(2a＋b,1＋a＋b)
C．eq \f(a＋2b,1－a＋b) D．eq \f(a＋2b,1＋a＋b)
答案：A
4、．lg52·lg425等于( )
A．－1 B．eq \f(1,2)
C．1 D．2
答案：C
5、化简lgeq \f(1,a)b－lgaeq \f(1,b)的值为( )
A．0 B．1
C．2lgab D．－2lgab
答案:A
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基础巩固
1．已知lg7[lg3(lg2x)]＝0，那么x－eq \f(1,2)等于( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2\r(3))
C．eq \f(1,2\r(2)) D．eq \f(1,3\r(3))
答案：C
2．若f(10x)＝x，则f(3)的值为( )
A．lg310 B．lg3
C．103 D．310
答案：B
3．如果lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么( )
A．x＝a＋3b－c B．x＝eq \f(3ab,5c)
C．x＝eq \f(ab3,c5) D．x＝a＋b3－c3
答案：C
4．方程2lg3x＝eq \f(1,4)的解是( )
A．eq \f(\r(3),3) B．eq \r(3)
C．eq \f(1,9) D．9
答案：C
5．eln3－e－ln2等于( )
A．1 B．2
C．eq \f(5,2) D．3
答案: C
能力提升
6．若lg(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.
答案：-3
7．若lgx(2＋eq \r(3))＝－1，则x＝________.
答案： 2－eq \r(3)
8．已知lg32＝a，则2lg36＋lg30.5＝________.
答案：2＋a
9. (1)设lga2＝m，lga3＝n，求a2m＋n的值；
(2)设x＝lg23，求eq \f(22x＋2－2x＋2,2x＋2－x)的值．
答案：(1) 12. (2) eq \f(10,3).
10. 已知lgax＋3lgxa－lgxy＝3(a＞1)．
(1)若设x＝at，试用a、t表示y；
(2)若当0＜t≤2时，y有最小值8，求a和x的值．
答案：(1)y＝at2－3t＋3(t≠0)．
(2) a＝16，x＝64.