人教版新课标A必修11.2.1函数的概念同步达标检测题
展开学业分层测评(六)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.对于函数y=f(x),以下说法中正确的个数为( )
①y是x的函数;②对于不同的x,y值也不同;③f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量.
A.0 B.1
C.2 D.3
【解析】 ①③正确;②不正确;如f(x)=x2,f(-1)=f(1).
【答案】 C
2.函数y=+的定义域为( )
A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}
C.{x|x≥1或x≤0} D.{x|0≤x≤1}
【解析】 由题意可知解得0≤x≤1.
【答案】 D
3.下列四个区间能表示数集A={x|0≤x<5或x>10}的是( )
A.(0,5)∪(10,+∞)
B.[0,5)∪(10,+∞)
C.(5,0]∪[10,+∞)
D.[0,5]∪(10,+∞)
【解析】 根据区间的定义可知数集A={x|0≤x<5或x>10}可以用区间[0,5)∪(10,+∞)表示.故选B.
【答案】 B
4.若函数f(x)=ax2-1,a为一个正常数,且f(f(-1))=-1,那么a的值是( )
A.1 B.0
C.-1 D.2
【解析】 f(-1)=a·(-1)2-1=a-1,f(f(-1))=a·(a-1)2-1=a3-2a2+a-1=-1.
∴a3-2a2+a=0,∴a=1或a=0(舍去).
【答案】 A
5.下列四组函数中表示同一函数的是( )
A.f(x)=x,g(x)=()2
B.f(x)=x2,g(x)=(x+1)2
C.f(x)=,g(x)=|x|
D.f(x)=0,g(x)=+
【解析】 ∵f(x)=x(x∈R)与g(x)=()2(x≥0)两个函数的定义域不一致,
∴A中两个函数不表示同一函数;∵f(x)=x2,g(x)=(x+1)2两个函数的对应法则不一致,∴B中两个函数不表示同一函数;∵f(x)==|x|与g(x)=|x|,两个函数的定义域均为R,∴C中两个函数表示同一函数;f(x)=0,g(x)=+=0(x=1)两个函数的定义域不一致,∴D中两个函数不表示同一函数,故选C.
【答案】 C
二、填空题
6.已知f(x)=x2+x+1,则f()=________.
【解析】 ∵f(x)=x2+x+1,∴f()=()2++1=3+.
【答案】 3+
7.若A={x|y=},B={y|y=x2+1},则A∩B=________.
【解析】 由A={x|y=},B={y|y=x2+1},得A=[-1,+∞),B=[1,+∞),∴A∩B=[1,+∞).
【答案】 [1,+∞)
8.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f+f(x-1)的定义域是________.
【解析】 由题意知即
解得0<x<2,于是函数g(x)的定义域为(0,2).
【答案】 (0,2)
三、解答题
9.求下列函数的定义域:
(1)y=+;
(2)y=.
【解】 (1)由已知得
∴∴-≤x≤,
∴函数的定义域为.
(2)由|x+2|-1≠0,得|x+2|≠1,即x≠-1,且x≠-3,
∴函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(-1,+∞).
10.已知函数f(x)=x2+1,x∈R.
(1)分别计算f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)的值;
(2)由(1)你发现了什么结论?并加以证明.
【解】 (1)f(1)-f(-1)=(12+1)-[(-1)2+1]=2-2=0;
f(2)-f(-2)=(22+1)-[(-2)2+1]=5-5=0;
f(3)-f(-3)=(32+1)-[(-3)2+1]=10-10=0.
(2)由(1)可发现结论:对任意x∈R,有f(x)-f(-x)=0.
证明如下:
∵f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),
∴对任意x∈R,总有f(x)-f(-x)=0.
[能力提升]
1.下列式子中不能表示函数y=f(x)的是( )
A.x=y2+1 B.y=2x2+1
C.x-2y=6 D.x=
【解析】 对于选项A,若x=5,则y=±2,不满足函数定义中的唯一性.
【答案】 A
2.已知f(x)满足f(x)+f(y)=f(xy),且f(5)=m,f(7)=n,即f(175)=________.
【解析】 ∵f(x)满足f(x)+f(y)=f(xy),且f(5)=m,f(7)=n,∴f(5)+f(7)=f(35),∴m+n=f(35),把y=35代入得f(5)+f(35)=f(175),∴m+m+n=f(175),即2m+n=f(175),∴f(175)=2m+n.
【答案】 2m+n
3.若函数f(x)的定义域是[0,1],则函数f(2x)+f 的定义域为________.
【解析】 由得
解得0≤x≤.
【答案】
4.已知函数f(x)=.
(1)求f(2)+f,f(3)+f的值;
(2)求证:f(x)+f是定值;
(3)求f(2)+f+f(3)+f+…+f(2 016)+f的值.
【解】 (1)∵f(x)=,
∴f(2)+f=+=1,
f(3)+f=+=1.
(2)证明:f(x)+f=+
=+
=
=1.
∴f(x)+f是定值,且为1.
(3)由(2)知f(x)+f=1,∴f(2)+f=1,
f(3)+f=1,
f(4)+f=1,
…,
f(2 016)+f=1.
∴f(2)+f+f(3)+f+…+f(2 016)+f=2 015.
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