高中数学人教版新课标A选修4-5第二讲 讲明不等式的基本方法二 综合法与分析法综合训练题

学业分层测评（四）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则有(　　)

A．|a|＞|b|＞|c| B．|ab|＞|bc|

C．|a＋b|＞|b＋c| D.|a－c|＞|a－b|

【解析】　当a，b，c均为负数时，则A，B，C均不成立，

如a＝－1，b＝－2，c＝－3时，有|a|＜|b|＜|c|，故A错；

|ab|＝2，而|bc|＝6，此时|ab|＜|bc|，故B错；

|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，与C中|a＋b|＞|b＋c|矛盾，故C错；只有D正确．故选D.

【答案】　D

2．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系为(　　)

A．m>n   B．m<n

C．m＝n D.m≤n

【解析】　由|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，得≤1，≥1.

【答案】　D

3．已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确的是(　　)

A．|a＋b|＞a－b   B．2≤|a＋b|

C．|a＋b|<|a|＋|b|   D.≥2

【解析】　当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，C错．

【答案】　C

4．若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是(　　)

A．|a|＜|b|＋|c|   B．|c|＜|a|＋|b|

C．b＞||c|－|a|| D.b＜||a|－|c||

【解析】　b＞|a－c|＞|a|－|c|，

b＞|a－c|＞|c|－|a|，故A，B成立，

∴b＞||a|－|c||，故C成立．

应选D(此题代入数字也可判出)．

【答案】　D

5．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的(　　)

【导学号：32750020】

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】　∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，

∴|x－a|＋|y－a|＜2m.

又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，

∴|x－y|＜2m，但反过来不一定成立，

如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5，

但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，

∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m(x，y，a，m∈R)”的充分不必要条件．

【答案】　A

二、填空题

6．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．

【解析】　因为a，b∈R，则|a－b|>2，其几何意义是数轴上表示数a，b的两点间距离大于2，|x－a|＋|x－b|的几何意义为数轴上任意一点到a，b两点的距离之和，当x处于a，b之间时|x－a|＋|x－b|取最小值，距离恰为a，b两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R.

【答案】　R

7．下列四个不等式：

①logx10＋lg x≥2(x＞1)；

②|a－b|＜|a|＋|b|；③≥2(ab≠0)；

④|x－1|＋|x－2|≥1.

其中恒成立的是________(填序号)．

【解析】　logx10＋lg x＝＋lg x≥2，①正确．

ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；

∵ab≠0，与同号，

∴＝＋≥2，③正确；

由|x－1|＋|x－2|的几何意义知

|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确．

综上，①③④正确．

【答案】　①③④

8．已知α，β是实数，给出三个论断：

①|α＋β|＝|α|＋|β|；

②|α＋β|>5；

③|α|>2，|β|>2.

以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________．

【解析】　①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>4>5.

【答案】　①③⇒②

三、解答题

9．设ε>0，|x－a|<，|y－b|<.求证：|2x＋3y－2a－3b|<ε.

【证明】　∵|2x＋3y－2a－3b|＝|2(x－a)＋3(y－b)|≤2|x－a|＋3|y－b|<2×＋3×＝ε.

10．设函数f(x)＝＋|x－a|(a>0)．

(1)证明：f(x)≥2；

(2)若f(3)<5，求a的取值范围．

【解】　(1)证明：由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，所以f(x)≥2.

(2)f(3)＝＋|3－a|.

当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5，得3<a<.

当0<a≤3时，f(3)＝6－a＋，由f(3)<5，得<a≤3.

综上，a的取值范围是.

[能力提升]

1．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1| 的最小值为(　　)

A．1   B．2

C．3 D.4

【解析】　∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，

|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，

∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.

∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.

【答案】　C

2．以下三个命题：

(1)若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；

(2)若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；

(3)若|x|＜2，|y|＞3，则＜.

其中正确的有________个．

【解析】　(1)1＞|a－b|≥|a|－|b|，

∴1＋|b|＞|a|成立，(1)正确；

(2)|a＋b|－2|a|＝|a＋b|－|2a|≤|a＋b－2a|＝|a－b|正确；

(3)＝＜＜，正确．

【答案】　3

3．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________.

【导学号：32750021】

【解析】　|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.

【答案】　－2≤a≤4

4．若1＜a＜8，－4＜b＜2，则a－|b|的取值范围是____________．

【解析】　∵－4＜b＜2，则0≤|b|＜4，∴－4＜－|b|≤0.

又∵1＜a＜8，∴－3＜a－|b|＜8.

【答案】　(－3,8)

5．设a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.

【证明】　因为|x－1|＜，|y－2|＜，

所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×＋＝a.