高中数学人教版新课标A选修4-5第二讲 讲明不等式的基本方法二 综合法与分析法教学设计

课    题：　第12课时    几个著名的不等式之一：柯西不等式

目的要求：

重点难点：

教学过程：

一、引入：

除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。

1、什么是柯西不等式：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则

，

            其中等号当且仅当时成立。

证明：

几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，

而，，

所以柯西不等式的几何意义就是：，

其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

3、定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：

分析：

思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？

4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。

证明：构造二次函数：

    即构造了一个二次函数：

由于对任意实数，恒成立，则其，

即：，

即：，

等号当且仅当，

即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。

如果（）全为0，结论显然成立。

柯西不等式有两个很好的变式：

变式1 设 ，等号成立当且仅当

变式2  设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则：，等号成立当且仅当。

二、典型例题：

例1、已知，，求证：。

例2、设，求证：。

例3、设为平面上的向量，则。

例4、已知均为正数，且，求证：。

方法1：

方法2：（应用柯西不等式）

例5：已知，，…，为实数，求证：。

分析：

推论：在个实数，，…，的和为定值为S时，它们的平方和不小于，当且仅当时，平方和取最小值。

三、小结：

四、练习：

1、设x1，x2，…，xn >0, 则    

    2、设（i=1，2，…，n）且 求证: ．

    3、设a为实常数,试求函数  (x∈R)的最大值．

    4、求函数在上的最大值,其中a，b为正常数．

五、作业：

1、已知：，,证明：。

提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。

2、若 ，且=，= ，求证： 都是不大于的非负实数。

证明：由  代入=

可得 

∵　    ∴△≥0   即

      化简可得 ：   ∵　　　　∴

　    同理可得：　，

由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果。

3、设a﹐b为不相等的正數，试证：(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2。

4、设x，y，z为正实数，且x+y+z=10，求的最小值。

5、设x，y，zR，求的最大值。

7、设三个正实数a,b,c满足，求证： a，b，c一定是某三角形的三边长。

8、求证个正实数a1，a2，…，an满足

9、已知,且求证: 。

10、设,求证: 。

11、设,且x+2y+3z=36,求的最小值．