2021学年一 平行线等分线段定理一课一练

学业分层测评(一)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．如图1­1­13，已知l1∥l2∥l3，AB，CD相交于l2上一点O，且AO＝OB，则下列结论中错误的是(　　)

图1­1­13

A．AC＝BD B．AE＝ED

C．OC＝OD D．OD＝OB

【解析】　由l1∥l2∥l3知AE＝ED，OC＝OD，

由△AOC≌△BOD知AC＝BD，

但OD与OB不能确定其大小关系．

故选D.

【答案】　D

2．如图1­1­14，已知AE⊥EC，CE平分∠ACB ，DE∥BC，则DE等于(　　)

【导学号：07370003】

图1­1­14

A．BC－AC

B．AC－BF

C.(AB－AC)

D.(BC－AC)

【解析】　由已知得CE是线段AF的垂直平分线．

∴AC＝FC，AE＝EF.

∵DE∥BC，

∴DE是△ABF的中位线，

∴DE＝BF＝(BC－AC)．

【答案】　D

3．如图1­1­15所示，过梯形ABCD的腰AD的中点E的直线EF平行于底边，交BC于F，若AE的长是BF的长的，则FC是ED的(　　)

图1­1­15

A.倍   B.倍

C．1倍 D.倍

【解析】　∵AB∥EF∥DC，且AE＝DE，

∴BF＝FC.又∵AE＝BF，

∴FC＝ED.

【答案】　B

4．如图1­1­16，在梯形ABCD中，E为AD的中点，EF∥AB，EF＝30 cm，AC交EF于G，若FG－EG＝10 cm，则AB＝(　　)

图1­1­16

A．30 cm   B．40 cm

C．50 cm D．60 cm

【解析】　由平行线等分线段定理及推论知，点G，F分别是线段AC，BC的中点，则

EG＝DC，FG＝AB，

∴

解得

【答案】　B

5.如图1­1­17，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC中点，且AE∥DC，AE交BD于点F，过点F的直线交AD的延长线于点M，交CB的延长线于点N，则FM与FN的关系为(　　)

图1­1­17

A．FM>FN　　 B．FM<FN

C．FM＝FN D．不能确定

【解析】　∵AD∥BC，AE∥DC，

∴四边形AECD是平行四边形.

∴AD＝EC＝BC，

即BE＝EC＝AD.

∴△ADF≌△EBF，

∴AF＝FE，

∴△AFM≌△EFN，

∴FM＝FN.

【答案】　C

二、填空题

6．如图1­1­18所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝6，E，F分别为对角线BD，AC的中点，则EF＝____.

图1­1­18

【解析】　如图所示，过E作GE∥BC交BA于G.

∵E是DB的中点，

∴G是AB的中点，又F是AC的中点，

∴GF∥BC，∴G，E，F三点共线，

∴GE＝AD＝1，GF＝BC＝3，

∴EF＝GF－GE＝3－1＝2.

【答案】　2

7．如图1­1­19，已知在△ABC中，AD∶DC＝1∶1，E为BD的中点，AE延长线交BC于F，则BF与FC的比值为__________．

【导学号：07370004】

图1­1­19

【解析】　过D作DG平行于BC，交AF于点G，再根据平行线等分线段定理即可解决．

【答案】　

8．如图1­1­20，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC，CD＝AD，若EG＝5 cm，则AC＝________；若BD＝20 cm，则EF＝________.

图1­1­20

【解析】　∵E为AB的中点，EF∥BD，

∴F为AD的中点．

∵E为AB的中点，EG∥AC，∴G为BD的中点，若EG＝5 cm，则AD＝10 cm，又CD＝AD＝5 cm，∴AC＝15 cm.若BD＝20 cm ，则EF＝BD＝10 cm.

【答案】　15 cm　10 cm

三、解答题

9．(2016·南京模拟)如图1­1­21，在梯形ABCD中，CD⊥BC，AD∥BC，E为腰CD的中点，且AD＝2 cm，BC＝8 cm，AB＝10 cm，求BE的长度．

图1­1­21

【解】　过E点作直线EF平行于BC，交AB于F，作BG⊥EF于G(如图)，

因为E为腰CD的中点，所以F为AB的中点，所以BF＝AB＝5 cm，

又EF＝＝＝5(cm)，

GF＝BC－FE＝8 cm－5 cm＝3 cm，

所以GB＝＝＝4 cm，

EC＝GB＝4 cm，

所以BE＝＝＝4(cm)．

10．用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图1­1­22(1)，先把矩形纸ABCD对折，设折痕为MN；再把B点叠在折痕线上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠，就能得到等边△EAF，如图(2)．想一想，为什么？

图1­1­22

【解】　利用平行线等分线段定理的推论2，

∵N是梯形ADCE的腰CD的中点，NP∥AD，

∴P为EA的中点．

∵在Rt△ABE中，PA＝PB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，

∴∠1＝∠3.

又∵PB∥AD，

∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2.

又∵∠1与和它重合的角相等，

∴∠1＝∠2＝30°.

在Rt△AEB中，∠AEB＝60°，∠1＋∠2＝60°，

∴△AEF是等边三角形．

[能力提升]

1．如图1­1­23，AD是△ABC的高，E为AB的中点，EF⊥BC于F，如果DC＝BD，那么FC是BF的(　　)

图1­1­23

A.倍　　　　 B.倍

C.倍 D.倍

【解析】　∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD.

又E为AB的中点，由推论1知F为BD的中点，

即BF＝FD.

又∵DC＝BD，∴DC＝BF.

∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF.

【答案】　A

2．梯形的一腰长10 cm，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm，则此梯形的面积为(　　)

A．30 cm2   B．40 cm2

C．50 cm2 D．60 cm2

【解析】　如图，过A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，AE＝ABsin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm，

∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)．

∴梯形的面积S＝(AD＋BC)·AE

＝×5×24＝60(cm2)．

【答案】　D

3．如图1­1­24，AB＝AC，AD⊥BC于D，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP，若AB＝9 cm，则AP＝__________；若PM＝1 cm，则PC＝__________.

【导学号：07370005】

图1­1­24

【解析】　由AB＝AC和AD⊥BC，结合等腰三角形的性质，得D是BC的中点．再由DN∥CP，可得N是BP的中点．同理可得P是AN的中点，由此可得答案．

【答案】　3 cm　4 cm

4．如图1­1­25所示，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于点M，求BM与CG的长．

图1­1­25

【解】　如图，取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于点Q，则PQ是梯形ADHE的中位线．

∵AE∥BF∥CG∥DH，

AB＝BC＝CD，

AE＝12，DH＝16，

∴＝，＝，

∴＝，

∴BM＝4.

∵PQ为梯形的中位线，

∴PQ＝(AE＋DH)＝(12＋16)＝14.

同理，CG＝(PQ＋DH)＝(14＋16)＝15.