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高中数学人教版新课标A选修4-1第一讲 相似三角形的判定及有关性质一 平行线等分线段定理教学设计
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这是一份高中数学人教版新课标A选修4-1第一讲 相似三角形的判定及有关性质一 平行线等分线段定理教学设计，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学方法，教具准备，教学设计等内容，欢迎下载使用。
2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算；
3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。
【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用
【教学难点】平行线等分线段定理的证明
【教学方法】引导·探究·发现法
【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、实物投影仪、自制课件等
【教学设计】
一、实际问题，导入新课
1．问题：不用其它工具，你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗？
A
B
C
D
N
M
B
C
D
N
P
E
G
F
2．折法：（教师演示，学生动手） ·先将矩形（ABCD）纸对折，
得折痕MN（如图1）；
·再把B点叠在折痕MN上，
得到Rt△BEP（如图2）；
·最后沿EP折叠，便可得到
（如图1） 等边△BEF（如图2）。 （如图2）
3．导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？通过今天这节课的学习，我们将从理论上解决这一问题。
二、复习引导，发现定理
1．复习提问
（1）你能用尺规作图将一条线段2等分吗？4等分呢？你还会将一条线段几等分？
（2）你能用尺规作图将一条线段3等分吗？能否将一条线段任意等分呢？
师：为了回答第2个问题，让我们先来做一个实验。
2．操作实验
请同学们用老师发下的、印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做以下实验：
（1）画一条与这组平行线垂直的直线l1，则直线l1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？
（2）任意画一条与这组平行线相交的直线l2，量一量直线l2被这组平行线截得的线段是否相等。
3．引导猜想
引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？
猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
4．验证猜想
教师用《几何画板》验证同学们刚才做实验得出的结论（猜想）。
三、归纳探究，证明定理
（图1）
1．归纳：如果以3条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1写出“已知”和“求证”吗？
已知：直线a // b // c，AB = BC（如图1）
求证：A'B' = B'C'。
2．探究：（1）不添加辅助线能直接证明吗？
（2）四边形ACC'A' 是什么四边形？
（3）在梯形中常作什么样的辅助线？
（图2）
D
E
3．证明：根据学生提供的证明方法，完成证明。
证法一：（略）参见课本P176的证法。
证法二：过A'、B' 点作AC的平行线，分别交直线b、c
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
于D、E（如图2）。（以下证明略）
结论与直线A'C' 的位置无关；
对于3条以上的平行线组，可用同样的方法证明（说明证法二更具一般性）。
4．定理：
推理形式：∵a // b // c，AB = BC， ∴A'B' = B'C'。
四、图形变式，引出推论
1．隐线变式，得推论1
在图1中，隐藏直线a、b、c，得梯形ACC'A'（如图3）。这时定理的条件、结论各是什么？
条件：在梯形ACC'A'中，AB=BC，AA' // BB' // CC'。 结论：A'B' = B'C'。
推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。
（图3） （图4） （图5） （图6）
2．运动变式，得推论2
既然定理的结论与被截直线的位置无关，将直线A'C' 平行向左移动，得到变式图形4。这时定理在△ACC' 中的条件、结论各是什么？
条件：在△ACC' 中，BB' //CC'，AB=BC。 结论：A'B' = B'C'。
推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。
3．变换图形，深化理解
如果将直线A'C' 继续向左平行移动（如图5、6），这时定理的条件、结论有什么变化？
五、运用新知，解决问题
1．应用定理，等分线段
（1）已知线段AB，你能它三等分吗？依据是什么？ （图7）
已知：线段AB（如图7）。
求作：线段AB的三等分点。
作法：（略。见图8） （师生同步完成作图过程）
〖注〗作图题虽不要求写作法，但最后的结论一定要写出。
（2）你还能将已知线段几等分呢？能任意等分吗？ （图8）
2．应用推论，分解图形
例1．已知：如图9，在□ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，
CM、AM分别交BD于E、F。
求证：BE = EF = FD。
分析：（1）根据条件，你能得到哪些平行线？ （图9）
（2）在图9中，有哪些与推论有关的基本图形？
证明：（略。过程由学生自己完成）
例2．已知：如图10，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，
过点A、B、C、D、O分别作直线a的垂线，垂足
分别为A'、B'、C'、D'、O'。
求证：A'D' = B'C'。
分析：（1）你能在图10中找到几个与推论有关的基本图形？ （图10）
（2）在直线a上，有哪些线段是相等的？根据是什么？
证明：（略。过程由学生自己完成）
思考：若去掉条件“AC、BD交于点O”，结论是否成立？
3．你能运用今天所学知识，解决本课开始提出的“折等边三角形”问题吗？
六、课堂小结，提炼升华
1．理解一个定理
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
2．掌握两个推论
推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。
3．了解三种思想
化归思想——定理证明是通过作辅助线，将问题转化为平行四边形和三角形全等的知识解决；
两个例题也是将问题转化为两种基本图形来解决。
运动思想——两个推论是通过定理图形运动到特殊位置得到的，因此推论是定理的特殊表现形式。
辩证思想——定理是由特殊（三条平行线）推广到一般；
应用定理则是将一般情况运用到特殊（具体）问题之中。
七、达标检测，回授效果
1．已知：如图11，在梯形ABCD中，AB//CD，E是CD的中点，
EF//BC交AB于F，FG// BD交AD于G。
求证：AG = DG。
2．如图12，在△ABC中，D是AB的中点，DE//BC交AC于E， （图11）
EF//AB交BC于F。
（1）求证：BF=CF；
（2）图中与DE相等的线段有 ；
（3）图中与EF相等的线段有 ；
（4）若连结DF，则DF与AC的位置关系是 ，数量关系是 。 （图12）
八、课后作业，巩固新知
1．求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。
2．已知：如图13，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，
AE的延长线交AC于F。
求证：FC = 2AF。
（图13）
2．能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算；
3．培养学生化归的思想、运动联系的观点。
【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用
【教学难点】平行线等分线段定理的证明
【教学方法】引导·探究·发现法
【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、实物投影仪、自制课件等
【教学设计】
一、实际问题，导入新课
1．问题：不用其它工具，你能用一张矩形纸片折叠出一个等边三角形吗？
A
B
C
D
N
M
B
C
D
N
P
E
G
F
2．折法：（教师演示，学生动手） ·先将矩形（ABCD）纸对折，
得折痕MN（如图1）；
·再把B点叠在折痕MN上，
得到Rt△BEP（如图2）；
·最后沿EP折叠，便可得到
（如图1） 等边△BEF（如图2）。 （如图2）
3．导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？通过今天这节课的学习，我们将从理论上解决这一问题。
二、复习引导，发现定理
1．复习提问
（1）你能用尺规作图将一条线段2等分吗？4等分呢？你还会将一条线段几等分？
（2）你能用尺规作图将一条线段3等分吗？能否将一条线段任意等分呢？
师：为了回答第2个问题，让我们先来做一个实验。
2．操作实验
请同学们用老师发下的、印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做以下实验：
（1）画一条与这组平行线垂直的直线l1，则直线l1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？
（2）任意画一条与这组平行线相交的直线l2，量一量直线l2被这组平行线截得的线段是否相等。
3．引导猜想
引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？
猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
4．验证猜想
教师用《几何画板》验证同学们刚才做实验得出的结论（猜想）。
三、归纳探究，证明定理
（图1）
1．归纳：如果以3条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1写出“已知”和“求证”吗？
已知：直线a // b // c，AB = BC（如图1）
求证：A'B' = B'C'。
2．探究：（1）不添加辅助线能直接证明吗？
（2）四边形ACC'A' 是什么四边形？
（3）在梯形中常作什么样的辅助线？
（图2）
D
E
3．证明：根据学生提供的证明方法，完成证明。
证法一：（略）参见课本P176的证法。
证法二：过A'、B' 点作AC的平行线，分别交直线b、c
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
于D、E（如图2）。（以下证明略）
结论与直线A'C' 的位置无关；
对于3条以上的平行线组，可用同样的方法证明（说明证法二更具一般性）。
4．定理：
推理形式：∵a // b // c，AB = BC， ∴A'B' = B'C'。
四、图形变式，引出推论
1．隐线变式，得推论1
在图1中，隐藏直线a、b、c，得梯形ACC'A'（如图3）。这时定理的条件、结论各是什么？
条件：在梯形ACC'A'中，AB=BC，AA' // BB' // CC'。 结论：A'B' = B'C'。
推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。
（图3） （图4） （图5） （图6）
2．运动变式，得推论2
既然定理的结论与被截直线的位置无关，将直线A'C' 平行向左移动，得到变式图形4。这时定理在△ACC' 中的条件、结论各是什么？
条件：在△ACC' 中，BB' //CC'，AB=BC。 结论：A'B' = B'C'。
推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。
3．变换图形，深化理解
如果将直线A'C' 继续向左平行移动（如图5、6），这时定理的条件、结论有什么变化？
五、运用新知，解决问题
1．应用定理，等分线段
（1）已知线段AB，你能它三等分吗？依据是什么？ （图7）
已知：线段AB（如图7）。
求作：线段AB的三等分点。
作法：（略。见图8） （师生同步完成作图过程）
〖注〗作图题虽不要求写作法，但最后的结论一定要写出。
（2）你还能将已知线段几等分呢？能任意等分吗？ （图8）
2．应用推论，分解图形
例1．已知：如图9，在□ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，
CM、AM分别交BD于E、F。
求证：BE = EF = FD。
分析：（1）根据条件，你能得到哪些平行线？ （图9）
（2）在图9中，有哪些与推论有关的基本图形？
证明：（略。过程由学生自己完成）
例2．已知：如图10，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，
过点A、B、C、D、O分别作直线a的垂线，垂足
分别为A'、B'、C'、D'、O'。
求证：A'D' = B'C'。
分析：（1）你能在图10中找到几个与推论有关的基本图形？ （图10）
（2）在直线a上，有哪些线段是相等的？根据是什么？
证明：（略。过程由学生自己完成）
思考：若去掉条件“AC、BD交于点O”，结论是否成立？
3．你能运用今天所学知识，解决本课开始提出的“折等边三角形”问题吗？
六、课堂小结，提炼升华
1．理解一个定理
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
2．掌握两个推论
推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。
3．了解三种思想
化归思想——定理证明是通过作辅助线，将问题转化为平行四边形和三角形全等的知识解决；
两个例题也是将问题转化为两种基本图形来解决。
运动思想——两个推论是通过定理图形运动到特殊位置得到的，因此推论是定理的特殊表现形式。
辩证思想——定理是由特殊（三条平行线）推广到一般；
应用定理则是将一般情况运用到特殊（具体）问题之中。
七、达标检测，回授效果
1．已知：如图11，在梯形ABCD中，AB//CD，E是CD的中点，
EF//BC交AB于F，FG// BD交AD于G。
求证：AG = DG。
2．如图12，在△ABC中，D是AB的中点，DE//BC交AC于E， （图11）
EF//AB交BC于F。
（1）求证：BF=CF；
（2）图中与DE相等的线段有 ；
（3）图中与EF相等的线段有 ；
（4）若连结DF，则DF与AC的位置关系是 ，数量关系是 。 （图12）
八、课后作业，巩固新知
1．求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。
2．已知：如图13，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，
AE的延长线交AC于F。
求证：FC = 2AF。
（图13）
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