高中数学人教版新课标A选修2-3第二章 随机变量及其分布综合与测试同步练习题

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1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别．

“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．

2．对独立重复试验要准确理解．

(1)独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下进行；第二，任何一次试验中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．

(2)独立重复试验概率公式的特点：关于P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．

3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚．

(2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等．

(3)常见事件的表示．已知两个事件A、B，则A，B中至少有一个发生为A∪B；都发生为A·B；都不发生为·；恰有一个发生为(·B)∪(A·)；至多有一个发生为(·)∪(·B)∪(A·)．

4．对于条件概率，一定要区分P(AB)与P(B|A)．

5．(1)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E(ξ)的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．它们都由ξ的分布列唯一确定．

(2)D(ξ)表示随机变量ξ对E(ξ)的平均偏离程度．D(ξ) 越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之D(ξ)越小，ξ的取值越集中．

(3)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，在记忆和使用此结论时，请注意D(aξ＋b)≠aD(ξ)＋b，D(aξ＋b)≠aD(ξ)．

6．对于正态分布，要特别注意N(μ，σ2)由μ和σ唯一确定，解决正态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为x＝μ.

专题一　条件概率的求法

条件概率是高考的一个热点，常以选择题或填空题的形式出现，也可能是大题中的一个部分，难度中等．

 例1]　坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：

(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；

(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；

(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．

解：设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.

(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n(Ω)＝A＝42，

根据分步乘法计数原理，n(A)＝A×A＝24.

于是P(A)＝＝＝.

(2)因为n(AB)＝A＝12，

所以P(AB)＝＝＝.

(3)法一　由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝＝

÷＝.

法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝24，

所以P(B|A)＝＝＝.

归纳升华

解决概率问题的步骤．

第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种．

第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．

第三步，利用条件概率公式求解：(1)条件概率定义：

P(B|A)＝.(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P(B|A)＝.

变式训练]　把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为是多少？

解：“第一次抛出偶数点”记为事件A，“第二次抛出偶数点”记为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝.

所以P(B|A)＝＝÷＝.

专题二　互斥事件、独立事件的概率

要正确区分互斥事件与相互独立事件，准确应用相关公式解题，互斥事件是不可能同时发生的事件，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件没有影响．

例2]　如图所示，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.

(1)求p；

(2)求电流能在M与N之间通过的概率．

解：记Ai表示事件：电流能通过Ti，i＝1，2，3，4，

A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流，

B表示事件：电流能在M与N之间通过．

(1) ，A1，A2，A3相互独立，

P()＝P＝(1－p)3.

又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，

P(A3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.

归纳升华

求解相互独立事件同时发生的概率时，要注意以下几个问题：

(1)若事件A与B相互独立，则事件与B，A与，与分别相互独立，且有P(B)＝P()P(B)，P(A)＝P(A)P()，P( )＝P()P()．

(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．

变式训练]　一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是多少？

解：由题意知，四条线路是否闭合相互独立，开关A，B与E，F闭合的概率相等，都是P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝，所以四条线路都不闭合的概率为P1＝·＝，所以灯亮的概率为P＝1－＝.

专题三　独立重复试验与二项分布

二项分布是高考考查的重点，要准确理解、熟练运用其概率公式Pn(k)＝C·pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，高考以解答题为主，有时也用选择题、填空题形式考查．

例3]　现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．

(1)求张同学所取的3道题至少有1道乙类题的概率；

(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X为1和3的概率．

解：(1)设事件A＝“ 张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．

因为P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝.

(2)P(X＝1)＝C··＋C··＝；

P(X＝3)＝C··＝.

归纳升华

解决二项分布问题必须注意：

(1)对于公式Pn(k)＝C·pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．

(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n次．

变式训练]　一位病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人，且各人之间互不影响，有下列结论：

①3位病人都被治愈的概率为0.93；

②3人中的甲被治愈的概率为0.9；

③3人中恰好有2人被治愈的概率是2×0.92×0.1；

④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12.

其中正确结论的序号是________(把正确结论的序号都填上)．

解析： ①中事件为3次独立重复试验恰有3次发生的概率，其概率为0.93，故①正确；由独立重复试验中，事件A发生的概率相同，知②正确；③中恰有2人被治愈的概率为P(X＝2)＝Cp2(1－p)＝3×0.92×0.1，从而③错误；④中恰好有2人未被治愈相当于恰好1人被治愈，故概率为C×0.9×0.12＝3×0.9×0.12，从而④正确．

答案：①②④

专题四　离散型随机变量的期望与方差

离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意义，也是高考的热点内容．

例4]　一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件做检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件做检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．

解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝×＋×＝.

(2)X可能的取值为400，500，800，并且P(X＝400)＝1－－＝，

P(X＝500)＝，P(X＝800)＝.

所以X的分布列为：

E(X)＝400×＋500×＋800×＝506.25.

归纳升华

(1)求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤：①明确随机变量X取哪些值；②计算随机变量X取每一个值时的概率；③将结果用表格形式列出．计算概率时要注意结合排列组合知识．

(2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基础上利用

E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn求出均值，然后利用D(X)＝xi－E(X)]2pi求出方差．

变式训练]　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.

(1)求ξ，η的分布列；

(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．

解：(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.

因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.

所以ξ，η的分布列分别为：

(2)由(1)得：

E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；

E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；

D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；

D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.

由于E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＜D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好.

专题五　正态分布及简单应用

高考主要以选择题、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，抓住其对称轴是关键．

例5]　为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：cm)，其频率分布直方图如图所示.

(1)求该植物样本高度的平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)假设该植物的高度Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2，利用该正态分布求P(64.5＜Z＜96)．

(附：＝10.5.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4)

解：(1)x＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.05＝75，

s2＝(55－75)2×0.1＋(65－75)2×0.2＋(75－75)2×0.35＋(85－75)2×0.3＋(95－75)2×0.05＝110.

(2)由(1)知，Z～N(75，110)，

从而P(64.5＜Z＜75)＝×P(75－10.5＜Z＜75＋10.5)＝×0.682 6＝0.341 3，

P(75＜Z＜96)＝×P(75－2×10.5＜Z＜75＋2×10.5)＝×0.954 4＝0.477 2，

所以P(64.5＜Z＜96)＝P(64.5＜Z＜75)＋P(75＜Z＜96)＝0.341 3＋0.477 2＝0.818 5.

归纳升华

求解正态分布的问题，要根据正态曲线的对称性，还要结合3σ原则以及正态曲线与x轴之间的面积为1.

变式训练]　某镇农民年收入服从μ＝5 000元，σ＝200元的正态分布．则该镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比是________．

解析：设X表示此镇农民的平均收入，则X～N(5 000，2002)．

由P(5 000－200＜X≤5 000＋200)＝0.682 6.

得P(5 000＜X≤5 200)＝＝0.341 3.

故此镇农民平均收入在5 000～5 200元的人数的百分比为34.13%.

答案：34.13%

专题六　方程思想

方程思想是解决概率问题中的重要思想，在求离散型随机变量的分布列，求两个或三个事件的概率时常会用到方程思想．即根据题设条件列出相关未知数的方程(或方程组)求得结果．

例6]　甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.

(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；

(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．

解：记A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．

由题设条件有

即

由①③得P(B)＝1－P(C)，代入②得

27P(C)]2－51P(C)＋22＝0.

解得P(C)＝或P(C)＝(舍去)．

将P(C)＝分别代入②③可得P(A)＝，P(B)＝.

故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，.

(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件．

则P(D)＝1－P()＝1－1－P(A)]1－P(B)]1－P(C)]＝1－××＝.

故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.

归纳升华

(1)在求离散型随机变量的分布列时，常利用分布列的性质：①p1≥0，i＝1，2，3，…，n；②i＝1，列出方程或不等式求出未知数．

(2)在求两个或多个概率时，常根据不同类型的概率公式列出方程或方程组求出未知数．

变式训练]　若离散型随机变量ξ的分布列为：

求常数a及相应的分布列．

解：由离散型随机变量的性质得

解得a＝(舍去)或a＝.

所以，随机变量的分布列为：