人教版新课标A选修2-21.7定积分的简单应用第1课时练习题

自我小测

1．曲线y＝x3与直线y＝x所围封闭图形的面积S等于(　　)

A．(x－x3)dx        B．(x3－x)dx

C．2(x－x3)dx        D．2(x－x3)dx

2．如图，阴影部分的面积为(　　)

A．9        B．        C．        D．

3．已知函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的封闭区域的面积为，则k＝(　　)

A．3        B．2        C．1        D．

4．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积S为(　　)

A．        B．        C．        D．

5．由曲线y＝x2＋2与y＝3x，x＝0所围成的平面图形的面积为(　　)

A．4        B．3        C．2        D．1

6．椭圆＋＝1围成的面积是__________．

7．直线x＝，x＝与曲线y＝sin x，y＝cos x围成平面图形的面积为__________．

8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为__________．

9．计算由抛物线y2＝x与直线x－2y－3＝0所围成的平面图形的面积．

10．求曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值．

参考答案

1．解析：如图，

阴影部分的面积S＝2(x－x3)dx.故选C．

答案：C

2．解析：由求得两曲线交点为A(－2，－4)，B(1，－1)．

结合图形可知阴影部分的面积为

S＝[－x2－(x－2)]dx＝(－x2－x＋2)dx＝＝.

答案：B

3．解析：由消去y得x2－kx＝0，所以x＝0或x＝k，则所求区域的面积为

S＝(kx－x2)dx＝＝＝，则k3＝27，解得k＝3.

答案：A

4．解析：作出曲线y＝x2，y＝x3的草图，所求面积即为图中阴影部分的面积．

解方程组得曲线y＝x2，y＝x3交点的横坐标为x＝0及x＝1.

因此，所求图形的面积为S＝(x2－x3)dx＝＝－＝.

答案：A

5．解析：如图，由x2＋2＝3x，得x＝1，x＝2，直线y＝3x与抛物线y＝x2＋2的交点坐标为(1,3)，(2,6)，

所求的面积为S＝(x2＋2－3x)dx＋(3x－x2－2)dx＝＋＝1.

答案：D

6．解析：设椭圆在第一象限内围成图形的面积为S1，则由对称性，得椭圆面积S＝4S1.

在第一象限内椭圆方程可化为y＝，

故S1＝dx＝dx.

而dx表示以5为半径的圆的面积，如图．

从而dx＝π·52＝.

故S1＝×＝5π，从而S＝20π.

答案：20π

7．解析：由图可知，

图形面积S＝(sin x－cos x)dx＝(－cos x－sin x)

＝－

＝－(－)＝2.

答案：2

8．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b⇒f′(0)＝b⇒b＝0，

令f(x)＝0⇒x＝－a(a＜0)，

＝S＝

＝＝⇒a＝－3.

答案：－3

9．解法一：由得抛物线与直线的交点为P(1，－1)，Q(9,3)(如图所示)，

所以S＝[－(－)]dx＋dx

＝2dx＋dx

＝＋

＝＋＝10.

解法二：抛物线和直线方程可改写为x＝y2，x＝2y＋3，则S＝(2y＋3－y2)dy＝＝10.

10．解：由定积分的性质与微积分基本定理，

得S＝S1＋S2

＝(t2－x2)dx＋(x2－t2)dx

＝＋

＝t3－t3＋－t2－t3＋t3

＝t3－t2＋，t∈(0,1)，

所以S′＝4t2－2t，所以t＝或t＝0(舍去)．

当t变化时，S′，S变化情况如下表：

所以当t＝时，S最小，且Smin＝.