高中人教版新课标A第一章 导数及其应用1.5定积分的概念第2课时测试题

预习导航

1．定积分的概念

一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xi…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式(ξi)Δx＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx＝f(ξi)，这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．

思考1在定积分的定义中，对区间[a，b]的分法是否是任意的？ξi的取法是否是任意的？

提示：定积分定义中，对于区间[a，b]的分法是任意的，不一定是等分，只要保证每一个小区间的长度都趋向于0就可以，采用等分的方式是为了便于作和．另外，关于ξi的取法也是任意的，实际用定积分定义计算定积分时为了方便，常把ξi都取为每个小区间的左(或右)端点．

思考2定积分f(x)dx中，定积分的值与积分变量、积分区间有关系吗？

提示：定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即f(x)dx＝f(u)du＝f(t)dt＝…(称为积分形式的不变性)，另外定积分f(x)dx与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上限与下限不同，所得的值也就不同，例如(x2＋1)dx与(x2＋1)dx的值就不同．

2．定积分的几何意义

如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．

思考3在区间[a，b]上函数f(x)＜0时，f(x)dx表示的含义是什么？

提示：如果在区间[a，b]上，函数f(x)＜0，那么曲边梯形位于x轴的下方，如图所示．

由于Δxi＞0，f(ξi)＜0，故f(ξi)·Δxi＜0，从而定积分f(x)dx＜0，这时它等于图中所示曲边梯形面积S的相反数，即f(x)dx＝－S或S＝f(x)dx.

3．定积分的基本性质

(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；

(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；

(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．