数学选修1-13.1变化率与导数复习练习题

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课时提升作业(十八)

变化率问题　导数的概念

(25分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.一物体的运动满足函数s=3+2t,则在这段时间内的平均速度是

　(　　)

A.0.41   B.2   C.0.3    D.0.2

【解析】选B.Δs=(3+2×2.1)-(3+2×2)=0.2,

Δt=2.1-2=0.1,所以==2.

2.(2015·宝鸡高二检测)如果函数f(x)=ax+b在区间上的平均变化率为3,则a=　(　　)

A.-3    B.2   C.3    D.-2

【解析】选C.根据平均变化率的定义,可知==a=3.

3.(2015·西安高二检测)如果质点A的运动满足函数:s(t)=-,则在t=3秒时的瞬时速度为　(　　)

A.-    B.    C.-    D.

【解题指南】先求出,再求出t=3秒时的瞬时速度.

【解析】选D.Δs=s(3+Δt)-s(3)=-+=,=,在t=3秒时的瞬时速度为

==.

【补偿训练】已知f(x)=x2-3x,则f ′(0)=　(　　)

A.Δx-3      B.(Δx)2-3Δx

C.-3       D.0

【解析】选C.f′(0)=

=

=(Δx-3)=-3.

4.质点M的运动规律为s=4t+4t2,则质点M在t=t0时的速度为　(　　)

A.4+4t0       B.0

C.8t0+4       D.4t0+4

【解析】选C.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=4Δt2+4Δt+8t0Δt,=4Δt+4+8t0,

=(4Δt+4+8t0)=4+8t0.

5.(2015·南京高二检测)f(x)在x=x0处可导,则　(　　)

A.与x0,Δx有关

B.仅与x0有关,而与Δx无关

C.仅与Δx有关,而与x0无关

D.与x0,Δx均无关

【解析】选B.式子表示的意义是求f′(x0),即求f(x)在x0处的导数,它仅与x0有关,与Δx无关.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.已知函数f(x)=2x-3,则f′(5)=________.

【解析】因为Δy=f(5+Δx)-f(5)

=-(2×5-3)=2Δx,

所以=2,所以f′(5)==2.

答案:2

7.函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率为________.

【解析】因为Δy=-,

所以y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率为==-.

答案:-

8.(2015·广州高二检测)设函数f(x)在x=1处存在导数2,则=________.

【解析】==f′(1)=.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.求函数y=x3在x0到x0+Δx之间的平均变化率,并计算当x0=1,Δx=时平均变化率的值.

【解题指南】利用概念求平均变化率,先求出表达式,再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率.

【解析】当自变量从x0变化到x0+Δx时,函数的平均变化率为==3+3x0Δx+(Δx)2.

当x0=1,Δx=时,平均变化率=3×12+3×1×+=.

10.(2015·乌鲁木齐高二检测)求函数f(x)=3x-在x=1处的导数.

【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)=3(1+Δx)--1=2+3Δx-=3Δx+,

==3+,

所以==5,

所以f′(1)=5.

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.函数y=x+在x=1处的导数是　(　　)

A.2    B.    C.1    D.0

【解析】选D.Δy=(Δx+1)+-1-1=Δx+,=1-,

==1-1=0,

所以,函数y=x+在x=1处的导数为0.

2.(2015·厦门高二检测)设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则　(　　)

A.f′(x)=a      B.f′(x)=b

C.f′(x0)=a      D.f′(x0)=b

【解析】选C.因为f′(x0)=

=

=(a+bΔx)=a.

所以f′(x0)=a.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.一个物体的运动满足函数s=2t2+at+1,该物体在t=1的瞬时速度为3,则a=________.

【解析】Δs=2(1+Δt)2+a(1+Δt)+1-(2+a+1)=2Δt2+(4+a)Δt,

由条件知=(2Δt+4+a)=4+a=3,

所以a=-1.

答案:-1

4.(2015·哈尔滨高二检测)f(x)在x=a处可导,

则=________f′(a).

【解题指南】将化简,其方向是依据导数的定义,将其化成符合导数定义的形式.

【解析】

=

=+

=f′(a)+f′(a)=2f′(a).

答案:2

【补偿训练】若f′(x)=A,求的值.

【解析】原式=

=+

=A+2A=3A.

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.(2015·聊城高二检测)求函数y=在x=1处的导数.

【解析】Δy=-1,

==,

所以=

=,即函数y=在x=1处的导数为.

6.路灯距地面8m,一个身高1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C沿某直线离开路灯,

(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式,

(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率.

【解析】(1)如图所示,设人从C点运动到B处的路程为x m,AB为身影长度,AB的长度为y m.

由于CD∥BE,则=,

即=,所以y=x.

(2)因为84m/min=1.4m/s,而x=1.4t.

所以y=x=×1.4t=t,t∈[0,+∞).

Δy=(10+Δt)-×10=Δt,

所以=.

即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为.

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