2020-2021学年3.1变化率与导数课后复习题

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(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．下列结论不正确的是(　　)

A．若y＝3，则y′＝0

B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3

C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1

D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x

【解析】　∵y＝sin x＋cos x，

∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x．故选D.

【答案】　D

2．函数y＝(＋1)(－1)的导数等于(　　)

A．1　　　　　　　　　　B．－

C. D．－

【解析】　因为y＝(＋1)(－1)＝x－1，所以y′＝x′－1′＝1.

【答案】　A

3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)

A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1

C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2

【解析】　∵y′＝＝，

∴k＝y′|x＝－1＝＝2，

∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，

即y＝2x＋1.故选A.

【答案】　A

4．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)

A．3 B．2

C．1   D.

【解析】　因为y′＝－，所以由导数的几何意义可知，－＝，解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．

【答案】　A

5．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(　　)

A．1条 B．2条

C．3条 D．不确定

【解析】　∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线．故选B.

【答案】　B

二、填空题

6．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________.               【导学号：26160079】

【解析】　因为f′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以5x－3x2＝－2，解得x1＝－，x2＝2.

【答案】　－或2

7．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.

【解析】　∵y＝x－，∴y′＝－x－，

∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，

∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．

令x＝0得y＝a－；令y＝0得x＝3a.

∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

S＝·3a·a－＝a＝18，∴a＝64.

【答案】　64

8．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．

【解析】　∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，

∴f′＝－f′×＋，

得f′＝－1.

∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，∴f＝1.

【答案】　1

三、解答题

9．求下列函数的导数：

(1)y＝(x＋1)2(x－1)；

(2)y＝x2sin x；

(3)y＝.

【解】　(1)法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.

法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，

y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1.

(2)y′＝(x2sin x)′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.

(3)y′＝

＝＝.

10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

【解】　因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，

所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，

所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.

令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.

所以f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.

又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为：y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.

[能力提升]

1．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　)

A.   B．－

C．－e D．e

【解析】　y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则

∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.故选D.

【答案】　D

2．若f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 016(x)＝(　　)

A．sin x B．－sin x

C．cos x D．－cos x

【解析】　因为f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x，所以循环周期为4，因此f2 016(x)＝f4(x)＝sin x.

【答案】　A

3．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，则f′(0)＝________.

【解析】　因为f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，

所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋3)(x＋4)·(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋4)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋5)＋x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)，

所以f′(0)＝1×2×3×4×5＝120.

【答案】　120

4．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求证：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值. 【导学号：26160080】

【解】　(1)7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.

当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，

于是解得

故f(x)＝x－.

(2)证明：设点P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋可知曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为：y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．

令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为··|2x0|＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x围成的三角形的面积为定值，此定值为6.