高中数学人教版新课标A选修1-11.4全称量词与存在量词练习

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的表述方法的是(　　)

A．有一个x∈R，使得x2＞3

B．对有些x∈R，使得x2＞3

C．任选一个x∈R，使得x2＞3

D．至少有一个x∈R，使得x2＞3

【答案】　C

2．下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是(　　)

A．斜三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2＞0

C．任意无理数的平方必是无理数

D．存在一个负数x，使＞2

【解析】　只有A，C两个选项中的命题是全称命题，且A显然为真命题．因为是无理数，而()2＝2不是无理数，所以C为假命题．

【答案】　A

3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是(　　)

A．四个命题都是真命题

B．①②是全称命题

C．②③是特称命题

D．四个命题中有两个是假命题

【答案】　C

4．(2014·湖南高考)设命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则¬p为(　　)

A．∃x0∈R，x＋1>0　　 B．∃x0∈R，x＋1≤0

C．∃x0∈R，x＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0

【解析】　根据全称命题的否定为特称命题知B正确．

【答案】　B

5．下列四个命题：

p1：∃x∈(0，＋∞)，x＜x；

p2：∃x∈(0,1)，x＞x；

p3：∀x∈(0，＋∞)，x＞x；

p4：∀x∈，x＜x.

其中的真命题是(　　)

A．p1，p3 B．p1，p4

C．p2，p3 D．p2，p4

【解析】　取x＝，

则x＝1，x＝log32＜1，p2正确．

当x∈时，x＜1，而x＞1，p4正确．

【答案】　D

二、填空题

6．(2016·大同二诊)已知命题p：“∃x0∈R，sin x0>1”，则¬p为________．

【解析】　根据特称命题的否定为全称命题，并结合不等式符号的变化即可得出¬p为∀x∈R，sin x≤1.

【答案】　∀x∈R，sin x≤1

7．若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．

【解析】　由题意知，0<a2－1<1，

∴即解得

∴1<a<或－<a<－1.

【答案】　(－，－1)∪(1, )

8．若“∃x0∈R，x＋2x0＋2＝m”是真命题，则实数m的取值范围是________.               【导学号：26160023】

【解析】　由于“∃x0∈R，x＋2x0＋2＝m”是真命题，则实数m的取值集合就是二次函数f(x)＝x2＋2x＋2的值域，即{m|m≥1}．

【答案】　[1，＋∞)

三、解答题

9．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．

(1)有一个实数α，使sin2α＋cos2α≠1；

(2)任何一条直线都存在斜率；

(3)对于任意的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解；

(4)存在实数x0，使得x0≤0.

【解】　(1)是一个特称命题，用符号表示为：∃α∈R，使sin2α＋cos2α≠1，假命题．

(2)是一个全称命题，用符号表示为：∀直线l，l都存在斜率，假命题．

(3)是一个全称命题，用符号表示为：∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有唯一解，假命题．

(4)是一个特称命题，用符号表示为：∃x0∈R，使得x0≤0，真命题．

10．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：

(1)三角形的内角和为180°；

(2)每个二次函数的图象都开口向下；

(3)存在一个四边形不是平行四边形．

【解】　(1)是全称命题且为真命题．

命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.

(2)是全称命题且为假命题．

命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．

(3)是特称命题且为真命题．

命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．

[能力提升]

1．(2015·浙江高考)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)

A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n

B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n

C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0

D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0

【解析】　写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．

【答案】　D

2．(2015·合肥二模)已知命题p：∀x∈R,2x<3x，命题q：∃x0∈R，x＝1－x，则下列命题中为真命题的是(　　)

A．p∧q B．p∧(¬q)

C．(¬p)∧q D．(¬p)∧(¬q)

【解析】　对于命题p，当x＝0时，20＝30＝1，所以命题p为假命题，¬p为真命题；对于命题q，作出函数y＝x3与y＝1－x2的图象，可知它们在(0,1)上有一个交点，所以命题q为真命题，所以(¬p)∧q为真命题，故选C.

【答案】　C

3．(2016·西城期末)已知命题p：∃x0∈R，ax＋x0＋≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．

【解析】　因为命题p是假命题，所以¬p为真命题，即∀x∈R，ax2＋x＋>0恒成立．当a＝0时，x>－，不满足题意；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有

即解得所以a>，即实数a的取值范围是.

【答案】　

4．(2016·日照高二检测)已知p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)，q：∃x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围.

【导学号：26160024】

【解】　2x>m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m<0.

若p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)为真，

则mx2－2x＋m<0对任意的x∈R恒成立．

当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立；

当m≠0时，有m<0，Δ＝4－4m2<0，所以m<－1.

若q：∃x0∈R，x＋2x0－m－1＝0为真，

则方程x＋2x0－m－1＝0有实根，

所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.

又p∧q为真，故p，q均为真命题．

所以m<－1且m≥－2，所以－2≤m<－1.