人教版新课标A选修1-11.4全称量词与存在量词教学设计

这是一份人教版新课标A选修1-11.4全称量词与存在量词教学设计，共23页。



归纳总结，核心必记
(1)全称量词和全称命题
全称量词
所有的、任给、每一个、对一切
符号
∀
全称命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，
可用符号简记为∀x∈M，p(x)
(2)存在量词和特称命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些
符号表示
∃
特称命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，
可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)

(3)含有一个量词的命题的否定

[问题思考]
(1)命题p“每一个实数的平方都大于1”是全称命题吗？是真命题吗？
提示：是全称命题．因为它含有全称量词“每一个”，但它不是真命题．
(2)命题q“每一个实数的平方都不大于1”是全称命题吗？是真命题吗？
提示：是全称命题，且是假命题．
(3)下列命题是特称命题的有哪些？
①有一个平行四边形是菱形；
②任何一个平行四边形是菱形；
③某些平行四边形是菱形；
④有的平行四边形是菱形．
提示：①③④．
(4)全称命题和特称命题的否定分别是什么命题？
提示：全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题．


[思考]　判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是什么？
名师指津：判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看该命题是否含有全称量词或存在量词．
讲一讲
1．判断下列语句是全称命题，还是特称命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)有一个函数，既是奇函数又是偶函数；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
[尝试解答]　
(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)含有存在量词“有一个”，故为特称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．

判定一个语句是全称命题还是特称命题的步骤
(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．
(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．
(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．

练一练
1．下列语句是特称命题的是(　　)
A．整数n是2和7的倍数
B．存在整数n，使n能被11整除
C．x>7
D．∀x∈M，p(x)成立
答案为：B；
解析：B选项中有存在量词“存在”，故B项是特称命题，A和C不是命题，D是全称命题．
2．判断下列命题是全称命题还是特称命题：
(1)负数没有对数；
(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；
(3)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；
(4)∃x0∈Z，log2x0>0.
解：(1)和(3)为全称命题．(2)和(4)为特称命题．

[思考1]　如何判定一个全称命题的真假？
名师指津：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
[思考2]　如何判定一个特称命题的真假？
名师指津：要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
讲一讲
2．(1)下列命题中的假命题是(　　)
A．∃x0∈R，lg x0＝0　　　　B．∃x0∈R，tan x0＝1
C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0
(2)判断下列命题的真假：
①任意两向量a，b，若a·b>0，则a，b的夹角为锐角；
②∃x0，y0为正实数，使x＋y＝0；
③在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P.
[尝试解答]　
(1)当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．
(2)①因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉>0，所以cos〈a，b〉>0，又0≤〈a，b〉≤π，
所以0≤〈a，b〉<，即a，b的夹角为零或锐角．故它是假命题．
②因为x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x0，y0为正实数，使x＋y＝0，故它是假命题．
③由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
[答案]　(1)C

判断全称命题与特称命题真假的方法
(1)全称命题真假的判断
对于全称命题“∀x∈M，p(x)”：
①要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；
②要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可．(通常举反例)
(2)特称命题真假的判断
对于特称命题“∃x0∈M，p(x0)”：
①要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可．(通常举正例)
②要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．
练一练
3．判断下列命题的真假．
(1)∀x∈R，都有x2－x＋1>；
(2)∃α0，β0，使cos(α0－β0)＝cos α0－cos β0；
(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N.
解：(1)真命题．因为x2－x＋1－＝＋≥>0.所以x2－x＋1>恒成立．
(2)真命题．例如，α0＝，β0＝，符合题意．
(3)假命题．例如，x＝1，y＝5，x－y＝－4∉N.

讲一讲
3．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0;
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：∃x0∈R，x＋4x0＋6≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.

[尝试解答]　
(1) ：∃x0∈R，x－x0＋<0，假命题．
因为∀x∈R，x2－x＋＝≥0恒成立．
(2) ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3) ：∀x∈R，x2＋4x＋6>0，真命题．
(4) ：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为x＝－1时，x3＋1＝0.

(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
练一练
4．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定：
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；
(3)有些三角形的三个内角都为60°；
(4)每个三角形至少有两个锐角；
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
解：(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．
(2)是全称命题，否定为：∃x0∈Z，x与3的和等于0.
(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.
(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．
(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．







讲一讲
4．若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
[尝试解答]　
法一：由题意，∀x∈[－1，＋∞)，令f(x)＝x2－2ax＋2，则f(x)≥a恒成立，
所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立，
而∀x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3，1]．
法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，
所以Δ≤0或即－2≤a≤1或－3≤a<－2.
所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3，1]．

求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称命题“∀x∈M，a>f(x)(或af(x)max(或a (2)对于特称命题“∃x0∈M，a>f(x0)(或af(x)min(或a 练一练
5．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0，求实数a的取值范围．
解：当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0；
当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1 故0 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．





——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————
1．本节课的重点是全称命题、特称命题的否定及真假判断，其中全称命题、特称命题的否定又是本节课的易错点．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)全称命题、特称命题的真假判断，见讲2.
(2)全称命题、特称命题的否定，见讲3.
3．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．
课时达标训练（一）
[即时达标对点练]
题组1　全称命题、特称命题及其真假判断
1．下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是(　　)
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2>0
C．任意无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
答案为：A；
解析：只有A，C两个选项中的命题是全称命题；且A显然为真命题．因为是无理数，而()2＝2不是无理数，所以C为假命题．
2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
答案为：B；
解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，
所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；
D中对于任一个负数x，都有＜0，所以D是假命题．
3．有下列四个命题：
①∀x∈R，2x2－3x＋4>0；
②∀x∈{1，－1，0}，2x＋1>0；
③∃x0∈N，使x≤x0；
④∃x0∈N*，使x0为29的约数．
其中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案为：C；
解析：对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；
对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；
对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
题组2　全称命题、特称命题的否定
4．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)
A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
答案为：C；
解析：全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：∃x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0.
5．命题“∃x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是(　　)
A．∃x∈Z，使x2＋2x＋m>0
B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
C．∀x∈Z，使x2＋2x＋m≤0
D．∀x∈Z，使x2＋2x＋m>0
答案为：D；
解析：特称命题的否定为全称命题，否定结论．故选D.
6．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则是(　　)
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
答案为：C；
解析：在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故为“所有三角形不是等腰三角形”．故选C.
7．命题“∃x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________________________．
答案为：∀x∈R，使得x2＋2x＋5≠0
解析：“∃x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定为“∀x∈R，使得x2＋2x＋5≠0”．
题组3　全称命题、特称命题的应用
8．已知命题“∃x0∈R，2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案为：(－1，3)
解析：由题意可得“对∀x∈R，2x2＋(a－1)x＋>0恒成立”是真命题，
令Δ＝(a－1)2－4<0，得－1 9．已知p：∀x∈R，2x>m(x2＋1)，q：∃x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，
求实数m的取值范围．
解：由命题p为真可知2x>m(x2＋1)恒成立，即mx2－2x＋m<0恒成立，
所以解得m<－1.
由命题q为真可得Δ＝4－4(－m－1)≥0，解得m≥－2，
因为p∧q为真，所以p真且q真，
所以由得－2≤m<－1，
所以实数m的取值范围是[－2，－1)．
[能力提升综合练]
1．已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则是(　　)
A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
答案为：C；
解析：命题p的否定为“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．
2．下列四个命题中的真命题为(　　)
A．若sin A＝sin B，则A＝B
B．∀x∈R，都有x2＋1>0
C．若lg x2＝0，则x＝1
D．∃x0∈Z，使1<4x0<3
答案为：B；
解析：A中，若sin A＝sin B，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命题；
C中，若lg x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得 故不存在这样的x0∈Z，故D为假命题．
3．已知命题p：∀x∈R，2x2＋2x＋<0；命题q：∃x0∈R，sin x0－cos x0＝.
则下列判断正确的是(　　)
A．p是真命题 B．q是假命题
C．是假命题 D．是假命题
答案为：D；
解析：p：2x2＋2x＋＝2＝2≥0，∴p为假命题，为真命题．
q：sin x0－cos x0＝sin＝，∴x0＝π时成立．故q为真，而为假命题．
4．已知命题p：∀b∈[0，＋∞)，f(x)＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上为增函数，命题q：
∃x0∈Z，使log2x0>0，则下列结论成立的是(　　)

答案为：D；
解析：f(x)＝x2＋bx＋c＝＋c－，对称轴为x＝－≤0，
所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，命题p是真命题．令x0＝4∈Z，则log2x0＝2>0，
所以命题q是真命题，为假命题，p∨()为真命题．故选D.
5．命题p：∃x0∈R，x＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，
它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为：________．
答案为：特称命题　假　∀x∈R，x2＋2x＋5≥0
解析：命题p：∃x0∈R，x＋2x0＋5<0是特称命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4>0恒成立，
所以命题p为假命题，命题p的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≥0.
6．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列四个命题中假命题的序号是________．
①∃x∈R，f(x)≤f(x0)；②∃x∈R，f(x)≥f(x0)；
③∀x∈R，f(x)≤f(x0)；④∀x∈R，f(x)≥f(x0)．
答案为：③
解析：由题意：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，
即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．
7．已知p：存在实数x，使4x＋2x·m＋1＝0成立，若是假命题，求实数m取值范围．
解：∵为假命题，∴p为真命题．
即关于x的方程4x＋2x·m＋1＝0有解．
由4x＋2x·m＋1＝0，得m＝－2x－＝－≤－2.
即m的取值范围为(－∞，－2]．

8．已知p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，q：“∃x0∈R，使x＋2ax0＋2－a＝0”．
若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
解：p为真时，x2－a≥0，即a≤x2.
∵x∈ [1，2]时，上式恒成立，而x2∈[1，4]，∴a≤1.
q为真时，Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，
即a≥1或a≤－2.
∵p且q为真命题，∴p，q均为真命题．
∴a＝1或a≤－2.
即实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤－2}.






















　命题真假的判断是高考命题的重要内容之一，是高考的热点题型．这类题一般涉及一般命题真假的判断、含有逻辑联词的命题真假的判断、含有量词的命题真假的判断、命题的四种形式的真假的判断等．并且这些内容一般不会单独命题，往往与其他相关的数学知识结合起来进行考查，且主要以选择题、填空题的形式进行考查．
[典例1]　
(1)已知命题p：函数f(x)＝2sin的图象关于x＝对称，命题q：函数f(x)＝2sin向右平移个单位，所得函数图象关于原点对称，则下列选项中是假命题的是(　　)


(2)下列命题中是假命题的是(　　)
A．∀x∈，x>sin x
B．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2
C．∀x∈R，3x>0
D．∃x0∈R，lg x0＝0
解析：(1)∵f＝2sin ＝≠2，∴f(x)的图象不关于x＝对称．故p为假命题．
∵平移后所得函数为y＝2sin＝2sin 2x，易知此函数为奇函数，
∴函数图象关于原点对称，∴q为真命题．∴()∧()为假命题．
(2)根据三角函数的定义和三角函数线，可以证明：当x∈时，x>sin x．故选项A为真命题；对x∈R，sin x＋cos x＝sin∈，因此不可能存在x0∈R，使sin x0＋cos x0＝2，故选项B为假命题；因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对∀x∈R，3x>0，故选项C为真命题；当x0＝1时， lg x0＝lg 1＝0，故选项D为真命题．
答案为：(1)D　(2)B
[对点训练]
1．给出以下命题，其中为真命题的是________．
①函数y＝ax(a>0，a≠1)与函数y＝logaax(a>0，a≠1)的定义域相同；
②若函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ＝；
③函数y＝(x－1)2与y＝2x－1在区间[0，＋∞)上都是增函数；
④若不等式|x－4|0.
解析：因为y＝logaax＝x，其定义域为R，与y＝ax的定义域相同，所以①为真命题；
若函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于y轴对称，则应有φ＝＋kπ(k∈Z)，不一定总有φ＝，故②为假命题；
函数y＝(x－1)2在区间[0，＋∞)上不是增函数，所以③为假命题；
因为|x－4|的最小值等于0，所以当a≤0时，不等式|x－4| 因此当不等式|x－4|0，故④为真命题．
答案为：①④



1.充分条件、必要条件的判断问题，在高考试题中几乎是每年都考，也是近几年高考的一个热点题型，一般以选择题、填空题的形式进行考查，并且与其他数学知识的考查融合在一起．因此必须准确地理解充分条件、必要条件、充要条件的含义，并能判断所给条件是结论的何种条件，还要能够利用充要条件解决问题，例如寻求某个结论的充要条件、求参数的取值范围等．
2．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：
(1)充分不必要条件，即p⇒q，而qp.
(2)必要不充分条件，即pq，而q⇒p.
(3)充要条件，既有p⇒q，又有q⇒p.
(4)既不充分也不必要条件，既有pq，又有qp.
3．充分条件与必要条件的判断
(1)直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的)
(2)利用等价命题的关系判断：“p⇒q”的等价命题是“⇒”即“若⇒”成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．
[典例2]　
(1)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的(　　)
A．充要条件　　　　　　B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(2)集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”是“A⊆B”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)“关于x的不等式x2－2ax＋a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是(　　)
A．0
解析：(1)由正弦定理，知a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)⇔sin A≤
sin B．故选A.
(2)A＝{x||x|≤4，x∈R}⇒A＝{x|－4≤x≤4}，所以A⊆B⇔a>4，而a>5⇒a>4，且a>4a>5，所以“a>5”是“A⊆B”的充分不必要条件．
(3)要使不等式x2－2ax＋a>0的解集为R，应有Δ＝(－2a)2－4a<0，即4a2－4a<0，所以00的解集为R”的充要条件，因此一个必要不充分条件是0≤a≤1.
答案为：(1)A　(2)A　(3)C
[对点训练]
2．设a∈R，则“a＝1”是“函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1为偶函数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案为：A；
解析：当a＝1时，f(x)＝1是偶函数；但当f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1为偶函数时，有a2－1＝0，故a＝±1.因此“a＝1”是“函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1为偶函数”的充分不必要条件．
3．给定两个命题p，q，若是q的必要不充分条件，则p是綈q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案为：A；
解析：因为是q的必要不充分条件，所以是p的必要不充分条件，
即p是的充分不必要条件．
4．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是　(　　)
A．x＝－ B．x＝－1 C．x＝5 D．x＝0
答案为：D；
解析：由a⊥b知a·b＝0，即2(x－1)＋2＝0，所以x＝0；
而当x＝0时，a＝(－1，2), b＝(2，1)，必有a⊥b.所以a⊥b的充要条件是x＝0.

1.设命题p为真，对应的参数取值范围的集合为A，则命题p为假的集合为∁RA.
设命题q为真，对应的参数取值范围的集合为B，则命题q为假的集合为∁RB.
2．已知命题中含有逻辑联结词时，应结合真值表，由复合命题的真假性推出其中的命题p，q的真假，再建立参数应满足的不等式(组)求得取值范围．
3．由全称命题或特称命题的真假求参数范围时，要对问题进行转化，借助恒成立问题、存在性问题的求解策略进行求解．
[典例3]　若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－3或a>2 B．a≥2 C．a>－2 D．－2 答案为：B；
解析：由题意，得ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，
所以即解得a≥2.
[典例4]　
已知a>0，a≠1，设命题p：函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减，命题q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a取值范围．
解：对于命题p：
当 0 当a>1时，函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递增．
∴若p为真命题，则01.
对于命题q：若函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，
则Δ＝(2a－3)2－4>0，
即4a2－12a＋5>0，解得a<或a>.
∵a>0，∴若q为真命题，则0.
若q为假命题，则≤a<1或1 ∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假．
若p真q假，则解得≤a<1.
若p假q真，则解得a>.
综上所述，实数a的取值范围是∪.
[对点训练]
5．设集合A＝{x|－2－a0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，
p∧q为假命题，求a的取值范围．
解：若p为真命题，则－2－a<11.
若q为真命题，则－2－a<22.
依题意，得p假q真，或p真q假，
即或解得1 ∴a的取值范围是(1，2]．


6．已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，
使得f(c)>0.求实数p的取值范围．
解：在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在[－1，1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图象特征可知，

即
即∴p≥或p≤－3.
故p的取值范围是.

一、选择题
1．“1 A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案为：A；
解析：“1 所以为充分不必要条件．
2．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　　)
A．∀x∈R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x
C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x
答案为：D；
解析：全称命题的否定为特称命题，原命题的否定为∃x∈R，x2＝x，故选D.
3．已知命题p：∃n∈N，2n>1 000，则为(　　)
A．∀n∈N，2n≤1 000 B．∀n∈N，2n>1 000
C．∃n∈N，2n≤1 000 D．∃n∈N，2n<1 000
答案为：A；
解析：特称命题的否定为全称命题，即∀n∈N，2n≤1 000.故选A.


4．已知命题①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是(　　)
A．①的逆命题为真 B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真 D．②的逆否命题为真
答案为：D；
解析：①的逆命题为若<，则a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；
②的逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；
①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；
②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．
5．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案为：A；
解析：cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.
由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.
6．已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，
则<.下列命题p∧q，p∨q，，中，真命题的个数是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
答案为：B；
解析：易知命题p，q都是真命题，则p∧q，p∨q都是真命题，，是假命题．
7．“a<0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案为：C；
解析：方程ax2＋1＝0至少有一个负根等价于x2＝－有实根，故a<0，故选C.
8．下列结论不正确的是(　　)
A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”
B．若命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则：∃x0∈R，x＋x0＋1＝0
C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题
D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件
答案为：C；
解析：选项C中，p∨q为真，则p，q中至少一个为真．
9．已知命题p：若不等式x2＋x＋m>0恒成立，则m>；命题q：在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件，则(　　)
A．p假q真 B．“p且q”为真
C．“p或q”为假 D．假真
答案为：B；
解析：易判断出命题p为真命题，命题q为真命题，所以为假，为假．
结合各选项知B正确．
10．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案为：B；
解析：若f(x)，g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，
所以h(x)为偶函数．若h(x)为偶函数，则f(x)，g(x)不一定均为偶函数．
可举反例说明，如f(x)＝x，g(x)＝x2－x＋2，则h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2＋2为偶函数．
11．下列命题中不正确的是(　　)
A．∀a，b∈R，an＝an＋b，有{an}是等差数列
B．∃a，b∈R，an＝an2＋bn，使{an}是等差数列
C．∀a，b，c∈R，Sn＝an2＋bn＋c，有{an}是等差数列
D．∃a，b，c∈R，Sn＝an2＋bn＋c，使{an}是等差数列
答案为：C；
解析：显然A、B两项正确，当c≠0时，若Sn＝an2＋bn＋c，则{an}不是等差数列；
当c＝0时，若Sn＝an2＋bn＋c，则{an}是等差数列，因此C项错误，D正确．
12．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；
④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中正确的是(　　)
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④
答案为：D；
解析：①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假；
③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1”．
∵当m＝0时，解集不是R，∴应有即m>1.∴③是假命题；
④原命题为真，逆否命题也为真．
二、填空题
13．命题“若A∉l，则B∈m”的逆否命题是________．
答案为：若B∉m，则A∈l
解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序．
14．已知p：x2＋2x－3>0，q：x∈N.若“p∧q”“ ”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
答案为：{0，1}
解析：因为“p∧q”为假，“”为假，所以q为真，p为假．
故即因此x的值可以是0，1.
15．已知命题p：∃m∈R，m＋1<0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，
若p∧q为假命题，则实数m的取值范围是________．
答案为：(－∞，－2]
解析：因为p∧q为假命题，所以p，q中至少有一个为假命题．而命题p：∃m∈R，m＋1<0为真命题；所以命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立必定为假命题，所以Δ＝m2－4×1≥0，解得m≤－2或m≥2.又命题p：∃m∈R，m＋1＜0为真命题，所以m<－1.
故综上可知m≤－2.
16．给出下列四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；
③“任意x∈R，x2＋1≥0”的否定是“存在x∈R，x2＋1<0”；
④在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件．
其中正确的命题是________．(填序号)
答案为：②③④
解析：“p且q”为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故①错；由否命题和全称命题的否定可知②③都正确；利用正弦定理可以证明在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件是正确的．
三、解答题
17．π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.
(1)写出并判断真假；
(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．
解：(1) ：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．
因为a，b，c，d∈Q，又aπ＋b＝cπ＋d，
所以π(a－c)＝d－b∈Q，则a＝c且b＝d.
故p是真命题，所以是假命题．
(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题．
否命题：“若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d”．真命题．
逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”．真命题．

18．写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．
(1)q：所有等边三角形都是等腰三角形；
(2)r：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(3)s：至少有一个实数x0，使3x0－1＝0.
解：(1) ：至少存在一个等边三角形不是等腰三角形，假命题．
这是由于原命题是真命题．
(2) ：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．
这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0成立．
(3) ：∀x∈R，3x－1≠0，假命题．
这是由于x＝0时，3x－1＝0.

19．给定两个命题，P：对于任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
解：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立⇔a＝0或⇔0≤a<4.
关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇔1－4a≥0⇔a≤.
如果P正确，Q不正确，有0≤a<4，且a>，所以 如果Q正确，P不正确，有a<0或a≥4，且a≤，所以a<0.
所以实数a的取值范围为(－∞，0)∪.

20．解答下列问题：
(1)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件？
(2)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件？
解：(1)欲使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件，
则只要⊆{x|x<－1或x>3}，则只要－≤－1，即m≥2，
故存在实数m∈[2，＋∞)使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件．
(2)欲使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件，
则只要⊇{x|x<－1或x>3}，而这是不可能的，
故不存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件．

21．已知c>0，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋>在x∈上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
解：由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．
若p真，由y＝cx为减函数，得0 当x∈时，由不等式x＋≥2(x＝1时取等号)知，f(x)＝x＋在上的最小值为2，若q真，则<2，即c>.
若p真q假，则0 若p假q真，则c≥1，c>，所以c≥1.
综上可得，c∈∪[1，＋∞)．

22．已知命题：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)命题：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，
得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m>(x2－x)max，得m>2，即B＝{m|m>2}．

(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a 若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB，
∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞)；
②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝∅，
若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB成立；
③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a 若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB成立，
∴3a≥2，此时a∈.
综上①②③可得a∈.