人教版新课标A必修5第二章 数列综合与测试习题
展开一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )
A.1,eq \f(1,2),eq \f(1,3),eq \f(1,4),…
B.-1,2,-3,4,…
C.-1,-eq \f(1,2),-eq \f(1,4),-eq \f(1,8),…
D.1, eq \r(2), eq \r(3),…,eq \r(n)
【解析】 A为递减数列,B为摆动数列,D为有穷数列.
【答案】 C
2.已知数列{an}是首项a1=4,公比q≠1的等比数列,且4a1,a5,-2a3成等差数列,则公比q等于( )
A.eq \f(1,2) B.-1 C.-2 D.2
【解析】 由已知,2a5=4a1-2a3,即2a1q4=4a1-2a1q2,所以q4+q2-2=0,解得q2=1,因为q≠1,所以q=-1.
【答案】 B
3.某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个,…,按此规律进行下去,6小时后细胞存活的个数是( )
A.33个 B.65个 C.66个 D.129个
【解析】 设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{an}.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1=2,,an+1=2an-1,))即eq \f(an+1-1,an-1)=2.
∴an-1=1·2n-1 ,an=2n-1+1,a7=65.
【答案】 B
4.等比数列{an}的通项为an=2·3n-1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的数列 {bn},那么162是新数列{bn}的( )
A.第5项 B.第12项
C.第13项 D.第6项
【解析】 162是数列{an}的第5项,则它是新数列{bn}的第5+(5-1)×2=13项.
【答案】 C
5.已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0),则{an}( )
A.一定是等差数列
B.一定是等比数列
C.或者是等差数列,或者是等比数列
D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列
【解析】 ∵Sn=an-1(a≠0),
∴an=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1,n=1,,Sn-Sn-1,n≥2,))
即an=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a-1,n=1,,a-1an-1,n≥2,))
当a=1时,an=0,数列{an}是一个常数列,也是等差数列;当a≠1时,数列{an}是一个等比数列.
【答案】 C
6.等差数列{an}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是( )
A.90 B.100 C.145 D.190
【解析】 设公差为d,
∴(1+d)2=1×(1+4d),
∵d≠0,
∴d=2,从而S10=100.
【答案】 B
7.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d=( )
A.2 B.3 C.6 D.7
【解析】 S4-S2=a3+a4=20-4=16,
∴a3+a4-S2=(a3-a1)+(a4-a2)
=4d=16-4=12,
∴d=3.
【答案】 B
8.已知数列{an}满足a1=5,anan+1=2n,则eq \f(a7,a3)=( )
A.2 B.4 C.5 D.eq \f(5,2)
【解析】 依题意得eq \f(an+1an+2,anan+1)=eq \f(2n+1,2n)=2,即eq \f(an+2,an)=2,数列a1,a3,a5,a7,…是一个以5为首项,2为公比的等比数列,因此eq \f(a7,a3)=4.
【答案】 B
9.在数列{an}中,a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为( )
A.49 B.50 C.51 D.52
【解析】 ∵2an+1-2an=1,
∴an+1-an=eq \f(1,2),
∴数列{an}是首项a1=2,公差d=eq \f(1,2)的等差数列,
∴a101=2+eq \f(1,2)(101-1)=52.
【答案】 D
10.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如图1所示:
图1
则第七个三角形数是( )
A.27 B.28 C.29 D.30
【解析】 法一 ∵a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,a5=15,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,
∴a6-a5=6,a6=21,a7-a6=7,a7=28.
法二 由图可知第n个三角形数为eq \f(nn+1,2),
∴a7=eq \f(7×8,2)=28.
【答案】 B
11.数列{an}满足递推公式an=3an-1+3n-1(n≥2),又a1=5,则使得eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an+λ,3n)))为等差数列的实数λ=( )
A.2 B.5 C.-eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
【解析】 a1=5,a2=23,a3=95,令bn=eq \f(an+λ,3n),则b1=eq \f(5+λ,3),b2=eq \f(23+λ,9),b3=eq \f(95+λ,27),
∵b1+b3=2b2,
∴λ=-eq \f(1,2).
【答案】 C
12.在等差数列{an}中,a10<0,a11>0,且a11>|a10|,则{an}的前n项和Sn中最大的负数为( )
A.S17 B.S18 C.S19 D.S20
【解析】 ∵a10<0,a11>0,且a11>|a10|,
∴a11+a10>0.
S20=eq \f(20a1+a20,2)=10·(a11+a10)>0.
S19=eq \f(19a1+a19,2)=eq \f(19,2)·2a10<0.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.在等差数列{an}和{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an+bn}的前100项的和为________.
【解析】 由已知得{an+bn}为等差数列,故其前100项的和为S100=eq \f(100[a1+b1+a100+b100],2)
=50×(25+75+100)=10 000.
【答案】 10 000
14.数列{an}满足a1=1,an=an-1+n(n≥2),则a5=________. 【导学号:05920082】
【解析】 由an=an-1+n(n≥2),得an-an-1=n,则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,把各式相加,得a5-a1=2+3+4+5=14,
∴a5=14+a1=14+1=15.
【答案】 15
15.首项为-24的等差数列从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围是________.
【解析】 设a1=-24,公差为d,∴a10=-24+9d>0且a9=-24+8d≤0,∴eq \f(8,3)
16.已知公差不为零的正项等差数列{an}中,Sn为其前n项和,lg a1,lg a2,lg a4也成等差数列,若a5=10,则S5=________.
【解析】 设{an}的公差为d,则d≠0.
由lg a1,lg a2,lg a4也成等差数列,
得2lg a2=lg a1+lg a4,∴aeq \\al(2,2)=a1a4,
即(a1+d)2=a1(a1+3d),d2=a1d.
又d≠0,故d=a1,a5=5a1=10,d=a1=2,
S5=5a1+eq \f(5×4,2)×d=30.
【答案】 30
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在等差数列{an}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{an}的首项、公差及前n项和.
【解】 设该数列的公差为d,前n项和为Sn.由已知可得
2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d),
所以a1+d=4,d(d-3a1)=0,
解得a1=4,d=0或a1=1,d=3,即数列{an}的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.
所以数列的前n项和Sn=4n或Sn=eq \f(3n2-n,2).
18.(本小题满分12分)(2016·唐山模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).
(1)求a2,a3的值;
(2)求证:数列{Sn+2}是等比数列.
【解】 (1)∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)·Sn+2n(n∈N*),
∴当n=1时,a1=2×1=2;
当n=2时,a1+2a2=(a1+a2)+4,∴a2=4;
当n=3时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,∴a3=8.
(2)证明:∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),①
∴当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)Sn-1+2(n-1),②
①-②得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+2,
∴-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2.
∴Sn+2=2(Sn-1+2).∵S1+2=4≠0.
∴Sn-1+2≠0,∴eq \f(Sn+2,Sn-1+2)=2.
即{Sn+2}是以4为首项,2为公比的等比数列.
19.(本小题满分12分)(2015·北京高考)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{an}的第几项相等?
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a4-a3=2,所以d=2.
又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.
所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a3=8,b3=a7=16,
所以q=2,b1=4.
所以b6=4×26-1=128.
由128=2n+2得n=63,
所以b6与数列{an}的第63项相等.
20.(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*),满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. 【导学号:05920083】
(1)令cn=eq \f(an,bn),求数列{cn}的通项公式;
(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.
【解】 (1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,
bn≠0(n∈N*),
所以eq \f(an+1,bn+1)-eq \f(an,bn)=2,即cn+1-cn=2.
所以数列{cn}是以首项c1=1,公差d=2的等差数列,故cn=2n-1.
(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,
于是数列{an}的前n项和Sn=1×30+3×31+5×32+…+(2n-1)×3n-1,
3Sn=1×31+3×32+…+(2n-3)×3n-1+(2n-1)×3n.
相减得-2Sn=1+2×(31+32+…+3n-1)-(2n-1)×3n=-2-(2n-2)3n,
所以Sn=(n-1)3n+1.
21.(本小题满分12分)(2015·四川高考)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|
an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),
即an=2an-1(n≥2),所以q=2.
从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.
又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1),
所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.
所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
故an=2n.
(2)由(1)得eq \f(1,an)=eq \f(1,2n),
所以Tn=eq \f(1,2)+eq \f(1,22)+…+eq \f(1,2n)=eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n)),1-\f(1,2))=1-eq \f(1,2n).
由|Tn-1|
因为29=512<1 000<1 024=210,所以n≥10.
于是使|Tn-1|
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=aeq \s\d10(\f(nn+1,2)),记Tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)nbn,求Tn.
【解】 (1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),
即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,
所以数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)由题意知bn=aeq \s\d10(\f(nn+1,2))=n(n+1),
所以Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)nn·(n+1).
因为bn+1-bn=2(n+1),可得当n为偶数时,
Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn)
=4+8+12+…+2n=eq \f(\f(n,2)4+2n,2)=eq \f(nn+2,2),
当n为奇数时,Tn=Tn-1+(-bn)=eq \f(n-1n+1,2)-n(n+1)=-eq \f(n+12,2).
所以Tn=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-\f(n+12,2),n为奇数,,\f(nn+2,2),n为偶数.))
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