数学第二章 数列综合与测试教案

《通项公式的求法（1）》 教学设计

教学对象：学生数学基础较好，一些学生基础较弱，计算能力较弱。学生已经学习了等差数列和等比数列的知识点，基础一般，需要巩固。

教材分析：人教版必修五第二章《数列》

数列作为高中数学学习中重要组成部分，贯穿于高中数学其他各项知识的学习和运用中，与函数和几何之间关系较为密切。通项公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。

教学内容：《通项公式的求法（1）》

教学目标：

1. 知识与能力：

掌握观察法和递推法求数列的通项公式。

2. 过程与方法：

（1）通过对等差和等比数列特点的分析，理解数列的项与项数之间的关系；

（2）通过递推法的推导，掌握递推关系和数列的项之间的关系；

3. 情感态度与价值观：

（1）通过对数列的通项公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；

（2）通过对数列递推公式的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；

教学重点：

根据数列的项，递推关系，求通项公式。

教学难点：

解题过程中方法的正确选择。

教学准备：课件、导学案

教学步骤：

一、组织教学

二、复习导入

【教师活动】我们已经学习了等差数列和等比数列。同学们能不能写出他们的递推公式、通项公式和前项和公式？

【学生活动】完成导学案中表格

1.等差数列

递推公式：（为常数）

通项公式：

前项和公式：

2.等比数列

递推公式： （）

通项公式：

前项和公式：

当时，

当时，

【设计意图】对等差数列和等比数列知识点进行复习，为学习的知识点做铺垫。

三、新课讲解

（一）观察法

【教师活动】观察课件中给出的两个数列，观察数列中的项，有什么规律？试着写出符合的通项公式。

（1）0，1，3，7，15，……

（2），，，，……

【学生活动】完成导学案中的表格，小组讨论每个数列中的规律，总结规律，尝试写出数列的通项公式。

（观察数列中的项与项数之间的联系）

【学生活动】解：（1）

∴

∴

（2）

∴

小结：找出各项与项数的关系。

【教师活动】总结：观察法求数列的通项公式中，我们要注意数列中的项和项数之间的关系，如果没有直接关系的时候，我们可以对数列进行变式。

2.练习

根据数列给出的项，写出一个符合的通项公式：

（1），7，，19，……

（2），，，，，……

（3）9，99，999，9999，……

（4）2，0，2，0，……

解：（1）

（2）

（3）

（4）

【学生活动】完成练习，对观察法进行总结。

①观察数列中各项与其序号间的关系；

②分解各项中的变化部分与不变部分；

③探索各项中变化部分与序号间的关系；

④归纳构成的规律，写出通项公式。

【设计意图】掌握观察法求通项公式的方法，了解不同的数列形式。通过观察、思考和分析，增强学生的逻辑推理能力。

（二）递推法

a.累加法

【教师活动】完成例题已知满足，，求。

【学生活动】解：∵

∴

∴

∴

小结：对数列的递推关系分析，将和的关系转化为和的关系。

【教师活动】总结：已知数列的递推关系求通项公式时，把递推关系转化为和已知项的关系。

2.练习

已知满足，，求。

解：∵

∴

∴

∴

【学生活动】完成练习，对方法进行总结

① ；

②写出数列中的项；

③等式左右相加；

消项：

【设计意图】通过对累加法的研究，掌握累加法的形式。综合运用已学知识点，如等差数列和等比数列的前项和公式，体会数学知识点的连贯性，拓展解题思维。

b.累乘法

【教师活动】完成例题，已知满足，，求。

【学生活动】解：∵

∴

∴

∴

小结：对数列的递推关系分析，将和的关系转化为和的关系。

【教师活动】类比累加法，对题目进行分析，找出方法中的共同点和不同点。

2.练习

已知满足，，求。

解：∵

∴

∴

∴

【学生活动】完成练习，对方法进行总结

① ；

②写出数列中的项；

③等式左右相乘；

消项：

【设计意图】类比累加法和累乘法，对递推法中的两种方法进行比较，加深对方法的理解。发挥学生的主体意识，培养总结概括的能力。

（三）综合运用

已知满足，，求。

（观察法）∵

          ∴

            ∴

（递推法）∵

          ∴

         ∴

∴

∴

【设计意图】落实新知与方法，加强运用数学知识的能力，体会不同方法解题的逻辑过程，锻炼逻辑思维能力。

四、总结

1.今天学习了哪些方法求数列的通项公式？

观察法，递推法（累加法、累乘法）

2.观察法的关键是什么？

找出各项与项数的关系。

3.已知和的递推关系，怎么选择合适的方法？

① →累加法

② →累乘法

五、作业布置

1.观察下列各项，写出满足条件的一个通项公式。

（1）1，3，5，7，9，……

（2），，，，……

（3），，， ，……

（4），0，，0，， ……

2.已知满足， ，求。

3.已知满足， ，求。

4.已知满足， ，求。

5.已知满足， ，求。

六、板书设计

求通项公式

一、观察法

各项与项数的关系

二、递推法

①累加法：

②累乘法：