高中数学人教版新课标A选修4-1第二讲 直线与圆的位置关系综合与测试巩固练习

章末综合测评(二)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是(　　)

【导学号：07370050】

A．42°　　　 B．138°

C．84° D．42°或138°

【解析】　弦AB所对的弧的度数为84°或276°，故其所对的圆周角为42°或138°.

【答案】　D

2．如图1，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为(　　)

图1

A．50   B．52

C．54 D．56

【解析】　由切线长定理知CD＋AB＝AD＋BC.

∵AB＋CD＝26，∴AB＋BC＋CD＋AD＝52.

【答案】　B

3．如图2，⊙O经过⊙O1的圆心，∠ADB＝α，∠ACB＝β，则α与β之间的关系是(　　)

图2

A．β＝α 

B．β＝180°－2α

C．β＝(90°－α) 

D．β＝(180°－α)

【解析】　如图所示，分别连接AO1，BO1.

根据圆内接四边形的性质定理，可得

∠AO1B＋∠ADB＝180°，

∴∠AO1B＝180°－∠ADB＝180°－α.

∵∠ACB＝∠AO1B，

∴β＝(180°－α)，故选D.

【答案】　D

4.如图3所示，∠A＝50°，∠ABC＝60°，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于

(　　)

图3

A．70°   B．110°

C．90° D．120°

【解析】　由题意知，∠D＝∠A＝50°，

∠BCD＝90°，

∴∠CBD＝90°－50°＝40°，

又∠ACB＝180°－50°－60°＝70°，

∴∠AEB＝∠CBD＋∠ACB＝40°＋70°＝110°.

【答案】　B

5．如图4，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E，若AB＝6，BC＝4，则AE＝(　　)

图4

A.   B.

C．1 D.

【解析】　∵MN为⊙O的切线，∴∠BCM＝∠A.

∵MN∥BE，∴∠BCM＝∠EBC，

∴∠A＝∠EBC.

又∠ACB＝∠BCE，

∴△ABC∽△BEC，∴＝.

∵AB＝AC，∴BE＝BC，∴＝.

∴EC＝，∴AE＝6－＝.

【答案】　A

6．如图5，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙I是△ABC的内切圆，∠A＝80°，则∠BIC等于(　　)

图5

A．80°　　 B．100°

C．120° D．130°

【解析】　∵∠A＝80°，

∴∠ABC＋∠ACB＝100°.

∵∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，

∴∠IBC＋∠ICB＝(∠ABC＋∠ACB)＝50°，

∴∠BIC＝180°－50°＝130°.

【答案】　D

7．如图6，已知⊙O的直径与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径为(　　)

图6

A.   B.

C．10 D．5

【解析】　连接OC，则有∠COP＝60°，OC⊥PC，

∴PO＝2CO，

∴CO＝5，即CO＝.

【答案】　A

8．(2016·焦作模拟)如图7，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于P，EF是过点P的弦，已知AB＝10，PA＝2，PE＝5，则CD和EF分别为(　　)

图7

A．8和7　　　 B．7和

C．7和8 D．8和

【解析】　∵PA·PB＝PC2，

∴PC2＝16，PC＝4，∴CD＝8.

∵PE·PF＝PC2，∴PF＝，

∴EF＝＋5＝.

【答案】　D

9．如图8，已知AT切⊙O于T.若AT＝6，AE＝3，AD＝4，DE＝2，则BC＝(　　)

图8

A．3   B．4

C．6 D．8

【解析】　∵AT为⊙O的切线，

∴AT2＝AD·AC.

∵AT＝6，AD＝4，∴AC＝9.

∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，

∴△EAD∽△CAB，

即＝，∴BC＝＝＝6.

【答案】　C

10．如图9，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH＝CP；②＝；③AP＝BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是(　　)

图9

A．①②④   B．①③④

C．②③④ D．①②③

【解析】　显然①可由△PCD≌△HCD得到；因为四边形ABCD为圆的内接四边形，所以∠BAD＝∠HCD＝∠ACD，即＝，故②成立；而③，连接BD，则AD＝BD，∠DAP＝∠DBH，所以Rt△APD≌Rt△BHD，得AP＝BH，③成立；对于④，不能判定DH是圆的切线，故应选D.

【答案】　D

11.如图10，在⊙O中，MN为直径，点A在⊙O上，且∠AON＝60°，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为(　　)

图10

A．1   B.

C.－1 D.

【解析】　如图，过点B作BB′⊥MN，交⊙O于点B′，连接AB′交MN于点P′，即点P在点P′处时，AP＋BP最小．

易知B与B′点关于MN对称，

依题意∠AON＝60°，

则∠B′ON＝∠BON＝30°，

所以∠AOB′＝90°，

AB′＝＝.

故PA＋PB的最小值为，故选D.

【答案】　D

12．如图11所示，PT与⊙O切于T，CT是⊙O的直径，PBA是割线，与⊙O的交点是A，B，与直线CT的交点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB＝(　　)

图11

A．10   B．20

C．5 D．8

【解析】　根据相交弦定理，可得

AD·DB＝CD·DT，∴3×4＝2DT，解得DT＝6，

∴圆的半径r＝4，AB＝7，不妨设PB＝x，则PA＝x＋7，根据切割线定理，可得PT2＝PB·PA，∴PT2＝x·(x＋7)，在Rt△PTD中，DT2＋PT2＝PD2，∴36＋PT2＝(x＋4)2，∴36＋x(x＋7)＝(x＋4)2，解得x＝20.

【答案】　B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)

13．如图12所示，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.

图12

【解析】　由题意知，AB＝6，AE＝1，∴BE＝5.

∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.

在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.

【答案】　5

14．如图13，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．

图13

【解析】　由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD.

又PA＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4，

∴CD＝PC＋PD＝5.

过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点，

∴OE＝＝＝.

【答案】　

15.如图14，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．

【导学号：07370051】

图14

【解析】　因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C.因为AE与圆相切，所以∠EAB＝∠C.所以∠ABC＝∠EAB，所以AE∥BC.又因为AC∥DE，所以四边形AEBC是平行四边形．由切割线定理可得AE2＝EB·ED，于是62＝EB·(EB＋5)，所以EB＝4(负值舍去)，因此AC＝4，BC＝6.又因为△AFC∽△DFB，所以＝，解得CF＝.

【答案】　

16．(2016·北京朝阳区检测)如图15，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，则tan∠COP＝________，△OBC的面积是________．

图15

【解析】　因为PC切圆O于点C，根据切割线定理即可得出PC2＝PA·PB，所以42＝8PA，解得PA＝2.设圆的半径为R，则2＋2R＝8，解得R＝3.在直角△OCP中，tan∠COP＝，sin∠COP＝.所以sin∠BOC＝sin∠COP＝.所以△OBC的面积是×R2sin∠BOC＝×32×＝.

【答案】　　

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)如图16，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.

求证：(1)BE·DE＋AC·CE＝CE2；

(2)E，F，C，B四点共圆．

图16

【证明】　(1)连接CD，由圆周角性质可知∠ECD＝∠EBA.

故△ABE∽△CDE，∴BE∶CE＝AE∶DE，

∴BE·DE＋AC·CE＝CE2.

(2)∵AB是⊙O的直径，所以∠ECB＝90°，∴CD＝BE.∵EF⊥BF，∴FD＝BE，∴E，F，C，B四点与点D等距，∴E，F，C，B四点共圆．

18．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图17，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．

图17

(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；

(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD.

【解】　(1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.

因为＝，所以∠PBA＝∠PCB.又∠BPD＝∠BCD，

所以∠BFD＝∠PCD.

又∠PFB＋∠BFD＝180°，

∠PFB＝2∠PCD，

所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.

(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上．又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.

19．(本小题满分12分)如图18，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D.求证：

图18

(1)CE＝DE；

(2)＝.

【证明】　(1)∵PE切⊙O于点E，∴∠A＝∠BEP.

∵PC平分∠APE，∴∠A＋∠CPA＝∠BEP＋∠DPE.

∵∠ECD＝∠A＋∠CPA，∠EDC＝∠BEP＋∠DPE，

∴∠ECD＝∠EDC，∴CE＝DE.

(2)∵∠PDB＝∠EDC，∠EDC＝∠ECD，∠PDB＝∠PCE，

∴∠BPD＝∠EPC，∴△PBD∽△PEC，∴＝.

同理△PDE∽△PCA，∴＝.

∴＝.∵DE＝CE，∴＝.

20．(本小题满分12分)如图19，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：

图19

(1)CD＝BC；

(2)△BCD∽△GBD.

【证明】　(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.

因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.

(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.

由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.

由BC＝CD知∠CBD＝∠CD B.

又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.

21．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)如图20，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°，以O为圆心，OA为半径作圆．

图20

(1)证明：直线AB与⊙O相切；

(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.

【证明】　(1)设E是AB的中点，连接OE.

因为OA＝OB，∠AOB＝120°，

所以OE⊥AB，∠AOE＝60°.

在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切．

(2)因为OA＝2OD，

所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．

设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.

由已知得O在线段AB的垂直平分线上，

又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥A B.

同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.

22．(本小题满分12分)如图21，已知CP为⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB切⊙O于点D，并与CP的延长线相交于点B，又BD＝2BP.

图21

求证：(1)PC＝3BP；

(2)AC＝PC.

【证明】　(1)∵BD是⊙O的切线，

BPC是⊙O的割线，

∴BD2＝BP·BC.

∵BD＝2BP，

∴4BP2＝BP·BC，

∴4BP＝BC.

∵BC＝BP＋PC.

∴4BP＝BP＋PC，

∴PC＝3BP.

(2)连接DO.

∵AB切⊙O于点D，AC切⊙O于点C，

∴∠ODB＝∠ACB＝90°.

∵∠B＝∠B，∴△ODB∽△ACB，

∴＝＝＝，

∴AC＝2DO，又PC＝2DO，∴AC＝PC.