人教版新课标A必修13.1.1方程的根与函数的零点课堂检测

 www.ks5u.com第三章　函数的应用

§3.1　函数与方程

3．1.1　方程的根与函数的零点

课时目标　1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．

1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系

2.函数的零点

对于函数y＝f(x)，我们把________________叫做函数y＝f(x)的零点．

3．方程、函数、图象之间的关系

方程f(x)＝0__________⇔函数y＝f(x)的图象______________⇔函数y＝f(x)__________．

4．函数零点的存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内________，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

一、选择题

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是(　　)

A．0个B．1个

C．2个D．无法确定

2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是(　　)

A．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0

B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0

C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0

D．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0

3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)

A．0，－B．0，

C．0,2D．2，－

4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)

A．(－2，－1)  B．(－1,0)

C．(0,1)  D．(1,2)

5．函数f(x)＝零点的个数为(　　)

A．0B．1

C．2D．3

6．已知函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则实数b的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)

B．(0,1)

C．(1,2)

D．(2，＋∞)

二、填空题

7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．

8．函数f(x)＝lnx－x＋2的零点个数为________．

9．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________．

三、解答题

10．证明：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．

11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．

能力提升

12．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的

解的个数是(　　)

A．1B．2

C．3D．4

13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．

(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．

(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．

3．对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然当它通过零点时函数值没有变号．

第三章　函数的应用

§3.1　函数与方程

3．1.1　方程的根与函数的零点

知识梳理

1．2　1　0　2　1　2.使f(x)＝0的实数x　3.有实数根　与x轴有交点　有零点　4.连续不断　f(a)·f(b)<0　有零点　f(c)＝0

作业设计

1．C　[方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac<0，∴a≠0，

∴Δ＝b2－4ac>0，

即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，

则对应函数的零点个数为2个．]

2．C　[对于选项A，可能存在根；

对于选项B，必存在但不一定唯一；

选项D显然不成立．]

3．A　[∵a≠0,2a＋b＝0，

∴b≠0，＝－.

令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.]

4．C　[∵f(x)＝ex＋x－2，

f(0)＝e0－2＝－1<0，

f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，

∴f(0)·f(1)<0，

∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．]

5．C　[x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.

x>0时，f(x)＝lnx－2在(0，＋∞)上递增，

f(1)＝－2<0，f(e3)＝1>0，∵f(1)f(e3)<0

∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．

总之，f(x)在R上有2个零点．]

6．A　[设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由f(0)＝0可得d＝0，f(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝ax(x－1)(x－2)⇒b＝－3a，又由x∈(0,1)时f(x)>0，可得a>0，∴b<0.]

7．3　0

解析　∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.

8．2

解析　该函数零点的个数就是函数y＝lnx与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝lnx与y＝x－2的图象如下图：

由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)＝lnx－x＋2有2个零点．

9．1

解析　设f(x)＝e2－(x＋2)，由题意知f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k＝1.

10．证明　设f(x)＝x4－4x－2，其图象是连续曲线．

因为f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0.

所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．

从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．

11．解　令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.

依题意得或，

即或，解得－<m<0.

12．C　[由已知得

∴f(x)＝

当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，

即x2＋3x＋2＝0，

∴x＝－1或x＝－2；

当x>0时，方程为x＝2，

∴方程f(x)＝x有3个解．]

13．解　设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.

∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，

∴，即

∴<k<.