高中人教版新课标A3.1.1方程的根与函数的零点教案

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

观察下列三组方程与函数

利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系

师生合作

师：方程x2 – 2x –3 = 0的根为–1，3函数y = x2 – 2x – 3与x轴交于点(–1，0) (3，0)

生：x2 – 2x + 1 = 0有相等根为1.

函数y= x2 – 2x + 1与x轴有唯一交点 (1，0).

x2 – 2x + 3 = 0没有实根

函数y = x2 – 2x + 3与x轴无交点

以旧引新，导入课题

概念形成

1.零点的概念

对于函数y=f (x),称使 y=f (x)= 0的实数x为函数 y=f (x)的零点

2.函数的零点与方程根的关系

方程f (x) = 0有实数根函数

y = f (x)的图象与x轴有交点函数y = f (x)的零点

3.二次函数零点的判定

对于二次函数y = ax2 + bx + c与二次方程ax2 + bx + c，其判别式△= b2 – 4ac

师:我们通俗地称函数与x轴交点的横坐标为函数的零点,请同学归纳零点的定义

师：考察函数①y = lgx

②y = lg2(x + 1) ③y = 2x

④y = 2x – 2的零点

生：①y = lgx的零点是x = 1

②y = lg2(x + 1)的零点是x=0

③y = 2x没有零点

④y = 2x – 2的零点是x = 1

归纳总结

感知概念

分析特征

形成概念

概念深化

引导学生回答下列问题

①如何求函数的零点？

②零点与图象的关系怎样？

师生合作，学生口答，老师点评，阐述

生①零点即函数为零对应的自变量的值,零点即对应方程的根

②零点即函数图象与x轴交点的横坐标

③求零点可转化为求方程的根

以问题讨论代替老师的讲援

应用举例

练习1.求函数y = –x2 – 2x + 3的零点，并指出y＞0，y = 0的x的取值范围

练习2.求函数y =x3 – 2x2 – x + 2的零点，并画出它的图象

练习3.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1） –x2+3x+5 = 0；（2）2x (x–2) = –3；

（3）x2 = 4x – 4；

（4）5x2+2x=3x2+5.

学生自主尝试练习完成练习1、2、3

生：练习1解析：零点–3，1

x∈(–3，1)时y＞0

时y＜0

练习2解析：因为x3–2x2–x+2 = x2 (x – 2) – (x – 2) = (x–2) (x2–1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1)，

所以已知函数的零点为–1，1，2.

3个零点把x轴分成4个区间：，[–1，1]，[1，2]，

在这4个区间内，取x的一些值（包括零点），列出这个函数的对应值表：

在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示

练习3解析：（1）令f (x) = –x2 + 3x + 5，作出函数f (x)的图象，它与x轴有两个交点，所以方程–x2 + 3x + 5 = 0有两个不相等的实数根.

（2）2x (x – 2) = –3可化为2x2–4x+3=0

令f (x) = 2x2–4x+3作出函数f (x)的图象，它与x轴没有交点，所以方程2x (x – 2) = –3无实数根

（3）x2 = 4x – 4可化为x2 – 4x + 4 = 0,令f (x) = x2 – 4x + 4，作出函数f (x)的图象，它与x轴只有一个交点（相切），所以方程x2 = 4x – 4有两个相等的实数根

（4）5x2+2x=3x2+5可化为2x2 + 2x – 5 = 0，令f (x) = 2x2 + 2x–5，作出函数f (x)的图象，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根

师：点评板述练习的解答过程

让学生动手练习或借助多媒体演示，加深对概念的说明，培养思维能力

归纳总结

（1）知识方面

零点的概念、求法、判定

（2）数学思想方面

函数与方程的相互转化，即转化思想

借助图象探寻规律，即数形结合思想

学生归纳，老师补充、点评、完善

回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识的能力

课后作业

3.1 第一课时  习案

学生独立完成

固化知识，提升能力