2021学年3.2.1几类不同增长的函数模型随堂练习题

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课时目标 1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式．
1．函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则( )
A．f(0)>0，f(2)<0
B．f(0)·f(2)<0
C．在区间(0,2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)<0
D．以上说法都不正确
2．函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y＝f(x)的零点个数是( )
A．0B．1
C．2D．1或2
3．设函数f(x)＝lg3eq \f(x＋2,x)－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，－lg32) B．(0，lg32)
C．(lg32,1) D．(1，lg34)
4．方程2x－x－2＝0在实数范围内的解的个数是________________________________．
5．函数y＝(eq \f(1,2))x与函数y＝lgx的图象的交点的横坐标是________．(精确到0.1)
6．方程4x2－6x－1＝0位于区间(－1,2)内的解有__________个．
一、选择题
1．已知某函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有零点的区间大致是( )
A．(0,0.5)
B．(0.5,1)
C．(1,1.5)
D．(1.5,2)
2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是( )
A．[0,1]B．[1,2]
C．[2,3]D．[3,4]
3．若x0是方程lgx＋x＝2的解，则x0属于区间( )
A．(0,1) B．(1,1.25)
C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)
4．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1]B．[－1,0]
C．[0,1]D．[1,2]
5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(aA．a<α<βC．α二、填空题
6．用二分法求方程x2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.
7．已知偶函数y＝f(x)有四个零点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和为________．
8．若关于x的二次方程x2－2x＋p＋1＝0的两根α，β满足0<α<1<β<2，则实数p的取值范围为___________________．
9．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋1(a∈R)，若方程f(x)＝0至少有一正根，则a的取值范围为________．
三、解答题
10．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
求方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)．
11．分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0，
(1)有两个负根；
(2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；
(3)有两个实根，且都比1大．
能力提升
12．已知函数f(x)＝x|x－4|.
(1)画出函数f(x)＝x|x－4|的图象；
(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值；
(3)当实数a为何值时，方程f(x)＝a有三个解？
13．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．
1．函数与方程存在着内在的联系，如函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是方程f(x)＝0的解；两个函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标就是方程f(x)＝g(x)的解等．根据这些联系，一方面，可通过构造函数来研究方程的解的情况；另一方面，也可通过构造方程来研究函数的相关问题．利用函数与方程的相互转化去解决问题，这是一种重要的数学思想方法．
2．对于二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0根的问题，从函数角度解决有时比较简洁．一般地，这类问题可从四个方面考虑：①开口方向；②判别式；③对称轴x＝－eq \f(b,2a)与区间端点的关系；④区间端点函数值的正负．
§3.1 习题课
双基演练
1．D [函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，我们并不一定能找到x1，x2∈(a，b)，满足f(x1)·f(x2)<0，故A、B、C都是错误的，正确的为D.]
2．D [当f(x)的图象和x轴相切与y轴相交时，函数f(x)的零点个数为1，当f(x)的图象与y轴交于原点与x轴的另一交点在x轴负半轴上时，函数f(x)有2个零点．]
3．C [f(x)＝lg3(1＋eq \f(2,x))－a在(1,2)上是减函数，由题设有f(1)>0，f(2)<0，解得a∈(lg32,1)．]
4．2
解析 作出函数y＝2x及y＝x＋2的图象，它们有两个不同的交点，因此原方程有两个不同的根．
5．1.9(答案不唯一)
解析 令f(x)＝(eq \f(1,2))x－lgx，则f(1)＝eq \f(1,2)>0，f(3)＝eq \f(1,8)－lg3<0，∴f(x)＝0在(1,3)内有一解，利用二分法借助计算器可得近似解为1.9.
6．2
解析 设f(x)＝4x2－6x－1，由f(－1)>0，f(2)>0，且f(0)<0，知方程4x2－6x－1＝0在
(－1,0)和(0,2)内各有一解，因此在区间(－1,2)内有两个解．
作业设计
1．B
2．B [因为f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，
所以存在一个零点x∈[1,2]．]
3．D [构造函数f(x)＝lgx＋x－2，由f(1.75)＝f(eq \f(7,4))＝lgeq \f(7,4)－eq \f(1,4)<0，f(2)＝lg2>0，知x0属于区间(1.75,2)．]
4．A [由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．]
5．A [函数g(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点是a，b.
由于y＝f(x)的图象可看作是由y＝g(x)的图象向上平移2个单位而得到的，所以a<α<β6．7
解析 区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为
eq \f(1,27)＝eq \f(1,128)7．0
解析 不妨设它的两个正零点分别为x1，x2.
由f(－x)＝f(x)可知它的两个负零点分别是－x1，－x2，
于是x1＋x2－x1－x2＝0.
8．(－1,0)
解析 设f(x)＝x2－2x＋p＋1，根据题意得f(0)＝p＋1>0，
且f(1)＝p<0，f(2)＝p＋1>0，解得－19．a<0
解析 对ax2＋2x＋1＝0，当a＝0时，x＝－eq \f(1,2)，不符题意；
当a≠0，Δ＝4－4a＝0时，得x＝－1(舍去)．
当a≠0时，由Δ＝4－4a>0，得a<1，
又当x＝0时，f(0)＝1，即f(x)的图象过(0,1)点，
f(x)图象的对称轴方程为x＝－eq \f(2,2a)＝－eq \f(1,a)，
当－eq \f(1,a)>0，即a<0时，
方程f(x)＝0有一正根(结合f(x)的图象)；
当－eq \f(1,a)<0，即a>0时，由f(x)的图象知f(x)＝0有两负根，
不符题意．故a<0.
10．解 ∵f(1.375)·f(1.4375)<0，
且|1.4375－1.375|＝0.0625<0.1，
∴方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可取为区间(1.375，1.4375)中任意一个值，通常我们取区间端点值，比如1.4375.
11．解 (1)方法一 (方程思想)
设方程的两个根为x1，x2，
则有两个负根的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4－4m＋1≥0，,x1＋x2＝－2<0，,x1x2＝m＋1>0，))
解得－1方法二 (函数思想)
设函数f(x)＝x2＋2x＋m＋1，则原问题转化为函数f(x)与x轴的两个交点均在y轴左侧，结合函数的图象，有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4－4m＋1≥0，,－\f(b,2a)＝－1<0，,f0＝m＋1>0，))
解得－1(2)方法一 (方程思想)
设方程的两个根为x1，x2，则令y1＝x1－2>0，y2＝x2－2<0，问题转化为求方程(y＋2)2＋2(y＋2)＋m＋1＝0，即方程y2＋6y＋m＋9＝0有两个异号实根的条件，故有y1y2＝m＋9<0，解得m<－9.
方法二 (函数思想)
设函数f(x)＝x2＋2x＋m＋1，则原问题转化为函数f(x)与x轴的两个交点分别在2的两侧，结合函数的图象，
有f(2)＝m＋9<0，解得m<－9.
(3)由题意知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4－4m＋1≥0，,x1－1＋x2－1>0，,x1－1x2－1>0))(方程思想)，
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4－4m＋1≥0，,－\f(b,2a)＝－1>1，,f1＝m＋4>0))(函数思想)，
因为两方程组无解，故解集为空集．
12．解 (1)f(x)＝x|x－4|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x， x≥4，,－x2＋4x，x<4.))
图象如右图所示．
(2)当x∈[1,5]时，f(x)≥0且当x＝4时f(x)＝0，故f(x)min＝0；
又f(2)＝4，f(5)＝5，故f(x)max＝5.
(3)由图象可知，当0方程f(x)＝a有三个解．
13．解 ①当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．
②当a>0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，
∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0>0,f1<0,f2>0))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1>0,a－2＋1<0,4a－4＋1>0))，解得eq \f(3,4)③当a<0时，设方程的两根为x1，x2，
则x1x2＝eq \f(1,a)<0，x1，x2一正一负不符合题意．
综上，a的取值范围为eq \f(3,4)题 号
1
2
3
4
5
答 案
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.4375)≈0.162
f(1.40625)≈－0.054