高中数学人教版新课标A选修4-4第二章 参数方程综合与测试复习练习题

这是一份高中数学人教版新课标A选修4-4第二章 参数方程综合与测试复习练习题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．椭圆eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs θ，,y＝bsin θ))(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ等于( )
A．π B.eq \f(π,2) C．2π D.eq \f(3π,2)
解析：选A ∵点(－a,0)中x＝－a，
∴－a＝acs θ，
∴cs θ＝－1，∴θ＝π.
2．已知椭圆的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs t，,y＝4sin t))(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝eq \f(π,3)，点O为原点，则直线OM的斜率为( )
A.eq \r(3) B．－eq \f(\r(3),3) C．2eq \r(3) D．－2eq \r(3)
解析：选C 点M的坐标为(1,2eq \r(3))，
∴kOM＝2eq \r(3).
3．直线eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1与椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB的面积等于4，这样的点P共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选B 设椭圆上一点P1的坐标为(4cs θ，3sin θ)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，如图所示，则S四边形P1AOB＝S△OAP1＋S△OBP1
＝eq \f(1,2)×4×3sin θ＋eq \f(1,2)×3×4cs θ
＝6(sin θ＋cs θ)＝6eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))).
当θ＝eq \f(π,4)时，S四边形P1AOB有最大值为6eq \r(2).
所以S△ABP1≤6eq \r(2)－S△AOB＝6eq \r(2)－6＜4.
故在直线AB的右上方不存在点P使得△PAB的面积等于4，又S△AOB＝6＞4，所以在直线AB的左下方，存在两个点满足到直线AB的距离为eq \f(8,5)，使得S△PAB＝4.
故椭圆上有两个点使得△PAB的面积等于4.
4．两条曲线的参数方程分别是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs2θ－1，,y＝1＋sin2θ))(θ为参数)和eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs t，,y＝2sin t))(t为参数)，则其交点个数为( )
A．0 B．1 C．0或1 D．2
解析：选B
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs2θ－1，,y＝1＋sin2θ，))得x＋y－1＝0(－1≤x≤0,1≤y≤2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs t，,y＝2sin t))得eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．
二、填空题
5．椭圆eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4＋2cs θ，,y＝1＋5sin θ))(θ为参数)的焦距为________．
解析：椭圆的普通方程为eq \f(x＋42,4)＋eq \f(y－12,25)＝1.
∴c2＝21，∴2c＝2eq \r(21).
答案：2eq \r(21)
6．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋eq \r(3)y的最大值是________．
解析：因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，
所以设x＝2cs α，y＝eq \r(3)sin α，则
2x＋eq \r(3)y＝4cs α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，
其中sin φ＝eq \f(4,5)，cs φ＝eq \f(3,5).
当sin(α＋φ)＝1时，2x＋eq \r(3)y有最大值为5.
答案：5
7．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs φ，,y＝bsin φ))(φ为参数，a＞b＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆 O的极坐标方程分别为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆 O相切，则椭圆C的离心率为____________．
解析：l的直角坐标方程为x＋y＝m，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝b2，由直线l与圆O相切，
得m＝±eq \r(2)b.
从而椭圆的一个焦点为(eq \r(2)b,0)，即c＝eq \r(2)b，
所以a＝eq \r(3)b，则离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3).
答案：eq \f(\r(6),3)
三、解答题
8．已知两曲线参数方程分别为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(5)cs θ，,y＝sin θ))(0≤θ<π)和eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,4)t2，,y＝t))(t∈R)，求它们的交点坐标．
解：将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(5)cs θ,y＝sin θ))(0≤θ＜π)化为普通方程，得
eq \f(x2,5)＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－eq \r(5))，
将x＝eq \f(5,4)t2，y＝t代入，得
eq \f(5,16)t4＋t2－1＝0，
解得t2＝eq \f(4,5)，
∴t＝eq \f(2\r(5),5)(∵y＝t≥0)，x＝eq \f(5,4)t2＝eq \f(5,4)·eq \f(4,5)＝1，
∴交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(5),5))).
9．对于椭圆eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs θ，,y＝bsin θ))(θ为参数)，如果把横坐标缩短为原来的eq \f(1,a)，再把纵坐标缩短为原来的eq \f(1,b)即得到圆心在原点，半径为1的圆的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)．那么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关系．
解：设圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝rcs θ，,y＝rsin θ))(θ为参数)，
如果将该圆看成椭圆，
那么在椭圆中对应的数值分别为a＝b＝r，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝0，
则离心率e＝eq \f(c,a)＝0.
即把圆看成椭圆，其离心率为0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭圆的离心率越小即越接近于0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁．
10．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs α，,y＝sin α))(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(π,2)))，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：(1)把极坐标系下的点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(π,2)))化为直角坐标，
得P(0,4)．
因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程
x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，
故可设点Q的坐标为(eq \r(3)cs α，sin α)，从而点Q到直线l的距离为
d＝eq \f(|\r(3)cs α－sin α＋4|,\r(2))
＝eq \f(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＋4,\r(2))＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＋2eq \r(2).
由此得，当cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－1时，d取得最小值，且最小值为eq \r(2).