高中数学人教版新课标A选修4-4直线的参数方程课后测评

这是一份高中数学人教版新课标A选修4-4直线的参数方程课后测评，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．将参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋sin2θ，,y＝sin2θ))(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
解析：选C 代入法，将方程化为y＝x－2，但x∈[2,3]，
y∈[0,1]，故选C.
2．参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs2θ，,y＝sin2θ))(θ为参数)表示的曲线是( )
A．直线 B．圆 C．线段 D．射线
解析：选C x＝cs2θ∈[0,1]，y＝sin2θ∈[0,1]，
∴x＋y＝1，(x∈[0,1])为线段．
3．下列参数方程中，与方程y2＝x表示同一曲线的是( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t,y＝t2))(t为参数) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝sin2t,y＝sin t))(t为参数)
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(|t|),y＝t))(t为参数) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1－cs 2t,1＋ct 2t),y＝tan t))(t为参数)
解析：选D A中y有限制y＝t2≥0；B中sin2t和sin t都表示在一定范围内；C中化简不是方程y2＝x，而是x2＝y且有限制条件；代入化简可知选D.
4．曲线的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－\f(1,t)，,y＝1－t2))(t是参数，t≠0)，它的普通方程是( )
A．(x－1)2(y－1)＝1 B．y＝eq \f(xx－2,1－x2)(x≠1)
C．y＝eq \f(1,1－x2)－1(x≠1) D．y＝eq \f(x,1－x2)(x≠±1)
解析：选B 由x＝1－eq \f(1,t)，得eq \f(1,t)＝1－x，由y＝1－t2，得t2＝1－y.
所以(1－x)2·(1－y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)))2·t2＝1，进一步整理得到y＝eq \f(xx－2,1－x2)(x≠1)．
二、填空题
5．参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝sin θ，,y＝cs 2θ))(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________．
解析：由于cs 2θ＝1－2sin2θ，故y＝1－2x2，
即y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)．
答案：y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)
6．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2s＋1，,y＝s))(s为参数)和直线l2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝at，,y＝2t－1))(t为参数)平行，则常数a的值为________．
解析：由直线l1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2s＋1，,y＝s))(s为参数)，消去参数s得l1的普通方程为x－2y－1＝0，
由直线l2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝at，,y＝2t－1))(t为参数)，消去参数t得l2的普通方程为ay－2x＋a＝0，因为l1与l2平行，所以斜率相等，即eq \f(2,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,a)≠eq \f(1,2)，所以a＝4.
答案：4
7．已知直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝－3\r(3)＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为________．
解析：直线的普通方程为y＝eq \r(3)x－4eq \r(3)，
代入圆的方程，得x2－6x＋8＝0，
设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，
∴eq \f(x1＋x2,2)＝3，
∴eq \f(y1＋y2,2)＝3eq \r(3)－4eq \r(3)＝－eq \r(3).
∴A，B的中点坐标为(3，－eq \r(3))．
答案：(3，－eq \r(3))
三、解答题
8．把参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4k,1－k2)，,y＝\f(4k2,1－k2)))(k为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．
解：法一：若x≠0，两式相除，得k＝eq \f(y,x).
代入x＝eq \f(4k,1－k2)，整理，得x2－y2－4y＝0(x≠0)．
若x＝0，则k＝0，可得y＝0.
显然点(0,0)在曲线x2－y2－4y＝0上．
又由y＝eq \f(4k2,1－k2)＝－4－eq \f(4,k2－1)，可知y≠－4.
则方程所表示的曲线是双曲线x2－y2－4y＝0，去掉点(0，－4)．
法二：由y＝－4－eq \f(4,k2－1)，知y≠－4，
所以可解得k2＝eq \f(y,y＋4)，代入x2的表达式，得
x2＝eq \f(16·\f(y,y＋4),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y,y＋4)))2)，整理，得
x2－y2－4y＝0(y≠－4)．
则方程所表示的曲线是双曲线x2－y2－4y＝0，除去点(0，－4)．
法三：∵x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k,1－k2)))2，y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k2,1－k2)))2，
两式相减，并整理，得
x2－y2＝eq \f(4k2·1－k2,1－k22).
∵1－k2≠0，
∴x2－y2＝eq \f(4k2,1－k2)＝4y，
即x2－y2－4y＝0.
∴方程表示双曲线x2－y2－4y＝0，除去点(0，－4)．
9．如图所示，经过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程．
解：圆x2＋y2＝4的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝2sin θ))(θ为参数)．
在此圆上任取一点P(2cs θ，2sin θ)，
PQ的中点为M(2cs θ，sin θ)，
PQ中点轨迹的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)．化成普通方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
10．化下列参数方程为普通方程．
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1－t,1＋t)，,y＝\f(2t,1＋t)))(t∈R且t≠－1)；
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tan θ＋\f(1,tan θ)，,y＝\f(1,cs θ)＋\f(1,sin θ)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ≠kπ，kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
解：(1)变形为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋\f(2,1＋t)，,y＝2－\f(2,1＋t)，))
∴x≠－1，y≠2，
∴x＋y＝1(x≠－1)．
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,sin θcs θ)，①,y＝\f(sin θ＋cs θ,sin θcs θ)，②))
②式平方结合①，得y2＝x2＋2x，
由x＝tan θ＋eq \f(1,tan θ)知|x|≥2.
∴普通方程为(x＋1)2－y2＝1(|x|≥2)．