高中人教版新课标A第二章 参数方程综合与测试当堂检测题

这是一份高中人教版新课标A第二章 参数方程综合与测试当堂检测题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝sin θ，,y＝cs 2θ))(θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( )
A．(2，－7) B．(1,0) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))
解析：选C 由y＝cs 2θ得y＝1－2sin2θ，
∴参数方程化为普通方程是y＝1－2x2(－1≤x≤1)，
当x＝eq \f(1,2)时，y＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(1,2)，故选C.
2．直线x＋y＝0被圆eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs θ，,y＝3sin θ))(θ为参数)截得的弦长是( )
A．3 B．6 C．2eq \r(3) D.eq \r(3)
解析：选B 圆的普通方程为x2＋y2＝9，半径为3，直线x＋y＝0过圆心，故所得弦长为6.
3．过点(3，－2)且与曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs θ，,y＝2sin θ))(θ为参数)有相同焦点的椭圆方程是( )
A.eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1 B.eq \f(x2,152)＋eq \f(y2,102)＝1
C.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,15)＝1 D.eq \f(x2,102)＋eq \f(y2,152)＝1
解析：选A 化为普通方程是：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，焦点坐标为(－eq \r(5)，0)，(eq \r(5)，0)，排除B、C、D.
4．直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－\f(1,\r(5)) t，,y＝－1＋\f(2,\r(5)) t))(t为参数)的斜率是( )
A．2 B.eq \f(1,2) C．－2 D．－eq \f(1,2)
解析：选C 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－\f(1,\r(5)) t， ①,y＝－1＋\f(2,\r(5)) t ②))
①×2＋②得2x＋y－1＝0，∴k＝－2.
5．参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs2θ，,y＝sin θ))(θ为参数)所表示的曲线为( )
A．抛物线的一部分 B．一条抛物线
C．双曲线的一部分 D．一条双曲线
解析：选A x＋y2＝cs2θ＋sin2θ＝1，即y2＝－x＋1.
又x＝cs2θ∈[0,1]，y＝sin θ∈[－1,1]，
∴为抛物线的一部分．
6．当参数θ变化时，动点P(2cs θ，3sin θ)所确定的曲线必过( )
A．点(2,3) B．点(2,0) C．点(1,3) D．点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
解析：选B 令x＝2cs θ，y＝3sin θ，则动点(x，y)的轨迹是椭圆：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，∴曲线过点(2,0)．
7．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋eq \f(\r(2),2)y的最大值为( )
A．2eq \r(6) B．4 C.eq \r(2)＋eq \r(6) D．2eq \r(2)
解析：选D 椭圆为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1，设P(eq \r(6)cs θ，2sin θ)，
x＋eq \f(\r(2),2)y＝eq \r(6)cs θ＋eq \r(2)sin θ＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))≤2eq \r(2).
8．若直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)与圆eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4＋2cs φ，,y＝2sin φ))(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)
解析：选D 直线化为eq \f(y,x)＝tan α，即y＝tan α·x，
圆方程化为(x－4)2＋y2＝4，
∴由eq \f(|4tan α|,\r(tan2α＋1))＝2⇒tan2α＝eq \f(1,3)，
∴tan α＝±eq \f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，∴α＝eq \f(π,6)或eq \f(5π,6).
9．点P(x，y)在椭圆eq \f(x－22,4)＋(y－1)2＝1上，则x＋y的最大值为( )
A．3＋eq \r(5) B．5＋eq \r(5) C．5 D．6
解析：选A 椭圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs θ，,y＝1＋sin θ))(θ为参数)，
x＋y＝2＋2cs θ＋1＋sin θ＝3＋eq \r(5)sin (θ＋φ)，
∴(x＋y)max＝3＋eq \r(5).
10．曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝asin θ＋acs θ，,y＝acs θ＋asin θ))(θ为参数)的图形是( )
A．第一、三象限的平分线
B．以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段
C．以(－eq \r(2)a，－eq \r(2)a)、(－a，－a)为端点的线段和以(a，a)、(eq \r(2)a，eq \r(2)a)为端点的线段
D．以(－eq \r(2)a，－eq \r(2)a)、(eq \r(2)a，eq \r(2)a)为端点的线段
解析：选D 显然y＝x，而x＝asin θ＋acs θ＝eq \r(2)asinθ＋eq \f(π,4)，－eq \r(2)|a|≤x≤eq \r(2)|a|.
故图形是以(－eq \r(2)a，－eq \r(2)a)、(eq \r(2)a，eq \r(2)a)为端点的线段．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．双曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tan θ，,y＝2sec θ))(θ为参数)的渐近线方程为______________．
解析：双曲线的普通方程为eq \f(y2,4)－x2＝1，
由eq \f(y2,4)－x2＝0，得y＝±2x，即为渐近线方程．
答案：y＝±2x
12．圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3sin θ＋4cs θ，,y＝4sin θ－3cs θ))(θ为参数)，则此圆的半径为________．
解析：平方相加得x2＋y2＝9sin2θ＋24sin θcs θ＋16cs 2θ＋16sin 2θ－24sin θcs θ＋9cs 2θ＝25，所以圆的半径为5.
答案：5
13．在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋s，,y＝1－s))(s为参数)和C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t＋2，,y＝t2))(t为参数)，若l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：直线l可化为x＋y－2＝0，①
曲线C可化为y＝(x－2)2，②
联立①②消去y，得x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝eq \r(1＋－12)·eq \r(x1－x22)
＝eq \r(2)|x1－x2|＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)
14．(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝\r(t)))(t为参数)和eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs θ，,y＝\r(2)sin θ))(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝ \r(t)，))得y＝eq \r(x)，又由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs θ，,y＝\r(2)sin θ，))得x2＋y2＝2.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(x)，,x2＋y2＝2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)半径为r的圆沿直轨道滚动，M在起始处和原点重合，当M转过eq \f(5π,3)和eq \f(7π,2)时，求点M的坐标．
解：由摆线方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝rφ－sin φ，,y＝r1－cs φ))可知：
φ＝eq \f(5π,3)时，xM＝eq \f(10π＋3\r(3),6)r，yM＝eq \f(1,2)r，
∴M点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10π＋3\r(3)r,6)，\f(r,2))).
φ＝eq \f(7π,2)时，xM＝eq \f(1,2)r(7π＋2)，yM＝r，
∴点M坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π＋2r,2)，r)).
16．(本小题满分12分)求直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(4,5)t，,y＝－1－\f(3,5)t))(t为参数)被曲线ρ＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))所截的弦长．
解：将方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(4,5)t，,y＝－1－\f(3,5)t，))ρ＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))分别化为普通方程3x＋4y＋1＝0，x2＋y2－x＋y＝0，
圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，
半径为eq \f(\r(2),2)，圆心到直线的距离d＝eq \f(1,10)，
弦长＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(\f(1,2)－\f(1,100))＝eq \f(7,5).
17．(本小题满分12分)已知某曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋2t,y＝at2))，(其中t是参数，a∈R)，点M(3,1)在该曲线上．(1)求常数a；(2)求曲线C的普通方程．
解：(1)由题意可知有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋2t＝3，,at2＝1))故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＝1，,a＝1，))∴a＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋2t，,y＝t2.))
由第一个方程得t＝eq \f(x－1,2)代入第二个方程得y＝(eq \f(x－1,2))2，
即(x－1)2＝4y为所求方程．
18．(本小题满分12分)已知经过A(5，－3)且倾斜角的余弦值是－eq \f(3,5)的直线，直线与圆x2＋y2＝25交于B、C两点．
(1)求BC中点坐标；
(2)求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．
解：(1)直线参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5－\f(3,5)t，,y＝－3＋\f(4,5)t))(t为参数)，
代入圆的方程得t2－eq \f(54,5)t＋9＝0，∴tM＝eq \f(t1＋t2,2)＝eq \f(27,5)，
则xM＝eq \f(44,25)，yM＝eq \f(33,25)，中点坐标为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(44,25)，\f(33,25))).
(2)设切线方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5＋tcs α，,y＝－3＋tsin α))(t为参数)，
代入圆的方程得t2＋(10cs α－6sin α)t＋9＝0.
Δ＝(10cs α－6sin α)2－36＝0，
整理得cs α(8cs α－15sin α)＝0，
cs α＝0或tan α＝eq \f(8,15).
∴过A点切线方程为x＝5,8x－15y－85＝0.
又t切＝－eq \f(b,2a)＝3sin α－5cs α，
由cs α＝0得t1＝3，由8cs α－15sin α＝0，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(8,17)，,cs α＝\f(15,17)，))可得t2＝－3.
将t1，t2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(40,17)，－\f(75,17))).
19．(本小题满分12分)在双曲线x2－2y2＝2上求一点P，使它到直线x＋y＝0的距离最短，并求这个最短距离．
解：设双曲线eq \f(x2,2)－y2＝1上一点P(eq \r(2)sec α，tan α)0≤α＜2π，且α≠eq \f(π,2)，α≠eq \f(3π,2)，
则它到直线x＋y＝0的距离为d＝eq \f(|\r(2)sec α＋tan α|,\r(2))＝eq \f(|\r(2)＋sin α|,\r(2)|cs α|).
于是d2＝eq \f(2＋2\r(2)sin α＋sin2α,2cs2α)，化简得，
(1＋2d2)sin2α＋2eq \r(2)sin α＋2(1－d2)＝0.
∵sin α是实数，
∴Δ＝(2eq \r(2))2－8(1＋2d2)(1－d2)≥0，∴d≥eq \f(\r(2),2).
当d＝eq \f(\r(2),2)时，sin α＝－eq \f(\r(2),2)，
∴α＝eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4)，这时x0＝eq \r(2)seceq \f(5π,4)＝－2，y0＝taneq \f(5π,4)＝1.
或x0＝eq \r(2)seceq \f(7π,4)＝2，y0＝tan eq \f(7π,4)＝－1.
故当双曲线上的点P为(－2,1)或(2，－1)时，
它到直线x＋y＝0的距离最小，这个最小值为eq \f(\r(2),2).
20．(新课标全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4＋5cs t，,y＝5＋5sin t)) (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解：(1)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4＋5cs t，,y＝5＋5sin t))
消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，
得ρ2－8ρcs θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcs θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－8x－10y＋16＝0，,x2＋y2－2y＝0，))
得相交弦方程x＋y－2＝0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2y＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＝1，,y2＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))
所以C1与C2交点的极坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2))).