初中数学人教版九年级下册26.1.1 反比例函数获奖教案设计

这是一份初中数学人教版九年级下册26.1.1 反比例函数获奖教案设计，共12页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观，复习提问，师生活动，课件1展示，课件2展示，课件3展示等内容，欢迎下载使用。

课时1 反比例函数在实际问题中的应用
【知识与技能】
1.能够根据实际问题情景建立反比例函数的模型.
2.能灵活运用反比例函数的意义和性质解决生活实际问题.
【过程与方法】
1.通过探究生活中的实际问题,让学生体会数学建模思想的构建.
2.通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.
【情感态度与价值观】
1.通过将反比例函数的性质灵活应用于实际,让学生体会学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣.
2.通过小组合作交流,提高合作意识,培养创新精神.
3.让学生体会数学知识与现实世界的联系.

从实际问题中建立反比例函数模型,运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.
根据具体实际问题情景建立反比例函数的模型.
多媒体课件.

导入一:
【复习提问】
1.我们学习了反比例函数的哪些内容?
完成下列填空:
(1)反比例函数的定义是 .
(2)反比例函数的图象是 ,当k>0时, ；当k<0时, .
(3)待定系数法求反比例函数解析式的步骤: .
2.前面学习了一次函数、二次函数,类比前面的学习过程,我们将继续探究什么?基本方法有哪些?
3.在实际问题中建立函数模型,求解函数解析式的关键是什么?
【师生活动】 学生独立回答,教师观察学生对本节课的学习内容及基本方法是否了解.
导入二:
【课件1展示】
你吃过拉面吗?知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗?
(1)将体积为20 cm3的面团做成拉面,面条的长度y与面条的粗细(横截面面积)S有怎样的函数关系?
(2)某家面馆的师傅手艺精湛,她拉的面条粗1 mm2,面条总长是多少?
【师生活动】 学生独立完成后,小组交流答案,学生展示结果,教师及时提醒学生注意单位换算,并对结果进行点评.
导入三:
【课件2展示】
市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.
(1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎样的函数关系?
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2,施工队施工时应该向地下掘进多深?
(3)当施工队按(2)中的计划,掘进到地下15 m时,公司临时改变计划,把储存室的深度改为15 m,相应地,储存室的底面积应该改为多少(结果保留小数点后两位)?
[设计意图] 通过复习反比例函数的概念、图象和性质及实际问题中找等量关系列函数解析式,为本节课的学习做铺垫.由学生熟悉的拉面问题及煤气储存室问题导入新课,让学生体会数学与实际问题之间的关系,很自然地构建出新知识,激发学生的学习兴趣和求知欲望.

一、共同探究一
[过渡语] 许多现实生活中存在着反比例函数关系,导入三实际问题中有怎样的反比例关系?让我们一起探讨吧!
思路一
教师提出下列问题,学生思考回答,逐步解决.
(1)圆柱的体积公式是什么?
(2)问题中有哪些量?哪些量是常量?哪些量是变量?
(3)常量和变量之间存在着什么等量关系?
(4)当圆柱体的体积不变时,底面积和高有怎样的函数关系?
(5)已知函数S的值,怎样求自变量d的值?
(6)已知自变量d的值,如何求函数S的值?
【师生活动】 先让学生认真审题,独立思考,再通过设置的小问题,教师引导学生逐步思考,最后建立函数模型解决问题,学生完成解题过程,教师展示课件,纠正学生解题过程中的错误.(详细解题过程见思路二)
思路二
【师生活动】 学生认真审题,独立思考,类比前边学过的一次函数、二次函数解决实际问题的方法,完成该题的解答,然后小组合作交流,讨论疑惑及解题思路和方法,教师巡视中解决学生的质疑,并帮助有困难的学生解决该题,最后小组代表板书解题方法.
解:(1)根据圆柱的体积公式,得Sd=104,
∴S关于d的函数解析式为S=.
(2)把S=500代入S=,得500=,
解得d=20,
∴把储存室的底面积定为500 m2,施工队施工时应该向地下掘进20 m深.
(3)根据题意,把d=15代入S=,得S=,
解得S≈666.67(m2),
∴当储存室的深度改为15 m时,底面积应约改为666.67 m2.
【追问】 (1)在实际问题中求函数解析式的关键是什么?
(2)已知自变量的值求函数值,已知函数值求自变量的值的基本思想是什么?(代入函数解析式,用方程思想求解)
[设计意图] 通过教师引导,学生动手操作,给学生提供解决此类问题的思路,让学生在问题解决的过程中体会反比例函数与实际问题的联系.解决实际问题首先建立函数模型,然后利用函数意义或性质解决问题,培养学生应用反比例函数解决实际问题的能力.
二、共同探究二
【课件3展示】
码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8天时间.
(1)轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度v(单位:吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系?
(2)由于遇到紧急情况,要求船上的货物不超过5天卸载完毕,那么平均每天至少要卸载多少吨?
教师引导学生思考下列问题.
(1)题中的等量关系是什么?
货物的总量= × .
平均卸货速度= ÷ .
(2)如果要求货物5天卸载完毕,那么平均每天要卸载多少吨?
(3)如果要求货物卸载的天数不超过5天的含义是什么?
(4)自变量t越小,对应的函数值v怎样变化?你有几种解决这个问题的方法?
【师生活动】 教师提出问题,学生自主探究后,小组合作交流,共同完成该题的解题过程,教师引导学生写出函数解析式,提示学生用函数图象、函数解析式、方程等多种方法解决问题.
解:(1)设轮船上的货物总质量为k吨,则根据已知条件有k=30×8=240,
所以v与t的函数解析式为v=.
解法1:(2)把t=5代入v=,得v==48.
若全部货物恰好用5天卸载完,那么平均每天卸载48吨.
对于函数v=,
当t>0时,t越小,v越大.这样若货物不超过5天卸载完,则平均每天至少要卸载48吨.
解法2:(2)由v=,得t=. 因为t≤5,所以≤5,又v>0,
所以240≤5v,解得v≥48.
解法3:(2)画出函数v=(t>0)的图象,当t=5时,v=48.
根据反比例函数图象的性质,在第一象限内,v随t的增大而减小,
所以当0 [设计意图] 通过探究实际运输中存在着的反比例函数关系,进一步培养学生建立反比例函数模型的能力,鼓励学生从函数图象、不等式、方程等多角度思考问题,进而把函数、方程、不等式联系起来,培养学生从不同角度看问题,体会数学知识之间的联系,提高用不同方法解决问题的能力.
三、共同归纳
用反比例函数解决实际问题,认真分析题意,通过等量关系,建立反比例函数模型,写出函数解析式,由函数图象和性质解决实际问题.
[知识拓展] (1)在利用反比例函数解决实际问题时,要根据题目的实际意义找到基本的函数关系,再根据需要进行变形或计算.
(2)本节知识用到了转化思想和数学建模思想,如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中的函数关系.
(3)数形结合思想在本节中得到了广泛的应用.
1.从实际问题中获取信息,转化为数学问题,建立反比例函数模型,利用反比例函数知识解决问题.
2.在解决实际问题中,根据题意写出函数解析式是解题的关键.
3.综合运用函数、方程、不等式及数形结合思想解复杂的实际问题.

第1课时
1.共同探究一
2.共同探究二
3.共同归纳

一、教材作业
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各问题,两个变量之间的关系不是反比例关系的是 ( )
A.小明完成100 m赛跑时,时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系
B.菱形的面积为48 cm2时,它的两条对角线的长y(cm)与x(cm)之间的关系
C.一个玻璃容器的容积为30 L时,所盛液体的质量m与所盛液体的密度ρ之间的关系
D.压力为600 N时,压强p与受力面积S之间的关系
2.为了更好保护水资源,造福人类,某工厂计划建一个容积V(m3)一定的污水处理池,池的底面积S(m2)与其深度h(m)满足关系式:V=Sh(V≠0),则S关于h的函数图象大致是 ( )
3.某厂现有300吨煤,这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数解析式为 ( )
A.y=(x>0) B.y=(x≥0)
C.y=300x(x>0) D.y=300x(x≥0)
4.已知矩形的面积为36 cm2,相邻的两条边长为xcm和y cm,则y与x之间的函数图象大致是 ( )
5.长方体的体积为103 m3,底面积为S,高度为d,则S与d之间的函数关系式为 ；当S=500时,d= .
6.某一蓄水池的排水速度v(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象是一支双曲线,图象过点(4,12),则此函数的解析式为 .
7.现有一批赈灾物资从A市运往B市,如果两市之间的路程为500 km,车的速度是x km/h,从A市运往B市所用的时间是y h,那么y与x之间的函数解析式是 ,且y是x的 .
8.将油箱注满k升油后,轿车行驶的总路程s(单位:千米)与平均耗油量a(单位:升/千米)之间是反比例函数关系s=(k是常数,k≠0).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶,可行驶700千米.
(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式.
(2)当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶多少千米?
【能力提升】
9.一个容积为180升的太阳能热水器,工作时间是y分钟,每分钟的排水量为x升,则y与x之间的函数解析式为 ,若热水器持续工作最长时间为1小时,则自变量x的取值范围是 .
10.一块长方体大理石板的A,B,C三个面上的边长如图所示(单位:米),如果大理石板的A面向下放在地上时地面所受压强为m帕,则把大理石板B面向下放在地上,地面所受压强
是 m帕.
11.某商场出售一批进价为2元的贺卡,在市场营销中发现此商品的日销售单价x(单位:元)与日销售量y(单位:个)之间有如下关系:
(1)根据表中数据试确定y与x之间的函数关系式,并画出图象；
(2)设经营此贺卡的销售利润为W元,求出W与x之间的函数关系式.若物价局规定此贺卡的单价最高不能超过10元,请你求出当日销售单价x定为多少元时,才能获得最大日销售利润.
【拓展探究】
12.“保护生态环境,建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动.某化工厂2018年1月的利润为200万元.设2018年1月为第1个月,第x个月的利润为y万元.由于排污超标,该厂决定从2018年1月底起适当限产,并投入资金进行治污改造,导致月利润明显下降, 从1月到5月,y与x成反比例.到5月底,治污改造工程顺利完工,从这时起,该厂每月的利润比前一个月增加20万元(如图).
(1)分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数表达式.(不用写出自变量取值范围)
(2)治污改造工程完工后经过几个月,该厂月利润才能达到2018年1月的水平?
(3)当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期,则该厂资金紧张期共有几个月?
13.某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物实验,首次用于临床人体实验.测得成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药时间x(时)之间的函数关系如图(当4≤x≤10时,y与x成反比).
(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时?
【答案与解析】
1.C解析:根据各小题中两个变量之间的关系列出函数关系式,解析式符合y=(k≠0)的形式即为反比例函数.函数关系式为t=,是反比例函数,A正确；函数关系式为xy=48,y=,是反比例函数,故B正确；函数关系式为m=30ρ,是正比例函数,C错误；函数关系式为p=,是反比例函数,D正确.故选C.
2.C解析:由题意可得S=,且h>0,所以S关于h的函数图象是在第一象限内的反比例函数图象.故选C.
3.A解析:根据题意得xy=300,所以y=,且x>0.故选A.
4.A解析:根据题意,得xy=36,即y=(x>0),是一个反比例函数.故选A.
5.S= 2解析:因为体积V=Sd,所以S==,把S=500代入函数解析式得d=2.故填S=,2.
6.v=(t>0)解析:设函数解析式为v=,把(4,12)代入函数解析式得k=4×12=48,所以所求的函数解析式为v=.故填v=(t>0).
7.y=(x>0) 反比例函数解析:根据路程=速度×时间,得xy=500,所以y=(x>0),y是x的反比例函数.
8.解:(1)由题意得a=0.1,s=700,代入反比例函数关系式,解得k=sa=70,∴函数关系式为s=.
(2)将a=0.08代入s=得s===875,故该轿车可以行驶875千米.
9.y= x≥3解析:工作时间y(分)×每分钟的排水量x(升)=总容量,所以可得出y与x的解析式为y=,热水器可连续工作的最长时间为1小时,即010.3解析:设大理石板的重力为F.由图可知A面的面积=3×6=18(平方米),则F=p·S=18m,因为B面的面积=1×6=6(平方米),所以此时的压强p===3m.故填3.
11.解:(1)y=(x>0),图象略. (2)W=(x-2)y=-+60,因为012.解:(1)设反比例函数为y= , 则=200, 解得k=200, ∴反比例函数的解析式为y=.当x=5时,y=40.设改造工程完工后函数解析式为y=20x+b, 则20×5+b=40,解得b=-60, ∴改造工程完工后函数解析式为y=20x-60.
(2)当y=200时,20x-60=200, 解得x=13.
13-5=8,∴经过8个月,该厂利润才能达到200万元.
(3)当y=100时,=100,解得x=2, 20x-60=100,解得x=8, ∴资金紧张期共有8-2-1=5(个)月.
13.解:(1)由图象可知,当0≤x≤4时,y与x成正比例关系,设y=kx(k≠0).由图象可知,当x=4时,y=8,∴4k=8,解得k=2,∴y=2x(0≤x≤4).又由题意可知,当4≤x≤10时,y与x成反比例关系,设y=(m≠0).由图象可知,当x=4时,y=8,∴m=4×8=32.∴y=(4≤x≤10).即血液中药物浓度上升时y=2x(0≤x≤4)；血液中药物浓度下降时,y=(4≤x≤10).
(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升即y≥4, ∴2x≥4且≥4,解得x≥2且x≤8,∴2≤x≤8,即持续时间为6小时.

本节课是用反比例函数性质解决实际问题,课堂上学生可以体会到数学应用于生活中多个领域,教学过程中,教师不把现成的结论和方法直接告诉学生,而是设计了一系列问题,通过学生合作交流解决问题,激发学生的探索精神和求知欲望,同时营造一种宽松、和谐、积极民主的学习氛围,使每位学生都成为问题的探索者、研究中的发现者,教师不仅仅充当知识传授者的角色,更重要的是培养学生的自学能力和学习习惯,教会他们怎样学习,怎样思考,从而使教学工作收到事半功倍的效果.
本节课的重点是建立函数模型,应用反比例函数求实际问题中的最值,进一步培养数学应用意识,在课堂上虽然有意识让学生主动探索、讨论,寻求问题解决的途径,但是在实施过程中,教师对问题的解决还是急于求成,尤其是学生探索过程中出现困难时,教师急于引导解决,在以后的课堂上,应注意给学生更为广阔的思维空间.
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