高中物理人教版 (新课标)必修24.万有引力理论的成就同步测试题

课时训练11　万有引力理论的成就

题组一　天体质量和密度的计算

1.已知下面的哪组数据,可以算出地球的质量M(引力常量G为已知)(　　)

A.月球绕地球运行的周期T1及月球到地球中心的距离R1

B.地球绕太阳运行的周期T2及地球到太阳中心的距离R2

C.地球绕太阳运行的速度v3及地球到太阳中心的距离R3

D.地球表面的重力加速度g及地球到太阳中心的距离R4

解析:由=mr()2,得M=,所以A项中可以测定地球的质量;我们只能测定中心天体的质量,对于环绕天体的质量,在公式中被消掉了,B、C项均错;由g=,要求地球质量,需知道地球的半径,D项错误。

答案:A

2.地球表面的重力加速度为g,地球的半径为R,引力常量为G,则地球的平均密度为(　　)

A. B. C. D.

解析:由黄金代换式得M=,地球的体积为V=πR3,所以密度ρ=,C项正确。

答案:C

3.若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R,月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r,则太阳质量与地球质量之比为(　　)

A. B.

C. D.

解析:无论地球绕太阳公转,还是月球绕地球运转,统一的公式为G=mr,即M∝,所以,A项正确。

答案:A

4.在某个星球上,宇航员为了估测该星球的平均密度,设计了一个简单的实验:他先利用手表记下一昼夜的时间T,然后用弹簧测力计测一个砝码的重力,发现在赤道上的重力为两极的90%。试写出该星球平均密度的估算表达式。

解析:设星球的质量为M,半径为R,表面重力加速度为g',平均密度为ρ,砝码的质量为m。

砝码在赤道上失重ΔF=(1-90%)mg'=0.1mg',表明在赤道上随星球自转做圆周运动的向心力为Fn=ΔF=0.1mg'。

而一昼夜的时间T就是星球的自转周期。根据牛顿第二定律,有

0.1mg'=m()2R ①

根据万有引力定律,星球表面的重力加速度为

g'=GGπρR ②

联立①②得,星球平均密度的估算表达式为ρ=。

答案:

题组二　双星问题

5.我们银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T,S1到C点的距离为r1,S1和S2的距离为r,已知引力常量为G,由此可求出S2的质量为(　　)

A. B.

C. D.

解析:取S1为研究对象,S1做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得G=m1r1,得m2=,所以选项D正确。

答案:D

6.

经长期观测,人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成,每颗恒星的线度远小于两个星体之间的距离,而且“双星系统”一般远离其他天体。如图所示,两颗星组成的双星,在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L,质量之比为m1∶m2=3∶2,下列说法中正确的是(　　)

A.m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2

B.m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2

C.m1做圆周运动的半径为L

D.m2做圆周运动的半径为L

解析:由于T1=T2,故ω=相同,B错。根据F万=F向,对m1得

G=m1=m1r1ω2 ①

对m2得G=m2=m2r2ω2 ②

又r1+r2=L ③

由①②③得,A错。r1=L,r2=L,C对,D错。

答案:C

题组三　万有引力定律综合应用

7.甲、乙两星球的平均密度相等,半径之比是R甲∶R乙=4∶1,则同一物体在这两个星球表面受到的重力之比是(　　)

A.1∶1 B.4∶1

C.1∶16 D.1∶64

解析:由黄金代换式g=可得g甲∶g乙=(M甲·)∶(M乙·),而M=ρ·πR3。可以推得mg甲∶mg乙=g甲∶g乙=R甲∶R乙=4∶1。故B选项正确。

答案:B

8.宇航员站在一星球表面上某高处,沿水平方向抛出一个小球,经过时间t,小球落到星球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为L,若抛出时的初速度增大为原来的2倍,其他条件不变,则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上,该星球的半径为R,引力常量为G,求该星球的质量M。

解析:

设抛出点的高度为h,则两次空中运动的时间都为t,如图所示。

根据题意有

h2+(v0t)2=L2,h2+(2v0t)2=(L)2。

由以上两式得h2=,又h=gt2(g为行星表面的重力加速度),所以g=,由万有引力定律可知=mg,得M=。

答案:

(建议用时:30分钟)

1.关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实,下列说法中正确的是(　　)

A.天王星和海王星,都是运用万有引力定律,经过大量计算以后而发现的

B.在18世纪已经发现的七颗行星中,人们发现第七颗行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差,于是有人推测,在天王星轨道外还有一颗行星,是它的存在引起了上述偏差

C.第八颗行星,是牛顿运用自己发现的万有引力定律,经过大量计算而发现的

D.天王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶合作研究后共同发现的

解析:天王星是在1781年发现的,而卡文迪许测出引力常量是在1789年,在此之前人们还不能用万有引力定律做有实际意义的计算,选项A错误,选项B正确;太阳的第八颗行星即海王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶各自独立地利用万有引力定律计算出轨道和位置,由德国的伽勒首先发现的,选项C、D错误。

答案:B

2.美国发射的凤凰号火星探测器已经在火星上着陆,正在进行着激动人心的科学探究(如发现了冰),为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动,并测得它运动的周期为T,则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常量)(　　)

A.ρ=kT B.ρ=

C.ρ=kT2 D.ρ=

解析:根据万有引力定律G=mR,可得火星的质量M=,又火星的体积V=πR3,故火星的平均密度ρ=,选项D正确。

答案:D

3.若已知某行星绕太阳公转的半径为r,公转的周期为T,引力常量为G,则由此可求出(　　)

A.该行星的质量 B.太阳的质量

C.该行星的密度 D.太阳的密度

解析:设行星的质量为m,太阳质量为M,由万有引力定律和牛顿第二定律有=m()2r,得M=,因太阳的半径未知,故无法求得密度。

答案:B

4.如图所示,在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力,并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)

A.太阳对各小行星的引力相同

B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年

C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值

D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值

解析:各小行星距太阳远近不同,质量各异,太阳对小行星的引力F引=,选项A错误;地球绕日的轨道半径小于小行星绕日的轨道半径,由=mr得T=2π,显然轨道半径r越大,绕日周期T也越大,地球绕日周期T地=1年,所以小行星绕日周期大于1年,选项B错误;由=ma,a=,可见,内侧小行星向心加速度大于外侧小行星向心加速度,选项C正确;由=m,v=,小行星轨道半径r小大于地球绕日轨道半径r地,v地>v小,选项D错误。

答案:C

5.月球与地球质量之比约为1∶80,有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统,它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动。据此观点,可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为(　　)

A.1∶6 400 B.1∶80

C.80∶1 D.6 400∶1

解析:双星系统中的双星受到的向心力大小相等,设地球的质量和线速度分别为M和v1,月球的质量和线速度分别为m和v2,它们的角速度相同,据此可得Mω2r1=mω2r2,则Mv1ω=mv2ω,联立得,故C项正确。

答案:C

6.有一星球的密度跟地球密度相同,但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍,则该星球质量是地球质量的(　　)

A.4倍 B.8倍 C.16倍 D.64倍

解析:由g=GπRρ,可知g∝R,即该星球半径是地球半径的4倍,由M=ρ·πR3可知该星球的质量是地球质量的64倍。

答案:D

7.(多选)甲、乙两恒星相距为L,质量之比,它们离其他天体都很遥远,我们观察到它们的距离始终保持不变,由此可知(　　)

A.两恒星一定绕它们连线的某一位置做匀速圆周运动

B.甲、乙两恒星的角速度之比为2∶3

C.甲、乙两恒星的线速度之比为

D.甲、乙两恒星的向心加速度之比为3∶2

解析:根据题目描述的这两颗恒星的特点可知,它们符合双星的运动规律,即绕它们连线上某一位置做匀速圆周运动,选项A正确。它们的角速度相等,选项B错误。由m甲a甲=m乙a乙,所以,选项D正确。由m甲ω甲v甲=m乙ω乙v乙,所以,选项C错误。

答案:AD

8.(多选)如图所示,飞行器P绕某星球做匀速圆周运动,星球相对飞行器的张角为θ,下列说法正确的是(　　)

A.轨道半径越大,周期越长

B.轨道半径越大,速度越大

C.若测得周期和张角,可得到星球的平均密度

D.若测得周期和轨道半径,可得到星球的平均密度

解析:根据G=mr,解得T=2π,可知轨道半径越大,周期越长,故A正确。根据G,解得v=,可知半径越大,线速度越小,所以B错误。如果测量出周期,则有M=,如果知道张角θ,则星球半径R与轨道半径r间关系为R=rsin,所以M=πR3ρ=ρ,解得ρ=,故C正确。因为无法计算星球半径,所以无法求出星球的密度,D错误。

答案:AC

9.为了研究太阳演化进程,需知道目前太阳的质量M。已知地球半径R=6.4×106 m,地球质量m=6×1024 kg,日地中心的距离r=1.5×1011 m,地球表面处的重力加速度g取10 m/s2,1年约为3.2×107 s,试估算目前太阳的质量M。(结果保留一位有效数字,引力常量未知)

解析:设T为地球绕太阳运动的周期,根据万有引力提供向心力,即G=m()2r ①

对地球表面的物体m',有m'g=G ②

联立①②两式,解得M=,

代入已知数据得M≈2×1030 kg。

答案:2×1030 kg

10.(1)开普勒行星运动第三定律指出:行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比,即=k,k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理,请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G,太阳的质量为M太。

(2)开普勒定律不仅适用于太阳系,它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立。经测定月地距离为3.84×108 m,月球绕地球运动的周期为2.36×106 s,试计算地球的质量M地。(G=6.67×10-11 N·m2/kg2,结果保留一位有效数字)

解析:(1)G=ma,

又k=,故k=。

(2)G=m月r,M地=,

代入数值解得M地=6×1024 kg。

答案:(1)k=　(2)6×1024 kg