高中物理4.万有引力理论的成就同步练习题

第六章　万有引力与航天

4　万有引力理论的成就

基础过关练

题组一　计算天体的质量

1.(2020福建莆田高三期中)目前,海王星有14颗已知的天然卫星,“海卫一”是其中最大的一颗。若“海卫一”绕海王星的运行轨道视为圆,其轨道半径为r,运行周期为T,将海王星视为质量分布均匀且半径为R的球体,引力常量为G,则海王星的质量为(　　)

A.   B.  C.   D.

2.(2020山西大同一中高一月考)(多选)英国物理学家卡文迪许测出了引力常量G的数值,因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G,地球两极的重力加速度为g,地球半径为R,地球自转周期为T1,地球公转的周期为T2,地球中心到月球中心的距离为L1,地球中心到太阳中心的距离为L2,可估算出(　　)

A.地球的质量m地=    B.太阳的质量m太=

C.月球的质量m月=    D.地球及太阳的密度

3.(2019北京通州高一期末)木星的半径约为R=7.0×107 m。早期伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗卫星,其中“木卫三”离木星表面的高度约为h=1.03×109 m,它绕木星做匀速圆周运动的周期约等于T=6.0×105 s,已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,则木星质量的数量级为(　　)

A.1021 kg      B.1024 kg

C.1027 kg      D.1030 kg

4.(2020河南九师联盟高三联考)某卫星绕地球做匀速圆周运动,t时间内这颗卫星运动的轨迹长为s,这段时间内卫星的运动方向改变了θ角,已知引力常量为G,由此可求得地球的质量为(　　)

A.   B.   C.   D.

5.(2020福建厦门高三期中)一卫星绕某一行星在其表面附近做匀速圆周运动,线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上,用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为N,已知引力常量为G,则这颗行星的质量为(　　)

A.    B.    C.   D.

6.(2020浙江温州选考适应性考试)2019年10月5日,我国在太原卫星发射中心用长征四号丙运载火箭,成功将“高分十号”卫星发射升空。其地面像元分辨率最高可达亚米级,主要用于国土普查、土地确权、路网设计、农作物估产和防灾减灾等领域。“高分十号”卫星绕地球运转的轨道半径是R1、周期是T1,而地球绕太阳运转的轨道半径是R2、周期是T2。若将两者的运转均视为匀速圆周运动,则地球质量与太阳质量之比是　(　　)

A.   B.   C.  D.

7.(多选)2019年4月10日21时,人类首张黑洞照片在全球六地的视界面望远镜发布会上同步发布。该黑洞的质量M和半径R的关系满足:=(其中c为光速,G为引力常量)。若天文学家观测到距黑洞中心距离为r的天体以速度v绕该黑洞做匀速圆周运动,则(　　)

A.该黑洞的质量为

B.该黑洞的质量为

C.该黑洞的半径为

D.该黑洞的半径为

8.2019年10月31日为“2019年国际暗物质日”,当天,中国锦屏实验室和英国伯毕实验室作为两个世界著名暗物质实验室首次进行了公开互动。假设某一行星绕恒星中心转动,行星转动周期的理论值与实际观测值之比=k(k>1)。科学家推测,在以两星球球心连线为半径的球体空间中均匀分布着暗物质,设恒星质量为M,据此推测,暗物质的质量为(　　)

A.k2M      B.4k2M

C.(k2-1)M     D.(4k2-1)M

题组二　计算天体的密度

9.已知月球的半径为1.74×103 km,其表面的重力加速度为1.63 m/s2,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,则月球的平均密度约为(　　)

A.1.1×103 kg/m3    B.2.2×103 kg/m3

C.3.3×103 kg/m3    D.4.4×103 kg/m3

10.(2020辽宁沈阳铁路实验中学高三月考)2019年1月3日上午,嫦娥四号顺利着陆月球背面,成为人类首个成功软着陆月球背面的探测器(如图所示)。地球和月球的半径之比为=a,表面重力加速度之比为=b,则地球和月球的密度之比为(　　)

A.   B.   C.   D.

11.(2020河南三门峡高三期中)假定太阳系一颗质量均匀、可看成球体的小行星,自转原来可以忽略。现若该星球自转加快,角速度为ω时,该星球表面的“赤道”上物体对星球的压力减为原来的。已知引力常量为G,则该星球的密度ρ为(　　)

A.   B.   C.   D.

12.(2020辽宁鞍山高考一模)质量均匀分布的某球形行星的自转周期为T,现在在该行星表面测量一个物体的重力,在该行星的“赤道”附近测量结果为在两极测量结果的,引力常量为G。则该行星的密度为(　　)

A.     B.

C.     D.

13.(2020江西九江一中高二期中)2019年1月3日,“嫦娥四号”成功软着陆在月球背面,并通过“鹊桥”中继星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图,揭开了古老月背的神秘面纱。飞船在月球表面软着陆之前,在靠近月球表面的轨道上运行,若要估算月球的平均密度,唯一需要测量的物理量是(　　)

A.飞船的轨道半径   B.月球的半径

C.飞船的飞行周期   D.飞船的线速度

14.(2019山东潍坊高二期末)天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍,质量是地球的25倍。已知近地卫星绕地球运动的周期约为1.4 h,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,由此估算该行星的平均密度约为(　　)

A.1.8×103 kg/m3    B.5.6×103 kg/m3

C.1.1×104 kg/m3    D.2.9×104 kg/m3

15.(2020山西高考适应性考试)2019年6月25日2时09分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射第46颗北斗导航卫星。目前已有46颗卫星在轨运行,其中每一颗卫星运动的周期会因轨道半径的不同而不同。某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的轨道半径r与周期T作出如图所示图象,则可求得地球的平均密度为(已知引力常量为G,地球的半径为R)(　　)

A.   B.   C.   D.

题组三　发现未知天体

16.下列说法正确的是(　　)

A.海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的

B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的

C.海王星是人们经过长期的太空观测而发现的

D.天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差,其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用,由此人们发现了海王星

17.关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实,下列说法中正确的是(　　)

A.天王星、海王星和冥王星,都是运用万有引力定律,经过大量计算后发现的

B.在18世纪已经发现的7颗行星中,人们发现第七颗行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有一些偏差,于是有人推测,在天王星轨道外还有一颗行星,是它的存在引起了上述偏差

C.海王星是牛顿运用自己发现的万有引力定律,经大量计算而发现的

D.冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国青年天文学家勒维耶合作研究后共同发现的

题组四　双星问题

18.(多选)某国际天文研究小组观测到了一组双星系统,它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动,双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大的星体的表面物质,达到质量转移的目的。根据大爆炸宇宙学可知,双星间的距离在缓慢增大,假设星体的轨道近似为圆,则在该过程中(　　)

A.双星做圆周运动的角速度不断减小

B.双星做圆周运动的角速度不断增大

C.质量较大的星体做圆周运动的轨道半径减小

D.质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大

能力提升练

题组一　计算中心天体的质量和密度

1.(2020湖北宜都二中高一期中,★★☆)在某行星表面附近有一卫星,绕该行星做匀速圆周运动,测得其周期为T,引力常量G已知,则可算出(　　)

A.该行星的质量     B.该行星的直径

C.该行星表面的重力加速度   D.该行星的平均密度

2.(2020湖南师大附中高三月考,★★☆)(多选)已知地球半径为R,地球中心与月球中心之间的距离为r,地球中心与太阳中心之间的距离为s,月球公转周期为T1,地球自转周期为T2,地球公转周期为T3,近地卫星的运行周期为T4,引力常量为G,由以上条件可知正确的选项是(　　)

A.月球公转运动的加速度为

B.地球的密度为

C.地球的密度为

D.太阳的质量为

3.(2020天津南开高三期末,改编,★★☆)“慧眼”卫星于2017年6月15日在酒泉卫星发射中心成功发射。已知“慧眼”卫星绕地球做匀速圆周运动,其轨道半径为r,运动周期为T,地球半径为R,引力常量为G,则下列说法正确的是(　　)

A.地球的平均密度为

B.地球的质量为

C.地球表面的重力加速度大小为

D.“慧眼”卫星的向心加速度大小为

题组二　万有引力定律与运动学知识的综合问题

4.(2020安徽亳州二中高三月考,★★☆)已知火星的半径是地球的a倍,质量是地球的b倍,现分别在地球和火星的表面上以相同的速度竖直上抛小球,不计大气的阻力,则小球在地球上上升的最大高度与在火星上上升的最大高度之比为(　　)

A.b/a    B.b2/a   C.a/b   D.b/a2

5.(2020浙江宁波效实中学高三月考,★★☆)为了探测某星球,某宇航员乘探测飞船先绕该星球表面附近做匀速圆周运动,测得运行周期为T,然后登陆该星球,测得一物体在该星球表面做自由落体运动的时间是在地球表面同一高度处做自由落体运动时间的一半,已知地球表面重力加速度为g,引力常量为G,则由此可得该星球的质量为(　　)

A.   B.   C.   D.

6.(2019辽宁沈阳城郊市重点联合体高一月考,★★☆)宇航员在一行星上以速度v0竖直上抛一个物体,经t时间后落回手中,已知该行星半径为R,要使物体沿水平方向抛出而不再落回星球表面,沿星球表面抛出的速度至少应是(　　)

A.    B.   C.  D.

7.(2020天津耀华中学高二月考,★★★)我国月球探测计划“嫦娥工程”已启动,科学家对月球的探索会越来越深入。

(1)若已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,月球绕地球运动的周期为T,月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动,试求出月球绕地球运动的轨道半径;

(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后,在月球表面某处以速度v0水平抛出一个小球,经过时间t,小球速度和水平方向成45°角。已知月球半径为R月,引力常量为G,试求出月球的质量M月。

题组三　多星问题

8.(2020安徽蚌埠高三月考,★★★)(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的三颗星组成的三星系统。设三星系统中每个星体的质量均为m,半径均为R,三颗星的球心稳定分布在边长为a的等边三角形的三个顶点上。三颗星围绕等边三角形的中心做匀速圆周运动,已知引力常量为G。关于三星系统,下列说法正确的是(　　)

A.三颗星的轨道半径均为a

B.三颗星表面的重力加速度均为

C.一颗星的质量发生变化,不影响其他两颗星的运动

D.三颗星的周期均为2πa

答案全解全析

基础过关练

1.C　海王星对“海卫一”的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力,由万有引力定律可得G=mr,解得M=,选项C正确。

2.AB　在地球两极物体受到的万有引力等于重力,有G=mg,则m地=,故A正确;地球绕太阳公转,根据万有引力提供向心力有=m地L2,解得m太=,故B正确;月球不是中心天体,根据题中条件无法求出月球的质量,故C错误;太阳的半径未知,则无法求解太阳的密度,故D错误。故选A、B。

3.C　“木卫三”绕木星做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力,有G=m(R+h),解得木星的质量M=,代入数据,解得M≈2.2×1027 kg,即木星质量的数量级为1027 kg,C正确。

4.C　由题可知,卫星的线速度v=,卫星的角速度ω=,卫星做圆周运动的半径r=,由G=mω2r=mωv,解得M=,选项C正确。

5.B　根据题意可知N=mg,所以g=。对卫星,根据万有引力提供向心力得G=m'=m'g,解得M=,选项B正确。

6.A　地球绕太阳公转和“高分十号”卫星绕地球运转,均由万有引力提供向心力,则有=,中心天体质量M=,可得地球的质量为M1=,太阳的质量为M2=,则地球质量与太阳质量之比为=,选项A正确。

7.BC　黑洞对天体的万有引力提供天体做圆周运动所需的向心力,则G=m,得M=,选项A错误,B正确;该黑洞的质量M和半径R的关系满足:=,得R=,选项C正确,D错误。

8.C　设球体空间中均匀分布的暗物质质量为m,行星质量为m0,两星球球心距离为R,由万有引力定律得,行星转动周期的理论值满足G=m0R,行星转动周期的观测值满足G=m0R,=k(k>1),解得m=(k2-1)M,选项C正确。

9.C　设某物体的质量为m,月球的半径为R、质量为M,则在月球表面mg'=;由上式可得,月球的质量M=。又M=ρ·πR3,则月球的平均密度ρ== kg/m3=3.35×103 kg/m3,故选C。

10.B　根据=mg以及M=ρ·πR3联立解得ρ=,可得=·=,选项B正确。

11.B　忽略行星自转的影响时,G=mg,自转角速度为ω时,G=mg+mω2R,行星的密度ρ=,解得ρ=,选项B正确。

12.B　在两极,有G=G1,在赤道,有G-G2=mR,因=,解得=,则该行星的密度ρ==,选项B正确。

13.C　飞船在靠近月球表面的轨道上做匀速圆周运动,轨道半径等于月球半径,设为r,根据牛顿第二定律,有G=mr,其中M=ρV=ρ·πr3,联立解得ρ=,G为常数,故需要测量飞船的运行周期T,C正确。

14.D　根据近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供可得G=m()2R,解得地球的质量M=,又根据M=ρ·πR3,得地球的密度ρ地==5.56×103 kg/m3。因为该行星质量是地球的25倍,体积是地球的4.7倍,则其密度ρ行===5.3ρ地≈2.9×104 kg/m3,选项D正确。

15.C　根据G=mr,可得=,结合题图可得=,地球的平均密度为ρ==,解得ρ=,选项C正确。

16.D　人们在长期的观察中发现天王星的实际运动轨道与应用万有引力定律计算出的轨道总存在一定的偏差,所以怀疑在天王星周围还可能存在行星,然后应用万有引力定律,结合对天王星的观测资料,计算出了另外一颗行星的轨道,进而在计算的位置观察到了新的行星,这就是海王星。天王星的发现是观测的结果。故D正确。

17.B　天王星是通过观察发现的,选项A错误;海王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国天文学家勒维耶各自独立地利用万有引力定律计算出轨道,德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现的,选项C、D错误。

18.AD　设质量较大星体的质量为m1、轨道半径为r1,质量较小星体的质量为m2、轨道半径为r2。根据双星运动的角速度、向心力大小相等有m1ω2r1=m2ω2r2,根据万有引力提供向心力有G=m1ω2r1,联立可得ω=,r1=,选项A、D正确,B、C错误。

能力提升练

1.D　根据G=mR得,行星的质量M=,由于行星的半径未知,故无法求出行星的质量,选项A、B错误;根据G=mg,行星表面的重力加速度g==,由于行星的半径未知,故无法求出行星表面的重力加速度,选项C错误;行星的密度ρ===,周期T已知,可以求出行星的平均密度,选项D正确。

2.ACD　月球公转运动的向心加速度为a=rω2=r×()2=,选项A正确;对于地球的近地卫星,有G=mR以及M1=πR3ρ,联立解得ρ=,选项C正确,B错误;研究地球绕太阳公转,利用万有引力提供向心力得G=M1s,解得M=,选项D正确。

3.D　设地球的质量为M,“慧眼”卫星的质量为m,“慧眼”卫星的向心加速度为a,根据万有引力提供向心力可得=m()2r=ma,解得a=,M=,地球的密度为ρ===,选项A、B错误,D正确;设卫星在地面附近转动的周期为T0,则有=mg=m()2R,解得地球表面的重力加速度大小g=,选项C错误。

4.D　根据在星球表面重力等于万有引力,有G=mg,可得g=,故=·=;小球做竖直上抛运动上升的最大高度h=,所以有==,选项D正确。

5.A　在地球上做自由落体运动,有h=gt2,在该星球上做自由落体运动,有h=g't'2,而t'=,解得g'=4g;在该星球表面,根据万有引力提供向心力得G=mg'=m,解得M=,选项A正确。

6.C　设行星表面的重力加速度为g,物体做竖直上抛运动,有t=,可得g=。要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面,设沿星球表面抛出的速度为v,则有mg=m,联立解得v=,选项C正确。

7.答案　(1)　(2)

解析　(1)设地球质量为M,月球绕地球运动的轨道半径为r,根据万有引力提供向心力得=M月r

在地球表面,有=mg

联立解得r=

(2)设月球表面该处的重力加速度为g月,小球的质量为m,根据题意可知

vy=g月t,tan 45°=

在月球表面,有G=mg月

联立解得M月=

8.AD　由几何关系知它们的轨道半径r==a,选项A正确;在星球表面重力等于万有引力m'g=G,解得g=,选项B错误;一颗星的质量发生变化,万有引力大小变化,其他星受到的合力不再指向等边三角形的中心,会影响其他两颗星的运动,选项C错误;任意两个星体之间的万有引力F=G,每一颗星受到的合力F1=F,合力提供它们做匀速圆周运动的向心力,=m,解得T=2πa,选项D正确。