初中数学第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定优秀ppt课件

27.2.1 相似三角形的判定

第4课时 两角分别相等的两个三角形相似

学习目标：1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.

2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. (重点、难点)

3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.

一、知识链接

学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干.  小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？

一、要点探究

探究点1：两角分别相等的两个三角形相似

操作   与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A=∠A′=40°，     ∠B=∠B′=55°，探究下列问题：

问题1    度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？

问题2     试证明△ABC∽△A′B′C′.

证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上，

截取 A′D=AB，过点 D 作 DE // B′C′，交 A′C′ 于点 E，【补全证明过程】

【要点归纳】由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：

两角分别相等的两个三角形相似.

符号语言：∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴ △ABC ∽ △A'B'C'.

【典例精析】

例1    如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °，∠F=60 °．求证：△ABC ∽△DEF.

【针对训练】如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=50°，∠B=75°，∠A' = 50°，当∠C'=         时，△ABC ∽△A'B'C'.

例2     如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB=PC · PD.

证明：连接AC，DB.

∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角，

∴ ∠A= __ ___，

同理 ∠C= ___ ____，

∴ △PAC ∽ △PDB，

∴__    ___ ，即PA ·PB = PC · PD.

【针对训练】如图，⊙O 的弦 AB，CD 交于点 P，若 PA=3，PB = 8，PC = 4，则 PD =      .  

【分析】此图中，没有完整的三角形出现，根据题目给的四条边，可以知道，它们属于       △BCP和△ADP因此连接AD、BC，根据圆周角的性质得到解题所需角度，进而求解

探究点2：判定两个直角三角形相似

例3    如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8.  E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D.  求AD的长.

【要点归纳】由此得到一个判定直角三角形相似的方法：

有一个锐角相等的两个直角三角形相似.

思考   对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等.那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？

证明    如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，∠C′=90°，.

求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.

【要点归纳】由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：

斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.

例4   如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD =，当 AB 的长为        时，△ACB 与△ADC相似．

【分析】观察得到AB和AC分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论

【针对训练】在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.

(1) ∠A=35°，∠B′=55°：           ；

(2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8：          ；

(3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15：             .

二、课堂小结

1. 如图，已知 AB∥DE，∠AFC ＝∠E，则图中相似三角形共有(      )

A. 1对  　　B. 2对      C. 3对  　　D. 4对

第1题图             第2题图            第3题图           第4题图

2. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于    (        )

A.   　　B.       C.   　　D.

3. 如图，点 D 在 AB上，当∠         ＝∠        (或∠       =  ∠        )时，△ACD∽△ABC；

4. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC于点D.  若 AB=6，AD=2，则 BD=        ，AC=         ，BC=          .

5.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.

6. 如图，△ABC 的高 AD，BE 交于点 F．求证：.

7. 如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．

参考答案

合作探究

一、要点探究

探究点1：两角分别相等的两个三角形相似

问题2     解：则有△A′DE ∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′.

∵∠B=∠B′，∴∠A′DE=∠B.

又∵ A′D=AB，∠A=∠A′，∴△A′DE ≌△ABC，∴△ABC∽△A′B′C′ .

【典例精析】

例1    证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ，

∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °.

∵ 在△DEF中，∠E=80 °，∠F=60 °.∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.∴ △ABC ∽△DEF.

【针对训练】 55°

例2     ∠D    ∠B    

【针对训练】6 

探究点2：判定两个直角三角形相似

例3    解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° .又∠C=90 °，∠A=∠A，∴ △AED ∽△ABC.

∴ .∴ .

证明    证明：设= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.

由勾股定理，得，.

∴       

∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.

例4   3 或3

解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD =，

∴.

要使这两个直角三角形相似，有两种情况：

(1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC， 即: 2 =AB :，解得 AB=3；

(2) 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即:=AB :，解得 AB=3．∴ 当 AB 的长为 3 或3 时，这两个直角三角形相似．

【针对训练】(1) 相似   (2)相似   (3) 相似

当堂检测

1. C    2. A

3. ACD         B         ADC         ACB

4. 4        18        6

5.证明: ∵  DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC.  ∴  △ADE∽△EFC.

6. 证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，

∴ ∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE =∠BFD (对顶角相等).

∴ △FEA ∽ △ FDB，∴.

7. 证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE.

∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE，∠DOC =∠AOE（对顶角相等），

∴ ∠C= ∠E.∴ △ABC∽△ADE.