2020-2021学年27.2.1 相似三角形的判定图文课件ppt

27.2.1 相似三角形的判定

第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

学习目标：1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理.

2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算.  (重点、难点)

一、知识链接

1. 回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？

2. 类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？

一、要点探究

探究点1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

操作    利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △A′B′C′，使∠A=∠A′，，量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关系？

思考    改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？

证明     如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，，

求证：△ABC∽△A′B′C′.

证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点D，使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥ B′C′，交 A′C′ 于点 E. 【补全后面的证明过程】

【要点归纳】由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．

符号语言：在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，

∵，∠A=∠A′，∴ △ABC ∽ △A′B′C′  .

思考   对于△ABC和 △A′B′C′，如果∠B= ∠B′，，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.

【结论】如果两个三角形两边成比例，但相等的角不是这两边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一般应是成比例的两边的夹角才能判定相似.

【典例精析】

例1    根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：

∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm，
∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．

【针对训练】在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，

DF = 2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC.

例2    如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE. 

求证：△ABC ∽△ADE.

例3    如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求 DE 的长.

例4   如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且，求证： ∠ACB=90°．

【方法总结】解题时需注意隐含条件，如垂直关系（三角形的高）可转化为90°等.

二、课堂小结

1. 判断

(1) 两个等边三角形相似                                    (      )

(2) 两个直角三角形相似                                    (      )

(3) 两个等腰直角三角形相似                                (      )

(4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似                    (      )

2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使△ABC ∽ △DBA的条件是 (     )

A. AC : BC=AD : BD       B. AC : BC=AB : AD

C. AB2 = CD · BC       D. AB2 = BD · BC

第2题图                 第3题图

3. 如图 △AEB 和 △FEC        (填 “相似” 或 “不相似”) .

4. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求 AD 的长．

5. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC，求证 △ABC ∽△AED. 

拓展提升

6. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，

AD = 6，当 AP 的长度为           时，△ADP 和 △ABC 相似.

参考答案

自主学习

一、知识链接

1. 解：三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL；相似也可以有SAS和HL.

2. 解：能.

合作探究

一、要点探究

探究点1：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

证明    解：∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.∴.

∵ A′D=AB，，∴，∴ A′E = AC .

又 ∠A′ = ∠A.∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.

【典例精析】

例1    解：∵ ，，∴，

又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.

【针对训练】证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，∴.又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.

例2    证明：∵ △ABC 与 △ADE都是等腰三角形，∴ AD =AE，AB = AC，∴，又 ∵∠DAB = ∠CAE，∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，

即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.

例3    解：∵ AE=1.5，AC=2， ∴.又∵∠EAD=∠CAB，

∴ △ADE ∽△ABC，∴，∴.

例4   证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，∴ ∠ADC =∠CDB =90°.

∵，∴△ADC ∽△CDB.∴ ∠ACD =∠B.

∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.

当堂检测

1. (1) √ (2) × (3) × (4) ×     2. D      3. 相似

4. 解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=，∴.

又∵∠B=∠ACD，∴ △ABC ∽ △DCA，∴，∴AD=.          

5. 证明：∵ AB · AD = AE·AC，∴.

又∵ ∠DAB =∠CAE，∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，

即∠DAE =∠BAC，∴ △ABC ∽△AED.  

拓展提升

6.  4 或 9

解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP  : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，解得 AP = 9；

当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4.

∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和 △ABC 相似．