2021年人教版九年级下册27.2《相似三角形》同步练习 含答案

2021年人教版九年级下册27.2《相似三角形》同步练习

一．选择题

1．下列各组图形一定相似的是（　　）

A．有一个角相等的等腰三角形       B．有一个角相等的直角三角形 

C．有一个角是100°的等腰三角形   D．有一个角是对顶角的两个三角形

2．在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（　　）

A． B． C． D．

3．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（　　）

A． B． C． D．

4．已知△ABC∽△A′B′C′，，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　）

A． B． C． D．

5．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G．若AD＝2，DF＝4，BC＝3，则BE的长为（　　）

A． B． C．12 D．9

6．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（　　）

A．∠D＝∠B B．＝ C．＝ D．∠E＝∠C

7．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（　　）

A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m

8．如图，△ABC中，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC边于点E，N是BC边上一点，连接AN交DE于点M，则下列结论错误的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

二．填空题

9．如果两个相似三角形的周长之比为1：4．那么这两个三角形对应边上的高之比为　   　．

10．如图，有一个池塘，要测量池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一点O，从点O不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使＝＝3，测得CD＝36m，则池塘两端AB的距离为　   　m．

11．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为　   　．

12．如图，AB、CD都是BD的垂线，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，则BP的长是　   　．

13．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为　   　．

14．如图所示，在△ABC中D为AC边上一点，请你添加一个条件，使△ABC和△BCD相似，你所添加的条件是　   　．

15．如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点，F是边BC上异于B，C的一点．

（1）若△ADE∽△ECF，则∠AEF＝　   　；

（2）若△ADE∽△ECF，则＝　   　；

（3）当CF与BC满足数量关系　   　时，△ADE∽△ECF．

16．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2020个正方形的面积为　   　．

三．解答题

17．如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE．

18．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD＝6，DF＝3，BC＝5，求BE的长．

19．如图，已知AC∥FE∥BD，求证：+＝1．

20．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，求树高AB．

21．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm，他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？

22．如图，矩形ABDE中，AB＝3cm，BD＝7cm，点C在边ED上，且EC＝1cm，点P在边BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PD的长．

23．如图，AC为▱ABCD的对角线，作∠ABE＝∠ACB，BE交边AD于点E，交AC于点F．

（1）求证：AE2＝EF•BE；

（2）若EF＝1，E是边AD的中点，求边BC的长．

24．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

参考答案

一．选择题

1．解：A．若一个等腰三角形的底角和一个等腰三角形的顶角相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误；

B．两个直角三角形中直角相等，则两锐角的大小无法确定，无法判定两三角形相似，故本选项错误；

C．一个角为100°，则这个角必须是顶角，且两底角度数为40°，故两个三角形三内角均相等，即可判定两三角形相似，故本选项正确；

D．对顶角相等的三角形中，其他两个角的度数不确定，故无法判定两三角形相似，故本选项错误，

故选：C．

2．解：∵三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，

∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，

∴原三角形与缩印出的三角形是面积比为9：1，

∴缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的，

故选：C．

3．解：∵＝，

∴＝，

∵DE∥AB，

∴＝＝，

故选：A．

4．解：∵△ABC∽△A′B′C′，，

∴△ABC与△A′B′C′的面积比＝（）2＝，

故选：C．

5．解：∵AB∥CD∥EF，

∴，

∴，

∵AD＝2，DF＝4，BC＝3，

∴，

∴BE＝9，

故选：D．

6．解：∵∠1＝∠2，

∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，

即∠DAE＝∠BAC．

A和D符合有两组角对应相等的两个三角形相似；

B、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似；

C、符合两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似．

故选：B．

7．解：由题意可得：FC∥DE，

则△BFC∽BED，

故＝，

即＝，

解得：BC＝3，

则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），

∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，

∴∠FBC＝∠GBA，

又∵∠FCB＝∠GAB，

∴△BGA∽△BFC，

∴＝，

∴＝，

解得：AG＝1.2（m），

故选：A．

8．解：∵DE∥BC，

∴，△ADM∽△ABN，△AME∽△ANC，

∴，＝，

∴，

故选：D．

二．填空题

9．解：∵两个相似三角形的周长之比为1：4，

∴这两个三角形的相似比为1：4，

∴两个相似三角形对应边上的高之比1：4；

故答案为：1：4．

10．解：∵＝＝3，∠AOB＝∠COD，

∴△AOB∽△COD，

∴＝＝＝3，

∵CD＝36m，

∴AB＝3CD＝108米．

故答案为：108．

11．解：∵DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，

∴＝，即＝，

解得，AE＝6，

∴AC＝AE+EC＝8，

故答案为：8．

12．解：设BP＝x，则PD＝14﹣x，

当△ABP∽△PDC时，＝，即＝，

解得，x1＝2，x2＝12，

当△ABP∽△CDP时，＝，即＝，

解得，x＝，

综上所述，当所得两个三角形相似时，则BP的长为2或12或，

故答案为：2或12或．

13．解：∵DE∥FG∥BC，

∴AD：DF：FB＝AE：EG：GC，

∵AD：DF：FB＝3：2：1，

∴AE：EG：GC＝3：2：1，

设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，

∵AG＝15，

∴3x+2x＝15，

解得：x＝3，

即AE＝9，EG＝6，GC＝3，

∴EC＝EG+GC＝6+3＝9，

故答案为：9．

14．解：∵∠C＝∠BCD，

∴当∠A＝∠CBD或∠CDB＝∠ABC时，△ABC∽△BCD．

故答案是：∠A＝∠CBD或∠CDB＝∠ABC（答案不唯一）．

15．解：（1）∵△ADE∽△ECF，

∴∠AED＝∠EFC，

∵∠C＝90°，

∴∠EFC+∠FEC＝90°，

∴∠AED+∠FEC＝90°，

∴∠AEF＝90°．

故答案为：90°；

（2）∵△ADE∽△ECF，

∴，

∵正方形ABCD中，E为CD的中点，

∴CE＝＝AD，

∴．

故答案为：2．

（3）当BC＝4CF时，△ADE∽△ECF．

∵BC＝4CF，BC＝CD，CE＝CD，

∴，

∵，

∴，

又∵∠D＝∠C＝90°，

∴△ADE∽△ECF．

故答案为：BC＝4CF．

16．解：∵正方形ABCD的点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），

∴OA＝1，OD＝2，AD＝，，

延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，

∴△AA1B∽△DAO，

∴，

∵AD＝AB＝，

∴A1B＝，

∴第1个正方形的面积为：S1＝A1C2＝（+）2＝5•（）2；

同理可得，A2C2＝（+）2

第2个正方形的面积为：S2＝5•（）4

…

∴第2020个正方形的面积为：S2020＝5•（）4038．

故答案为：5•（）4038．

三．解答题

17．证明：∵∠FEC＝90°，

∴∠AEF+∠DEC＝90°，

∵ABCD是矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，

∵∠A+∠AFE+∠AEF＝180°，

∴∠AFE+∠AEF＝90°，

∴∠DEC＝∠AFE，

又∵∠A＝∠D，

∴△AEF∽△DCE．

18．解：∵AB∥CD∥EF，

∴，

即，

解得CE＝2.5，

∴BE＝BC+CE＝5+2.5＝7.5．

19．证明：∵AC∥EF，

∴，

∵FE∥BD，

∴，

①+②，得：，

即．

20．解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，

∴△DEF∽△DCB，

∴，

∵DF＝50cm＝0.5m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝20m，

由勾股定理得DE＝＝40cm，

∴，

∴BC＝15米，

∴AB＝AC+BC＝1.5+15＝16.5（米），

答：树高AB是16.5米．

21．解：如图，AB＝20cm，OF＝15cm，CD＝5cm，

∵AB∥CD，EF⊥AB

∴EF⊥CD，

∴△OAB∽△ODC，

∴＝，即＝，

解得OE＝60cm．

答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方．

22．解：∵四边形ABDE为矩形，AB＝3cm，BD＝7cm，EC＝1，

∴DC＝DE﹣CE＝BA﹣CE＝2cm，BD＝AE＝7cm．

设DP＝xcm，则BP＝（7﹣x）cm．

∵∠B＝∠D＝90°，

∴存在两种情况．

①当△CDP∽△ABP时，＝，

即＝，

∴x＝；

②当△PDC∽△ABP时，＝，

即＝，

整理，得：x2﹣7x+6＝0，

解得：x1＝1，x2＝6．

∴当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，PD的长为cm或1cm或6cm．

23．证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

∵∠ACB＝∠ABE，

∴∠EAF＝∠EBA，

∵∠AEF＝∠BEA，

∴△EAF∽△EBA，

∴EA：EB＝EF：EA，

∴AE2＝EF•BE；

（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD＝BC，

∵E是边AD的中点，

∴BC＝2AE，

∵AE∥BC，

∴△EAF∽△BCF，

∴＝＝，

∴BF＝2EF＝2，

∴BE＝3，

∵AE2＝EF•BE＝1×3＝3，

∴AE＝，

∴BC＝2AE＝2．

24．解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，

∴AB＝＝5，

则BP＝t，AQ＝2t，AP＝5﹣t，

∵∠PAQ＝∠BAC，

当＝时，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝；

当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝；

答：t为s或s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．