初中数学人教版七年级下册8.4 三元一次方程组的解法导学案

这是一份初中数学人教版七年级下册8.4 三元一次方程组的解法导学案，共8页。学案主要包含了教学目标，教法指导，教学过程等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】


知识技能:①了解三元一次方程组的含义。


②学会解三元一次方程组。


过程方法:①通过观察、猜想、类比等活动，提高学生的观察能力，发展学生类比学习的能力。


②经过三元一次方程组的解法学习，让学生体会化归思想。


情感态度价值观:①通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神


②在数学活动中获得成功，提高学生的学习兴趣。


【教法指导】


本节课是人教版九年制义务教育七年级下册第八章《二元一次方程组》的最后一个课时，本节课是在学生学习了二元一次方程组及其解法的基础上，让学生通过类比方法学习三元一次方程组，设计的实际问题的未知数越来越多，数量关系也越来越复杂，解法步骤也相应的更加，更强调了化未知为已知的思想。由浅入深，循序渐进，引导学生观察、猜测，逐步培养学生的观察推理能力.为以后多元次的方程学习奠定的基础。


【教学过程】


☆导入新课☆


我们在前几节课学习了二元一次方程组，你还记得这些内容吗？什么是二元一次方程组？解二元一次方程组有哪几种方法 ？它们的实质是什么？


☆探究新知☆


我们来看看下面这个题目


小明有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张？


请同学们找一找题目中有几个未知数？含有几个相等关系？


答：这个问题中包含3个未知数，1元、2元、5元纸币各多少张；3个相等关系（如下）


1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张


1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍


1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元


你能根据上面的等式列出方程组吗？


答：设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、 z张，根据题意可以得到下面三个方程:


x+y+z=12,


x+2y+5z=22,


x=4y.


你能说出上面三个方程有什么特点吗？你能给它们命名吗？


答：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，我们称为三元一次方程。


这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把三个方程用大括号合在一起，写成





对比二元一次方程组的定义，你能给上面的方程组命名吗？并指出它们的异同点？


答：三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程。


它们的区别在于：三元一次方程组中含有三个未知数，并且一共有三个方程组成；而二元一次方程组中含有二个未知数，并且一共有二个方程组成.相同之处是：每个方程中含未知数的项的次数都是1的整式方程.


①


如何解上面的三元一次方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法呢？


③


②


答：


把方程③分别代入①②，得





解这个方程组, 得





把y=2，z=2代入③，得x=8.


因此, 三元一次方程组的解为





这种称为代入法


①


除了代入法，能不能用加减消元法来解答呢？


②


③


答：


①×5-②, 得


4x+3y=38 ④


③与④组成方程组, 得





解这个方程组, 得





把x=8,y=2代入①, 得z=2.


因此，三元一次方程组的解为


.


通过上面的学习，你能归纳出解三元一次方程组的基本思路吗？


答：解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程，这与解二元一次方程组的思路是一样的。


思考：如何选择简捷的方法来解三元一次方程组呢？


答：解题前要认真观察各方程的系数特点，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．


☆尝试应用☆


在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝－2；当x＝－1时，y＝20；当与时，y的值相等，则a＝________，b＝________，c＝________．


【答案】6 －11 3





解：根据题意，可得方程组





由③得11a＋6b＝0④，②－①得－2b＝22，


解得b＝－11，将b＝－11代入④得a＝6，


再将a＝6，b＝－11代入①得c＝3．


故原方程组的解为


考点：三元一次方程组


☆能力提升☆


解下列方程组


（2）[来源:学§科§网Z§X§X§K]


【答案】（1）；（2）．


【解析】


分析：怎样能求出两个方程的解呢？两方程组利用加减消元法求出解即可．


解：（1），


②-①×2得：x=6，


将x=6代入①得：y=-3，


则方程组的解为；


（2），


①+②得：4x+y=16④，


②+③得：2x+3y=18⑤，


⑤×2-④得：5y=20，即y=4，


将y=4代入④得：x=3，


将x=3，y=4代入①得：z=5，


则方程组的解为．


考点：1.解二元一次方程组；2.解三元一次方程组．


☆课堂小结☆


含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。


解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程，这与解二元一次方程组的思路是一样的。


（3）如何选择简捷的方法来解三元一次方程组？解题前要认真观察各方程的系数特点，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．


☆课堂提高☆


1．下列四组数值中，为方程组的解是（ ）


A、 B、 C、 D、


【答案】D


考点：解三元一次方程组


2．下列是三元一次方程组的是（ ）


A．


B．


C．


D．


【答案】D


【解析】


A选项未知数最高次数是2，所以不是三元一次方程组；B选项含有未知数式子不是整式，所以不是三元一次方程组;C选项未知数的最高次数是3，所以不是三元一次方程组．


故选D．


考点：三元一次方程组


3．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需630元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需840元，现购甲、乙、丙各一件共需 元.


【答案】210


【解析】


试题分析：三元一次方程组.根据题意可得z=2y，则x+y+z=x+3y=840－630=210元.


考点：三元一次方程组的应用


4．王老师骑自行车在环城公路上匀速行驶，每隔6分钟有一辆环湖大巴从对面向后开过，每隔30分钟又有一辆环湖大巴从后面向前开过，若环湖大巴也是匀速行驶，且不计乘客上、下车的时间，那么起点站每隔 分钟开出一辆环湖大巴。


【答案】10


考点：三元一次方程组的应用．


5．若甲、乙两数的和为a，乙、丙两数的和为b，甲、丙两数的和为c，则甲、乙、丙三个数的和为________．


【答案】


【解析】


设甲、乙、丙三个数分别为x，y，z．


根据题意，可得方程组


①＋②＋③得：2x＋2y＋2z＝a＋b＋c，2（x＋y＋z）＝a＋b＋c，，故甲、乙、丙三个数的和为


考点：三元一次方程组


6.某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家的电话号码？


【答案】82616144.


解析：设前3位数为x，第4位数为y，后4位数为z


，


∴1111y-x=285，


∵100≤x≤999，0≤y≤9，1000≤z≤9999，


∴y=1，x=826，z=6144，


∴电话号码是100000x+10000y+z=82616144．[来源:ZXXK]


考点：三元一次方程组