考点03 空间几何体的表面积、体积1-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）

考点03 空间几何体的表面积、体积1
1.（2020春•秦淮区期末）设P，A，B，C是球O表面上的四个点，若PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，且PA＝PB＝PC＝2，则球O的体积为（　　）
A．48π B．4π C．12π D．32π

【解答】解：P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，
即三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝2，
它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，
正方体的对角线的长2R＝，
所以半径为，所以球的体积V＝＝，
故选：B．
【知识点】球的体积和表面积

2.（2020•宜宾模拟）某圆锥的三视图如图，△ABC是边长为2的等边三角形，P为AB的中点，三视图中的点C，P分别对应圆锥中的点M，N，则在圆锥侧面展开图中M，N之间的距离为（　　）

A． B．3 C． D．5

【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为圆锥AO，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，
沿母线AB剪开再展开，则在此圆锥的侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为|MN1|，
由圆锥底面周长为2πr＝2π＝2π，
再由弧长公式可得L＝αR＝2α＝πrl＝2π，展开后是半径为2的半圆，
则|MN1|＝＝＝；
故选：C．
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题、简单空间图形的三视图

3.（2020秋•沙坪坝区校级期中）如图，球面上有A、B、C三点，∠ABC＝90°，BA＝BC＝3，球心O到平面ABC的距离是，则球体的体积是（　　）

A．72π B．36π C．18π D．8π

【解答】解：由题意，∠ABC＝90°，∠ABC＝90°，BA＝BC＝3，则AC＝3，
球心到平面ABC的距离为，正好是球心到AC的中点的距离，
所以球的半径是：＝3，
球的体积是：π•33＝36π，
故选：B．
【知识点】球的体积和表面积

4.（2020•河南模拟）在三棱锥P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．

【解答】解：如图，取PB中点M，连结CM，
∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，
AC⊂平面ABC，AC⊥BC，
∴AC⊥平面PBC，
设点A到平面PBC的距离为h＝AC＝2x，
∵PC＝BC＝2，PB＝2x，（0＜x＜2），M为PB的中点，
∴CM⊥PB，CM＝，
解得＝，
VA﹣PBC＝＝，
设t＝，（0＜t＜2），则x2＝4﹣t2，
∴VA﹣PBC＝＝，（0＜t＜2），
关于t求导，得，令V′（t）＝0，解得t＝或t＝﹣（舍），
由V（t）单调性得当t＝时，（VA﹣PBC）max＝．
故选：D．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积、平面与平面垂直

5.（2020•太原二模）三棱锥P﹣ABC中．AB⊥BC，△PAC为等边三角形，二面角P﹣AC﹣B的余弦值为，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π．则三棱锥体积的最大值为（　　）
A．1 B．2 C． D．

【解答】解：如图所示，
过点P作PE⊥面ABC，垂足为E，过点E作ED⊥AC交AC于点D，连接PD，
则∠PDE为二面角P﹣AC﹣B的平面角的补角，即有cos∠PDE＝，
易知AC⊥面PDE，则AC⊥PD，而△PAC为等边三角形，
∴D为AC中点，
设AB＝a，BC＝b，AC＝＝c，
则PE＝PDsin∠PDE＝×c×＝，
故三棱锥P﹣ABC的体积为：V＝×ab×＝≤×＝，
当且仅当a＝b＝时，体积最大，此时B、D、E共线．
设三棱锥P﹣ABC的外接球的球心为O，半径为R，
由已知，4πR2＝8π，得R＝．
过点O作OF⊥PE于F，则四边形ODEF为矩形，
则OD＝EF＝，ED＝OF＝PDcos∠PDE＝，PE＝，
在Rt△PFO中，（）2＝，解得c＝2．
∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为：．
故选：D．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积

6.（2020•湖北模拟）已知P，A，B，C是半径为3的球面上四点，其中PA过球心，，则三棱锥P﹣ABC的体积是（　　）
A． B．2 C． D．

【解答】解：∵P，A，B，C是半径为3的球面上四点，
其中PA过球心，，
∴由余弦定理得cosB＝＝﹣，∴B＝120°，
设△ABC外接圆的半径为r，
则由正弦定理，得＝＝2r，解得r＝2．
∴球心到平面ABC的距离d＝＝＝．
∴三棱锥P﹣ABC的体积：
V＝＝＝．

故选：D．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积

7.（2020•山东模拟）我国古代数学名著《九章算术•商功》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，如图为一个堑堵ABC﹣DFE，AB⊥BC，AB＝6，其体积为120，若将该“堑堵”放入一个球形容器中，则该球形容器表面积的最小值为（　　）

A．100π B．108π C．116π D．120π

【解答】解：设BC＝a，BF＝b，
则该“堑堵”的体积V＝S△ABC•BF＝＝120，
整理，得ab＝40，
要使“堑堵”放入球形容器，则该球的半径不小于“堑堵”的外接球半径，
设其外接球的半径为R，
∵在堑堵ABC﹣DFE中，BA，BC，BF两两垂直，
∴堑堵ABC﹣DFE外接球的一条直径是以BA，BC，BF为相邻三条棱的长方体的体对角线，
即2R＝＝，
∵a2+b2≥2ab＝80，（当且仅当a＝b时，取等号），
∴外接球的表面积S＝4πR2≥116π，
∴球形容器的表面积最小值为116π．
故选：C．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、棱柱、棱锥、棱台的体积

8.（2020•安徽模拟）已知四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线BD＝8（如图1），现以AC为折痕将菱形折起，使点B达到点P的位置．棱AC，PD的中点分别为E，F，且四面体PACD的外接球球心落在四面体内部（如图2），则线段EF长度的取值范围为（　　）

A．（，4） B．（1，） C．（，6） D．

【解答】解：如图，由题意可知△APC的外心O1 在中线PE上，
设过点O1 的直线l1⊥平面APC，可知l1⊂平面PED，
同理△ADC的外心O2在中线DE上，设过点O2的直线l2⊥平面ADC，
则l2⊂平面PED，由对称性知直线l1，l2的交点O在直线EF上．
根据外接球的性质，点O为四面体APCD的外接球的球心．
由题意得EA＝3，PE＝4，而O1A2＝O1E2+EA2，O1A+O1E＝PE＝4，
∴O1E＝．
令∠PEF＝θ，显然0＜θ＜，∴EF＝PEcosθ＝4cosθ＜4．
∵cosθ＝＝，∴OE•EF＝O1E•PE＝，
又OE＜EF，∴EF2＞，即EF＞．
综上所述，＜EF＜4．
∴线段EF长度的取值范围为（ ，4）．
故选：A．

【知识点】球的体积和表面积

9.（2020•安徽模拟）如图，在平面四边形ABCD中，满足AB＝BC，CD＝AD，且AB+AD＝10，BD＝8．沿着BD把ABD折起，使点A到达点P的位置，且使PC＝2，则三棱锥P﹣BCD体积的最大值为（　　）
A．12 B．12 C． D．

【解答】解：过点P作PE⊥BD于E，连结CE，
由题意知△BPD≌△BCD，CE⊥BD，且PE＝CE，
∴BD⊥平面PCE，
∴VP﹣BCD＝VB﹣PCE+VD﹣PCE＝＝，
∴当S△PCE最大时，VP﹣BCD取得最大值，
取PC的中点F，则EF⊥PC，
∴S△PCE＝•EF＝，
∵PB+PD＝10，BD＝8，∴点P在以BD为焦点的椭圆上，
∴PE的最大值为对应短半轴长，
∴PE最大值为＝3，∴S△PCE最大值为2，
∴三棱锥P﹣BCD体积的最大值为．
故选：C．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积

10.（2020•梅州一模）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体OABC各顶点坐标分别为：O（0，0，0），A（0，0，2），B（，0，0），C（0，，0）．假设蚂蚁窝在O点，一只蚂蚁从O点出发，需要在AB，AC上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（　　）
A．2 B． C． D．2

【解答】解：将四面体OABC沿着OA剪开，展开后如下图所示，

最短路径就是△AOO'的边OO'，
∵O（0，0，0），A（0，0，2），B（ ，0，0），C（0，，0），
∴AO＝2，BO＝，AB＝AC＝，BC＝，
由余弦定理知，在△OAB中，cos∠OAB＝＝＝，
∴∠OAB＝30°＝∠O'AC，
在△ABC中，cos∠BAC＝＝＝，
∴sin∠BAC＝＝，
∴cos∠OAO'＝cos（∠BAC+∠OAB+∠O'AC）＝cos（∠BAC+60°）
＝cos∠BAC•cos60°﹣sin∠BAC•sin60°＝×﹣×＝．
在△AOO'中，OO'2＝AO2+AO'2﹣2AO•AO'cos∠OAO'
＝4+4﹣2×2×2×＝5+，
∴OO'＝．
故选：C．
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题

11.（2020秋•江西月考）已知正四棱锥O﹣ABCD中，底面边长为2，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为（　　）
A． B．9π C．4π D．π

【解答】解：过点O作OH⊥平面ABCD，则球心在直线OH上，设球心为M，外接球半径为R，如图所示：
，
∵四棱锥O﹣ABCD为正四棱锥，∴点H为AC与BD的交点，
∴HD＝，
∵在Rt△OHD中，OD＝，HD＝，∴OH＝1，
在Rt△MHD中：MD＝R，HD＝，MH＝OH﹣OM＝1﹣R，
∴R2＝2+（1﹣R）2，解得R＝，
∴该四棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝＝9π，
故选：B．
【知识点】球的体积和表面积

12.（2020•江西模拟）已知正四面体A﹣BCD外接球的表面积为12π，则该正四面体的表面积为（　　）
A． B． C． D．

【解答】解：设外接球半径为R，则S＝4πR2＝12π，解得，
将正四面体A﹣BCD恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线，
故，解得，
故该正四面体的表面积为，
故选：C．

【知识点】球内接多面体、球的体积和表面积

13.（2020•黄山一模）如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【解答】】解：设球的半径为R，圆锥底面半径为r，上面圆锥的高为h，则下面圆锥的高为2R﹣h，
在△OO1C中，有R2＝r2+（R﹣h）2，得r2＝2Rh﹣h2．
两个圆锥体积和为V1＝＝（2Rh﹣h2）
球的体积V2＝．
由题意，＝＝．
所以4h2﹣8Rh+3R2＝0，即h＝．
所以下面的圆锥的高为．
则这两个圆锥高之差的绝对值为||＝R＝6．
故选：C．

【知识点】球的体积和表面积

14.（2020•重庆模拟）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，球O的半径为4，△ABC是边长为6的等边三角形，记△ABC的外心为O1．若三棱锥P﹣ABC的体积为，则PO1＝（　　）
A． B． C． D．

【解答】解：由题意可得：S△ABC＝＝9，O1A＝2，O1O＝2．
设点P到平面BAC的高为h，由＝×h×9，解得h＝4．
∴点P所在小圆⊙O2（⊙O1与⊙O2所在平面平行）上运动，OO2＝2．
∴O2P＝2．
∴PO1＝＝2．
故选：D．

【知识点】球的体积和表面积

15.（2020•安庆二模）已知矩形ABCD，AB＝2AD＝4，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使∠AEB＝120°，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为（　　）
A． B．5π C．10π D．20π

【解答】解：折起的如图所示，其中O1，O2分别为正方形AEFD和BCFE的中心，
O为过A，B，C，D，E，F六点的球的球心，G为EF中点，
则OO1，OO2分别垂直于这两个平面，且∠OGO1＝∠OGO2＝60°，
所以，
而，
所以，
所以球的表面积为4π•OA2＝20π．
故选：D．

【知识点】球的体积和表面积

16.（2020秋•浙江月考）已知正四面体ABCD的棱长为1，M为棱CD的中点，则二面角M﹣AB﹣D的余弦值为　　；平面MAB截此正四面体的外接球所得截面的面积为　　．

【解答】解：如图，

∵M为棱CD的中点，∴AM⊥CD，BM⊥CD，
又AM∩BM＝M，∴CD⊥平面AMB，
则∠AMB为二面角A﹣CD﹣B的平面角，由对称性，可知二面角C﹣AB﹣D的平面角等于∠AMB．
由正四面体ABCD的棱长为1，可得，
则cos（∠AMB）＝，
∵平面AMB平分二面角C﹣AB﹣D，∴二面角M﹣AB﹣D的余弦值＝cos（∠AMB）＝；
设△BCD的外心为G，连接AG，求得BG＝BM＝，AG＝，
设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则，解得R＝．
∵平面MAB过正四面体ABCD的外接球的球心，
∴平面MAB截此正四面体的外接球所得截面的面积为．
故答案为：；．
【知识点】二面角的平面角及求法、球的体积和表面积

17.（2020秋•红塔区校级期中）已知△ABC是等腰直角三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，且O到平面ABC的距离为，则△ABC的面积是　　．

【解答】解：如图，不妨设∠BAC＝90°，

等腰直角△ABC的三个顶点都在球O的球面上，设△ABC的外心为O1，
连接OO1，OA，OB，OC，
∵球O的表面积为16π，∴4π•OA2＝16π，得OA＝2，
又O到平面ABC的距离为，即，∴，
可得BC＝2，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴AB＝AC＝，
得．
故答案为：1．
【知识点】球的体积和表面积、点、线、面间的距离计算

18.（2020•天津模拟）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上一点，且C1P＝2PC．设三棱锥P﹣D1DB的体积为V1，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V，则的值为　　．


【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的体积V＝DC×BC×DD1，
∴三棱锥P﹣D1DB的体积为V1＝×BC＝．
∴则的值为．
故答案为：．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积

19.（2020•安徽模拟）已知在三棱锥A﹣BCD中，A，B，C，D四点均在以O为球心的球面上，若AB＝AC＝AD＝2，CD＝2，∠CBD＝60°，则球O的表面积为　　．

【解答】解：设球的半径为R，过A作AO1⊥平面BDC，垂足为O1，连接O1B，O1C，O1D；

由AB＝AC＝AD可得O1B＝O1C＝O1D；
即O1为△BCD的外心，
所以球心在射线AO上，
在△BCD中，CD＝2，∠CBD＝60°，
∴△BCD的外接圆半径满足：2r＝＝＝4⇒r＝2；
∴AO1＝＝4；
连接OB，则R2＝（4﹣R）2+r2⇒R＝．
故球O的表面积为：S＝4πR2＝25π．
故答案为：25π．
【知识点】球的体积和表面积

20.（2020•肇庆三模）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，△ABD沿对角线BD翻折，形成三棱锥A﹣BCD．
①当时，三棱锥A﹣BCD的体积为；
②当面ABD⊥面BCD时，AB⊥CD；
③三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为定值．
以上命题正确的是　　　．

【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，
∴AC＝BD＝＝，
△ABD沿对角线BD翻折，形成三棱锥A﹣BCD．
在①中，AB＝CD＝1，AD＝BC＝2，
∵AC＝，∴AC2+CD2＝AD2，∴AC⊥CD，CD⊥BC，
∴CD是锥体D﹣ABC的高，同理AB⊥AC，
∴VA﹣BCD＝VD﹣ABC＝
＝＝，故①错误；
在②中，当面ABD⊥面BCD时，过点A作AE⊥平面BCD，交BD于E，
则AE⊥CD，又CD与平面ABD不垂直，故AB与CD不垂直，故②错误；
在③中，∵OA＝OB＝OC＝OD＝，
∴三棱锥A﹣BCD外接球的球心为O，半径为，
∴三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为定值．故③正确．
故答案为：③．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积、球的体积和表面积、直线与平面垂直

21.（2020•深圳模拟）已知一圆柱内接于一个半径为的球内，则该圆柱的最大体积为　　　．

【解答】解：作出轴截面如右．
设圆柱体的底面半径为r，
则球心到底面的距离（即圆柱高的一半）为d，
则d＝，
则圆柱的高为h＝2，
则圆柱的体积V＝πr2h＝2πr2＝πr2＝π≤π＝4π，
当且仅当r2＝6﹣2r2，即r＝时，
圆柱的体积取最大值，且为4π．
故答案为：4π．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体

22.（2020•渭南一模）在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为6的等边三角形，△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的体积为　　　　　　　．

【解答】解：如图，
在等边三角形ABC中，取AB中点F，设其中心为O，
由AB＝6，得CO＝CF＝×3＝2．
∵△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴F为△PAB的外心，则O为棱锥P﹣ABC的外接球球心，
则外接球半径R＝OC＝2．
∴该三棱锥外接球的体积为π（2）3＝32π．
故答案为：32π．

【知识点】球的体积和表面积

23.（2020•晋中模拟）现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A﹣BCD，如图所示，已知∠DAB＝，∠BAC＝，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为　　　　；该三棱锥体积的最大值为　　　　　　．


【解答】解：由题意，∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∠DAB＝，∠BAC＝，AB＝10，∴AD＝，BD＝5，AC＝BC＝．
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AB，则球的半径为5，
故球的表面积为S＝4π×52＝100π；
当点C到平面ABD的距离最大时，三棱锥A﹣BCD的体积最大，此时平面ABC⊥平面ABD，
且点C到平面ABD的距离d＝5，
∴＝．
故答案为：100π；．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积

24.（2020•马鞍山三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点．
（1）证明：BE⊥平面PAD；
（2）若PA＝AB＝2，求四棱锥P﹣ABCD的侧面积．


【解答】证明：（1）如图，连接BD，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，

∴△ABD是正三角形．
∵E为AD的中点，
∴BE⊥AD．①
又∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，
∴BE⊥PA，②
又∵AD∩PA＝A，③
由①②③知：BE⊥平面PAD． ……………．（6分）
（2）连接AC，易得AC＝2，
在Rt△PAB中，PB＝2，
∵PA＝2，AC＝2，PA⊥AC，
∴PC＝4，
在△PBC中，由余弦定理得cos∠PBC＝＝＝﹣，
∴sin∠PBC＝，
从而S△PBC＝PB•BC•sin∠PBC＝＝，
又∵S△PAD＝PA•AD＝×2×2＝2，
由对称性知：S△PAD＝S△PAB，S△PCD+S△PBC，
∴四棱锥P﹣ABCD的侧面积S＝2S△PAD+2S△PCD＝4+2．…．……．……．……．（12分）
【知识点】直线与平面垂直、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

25.（2020秋•运城月考）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，CD＝2AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝，M为PC中点．
（1）求证：平面PBC⊥平面BMD；
（2）求三棱锥D﹣BMP的体积．


【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD中，BD＝，cos∠BDC＝cos∠DBA＝，
在△BCD中，由余弦定理得BC＝，
∵PB＝，PD＝2，∴△PCD，△PCB是等腰三角形，
∴PC⊥MD，PC⊥MB，
∵BM、DM⊂平面BDM，且BM∩DM＝M，
∴PC⊥平面MDB，
∵PC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面BMD．
（2）解：由题意得P到平面BCD的距离是PA，
M到平面BCD的距离是P到平面BCD的距离的，
∴三棱锥D﹣BMP的体积为：
VD﹣BMP＝VD﹣BMC＝VM﹣BCD＝＝．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积、平面与平面垂直

26.（2020•深圳模拟）如图，四边形ABCD为长方形，AB＝2BC＝4，E、F分别为AB、CD的中点，将△ADF沿AF折到△AD'F的位置，将△BCE沿CE折到△B'CE的位置，使得平面AD'F⊥底面AECF，平面B'CE⊥底面AECF，连接B'D'．
（1）求证：B'D'∥平面AECF；
（2）求三棱锥B'﹣AD'F的体积．


【解答】解：（1）证明：作D′M⊥AF于M，作B′N⊥EC于点N，
∵AD′＝D′F＝2，B′C＝B′E＝2，∠AD′F＝∠CB′E＝90°，
∴M，N为AF，CE的中点，且，
∵平面AD′F⊥底面AECF，平面AD′F∩底面AECF＝AF，
D′M⊥AF，D′M⊂平面‘F，∴D′M⊥底面AECF，
同理：B′N⊥底面AECF，∴D′M∥B′N，
∴四边形D′B′NM是平行四边形，∴B′D′∥MN，
∵B′D′⊄平面AECF，MN⊂平面AECF，∴B′D′∥平面AECF．
（2）解：设点B′到平面AD’F的距离为h，连结NF，
∵D′M∥B′N，D′M⊂平面AD′F，B′N⊄平面AD′F，
∴B′N∥平面AD′F，
∴B′到平面AD′F的距离与点N到平面AD′F的距离相等，
∵N为CE中点，EF＝2，∴NF⊥CE，
∵AF∥CE，∴NF⊥AF，
∵平面AD′F⊥底面AECF＝AF，NF⊂底面AECF，
∴NF⊥平面AD′F，
∴点N到平面AD′F的距离为NF＝，
∴点B′到平面AD′F的距离h＝，
∵S△AD′F＝，
∴三棱锥B'﹣AD'F的体积VB′﹣AD′F＝＝＝．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积、直线与平面平行

27.（2020•晋中模拟）已知三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，PB⊥平面ABC，且PB＝AB＝4，EC∥PB且，D为PA的中点．
（1）求证：直线DE∥平面ABC；
（2）求多面体A﹣BCEP的体积．


【解答】解：（1）设AB的中点为G，连接DG，CG，则DG∥PB，，
又EC∥PB且，
所以EC∥DG且EC＝DG，所以四边形DGCE为平行四边形，
所以DE∥GC，又因为DE⊄平面ABC，GC⊂平面ABC，
所以DE∥平面ABC．
（2）取BC中点F，连接AF．因为EC∥PB，
所以PBCE在同一平面上，所以多面体ABCEP是四棱锥A﹣BCEP，
因为PB⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，所以PB⊥AF，
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F是BC的中点，所以AF⊥BC，
所以AF⊥平面PBCE，即AF是四棱锥A﹣PBCE的高，
已知PB＝AB＝4，所以，EC＝2，，
所以．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积、直线与平面平行

28.（2020•郑州三模）如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°．
（Ⅰ）若平面ABCD⊥平面AEBF，证明平面BCF⊥平面ADF；
（Ⅱ）问在线段EC上是否存在一点G，使得BG∥平面CDF，若存在，求出此时三棱锥G﹣ABE与三棱锥G﹣ADF的体积之比．


【解答】解：（1）证明：∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，
又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF＝AB，
∴BC⊥平面AEBF，
又∵AF⊂平面AEBF，∴BC⊥AF．
∵∠AFB＝90°，即AF⊥BF，且BC、BF⊂平面BCF，BC∩BF＝B，
∴AF⊥平面BCF．
又∵AF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面BCF．
（2）解：∵BC∥AD，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF．
∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，
∴∠FAB＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，又AF⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF，
∵BC∩BE＝B，∴平面BCE∥平面ADF．
延长EB到点H，使得BH＝AF，又BC AD，连CH、HF，
由题意能证明ABHF是平行四边形，
∴HFABCD，∴HFDC是平行四边形，∴CH∥DF．
过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BG∥CH∥DF，（DF⊂平面CDF）
∴BG∥平面CDF，即此点G为所求的G点．
又BE＝＝2AF＝2BH，∴EG＝，又S△ABE＝2S△AEF，
VG﹣ABE＝＝＝＝＝，
故＝．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积、平面与平面垂直

29.（2020•衡阳二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是等边三角形，BC⊥AB，BC＝CD＝2，AB＝AD＝2．
（1）若PC＝4，求三棱锥P﹣ABC的体积；
（2）若PB＝3BE，则在线段BC上是否存在一点F，使平面AEF∥平面PCD．若存在，求线段BF的长；若不存在，请说明理由．


【解答】解：（1）因为△PAB是等边三角形，AB＝2，
所以PB＝2．又因为PC＝4，，
所以PC2＝PB2+BC2，所以BC⊥PB．
又BC⊥AB，AB，PB⊂平面PAB，AB∩PB＝B，
所以BC⊥平面PAB．
所以三棱锥P﹣ABC的体积．
（2）在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD．此时．
理由如下：
如图，作EF∥PC，交BC于F，连接AF．
因为PB＝3BE，所以E是PB的三等分点，可得．
因为AB＝AD＝2，，AC＝AC，
所以△ABC≌△ADC，因为BC⊥AB，所以∠ABC＝90°，
因为，
所以∠ACB＝∠ACD＝30°，所以∠BCD＝60°，
因为，所以∠AFB＝60°，所以AF∥CD，
因为AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AF∥平面PCD．
又EF∥PC，EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD．
因为AF∩EF＝F，AF、EF⊂平面AEF，所以平面AEF∥平面PCD．
所以在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD．此时．

【知识点】平面与平面平行、棱柱、棱锥、棱台的体积

30.（2020春•顺德区月考）如图，已知多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为矩形，AA1⊥底面ABC，B1C1∥BC，BC＝2B1C1，A1C1⊥C1B1，M为BC的中点．
（1）A1B与AB1相交于点O，证明：OM∥平面A1C1C；
（2）若A1C1＝1，AB＝2，A1C⊥A1B，求该多面体的体积．


【解答】解：（1）证明：如图，连结A1B，AB1，OM，
∵四边形ABB1A1为矩形，∴O为A1B中点，
∴OM∥A1C，
∵OM⊄平面A1C1C，A1C⊂平面A1C1C，
∴OM∥平面A1C1C．
（2）解：如图，连结C1M，AM，由题意知AM⊥BC，AM＝1，AB＝2，
∴∠ABC＝，
设AA1＝h，∵AM⊥BC，M为BC中点，
∴AC＝AB＝2，
∵A1C⊥A1B，∴，
∴（4+h2）×2＝12，解得h＝，
∴该多面体的体积为：
V＝+＝＝．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积、直线与平面平行

31.（2020•金安区校级模拟）已知四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，且AD∥BC，BC＝2AD＝，F为AC，BD的交点，点E在平面ABCD内的投影为点F．
（1）AF⊥ED；
（2）若AF＝EF，求三棱锥D﹣ABE的体积．


【解答】（1）证明：依题意，△AFD∽△CBF，则，
又∵AB＝1，BC＝，
∴AD＝，AC＝，
在Rt△BDA中，，
∴AF＝，
在△ABF中，∵，
∴∠AFB＝90°，即AC⊥BD；
∵EF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥EF；
又∵BD∩EF＝F，BD⊂平面BDE，EF⊂平面BDE，
∴AC⊥平面BDE，
∵ED⊂平面BDE，故AC⊥ED，即AF⊥ED；
（2）解：依题意，．

【知识点】直线与平面垂直、棱柱、棱锥、棱台的体积

32.（2020•邯郸模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AB＝AD＝1，AB∥CD，AB⊥AD，点E为PC的中点，平面ABE交侧棱PD于点F，且四边形ABEF为平行四边形．
（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；
（2）当PC＝CD时，求四棱锥P﹣ABEF的体积．


【解答】解：（1）证明：∵ABEF是平行四边形，∴ABEF，
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵E是PC中点，∴2EF＝CD，
∴CD＝2AB＝2，
∵BD＝，∴∠BDC＝45°，∴BD⊥BC，
∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥BD，
∵PC∩BC＝C，∴BD⊥平面PBC，
∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PBC．
（2）解：由（1）知CD＝2AB＝2，
∴PC＝2，∴EF＝PE＝1，∴，
∵AD⊥DC，由PC⊥底面ABCD，得AD⊥PC，∴AD⊥平面PCD，
∴点A到平面PCD的距离为1，
∴四棱锥P﹣ABEF的体积：
VP﹣ABEF＝2VP﹣AEF＝2VA﹣PEF＝2×＝．

【知识点】平面与平面垂直、棱柱、棱锥、棱台的体积

33.（2020•内蒙古模拟）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝2，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF．
（1）求实数λ的值；
（2）求三棱锥F﹣EBC的体积．


【解答】解：（1）连接AC，设AC∩BE＝G，则平面SAC∩平面EFB＝FG，
∵SA∥平面EFB，∴SA∥FG，
∵△GEA∽△GBC，∴，
∴，得SF＝，即；
（2）∵SA＝SD＝2，∴SE⊥AD，SE＝4．
又∵AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，∴BE＝2．
∴SE2+BE2＝SB2，则SE⊥BE．
∴SE⊥平面ABCD，
∴＝．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积