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第10讲 解三角形综合(分层训练)-2022年春季高一数学辅导讲义（苏教版2019必修第二册）
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基础组
一、选择题
1．(2020秋•田家庵区校级月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2csinA=3a，c=3，角C是锐角，则△ABC周长的最大值为( )
A．3+3；B．3+1；C．3+2；D．33
【答案】D．
【解析】由正弦定理，得2sinCsinA=3sinA，又sinA≠0，所以sinC=32，又C是锐角，所以C=π3，
由正弦定理，得asinA=bsinB=csinC=332=2，可得
a+b＝2(sinA+sinB)=2[sin(π-π3-B)+sinB]=23(12csB+32sinB)=23sin(π6+B)，
当π6+B=π2，即B=π3时，a+b取得最大值23，所以△ABC周长的最大值为33．
2．(2020•靖远县模拟)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=3，bsinB+csinC=asinA+csinB，则△ABC的周长的最大值是( )
A．33；B．3+3；C．23+6；D．4+3
【答案】A．
【解析】∵a=3，bsinB+csinC=asinA+csinB，∴由正弦定理可得：b2+c2﹣a2＝bc，
∴csA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，∵A∈(0，π)，∴A=π3，∴由a=3，结合正弦定理得：
asinA=bsinB=csinC=332=2，∴b＝2sinB，c＝2sinC，则
a+b+c=3+2sinB+2sinC=3+2sinB+2sin(2π3-B)=3+3sinB+3csB=3+23sin(B+π6)，
当sin(B+π6)＝1时，即B=π3时，a+b+c取得最大值．可知周长的最大值为33．
3．(2020秋•南阳期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinB+2sinAcsC＝0，则csB的最小值为( )
A．2；B．3；C．32；D．33
【答案】C．
【解析】∵sinB+2sinAcsC＝0，∴由正弦定理及余弦定理得：b+2a•a2+b2-c22ab=0，可得：
a2+2b2﹣c2＝0，又csB=a2+c2-b22ac=3a2+c24ac=3a4c+c4a≥32，当且仅当3a4c=c4a，即ca=3时取等号，
即csB的最小值为32．
4．(2020秋•陕西月考)在△ABC中，B=π3，且△ABC的面积为93，则△ABC外接圆的半径的最小值是( )
A．23；B．6；C．43；D．12
【答案】A．
【解析】由三角形的面积公式可得12acsinB=34ac=93，则ac＝36．由余弦定理可得
b2＝a2+c2﹣2accsB≥2ac﹣ac＝ac＝36，即b≥6，则△ABC外接圆的半径
R=b2sinB≥62×32=23(当且仅当a＝c＝6时，等号成立)．
5．(2020秋•河南月考)在△ABC中，若sin2(A+B)＝4sinAsinBcsC，则角C的余弦值的最小值为( )
A．16；B．36；C．13；D．33
【答案】C．
【解析】因为sin2(A+B)＝4sinAsinBcsC，所以sin2C＝4sinAsinBcsC，可得
c2＝4ab×a2+b2-c22ab=2(a2+b2﹣c2)，所以2(a2+b2)＝3c2，所以csC=a2+b2-c22ab=a2+b26ab≥2ab6ab=13，
当且仅当a＝b时等号成立，所以角C的余弦值的最小值为13．
6．(2020春•衢州期末)已知△ABC的面积为23，A=π3，则4sinC+2sinBsinC+2sinB+sinBsinC的最小值为( )
A．6-12；B．6+12；C．6-1；D．6+1
【答案】B．
【解析】令sinBsinC=bc=x，则
4sinC+2sinBsinC+2sinB+sinBsinC=4+2x1+2x+x＝1+31+2x+x=12+3212+x+(12+x)≥12+23212+x⋅(12+x)=12+6，
当且仅当3212+x=(12+x)，即x=6-12时等号成立．
7．(2020•吉林四模)a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知bsinA＝(3b﹣c)sinB，则b2ac的最小值为( )
A．54；B．74；C．43；D．53
【答案】C．
【解析】由bsinA＝(3b﹣c)sinB及正弦定理可得，ab=3b2-bc，所以3b=a+c≥2ac，
当且仅当a＝c时取等号，所以3b≥2ac，则b2ac≥43．
8．(2020秋•大通县期末)已知锐角△ABC三边长分别为x，5，x+1，则实数x的取值范围为( )
A．(1，2)；B．(2，3)；C．(25，2)；D．(2，5)
【答案】A．
【解析】因为锐角△ABC三边长分别为x，5，x+1， 由题意有x2+(x+1)2-52x(x+1)＞0x2+5-(x+1)225x＞0，解得1＜x＜2．
二、填空题
9．(2020•浙江模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csinA+3acsC＝0，则角C＝______；若∠ACB的角平分线交AB于点D，且CD＝1，则ab的最小值是______．
【答案】120°；4．
【解析】因为csinA+3acsC＝0，所以sinCsinA+3sinAcsC＝0，因为sinA≠0，
所以sinC+3csC＝0，即tanC=-3，因为0＜C＜π，所以C＝120°；
如图所示，即12ab⋅sin120°=12b⋅1⋅sin60°+12a⋅1⋅sin60°，整理可得ab＝b+a，所以ab≥2ab，
解得ab≥4，当且仅当a＝b时取等号，故ab的最小值为4．
10．(2020秋•曾都区校级月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=π3，b+c＝2a，则1tanB+1tanC的最小值为______．
【答案】233．
【解析】因为A=π3，b+c＝2a，由正弦定理可得sinB+sinC＝2sinA=3，即sinB+sinC=3，所以
1tanB+1tanC=csBsinB+csCsinC=csBsinC+sinBcsCsinBsinC=sinB+CsinBsinC=sinAsinBsinC=32sinBsinC≥32⋅(sinB+sinC2)2
=32×(32)2=233，当且仅当sinB＝sinC，即B＝C时取等号，所以1tanB+1tanC的最小值为233．
11．(2020秋•沙坪坝区校级月考)已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b+2c=4ccs2B2，则ba+(cb)2的最小值为______．
【答案】3．
【解析】由余弦定理得a+b+2c=2c(1+csB)=2c+2c×a2+c2-b22ac=2c+a2+c2-b2a，
所以ab+b2＝c2，则(cb)2=ab+b2b2=ab+1，∴ba+(cb)2=ba+ab+1≥2ba×ab+1=3，
当且仅当ba=ab即a＝b时等号成立，所以ba+(cb)2的最小值为3．
12．(2021•四模拟)若△ABC为锐角三角形，且满足sin2B﹣sin2A＝sinAsinC，则sinB的取值范围为______．
【答案】(32，1)．
【解析】△ABC为锐角三角形，且满足sin2B﹣sin2A＝sinAsinC，由正弦定理和余弦定理得：
b2﹣a2＝ac，整理得b2＝a2+ac＝a2+c2﹣2accsB，化简得：a＝c﹣2acsB，由正弦定理得：
sinA＝sinC﹣2sinAcsB，转换为sinA＝sin(A+B)﹣2sinAcsB＝sin(B﹣A)，由于三角形为锐角三角形，
所以A＝B﹣A，故2A＝B，由于π2＜A+B＜π，0＜B＜π2，所以π3＜B＜π2，故32＜sinB＜1．
故sinB的取值范围为(32，1)．
13．(2021•桃城区校级模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinBsinC=2-csB2+csC，且c=2，则△ABC外接圆半径的最小值为______．
【答案】3-1．
【解析】由sinBsinC=2-csB2+csC，得2sinB+sinBcsC=2sinC-sinCcsB，即sinA+2sinB=2sinC，
所以由正弦定理得a+2b=2c，所以csC=a2+b2-c22ab=3a2+2b2-22ab8ab≥6-24，
所以sinC≤6+24，设△ABC外接圆半径为R，因此2R=csinC≥2(3-1)，
所以R≥3-1，即外接圆半径的最小值为3-1．
14．(2021•揭阳模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝2，a2＝2b2+c2，则△ABC的面积的最大值______．
【答案】23．
【解析】因为a2＝2b2+c2，由余弦定理可得b²+c²﹣2bccsA＝2b2+c2，化简得csA=-b2c，
则sinA=4c2-b22c，则△ABC的面积
S=12bcsinA=b4c2-b24=3b4c2-b212≤9b2+4c2-b224=4(2b2+c2)24=a26=46=23，
当且仅当3b=4c2-b2时等号成立，故△ABC的面积的最大值为23．
三、解答题
15．(2021•广东模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4，(a﹣c)sinA＝(b﹣c)(sinB+sinC)．
(1)求角B；
(2)求△ABC周长的最大值．
【答案】(1)π3；(2)12．
【解析】(1)由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，∵(a﹣c)sinA＝(b﹣c)(sinB+sinC)，
∴(a﹣c)a＝(b﹣c)(b+c)，整理得a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理知，csB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12，
∵B∈(0，π)，∴B=π3．
(2)由(1)知，B=π3，∴A+C=2π3，由正弦定理知，asinA=csinC=bsinB=4sinπ3=83，
∴a=83sinA，c=83sinC，
∴a+c=83(sinA+sinC)=83[sinA+sin(2π3-A)]=83(sinA+32csA+12sinA)
=83(32sinA+32csA)=83×3sin(A+π6)＝8sin(A+π6)，
∵A∈(0，2π3)，∴A+π6∈(π6，5π6)，当A+π6=π2，即A=π3时，a+c取得最大值，为8，
∴a+b+c≤8+4＝12，故△ABC周长的最大值为12．
16．(2021•三模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2sin2(B+C)﹣sinBsinC＝2(sinB﹣sinC)2．
(1)求sinA；
(2)若a＝2 2，求△ABC面积的最大值．
【答案】(1)74；(2)27．
【解析】(1)∵2sin2(B+C)﹣sinBsinC＝2(sinB﹣sinC)2，
∴2sin2A﹣sinBsinC＝2(sin2B﹣2sinBsinC+sin2C)，∴sin2B+sin2C﹣sin2A=32sinBsinC，
由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，∴b2+c2﹣a2=32bc，由余弦定理知，csA=b2+c2-a22bc=32bc2bc=34，
∵A∈(0，π)，∴sinA=1-cs2A=74．
(2)由(1)知，b2+c2﹣a2=32bc，∴b2+c2＝a2+32bc＝8+32bc≥2bc，∴bc≤16，当且仅当b＝c＝4时，
等号成立，∴△ABC面积S=12bc•sinA≤12×16×74=27，故△ABC面积的最大值为27．
17．(2021春•新疆月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3asinB=2bcs2B+C2．
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的中线AD＝2，求△ABC面积的最大值．
【答案】(1)2π3；(2)43．
【解析】(1)依题意有3asinB=2bcs2B+C2=(1-csA)b．∴3sinAsinB=(1-csA)sinB，
又sinB≠0，∴3sinA=1-csA，又sin2A+cs2A＝1，解得：sinA=32，csA=-12，
∵A∈(0，π)，∴A=2π3．
(2)∵|AD→|=|AB→+AC→2|=2，∴|AB→+AC→|=4，即
|AB→|2+|AC→|2+2|AB→||AC→|cs2π3=|AB→|2+|AC→|2-|AB→||AC→|=16≥|AB→||AC→|，
∴(|AB→||AC→|)max=16，当且仅当|AB→|=|AC→|=4时成立，
∴△ABC面积的最大值为S=12|AB→||AC→|sinA＝43．
18．(2020秋•南阳期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinAcsC+sinB＝0．
(1)求角B的最大值；
(2)当角B最大时，若b＝6，求△ABC的面积．
【答案】(1)π6；(2)93．
【解析】(1)方法一：由2sinAcsC+sinB＝0，根据正弦定理和余弦定理得：2a⋅a2+b2-c22ab+b=0，
∴a2+2b2﹣c2＝0，b2=c2-a22，∴csB=a2+c2-b22ac=3a2+c24ac=3a4c+c4a≥32，
当且仅当3a4c=c4a，即ca=3时取等号，即csB取最小值32．从而B有最大值π6．
方法二：由2sinAcsC+sinB＝0，可得2sinAcsC+sin(A+C)＝0，化简得：tanC＝﹣3tanA，
于是tanB=-tan(A+C)=-tanA+tanC1-tanAtanC=2tanA1+3tan2A=21tanA+3tanA≤33．
当且仅当tanA=33，即A=π6时取等号，从而B有最大值π6．
方法三：由于sin(A+C)＝sinAcsC+csAsinC，sin(A﹣C)＝sinAcsC﹣csAsinC；
所以2sinAcsC＝sin(A+C)+sin(A﹣C)，于是sinB=12sin(C-A)≤12，当且仅当C-A=π2时取等号．
此时，B=π6，A=π6，C=2π3，符合题意．即B有最大值π6．
(2)由(1)可知，B=π6，且c=3a，又b＝6，又由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，
得62=a2+3a2-2×a×3a×32，得a＝6所以c=63，
所以△ABC的面积S=12acsinB=12×6×63×12=93．
提高组
一、选择题
1．(2020秋•河南月考)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2asinC=3c，a＝1，则△ABC的周长取得最大值时△ABC的面积为( )
A．34；B．2；C．3；D．4
【答案】A．
【解析】由正弦定理知，asinA=csinC，∵2asinC=3c，∴2sinAsinC=3sinC，∵sinC≠0，∴sinA=32，
∵△ABC为锐角三角形，∴A=π3，B+C=2π3．∵bsinB=csinC=asinA=132=23，∴b=23sinB，c=23sinC，
∴△ABC的周长为
1+23sinB+23sinC＝1+23sinB+23sin(2π3-B)＝1+23sinB+23(sin2π3csB﹣cs2π3sinB)
＝1+23sinB+23(32csB+12sinB)＝1+23sinB+csB+13sinB＝1+3sinB+csB＝1+2sin(B+π6)，
当B=π3，即△ABC为等边三角形时，△ABC的周长取得最大值，此时△ABC的面积
S=12acsinB=12×1×1×sinπ3=34．
2．(2021•三模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2+ac﹣b2＝0，则cs2A2-3sinC2csC2的取值范围为( )
A．(34，334)；B．(14，34)；C．(34，1]；D．(34，32)
【答案】B．
【解析】△ABC中，由a2+c2+ac﹣b2＝0，得a2+c2﹣b2＝﹣ac，由余弦定理得
csB=a2+c2-b22ac=-ac2ac=-12；又B∈(0，π)，所以B=2π3；由题意得
cs2A2-3sinC2csC2=12(csA+1)-32sinC=12csA-32sin(π3-A)+12=12csA-32(32csA-12sinA)+12
=-14csA+34sinA+12=12sin(A-π6)+12；又0＜A＜π3，所以-π6＜A-π6＜π6，所以-12＜sin(A-π6)＜12，
所以14＜12sin(A-π6)+12＜34，即cs2A2-3sinC2csC2的取值范围是(14，34)．
3．(2020•合肥三模)在△ABC中，若1sinA+1sinB=2(1tanA+1tanB)，则( )
A．C的最大值为π3；B．C的最大值为2π3；C．C的最小值为π3；D．C的最小值为π6
【答案】A．
【解析】由题可知，1sinA+1sinB=2(1tanA+1tanB)=2(csAsinA+csBsinB)，
∴sinB+sinA＝2(sinBcsA+csBsinA)＝2sin(A+B)＝2sinC，由正弦定理asinA=bsinB=csinC，∴b+a＝2c，
又ab≤(a+b)24=c2，由余弦定理知，csC=a2+b2-c22ab=3c2-2ab2ab=3c22ab-1≥3c22c2-1=12，
∵C∈(0，π)，∴0＜C≤π3，即C的最大值为π3．
4．(2020秋•10月份月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sinC=a2+b2+1+2aba+b，则△ABC外接圆面积的最小值为( )
A．π8；B．π4；C．π2；D．π
【答案】A．
【解析】因为2sinC=a2+b2+1+2aba+b=(a+b)2+1a+b=a+b+1a+b≥2，当且仅当a+b＝1时取等号，
所以sinC≥1，又sinC≤1，故sinC＝1，又a2+b22≥(a+b2)2=14，所以c2=a2+b2≥12，
所以△ABC外接圆面积π⋅(c2)2≥π8即最小值π8．
5．(2020春•城厢区校级期中)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+2abcsC＝3b2，则tanAtanB⋅tanC+6tanA的最小值为( )
A．733；B．352；C．332；D．32
【答案】B．
【解析】若a2+2abcsC＝3b2，由余弦定理可得，a2+a2+b2﹣c2＝3b2，
即2a2﹣b2＝b2+c2＝a2+2bccsA，整理可得，a2＝b2+2bccsA，因为a2＝b2+c2﹣2bccsA，
所以c2＝4bccsA即c＝4bcsA，由正弦定理可得sinC＝4sinBcsA＝sin(A+B)＝sinAcsB+sinBcsA，
即sinAcsB＝3sinBcsA，所以tanA＝3tanB＞0，所以tanC＝﹣tan(A+B)=tanA+tanBtanAtanB-1=4tanB3tan2B-1，
则tanAtanB⋅tanC+6tanA=3tanBtanB⋅4tanB3tan2B-1+63tanB=3(3tan2B-1)4tanB+2tanB=34(3tanB+53tanB)≥34×25=352，
当且仅当tanB=53时取等号．
6．(2020•桃城区校级模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，(a+c)(sinA﹣sinC)+bsinB＝asinB，b+2a＝4，点D在边AB上，且AD＝2DB，则线段CD长度的最小值为( )
A．233；B．223；C．3；D．2
【答案】A．
【解析】由(a+c)(sinA﹣sinB)+bsinB＝asinB及正弦定理，得(a+c)(a﹣c)+b2＝ab，即a2+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理得，csC=a2+b2-c22ab=12，∵C∈(0，π)，∴C=π3．由于AD→=2DB→，∴AD→=23AB→，
∴CD→-CA→=23(CB→-CA→)，∴CD→=13CA→+23CB→，两边平方得
CD→2=19b2+49a2+49abcsC=19b2+49a2+29ab=19(b+2a)2-29ab≥19(b+2a)2-19(b+2a2)2，
当且仅当b＝2a＝2时取等号，即CD→2≥112(b+2a)2=43，∴线段CD长度的最小值为233．
7．(2020春•内江期末)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=π6且S△ABC＝1，则aca+c2+cac+a2的最小值为( )
A．12；B．2；C．14；D．4
【答案】A．
【解析】由S△ABC=12acsinB可知，1=12ac×12，解得ac＝4，由基本不等式得，a+c≥2ac=24=4．
aca+c2+cac+a2=ac(a+c)+ca(c+a)=a2+c2ac(a+c)=(a+c)2-2acac(a+c)，令t＝a+c，则t∈[4，+∞)，
∴aca+c2+cac+a2=f(t)=t2-84t=14(t-8t)，在[4，+∞)上单调递增，∴f(t)min＝f(4)=12，
即aca+c2+cac+a2的最小值为12．
二、填空题
8．(2021春•莱芜区校级月考)若△ABC的内角A、B满足sinA＝3cs(A+B)sinB，则tanA的最大值为______．
【答案】34．
【解析】因为sinA＝3cs(A+B)sinB＝﹣3sinBcsC＞0，又sinB＞0，所以csC＜0，即C为钝角，
又sinA＝sin(B+C)＝sinBcsC+sinCcsB，所以sinBcsC+sinCcsB＝﹣3csCsinB，
即sinCcsB＝﹣4sinBcsC，所以tanC＝﹣4tanB，故
tanA＝﹣tan(B+C)=tanB+tanCtanBtanC-1=3tanB1+4tan2B=34tanB+1tanB≤324tanB⋅1tanB=34，
当且仅当4tanB=1tanB即tanB=12时取等号，则tanA的最大值34．
9．(2020秋•平顶山期末)已知平面四边形ABCD为凸四边形(四个内角均小于180°)，且AB＝1，BC＝4，CD＝5，DA＝2，则平面四边形ABCD面积的最大值为______．
【答案】210．
【解析】在△ABC中，AC2＝12+42﹣2×1×4×csB＝17﹣8csB，在△ADC中，
AC2＝52+22﹣2×5×2×csD＝29﹣20csD，由上两式得17﹣8csB＝29﹣20csD⇒5csD﹣2csB①．
又平面四边形ABCD的面积S=12×1×4sinB+12×5×2sinD⇒S=2sinB+5sinD②．
①②平方相加得S2+9＝4+25+20(sinBsinD﹣csBcsD)，化简即
S2＝20﹣20cs(B+D)，当B+D＝π时，S2取得最大值40，即平面四边形ABCD面积最大值为.210．
10．(2021•梧州模拟)已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3ccsA+asinC＝0，若角A的平分线交BC于D点，且AD＝1，则b+c的最小值为______．
【答案】4．
【解析】由3ccsA+asinC＝0及正弦定理，得3sinCcsA+sinAsinC＝0，因为C∈(0°，180°)，
则sinC≠0，所以3csA+sinA＝0，即tanA=-3．因为A∈(0°，180°)，所以A＝120°．
如图，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，所以12bc•sin120°=12c•1•sin60°+12b•1•sin60°，
所以bc＝b+c，即1b+1c=1，所以(b+c)(1b+1c)＝2+bc+cb≥2+2bc⋅cb=4，
当且仅当c＝b＝2时，等号成立，所以b+c的最小值为4．
11．(2020秋•北海期末)在等边三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，将△ABC沿DE折叠，使得点A恰好落在边BC上，当AD取最小值时，ADAB=______．
【答案】23-3．
【解析】设折叠后点A落在点F处(如图)：则点A，F关于DE对称，连接AF，DF，则AD＝FD，
设∠DAF=θ(0＜θ＜π3)，则BD＝AB﹣AD，∠BDF＝2θ，在△BDF中，BDsin∠BFD=DFsinB，
即AB-ADsin(2π3-2θ)=ADsinB，所以AD=3AB2sin(2π3-2θ)+3，所以当θ=π12时，AD取得最小值，此时AD=3AB2+3，
所以ADAB=32+3=23-3．
12．(2020秋•芜湖期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交AB于点D，且CD＝2，则a+4b的最小值为______．
【答案】92．
【解析】由S△ABC＝S△ADC+S△BDC，且AC＝b，BC＝a，CD＝2，∠ACB＝90°，
∠ACD＝∠BCD＝45°，则12absin90°=12•2b•sin45°+12•2a•sin45°，即为12ab=22b+22a，
即ab=2(a+b)，可得1a+1b=22，则
a+4b=2(a+4b)(1a+1b)=2(5+ab+4ba)≥2(5+2ab⋅4ba)＝92，当且仅当a＝2b时，取得等号，
即有a+4b的最小值为92．
13．(2020秋•平江县校级期末)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2ccsB＝2a+b，且△ABC的面积为43，则3a2+c2的最小值为______．
【答案】80．
【解析】由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，∵2ccsB＝2a+b，∴2sinCcsB＝2sinA+sinB，
∴2sinCcsB＝2sin(B+C)+sinB＝2sinBcsC+2csBsinC+sinB，即2sinBcsC+sinB＝0，
∵sinB≠0，∴csC=-12，C=2π3．∵△ABC的面积S=12absinC＝43，即12ab×32=43，
∴ab＝16，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2abcsC＝a2+b2﹣2×16×(-12)＝a2+b2+16，
∴3a2+c2＝3a2+a2+b2+16＝4a2+b2+16≥4ab+16＝80，当且仅当2a＝b=42时，等号成立，
∴3a2+c2的最小值为80．
三、解答题
14．(2020秋•新蔡县月考)已知在△ABC中，5+4cs(A+B)＝4sin2C．
(1)求角C的大小；
(2)若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．
【答案】(1)π3；(2)4+23．
【解析】(1)∵A+B+C＝π，可得A+B＝π﹣C，∴cs(A+B)＝﹣csC，又5+4cs(A+B)＝4sin2C，
∴5﹣4csC＝4(1﹣cs2C)，即4cs2C﹣4csC+1＝0，解得csC=12．又0＜C＜π，∴C=π3．
(2)∵ABsin∠ACB=4，△ABC的外接圆半径为2，∴由正弦定理得AB＝23，∵∠ACB=π3，
∴∠ABC+∠BAC=2π3，又∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点I，∠ABI+∠BAI=π3，
∴∠AIB=2π3，设∠ABI＝θ，则0＜θ＜π3，∠BAI=π3-θ，BIsin(π3-θ)=AIsinθ=4，
∴BI=4sinπ3-θ，AI=4sinθABI中，由正弦定理得△ABI的周长为
23+4sin(π3-θ)+4sinθ=23+4(32csθ-12sinθ)+4sinθ＝4(12sinθ+3csθ)+23
=4sin(θ+π3)+23，∵0＜θ＜π3，可得π3＜θ+π3＜2π3，∴当θ+π3=π2，即θ=π6时，
△ABI的周长取得最大值为4+23，∴△ABI周长的最大值为4+23．
15．(2021模拟)在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，CB＝2CD．
(1)若cs∠CDB=-55，求△ABC的面积；
(2)求△ABC周长的最大值．
【答案】(1)8；(2)8+45．
【解析】(1)设CD＝m，则CB＝2m，在△BCD中，由余弦定理知，
cs∠CDB=CD2+BD2-BC22CD⋅BD=3-m22m=-55，解得m=5，∴CD=5，CB＝25，由余弦定理知，
cs∠CBD=BC2+BD2-CD22BC⋅BD=9+20-52×3×25=255，∴sin∠CBD=1-cs2∠CBD=55，
故△ABC的面积S=12BC•ABsin∠CBD=12×25×8×55=8．
(2)由(1)知，CD＝m，CB＝2m，cs∠CDB=3-m22m，∵∠CDA+∠CDB＝π，
∴cs∠CDA＝﹣cs∠CDB=m2-32m，在△ACD中，由余弦定理知，
AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CDcs∠ADC＝25+m2﹣2×5m×m2-32m=4(10﹣m2)，∴AC＝210-m2，
设△ABC的周长为z，则z＝AB+BC+AC＝8+2(m+10-m2)≤8+2×2m2+(10-m2)22=8+45，
当且仅当m=10-m2，即m=5时，等号成立，故△ABC的周长的最大值为8+45．
16．(2020秋•南昌县期末)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cs2A+cs2B+2sinAsinB＝1+cs2C．
(1)求角C；
(2)设D为边AB的中点，△ABC的面积为2，求|CD|2的最小值．
【答案】(1) 60°；(2)23．
【解析】(1)因为A、B、C为三角形内角，所以
cs2A+cs2B+2sinAsinB＝1+cs2C⇔2cs(A+B)cs(A﹣B)+2sinAsinB＝2cs2C＝2cs2(A+B)
⇔2cs(A+B)(cs(A﹣B)﹣cs(A+B))+2sinAsinB＝0⇔2cs(A+B)(﹣2sinAsin(﹣B))+2sinAsinB＝0
⇔2sinAsinB(2cs(A+B)+1)＝0⇔2cs(A+B)+1⇔﹣2csC+1＝0⇔csC=12⇔C＝60°．故角C为60°．
(2)由(1)知C＝60°，△ABC的面积为12absin60°＝2，所以ab=833，延长CD到E，使DE＝CD，
连接AE，则AE＝BC＝a，∠CAE＝120°，由余弦定理得
(2CD)2＝a2+b2﹣2abcs120°＝a2+b2+ab≥3ab＝83，当a＝b时，等号成立．
于是CD2≥23，当a＝b时，等号成立．故|CD|2的最小值23．
17．(2020秋•昌江区校级期末)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2bcsAc=sin(A-C)sinC+2csA．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC是等腰三角形，c＝1，边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，求AD的最小值．
【答案】(1)60°；(2)23-3．
【解析】(1)∵2bcsAc=sin(A-C)sinC+2csA，由正弦定理得2sinBcsAsinC=sin(A-C)+2sinCcsAsinC，化简可得
2sinBcsA＝sinAcsC﹣csAsinC+2sinCcsA，即2sinBcsA＝sin(A+C)＝sinB．
故csA=12，∴A＝60°．
(2)由于△ABC是等腰三角形，AB＝c＝1，由题意可得点A关于直线DE的对称点P在边BC上，
如图所示：显然A，P两点关于折线DE对称，连接DP，可得AD＝PD，则有∠BAP＝∠APD，
设∠BAP＝θ，∠BDP＝∠BAP+∠APD＝2θ，再设AD＝DP＝x，则有DB＝1﹣x．
在△ABC中，∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝120°﹣θ，∴∠BPD＝120°﹣2θ，∠DBP＝60°，
在△BDP中，由正弦定理知BDsin∠BPD=DPsin∠DBP，即1-xsin(120°-2θ)=xsin60°，可得x=32sin(120°-2θ)+32，
∵0°≤θ≤60°，∴0°≤120°﹣2θ≤120°，∴当120°﹣2θ＝90°，即θ＝15°时，sin(120°﹣2θ)＝1，
此时，x＝AD取得最小值为321+32=23-3．
附：分层训练答案
基础组
1．D；2．A；3．C；4．A；5．C；6．B；7．C；8．A；9．120°；4；10．233；11．3；
12．(32，1)；13．3-1；14．23；15．(1)π3，(2)12；16．(1)74，(2)27；17．(1)2π3，(2)43；
18．(1)π6，(2)93．
提高组
1．A；2．B；3．A；4．A；5．B；6．A；7．A；8．34；9．210；10．4；11．23-3；12．92；
13．80；14．(1)π3，(2)4+23；15．(1)8，(2)8+45；16．(1)60°，(2)23；
17．(1)60°，(2)23-3．
基础组
一、选择题
1．(2020秋•田家庵区校级月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2csinA=3a，c=3，角C是锐角，则△ABC周长的最大值为( )
A．3+3；B．3+1；C．3+2；D．33
【答案】D．
【解析】由正弦定理，得2sinCsinA=3sinA，又sinA≠0，所以sinC=32，又C是锐角，所以C=π3，
由正弦定理，得asinA=bsinB=csinC=332=2，可得
a+b＝2(sinA+sinB)=2[sin(π-π3-B)+sinB]=23(12csB+32sinB)=23sin(π6+B)，
当π6+B=π2，即B=π3时，a+b取得最大值23，所以△ABC周长的最大值为33．
2．(2020•靖远县模拟)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=3，bsinB+csinC=asinA+csinB，则△ABC的周长的最大值是( )
A．33；B．3+3；C．23+6；D．4+3
【答案】A．
【解析】∵a=3，bsinB+csinC=asinA+csinB，∴由正弦定理可得：b2+c2﹣a2＝bc，
∴csA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，∵A∈(0，π)，∴A=π3，∴由a=3，结合正弦定理得：
asinA=bsinB=csinC=332=2，∴b＝2sinB，c＝2sinC，则
a+b+c=3+2sinB+2sinC=3+2sinB+2sin(2π3-B)=3+3sinB+3csB=3+23sin(B+π6)，
当sin(B+π6)＝1时，即B=π3时，a+b+c取得最大值．可知周长的最大值为33．
3．(2020秋•南阳期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinB+2sinAcsC＝0，则csB的最小值为( )
A．2；B．3；C．32；D．33
【答案】C．
【解析】∵sinB+2sinAcsC＝0，∴由正弦定理及余弦定理得：b+2a•a2+b2-c22ab=0，可得：
a2+2b2﹣c2＝0，又csB=a2+c2-b22ac=3a2+c24ac=3a4c+c4a≥32，当且仅当3a4c=c4a，即ca=3时取等号，
即csB的最小值为32．
4．(2020秋•陕西月考)在△ABC中，B=π3，且△ABC的面积为93，则△ABC外接圆的半径的最小值是( )
A．23；B．6；C．43；D．12
【答案】A．
【解析】由三角形的面积公式可得12acsinB=34ac=93，则ac＝36．由余弦定理可得
b2＝a2+c2﹣2accsB≥2ac﹣ac＝ac＝36，即b≥6，则△ABC外接圆的半径
R=b2sinB≥62×32=23(当且仅当a＝c＝6时，等号成立)．
5．(2020秋•河南月考)在△ABC中，若sin2(A+B)＝4sinAsinBcsC，则角C的余弦值的最小值为( )
A．16；B．36；C．13；D．33
【答案】C．
【解析】因为sin2(A+B)＝4sinAsinBcsC，所以sin2C＝4sinAsinBcsC，可得
c2＝4ab×a2+b2-c22ab=2(a2+b2﹣c2)，所以2(a2+b2)＝3c2，所以csC=a2+b2-c22ab=a2+b26ab≥2ab6ab=13，
当且仅当a＝b时等号成立，所以角C的余弦值的最小值为13．
6．(2020春•衢州期末)已知△ABC的面积为23，A=π3，则4sinC+2sinBsinC+2sinB+sinBsinC的最小值为( )
A．6-12；B．6+12；C．6-1；D．6+1
【答案】B．
【解析】令sinBsinC=bc=x，则
4sinC+2sinBsinC+2sinB+sinBsinC=4+2x1+2x+x＝1+31+2x+x=12+3212+x+(12+x)≥12+23212+x⋅(12+x)=12+6，
当且仅当3212+x=(12+x)，即x=6-12时等号成立．
7．(2020•吉林四模)a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知bsinA＝(3b﹣c)sinB，则b2ac的最小值为( )
A．54；B．74；C．43；D．53
【答案】C．
【解析】由bsinA＝(3b﹣c)sinB及正弦定理可得，ab=3b2-bc，所以3b=a+c≥2ac，
当且仅当a＝c时取等号，所以3b≥2ac，则b2ac≥43．
8．(2020秋•大通县期末)已知锐角△ABC三边长分别为x，5，x+1，则实数x的取值范围为( )
A．(1，2)；B．(2，3)；C．(25，2)；D．(2，5)
【答案】A．
【解析】因为锐角△ABC三边长分别为x，5，x+1， 由题意有x2+(x+1)2-52x(x+1)＞0x2+5-(x+1)225x＞0，解得1＜x＜2．
二、填空题
9．(2020•浙江模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csinA+3acsC＝0，则角C＝______；若∠ACB的角平分线交AB于点D，且CD＝1，则ab的最小值是______．
【答案】120°；4．
【解析】因为csinA+3acsC＝0，所以sinCsinA+3sinAcsC＝0，因为sinA≠0，
所以sinC+3csC＝0，即tanC=-3，因为0＜C＜π，所以C＝120°；
如图所示，即12ab⋅sin120°=12b⋅1⋅sin60°+12a⋅1⋅sin60°，整理可得ab＝b+a，所以ab≥2ab，
解得ab≥4，当且仅当a＝b时取等号，故ab的最小值为4．
10．(2020秋•曾都区校级月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=π3，b+c＝2a，则1tanB+1tanC的最小值为______．
【答案】233．
【解析】因为A=π3，b+c＝2a，由正弦定理可得sinB+sinC＝2sinA=3，即sinB+sinC=3，所以
1tanB+1tanC=csBsinB+csCsinC=csBsinC+sinBcsCsinBsinC=sinB+CsinBsinC=sinAsinBsinC=32sinBsinC≥32⋅(sinB+sinC2)2
=32×(32)2=233，当且仅当sinB＝sinC，即B＝C时取等号，所以1tanB+1tanC的最小值为233．
11．(2020秋•沙坪坝区校级月考)已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b+2c=4ccs2B2，则ba+(cb)2的最小值为______．
【答案】3．
【解析】由余弦定理得a+b+2c=2c(1+csB)=2c+2c×a2+c2-b22ac=2c+a2+c2-b2a，
所以ab+b2＝c2，则(cb)2=ab+b2b2=ab+1，∴ba+(cb)2=ba+ab+1≥2ba×ab+1=3，
当且仅当ba=ab即a＝b时等号成立，所以ba+(cb)2的最小值为3．
12．(2021•四模拟)若△ABC为锐角三角形，且满足sin2B﹣sin2A＝sinAsinC，则sinB的取值范围为______．
【答案】(32，1)．
【解析】△ABC为锐角三角形，且满足sin2B﹣sin2A＝sinAsinC，由正弦定理和余弦定理得：
b2﹣a2＝ac，整理得b2＝a2+ac＝a2+c2﹣2accsB，化简得：a＝c﹣2acsB，由正弦定理得：
sinA＝sinC﹣2sinAcsB，转换为sinA＝sin(A+B)﹣2sinAcsB＝sin(B﹣A)，由于三角形为锐角三角形，
所以A＝B﹣A，故2A＝B，由于π2＜A+B＜π，0＜B＜π2，所以π3＜B＜π2，故32＜sinB＜1．
故sinB的取值范围为(32，1)．
13．(2021•桃城区校级模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinBsinC=2-csB2+csC，且c=2，则△ABC外接圆半径的最小值为______．
【答案】3-1．
【解析】由sinBsinC=2-csB2+csC，得2sinB+sinBcsC=2sinC-sinCcsB，即sinA+2sinB=2sinC，
所以由正弦定理得a+2b=2c，所以csC=a2+b2-c22ab=3a2+2b2-22ab8ab≥6-24，
所以sinC≤6+24，设△ABC外接圆半径为R，因此2R=csinC≥2(3-1)，
所以R≥3-1，即外接圆半径的最小值为3-1．
14．(2021•揭阳模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝2，a2＝2b2+c2，则△ABC的面积的最大值______．
【答案】23．
【解析】因为a2＝2b2+c2，由余弦定理可得b²+c²﹣2bccsA＝2b2+c2，化简得csA=-b2c，
则sinA=4c2-b22c，则△ABC的面积
S=12bcsinA=b4c2-b24=3b4c2-b212≤9b2+4c2-b224=4(2b2+c2)24=a26=46=23，
当且仅当3b=4c2-b2时等号成立，故△ABC的面积的最大值为23．
三、解答题
15．(2021•广东模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4，(a﹣c)sinA＝(b﹣c)(sinB+sinC)．
(1)求角B；
(2)求△ABC周长的最大值．
【答案】(1)π3；(2)12．
【解析】(1)由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，∵(a﹣c)sinA＝(b﹣c)(sinB+sinC)，
∴(a﹣c)a＝(b﹣c)(b+c)，整理得a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理知，csB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12，
∵B∈(0，π)，∴B=π3．
(2)由(1)知，B=π3，∴A+C=2π3，由正弦定理知，asinA=csinC=bsinB=4sinπ3=83，
∴a=83sinA，c=83sinC，
∴a+c=83(sinA+sinC)=83[sinA+sin(2π3-A)]=83(sinA+32csA+12sinA)
=83(32sinA+32csA)=83×3sin(A+π6)＝8sin(A+π6)，
∵A∈(0，2π3)，∴A+π6∈(π6，5π6)，当A+π6=π2，即A=π3时，a+c取得最大值，为8，
∴a+b+c≤8+4＝12，故△ABC周长的最大值为12．
16．(2021•三模拟)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2sin2(B+C)﹣sinBsinC＝2(sinB﹣sinC)2．
(1)求sinA；
(2)若a＝2 2，求△ABC面积的最大值．
【答案】(1)74；(2)27．
【解析】(1)∵2sin2(B+C)﹣sinBsinC＝2(sinB﹣sinC)2，
∴2sin2A﹣sinBsinC＝2(sin2B﹣2sinBsinC+sin2C)，∴sin2B+sin2C﹣sin2A=32sinBsinC，
由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，∴b2+c2﹣a2=32bc，由余弦定理知，csA=b2+c2-a22bc=32bc2bc=34，
∵A∈(0，π)，∴sinA=1-cs2A=74．
(2)由(1)知，b2+c2﹣a2=32bc，∴b2+c2＝a2+32bc＝8+32bc≥2bc，∴bc≤16，当且仅当b＝c＝4时，
等号成立，∴△ABC面积S=12bc•sinA≤12×16×74=27，故△ABC面积的最大值为27．
17．(2021春•新疆月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3asinB=2bcs2B+C2．
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的中线AD＝2，求△ABC面积的最大值．
【答案】(1)2π3；(2)43．
【解析】(1)依题意有3asinB=2bcs2B+C2=(1-csA)b．∴3sinAsinB=(1-csA)sinB，
又sinB≠0，∴3sinA=1-csA，又sin2A+cs2A＝1，解得：sinA=32，csA=-12，
∵A∈(0，π)，∴A=2π3．
(2)∵|AD→|=|AB→+AC→2|=2，∴|AB→+AC→|=4，即
|AB→|2+|AC→|2+2|AB→||AC→|cs2π3=|AB→|2+|AC→|2-|AB→||AC→|=16≥|AB→||AC→|，
∴(|AB→||AC→|)max=16，当且仅当|AB→|=|AC→|=4时成立，
∴△ABC面积的最大值为S=12|AB→||AC→|sinA＝43．
18．(2020秋•南阳期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinAcsC+sinB＝0．
(1)求角B的最大值；
(2)当角B最大时，若b＝6，求△ABC的面积．
【答案】(1)π6；(2)93．
【解析】(1)方法一：由2sinAcsC+sinB＝0，根据正弦定理和余弦定理得：2a⋅a2+b2-c22ab+b=0，
∴a2+2b2﹣c2＝0，b2=c2-a22，∴csB=a2+c2-b22ac=3a2+c24ac=3a4c+c4a≥32，
当且仅当3a4c=c4a，即ca=3时取等号，即csB取最小值32．从而B有最大值π6．
方法二：由2sinAcsC+sinB＝0，可得2sinAcsC+sin(A+C)＝0，化简得：tanC＝﹣3tanA，
于是tanB=-tan(A+C)=-tanA+tanC1-tanAtanC=2tanA1+3tan2A=21tanA+3tanA≤33．
当且仅当tanA=33，即A=π6时取等号，从而B有最大值π6．
方法三：由于sin(A+C)＝sinAcsC+csAsinC，sin(A﹣C)＝sinAcsC﹣csAsinC；
所以2sinAcsC＝sin(A+C)+sin(A﹣C)，于是sinB=12sin(C-A)≤12，当且仅当C-A=π2时取等号．
此时，B=π6，A=π6，C=2π3，符合题意．即B有最大值π6．
(2)由(1)可知，B=π6，且c=3a，又b＝6，又由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，
得62=a2+3a2-2×a×3a×32，得a＝6所以c=63，
所以△ABC的面积S=12acsinB=12×6×63×12=93．
提高组
一、选择题
1．(2020秋•河南月考)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2asinC=3c，a＝1，则△ABC的周长取得最大值时△ABC的面积为( )
A．34；B．2；C．3；D．4
【答案】A．
【解析】由正弦定理知，asinA=csinC，∵2asinC=3c，∴2sinAsinC=3sinC，∵sinC≠0，∴sinA=32，
∵△ABC为锐角三角形，∴A=π3，B+C=2π3．∵bsinB=csinC=asinA=132=23，∴b=23sinB，c=23sinC，
∴△ABC的周长为
1+23sinB+23sinC＝1+23sinB+23sin(2π3-B)＝1+23sinB+23(sin2π3csB﹣cs2π3sinB)
＝1+23sinB+23(32csB+12sinB)＝1+23sinB+csB+13sinB＝1+3sinB+csB＝1+2sin(B+π6)，
当B=π3，即△ABC为等边三角形时，△ABC的周长取得最大值，此时△ABC的面积
S=12acsinB=12×1×1×sinπ3=34．
2．(2021•三模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2+ac﹣b2＝0，则cs2A2-3sinC2csC2的取值范围为( )
A．(34，334)；B．(14，34)；C．(34，1]；D．(34，32)
【答案】B．
【解析】△ABC中，由a2+c2+ac﹣b2＝0，得a2+c2﹣b2＝﹣ac，由余弦定理得
csB=a2+c2-b22ac=-ac2ac=-12；又B∈(0，π)，所以B=2π3；由题意得
cs2A2-3sinC2csC2=12(csA+1)-32sinC=12csA-32sin(π3-A)+12=12csA-32(32csA-12sinA)+12
=-14csA+34sinA+12=12sin(A-π6)+12；又0＜A＜π3，所以-π6＜A-π6＜π6，所以-12＜sin(A-π6)＜12，
所以14＜12sin(A-π6)+12＜34，即cs2A2-3sinC2csC2的取值范围是(14，34)．
3．(2020•合肥三模)在△ABC中，若1sinA+1sinB=2(1tanA+1tanB)，则( )
A．C的最大值为π3；B．C的最大值为2π3；C．C的最小值为π3；D．C的最小值为π6
【答案】A．
【解析】由题可知，1sinA+1sinB=2(1tanA+1tanB)=2(csAsinA+csBsinB)，
∴sinB+sinA＝2(sinBcsA+csBsinA)＝2sin(A+B)＝2sinC，由正弦定理asinA=bsinB=csinC，∴b+a＝2c，
又ab≤(a+b)24=c2，由余弦定理知，csC=a2+b2-c22ab=3c2-2ab2ab=3c22ab-1≥3c22c2-1=12，
∵C∈(0，π)，∴0＜C≤π3，即C的最大值为π3．
4．(2020秋•10月份月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sinC=a2+b2+1+2aba+b，则△ABC外接圆面积的最小值为( )
A．π8；B．π4；C．π2；D．π
【答案】A．
【解析】因为2sinC=a2+b2+1+2aba+b=(a+b)2+1a+b=a+b+1a+b≥2，当且仅当a+b＝1时取等号，
所以sinC≥1，又sinC≤1，故sinC＝1，又a2+b22≥(a+b2)2=14，所以c2=a2+b2≥12，
所以△ABC外接圆面积π⋅(c2)2≥π8即最小值π8．
5．(2020春•城厢区校级期中)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+2abcsC＝3b2，则tanAtanB⋅tanC+6tanA的最小值为( )
A．733；B．352；C．332；D．32
【答案】B．
【解析】若a2+2abcsC＝3b2，由余弦定理可得，a2+a2+b2﹣c2＝3b2，
即2a2﹣b2＝b2+c2＝a2+2bccsA，整理可得，a2＝b2+2bccsA，因为a2＝b2+c2﹣2bccsA，
所以c2＝4bccsA即c＝4bcsA，由正弦定理可得sinC＝4sinBcsA＝sin(A+B)＝sinAcsB+sinBcsA，
即sinAcsB＝3sinBcsA，所以tanA＝3tanB＞0，所以tanC＝﹣tan(A+B)=tanA+tanBtanAtanB-1=4tanB3tan2B-1，
则tanAtanB⋅tanC+6tanA=3tanBtanB⋅4tanB3tan2B-1+63tanB=3(3tan2B-1)4tanB+2tanB=34(3tanB+53tanB)≥34×25=352，
当且仅当tanB=53时取等号．
6．(2020•桃城区校级模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，(a+c)(sinA﹣sinC)+bsinB＝asinB，b+2a＝4，点D在边AB上，且AD＝2DB，则线段CD长度的最小值为( )
A．233；B．223；C．3；D．2
【答案】A．
【解析】由(a+c)(sinA﹣sinB)+bsinB＝asinB及正弦定理，得(a+c)(a﹣c)+b2＝ab，即a2+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理得，csC=a2+b2-c22ab=12，∵C∈(0，π)，∴C=π3．由于AD→=2DB→，∴AD→=23AB→，
∴CD→-CA→=23(CB→-CA→)，∴CD→=13CA→+23CB→，两边平方得
CD→2=19b2+49a2+49abcsC=19b2+49a2+29ab=19(b+2a)2-29ab≥19(b+2a)2-19(b+2a2)2，
当且仅当b＝2a＝2时取等号，即CD→2≥112(b+2a)2=43，∴线段CD长度的最小值为233．
7．(2020春•内江期末)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=π6且S△ABC＝1，则aca+c2+cac+a2的最小值为( )
A．12；B．2；C．14；D．4
【答案】A．
【解析】由S△ABC=12acsinB可知，1=12ac×12，解得ac＝4，由基本不等式得，a+c≥2ac=24=4．
aca+c2+cac+a2=ac(a+c)+ca(c+a)=a2+c2ac(a+c)=(a+c)2-2acac(a+c)，令t＝a+c，则t∈[4，+∞)，
∴aca+c2+cac+a2=f(t)=t2-84t=14(t-8t)，在[4，+∞)上单调递增，∴f(t)min＝f(4)=12，
即aca+c2+cac+a2的最小值为12．
二、填空题
8．(2021春•莱芜区校级月考)若△ABC的内角A、B满足sinA＝3cs(A+B)sinB，则tanA的最大值为______．
【答案】34．
【解析】因为sinA＝3cs(A+B)sinB＝﹣3sinBcsC＞0，又sinB＞0，所以csC＜0，即C为钝角，
又sinA＝sin(B+C)＝sinBcsC+sinCcsB，所以sinBcsC+sinCcsB＝﹣3csCsinB，
即sinCcsB＝﹣4sinBcsC，所以tanC＝﹣4tanB，故
tanA＝﹣tan(B+C)=tanB+tanCtanBtanC-1=3tanB1+4tan2B=34tanB+1tanB≤324tanB⋅1tanB=34，
当且仅当4tanB=1tanB即tanB=12时取等号，则tanA的最大值34．
9．(2020秋•平顶山期末)已知平面四边形ABCD为凸四边形(四个内角均小于180°)，且AB＝1，BC＝4，CD＝5，DA＝2，则平面四边形ABCD面积的最大值为______．
【答案】210．
【解析】在△ABC中，AC2＝12+42﹣2×1×4×csB＝17﹣8csB，在△ADC中，
AC2＝52+22﹣2×5×2×csD＝29﹣20csD，由上两式得17﹣8csB＝29﹣20csD⇒5csD﹣2csB①．
又平面四边形ABCD的面积S=12×1×4sinB+12×5×2sinD⇒S=2sinB+5sinD②．
①②平方相加得S2+9＝4+25+20(sinBsinD﹣csBcsD)，化简即
S2＝20﹣20cs(B+D)，当B+D＝π时，S2取得最大值40，即平面四边形ABCD面积最大值为.210．
10．(2021•梧州模拟)已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3ccsA+asinC＝0，若角A的平分线交BC于D点，且AD＝1，则b+c的最小值为______．
【答案】4．
【解析】由3ccsA+asinC＝0及正弦定理，得3sinCcsA+sinAsinC＝0，因为C∈(0°，180°)，
则sinC≠0，所以3csA+sinA＝0，即tanA=-3．因为A∈(0°，180°)，所以A＝120°．
如图，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，所以12bc•sin120°=12c•1•sin60°+12b•1•sin60°，
所以bc＝b+c，即1b+1c=1，所以(b+c)(1b+1c)＝2+bc+cb≥2+2bc⋅cb=4，
当且仅当c＝b＝2时，等号成立，所以b+c的最小值为4．
11．(2020秋•北海期末)在等边三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，将△ABC沿DE折叠，使得点A恰好落在边BC上，当AD取最小值时，ADAB=______．
【答案】23-3．
【解析】设折叠后点A落在点F处(如图)：则点A，F关于DE对称，连接AF，DF，则AD＝FD，
设∠DAF=θ(0＜θ＜π3)，则BD＝AB﹣AD，∠BDF＝2θ，在△BDF中，BDsin∠BFD=DFsinB，
即AB-ADsin(2π3-2θ)=ADsinB，所以AD=3AB2sin(2π3-2θ)+3，所以当θ=π12时，AD取得最小值，此时AD=3AB2+3，
所以ADAB=32+3=23-3．
12．(2020秋•芜湖期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交AB于点D，且CD＝2，则a+4b的最小值为______．
【答案】92．
【解析】由S△ABC＝S△ADC+S△BDC，且AC＝b，BC＝a，CD＝2，∠ACB＝90°，
∠ACD＝∠BCD＝45°，则12absin90°=12•2b•sin45°+12•2a•sin45°，即为12ab=22b+22a，
即ab=2(a+b)，可得1a+1b=22，则
a+4b=2(a+4b)(1a+1b)=2(5+ab+4ba)≥2(5+2ab⋅4ba)＝92，当且仅当a＝2b时，取得等号，
即有a+4b的最小值为92．
13．(2020秋•平江县校级期末)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2ccsB＝2a+b，且△ABC的面积为43，则3a2+c2的最小值为______．
【答案】80．
【解析】由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，∵2ccsB＝2a+b，∴2sinCcsB＝2sinA+sinB，
∴2sinCcsB＝2sin(B+C)+sinB＝2sinBcsC+2csBsinC+sinB，即2sinBcsC+sinB＝0，
∵sinB≠0，∴csC=-12，C=2π3．∵△ABC的面积S=12absinC＝43，即12ab×32=43，
∴ab＝16，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2abcsC＝a2+b2﹣2×16×(-12)＝a2+b2+16，
∴3a2+c2＝3a2+a2+b2+16＝4a2+b2+16≥4ab+16＝80，当且仅当2a＝b=42时，等号成立，
∴3a2+c2的最小值为80．
三、解答题
14．(2020秋•新蔡县月考)已知在△ABC中，5+4cs(A+B)＝4sin2C．
(1)求角C的大小；
(2)若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．
【答案】(1)π3；(2)4+23．
【解析】(1)∵A+B+C＝π，可得A+B＝π﹣C，∴cs(A+B)＝﹣csC，又5+4cs(A+B)＝4sin2C，
∴5﹣4csC＝4(1﹣cs2C)，即4cs2C﹣4csC+1＝0，解得csC=12．又0＜C＜π，∴C=π3．
(2)∵ABsin∠ACB=4，△ABC的外接圆半径为2，∴由正弦定理得AB＝23，∵∠ACB=π3，
∴∠ABC+∠BAC=2π3，又∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点I，∠ABI+∠BAI=π3，
∴∠AIB=2π3，设∠ABI＝θ，则0＜θ＜π3，∠BAI=π3-θ，BIsin(π3-θ)=AIsinθ=4，
∴BI=4sinπ3-θ，AI=4sinθABI中，由正弦定理得△ABI的周长为
23+4sin(π3-θ)+4sinθ=23+4(32csθ-12sinθ)+4sinθ＝4(12sinθ+3csθ)+23
=4sin(θ+π3)+23，∵0＜θ＜π3，可得π3＜θ+π3＜2π3，∴当θ+π3=π2，即θ=π6时，
△ABI的周长取得最大值为4+23，∴△ABI周长的最大值为4+23．
15．(2021模拟)在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，CB＝2CD．
(1)若cs∠CDB=-55，求△ABC的面积；
(2)求△ABC周长的最大值．
【答案】(1)8；(2)8+45．
【解析】(1)设CD＝m，则CB＝2m，在△BCD中，由余弦定理知，
cs∠CDB=CD2+BD2-BC22CD⋅BD=3-m22m=-55，解得m=5，∴CD=5，CB＝25，由余弦定理知，
cs∠CBD=BC2+BD2-CD22BC⋅BD=9+20-52×3×25=255，∴sin∠CBD=1-cs2∠CBD=55，
故△ABC的面积S=12BC•ABsin∠CBD=12×25×8×55=8．
(2)由(1)知，CD＝m，CB＝2m，cs∠CDB=3-m22m，∵∠CDA+∠CDB＝π，
∴cs∠CDA＝﹣cs∠CDB=m2-32m，在△ACD中，由余弦定理知，
AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CDcs∠ADC＝25+m2﹣2×5m×m2-32m=4(10﹣m2)，∴AC＝210-m2，
设△ABC的周长为z，则z＝AB+BC+AC＝8+2(m+10-m2)≤8+2×2m2+(10-m2)22=8+45，
当且仅当m=10-m2，即m=5时，等号成立，故△ABC的周长的最大值为8+45．
16．(2020秋•南昌县期末)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cs2A+cs2B+2sinAsinB＝1+cs2C．
(1)求角C；
(2)设D为边AB的中点，△ABC的面积为2，求|CD|2的最小值．
【答案】(1) 60°；(2)23．
【解析】(1)因为A、B、C为三角形内角，所以
cs2A+cs2B+2sinAsinB＝1+cs2C⇔2cs(A+B)cs(A﹣B)+2sinAsinB＝2cs2C＝2cs2(A+B)
⇔2cs(A+B)(cs(A﹣B)﹣cs(A+B))+2sinAsinB＝0⇔2cs(A+B)(﹣2sinAsin(﹣B))+2sinAsinB＝0
⇔2sinAsinB(2cs(A+B)+1)＝0⇔2cs(A+B)+1⇔﹣2csC+1＝0⇔csC=12⇔C＝60°．故角C为60°．
(2)由(1)知C＝60°，△ABC的面积为12absin60°＝2，所以ab=833，延长CD到E，使DE＝CD，
连接AE，则AE＝BC＝a，∠CAE＝120°，由余弦定理得
(2CD)2＝a2+b2﹣2abcs120°＝a2+b2+ab≥3ab＝83，当a＝b时，等号成立．
于是CD2≥23，当a＝b时，等号成立．故|CD|2的最小值23．
17．(2020秋•昌江区校级期末)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2bcsAc=sin(A-C)sinC+2csA．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC是等腰三角形，c＝1，边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，求AD的最小值．
【答案】(1)60°；(2)23-3．
【解析】(1)∵2bcsAc=sin(A-C)sinC+2csA，由正弦定理得2sinBcsAsinC=sin(A-C)+2sinCcsAsinC，化简可得
2sinBcsA＝sinAcsC﹣csAsinC+2sinCcsA，即2sinBcsA＝sin(A+C)＝sinB．
故csA=12，∴A＝60°．
(2)由于△ABC是等腰三角形，AB＝c＝1，由题意可得点A关于直线DE的对称点P在边BC上，
如图所示：显然A，P两点关于折线DE对称，连接DP，可得AD＝PD，则有∠BAP＝∠APD，
设∠BAP＝θ，∠BDP＝∠BAP+∠APD＝2θ，再设AD＝DP＝x，则有DB＝1﹣x．
在△ABC中，∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝120°﹣θ，∴∠BPD＝120°﹣2θ，∠DBP＝60°，
在△BDP中，由正弦定理知BDsin∠BPD=DPsin∠DBP，即1-xsin(120°-2θ)=xsin60°，可得x=32sin(120°-2θ)+32，
∵0°≤θ≤60°，∴0°≤120°﹣2θ≤120°，∴当120°﹣2θ＝90°，即θ＝15°时，sin(120°﹣2θ)＝1，
此时，x＝AD取得最小值为321+32=23-3．
附：分层训练答案
基础组
1．D；2．A；3．C；4．A；5．C；6．B；7．C；8．A；9．120°；4；10．233；11．3；
12．(32，1)；13．3-1；14．23；15．(1)π3，(2)12；16．(1)74，(2)27；17．(1)2π3，(2)43；
18．(1)π6，(2)93．
提高组
1．A；2．B；3．A；4．A；5．B；6．A；7．A；8．34；9．210；10．4；11．23-3；12．92；
13．80；14．(1)π3，(2)4+23；15．(1)8，(2)8+45；16．(1)60°，(2)23；
17．(1)60°，(2)23-3．
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