中考压轴题第3部分 抛物线之直角 学案

6．在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．
（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．





















7．将抛物线沿c1：y=﹣x2+沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示．
（1）请直接写出拋物线c2的表达式．
（2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．








8．如图，二次函数y=x2+px+q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣1），△ABC的面积为．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．


















9．如图（1），抛物线y=﹣x2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于E，连接CD，以OE为直径作⊙M，如图（2），试求当CD与⊙M相切时D点的坐标；
②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．







10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式（关系式）；
（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；
（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．












11．在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．
（1）如图1，当m=时，
①求线段OP的长和tan∠POM的值；
②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；
（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．
①用含m的代数式表示点Q的坐标；
②求证：四边形ODME是矩形．








12．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．













13．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．





14．如图，已知直线y=kx﹣6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．
















15．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；
（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．




16．已知：直线l：y=﹣2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ．
（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：
（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM．
（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．


















17．如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


18．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x=1，顶点是M．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线y=﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；
（4）当E是直线y=﹣x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）．














19．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．





20．如图，抛物线y=x2﹣2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，﹣m）作PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．
（1）若m=2，求点A和点C的坐标；
（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；
（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．












21．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△MAB的形状，并说明理由；
（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．















22．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD；
（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

















23．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4，
（1）求二次函数解析式；
（2）若=，求k；
（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．













24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．













25．如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A，B两点．

（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；
（2）当k=﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；
（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．
　

6.方法一：
解：（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2），
∵A在反比例函数图象上，∴设反比例函数的解析式为：y=，
代入A（1，﹣2）得：﹣2=，解得：m=﹣2，∴反比例函数的解析式为：y=﹣；

（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，∴k＜0，
∵二次函数y=k（x2+x﹣1）=k（x+）2﹣k，对称轴为：直线x=﹣，
要使二次函数y=k（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，
即x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大，
∴综上所述，k＜0且x＜﹣；

（3）由（2）可得：Q（﹣，﹣k），
∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）
∴原点O平分AB，∴OQ=OA=OB，
作BD⊥OC，QC⊥OC，∴OQ==，
∵OB==，∴=，
解得：k=±．
方法二：
（1）略．（2）略．（3）抛物线的顶点Q（﹣，﹣k），A（1，k），B（﹣1，﹣k），
∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，∴AQ⊥BQ，∴KAQ×KBQ=﹣1，
∴，∴， k1=，k2=﹣，
（4）△ABC是以AB为斜边的直角三角形，
∴AC⊥BC，∴KAC×KBC=﹣1，
∵A（1，k），B（﹣1，﹣k），C（2k，0），∴，∴3k2=1，
∴k1=，k2=﹣．

　

7.方法一：解：（1）y=x2﹣．
（2）①令﹣x2+=0，得x1=﹣1，x2=1
则拋物线c1与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（1，0）．∴A（﹣1﹣m，0），B（1﹣m，0）．
同理可得：D（﹣1+m，0），E（1+m，0）．当AD=AE时，
（﹣1+m）﹣（﹣1﹣m）=[（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，∴m=．
当BD=AE时，（1﹣m）﹣（﹣1+m）=[（1+m）﹣（﹣1﹣m）]，∴m=2．
故当B，D是线段AE的三等分点时，m=或2．
②存在．理由：连接AN，NE，EM，MA．依题意可得：M（﹣m，），N（m，﹣）．
即M，N关于原点O对称，∴OM=ON．
∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA=OE
∴四边形ANEM为平行四边形．
∵AM2=（﹣m﹣1+m）2+（）2=4，
ME2=（1+m+m）2+（）2=4m2+4m+4，
AE2=（1+m+1+m）2=4m2+8m+4，
若AM2+ME2=AE2，则4+4m2+4m+4=4m2+8m+4，∴m=1，
此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°．
∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．
方法二：（1）略，（2）①抛物线C1：y=﹣x2+，
与x轴的两个交点为（﹣1，0），（1，0），顶点为（0，），
抛物线C2：y=﹣x2﹣，
与x轴的两个交点也为（﹣1，0），（1，0），顶点为（0，﹣），
抛物线C1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为（﹣m，），
与x轴的两个交点为A（﹣1﹣m，0）、B（1﹣m，0），AB=2，
抛物线C2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为（m，﹣），
与x轴的两个交点为D（﹣1+m，0）、E（1+m，0），
∴AE=（1+m）﹣（﹣1﹣m）=2（1+m），
B、D是线段AE的三等分点，有两种情况．1、B在D的左侧，AB=AE=2，AE=6，
∴2（1+m）=6，m=2，
2、B在D的右侧，AB=AE=2，AE=3，∴2（1+m）=3，m=．
（3）若A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，
∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣）、M（﹣m，），
∴点A，E关于原点对称，点N，M关于原点对称，
∴A、N、E、M为顶点的四边形是平行四边形，
则AN⊥EN，KAN×KEN=﹣1，
∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣），∴=﹣1，∴m=1．



　
8.解：（1）∵OC=1，∴q=﹣1，
∵△ABC的面积为．∴OC×AB=，解得AB=，
设A（a，0），B（b，0），则a、b是一元二次方程x2+px﹣1=0两个根，
∴a+b=﹣p，ab=﹣1，∴AB=b﹣a==，
解得p=，又∵p＜0，∴p=．所以解析式为：y=x2﹣x﹣1；
（2）令y=0，
解方程得x2﹣x﹣1=0，得x1=﹣，x2=2，
所以A（，0），B（2，0），
在直角三角形AOC中可求得AC=，同样可求得BC=，
显然AC2+BC2=AB2，得三角形ABC是直角三角形．AB为斜边，所以外接圆的直径为AB=，
所以．

（3）存在，AC⊥BC，
①若以AC为底边，则BD∥AC，易求AC的解析式为y=﹣2x﹣1，
可设BD的解析式为y=﹣2x+b，
把B（2，0）代入得BD解析式为y=﹣2x+4，解方程组得D（，9）
②若以BC为底边，则BC∥AD，易求BC的解析式为y=0.5x﹣1，
可设AD的解析式为y=0.5x+b，把A（，0）代入
得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组得D（）
综上，所以存在两点：（，9）或（）．
　

9.方法一：
解：（1）由已知有：﹣（﹣2）2+（﹣2）+c=0，∴c=3，抛物线的解析式是：y=﹣x2+x+3，

（2）①令D（x，y），（x＞0，y＞0），
则E（x，0），M（，0），由（1）知C（0，3），
连接MC、MD，
∵DE、CD与⊙O相切，∴∠OCM=∠MCD，∠CDM=∠EDM，∴∠CMD=90°，
∴△COM∽△MED，∴=，∴=，
又∵D点在抛物线上，满足解析式y=﹣x2+x+3，∴x=（1±），
又∵x＞0，∴x=（1+），∴y=（3+），则D点的坐标是：（（1+，（3+））．
②假设存在满足条件的点G（a，b）．
若构成的四边形是▱ACGF，（下图1）则G与C关于直线x=2对称，
∴G点的坐标是：（4，3）；
若构成的四边形是▱ACFG，（下图2）则由平行四边形的性质有b=﹣3，
又∵﹣a2+a+3=﹣3，∴a=2±2，此时G点的坐标是：（2±2，﹣3）

方法二：（1）略．（2）①连接CM，DM，
∵D为抛物线：y=﹣x2+x+3上的一点，∴设D（t，﹣t2+t+3），∴E（t，0），
∵M为OE中点，∴M（，0），
∵C（0，3），CD与⊙M相切，∴∠MDC=∠EDM，∠OCM=∠MCD，
∵DE⊥x轴，∴∠OCD+∠CDE=180°
∴∠MCD+∠MDC=90°∴CD⊥DM，
∴KCM×KDM=﹣1，
∴=﹣1，∴，∴D（，）．
②∵F是x轴上的动点，∴设F（t，0），
∵A（﹣2，0），C（0，3），∴，∴，同理：或，
∴﹣（t+2）2+t+2+3=3，∴，∴﹣（﹣t﹣2）2﹣t﹣2+3=3，∴，
∴﹣（t﹣2）2+t﹣2+3=﹣3，t﹣2=2±，
综上所述，满足题意的点G1（4，3），G2（2﹣，﹣3），G3（2+，﹣3）．

　

10.方法一：解：（1）直线解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，∴A（0，2），
∵抛物线y=x2+bx+c的图象过点A（0，2），E（﹣1，0），∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y=x2+x+2．
（2）∵直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A，∴P（6，0），A（0，2），
∴OP=6，OA=2．
∵AC⊥AB，OA⊥OP，∴Rt△OCA∽Rt△OPA，∠OAC=∠OPA，∴，
∴OC=，
又C点在x轴负半轴上，∴点C的坐标为C（，0）．

（3）抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于A、B两点，令x2+x+2=x+2，
解得x1=0，x2=，∴B（，）．
如答图①所示，过点B作BD⊥x轴于点D，则D（，0），BD=，DP=6﹣=．
点M在坐标轴上，且△MAB是直角三角形，有以下几种情况：
①当点M在x轴上，且BM⊥AB，如答图①所示．设M（m，0），则MD=﹣m．
∵BM⊥AB，BD⊥x轴，∴，即，解得m=，
∴此时M点坐标为（，0）；
②当点M在x轴上，且BM⊥AM，如答图①所示．
设M（m，0），则MD=﹣m．
∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽Rt△MDB，∴，即，
化简得：m2﹣m+=0，解得：m1=，m2=，
∴此时M点坐标为（，0），（，0）；
（说明：此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点）
③当点M在y轴上，且BM⊥AM，如答图②所示．
此时M点坐标为（0，）；
④当点M在y轴上，且BM′⊥AB，如答图②所示．
设M′（0，m），则AM=2﹣=，BM=，MM′=﹣m．
易知Rt△ABM∽Rt△BM′M，∴，即，解得m=，
∴此时M′点坐标为（0，）．
综上所述，除点C外，在坐标轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形．
符合条件的点M有5个，其坐标分别为：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）．
方法二：（1）略．
（2）抛物线y=﹣x2+x+2与直线y=﹣x+2交于A、B两点，﹣x2+x+2=﹣x+2，解得：x1=0，x2=，∴B（，），
∵AC⊥AB，∴KAC×KAB=﹣1，又KAB=﹣，∴KAC=3，
∵A（0，2），∴lAC：y=3x+2，当y=0时，x=﹣，∴点C的坐标为（﹣，0）．
（3）①当M在y轴时，过B作y轴垂线得M1（0，），
作BM⊥AB交y轴于M，∴KBM×KAB=﹣1，
∴KAB=﹣，KBM=3，又B（，），∴lBM：y=3x﹣，∴M2（0，﹣）．
②当M在x轴时，当y=0，x=，∴M3（，0），
∵AM⊥BM，∴KAM×KBM=﹣1，
∵A（0，2），B（，），设M（t，0），∴=﹣1，
∴t2﹣t+=0，
∴t=或，
∴M4（，0），M5（，0）．









　
11.方法一：解：（1）①∵把x=代入 y=x2，得 y=2，∴P（，2），∴OP=
∵PA丄x轴，∴PA∥MO．
∴tan∠P0M=tan∠0PA==．
②设 Q（n，n2），∵tan∠QOB=tan∠POM，∴．∴n=∴Q（，），∴OQ=．
当OQ=OC时，则C1（0，），C2（0，）；
当OQ=CQ时，则C3（0，1）；当CQ=CO时，OQ为底，不合题意．
综上所述，当△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形时，所求点C坐标为：C1（0，），C2（0，），C3（0，1）；
（2）①设 Q（n，n2），
∵△APO∽△BOQ，∴∴，得n=，∴Q（，）．
②设直线PQ的解析式为：y=kx+b，把P（m，m2）、Q（，）代入，得：，
①﹣②得：m2﹣=（m+）k，解得：k=m﹣③，
把③代入①，得：b=1，∴M（0，1）
∵，∠QBO=∠MOA=90°，∴△QBO∽△MOA∴∠MAO=∠QOB，∴QO∥MA
同理可证：EM∥OD
又∵∠EOD=90°，∴四边形ODME是矩形．
方法二：（1）略．
（2）①∵OP⊥OQ，∴KOP×KOQ=﹣1，
∵KOP==，KOQ=﹣，∴lOQ：y=﹣x，y=x2∴x1=0（舍），x2=﹣，∴Q（﹣，），
设点C（0，t），O（0，0），
∵△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形．∴OQ=OC或QO=QC，
∴（0+）2+（0﹣）2=（0﹣0）2+（0﹣t）2，∴t=±，
∴（0+）2+（0﹣）2=（﹣﹣0）2+（﹣t）2，∴t=1，
∴C1（0，），C2（0，﹣），C3（0，1），
（3）∵Px=m，∴PY=m2，∴KOP=m，
又OQ⊥OP，∴KOP×KOQ=﹣1，∴KOQ=﹣，∴lOQ：y=﹣x，
∵y=x2，∴Q（﹣，），P（m，m2），∴lPQ：y=（m﹣）x+1，
即M（0，1），又A（m，0），B（﹣，0），O（0，0），
∴KAM==﹣，∵KOQ=﹣，KAM=KOQ，∴AM∥OQ，
∴KBM==m，∵KOP=m，∴KBM=KOP，∴BM∥OP，
∴四边形ODME是平行四边形，又OP⊥OQ，∴四边形ODME为矩形．

　
12.方法一：
解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．
联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，解得：x=﹣1或x=2，
当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，
∴A（﹣1，0），B（2，3）．

（2）设P（x，x2﹣1）．
如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．

∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．
S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF
∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+当x=时，yP=x2﹣1=﹣．
∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．

（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，
则E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1．
在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF==．
令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．
∴C（﹣k，0），OC=k．
Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．

设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．∴EN=OE﹣ON=﹣．
∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，∴，即：，
解得：k=±，∵k＞0，∴k=．
∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=．
Ⅱ、若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，
将C（﹣k，0）代入y=kx+1中，
可得k=1，k=﹣1（舍去），
故存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=1．
综上所述，k=或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°．
方法二：（1）略．（2）过点P作x轴垂线，叫直线AB于F，
设P（t，t2﹣1），则F（t，t+1）∴S△ABP=（FY﹣PY）（BX﹣AX），∴S△ABP=（t+1﹣t2+1）（2+1），
∴S△ABP=﹣t2+t+3，当t=时，S△ABP有最大值，∴S△ABP=．
（3）∵y=x2+（k﹣1）x﹣k，∴y=（x+k）（x﹣1），
当y=0时，x1=﹣k，x2=1，
∴C（﹣k，0），D（1，0），
点Q在y=kx+1上，设Q（t，kt+1），O（0，0），
∵∠OQC=90°，∴CQ⊥OQ，∴KCQ×KOQ=﹣1，∴＜
∴（k2+1）t2+3kt+1=0有唯一解，
∴△=（3k）2﹣4（k2+1）=0，
∴k1=，k2=﹣（k＞0故舍去），∴k=．
　












13.解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x﹣3）2+4，
将A（0，﹣5）代入求得：a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5．

（2）抛物线的对称轴l与⊙C相离．证明：
令y=0，即﹣x2+6x﹣5=0，得x=1或x=5，∴B（1，0），C（5，0）．
如答图①所示，设切点为E，连接CE，
由题意易证Rt△ABO∽Rt△BCE，∴，即，
求得⊙C的半径CE===；
而点C到对称轴x=3的距离为2，2＞，∴抛物线的对称轴l与⊙C相离．

（3）存在．理由如下：有两种情况：
（I）如答图②所示，点P在x轴上方．
∵A（0，﹣5），C（5，0），∴△AOC为等腰直角三角形，∠OCA=45°；
∵PC⊥AC，∴∠PCO=45°．
过点P作PF⊥x轴于点F，则△PCF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m，n），则有OF=m，PF=CF=n，OC=OF+CF=m+n=5 ①
又点P在抛物线上，∴n=﹣m2+6m﹣5 ②
联立①②式，解得：m=2或m=5．
当m=5时，点P与点C重合，故舍去，∴m=2，∴n=3，
∴点P坐标为（2，3）；

（II）如答图③所示，点P在x轴下方．
∵A（0，﹣5），C（5，0），∴△AOC为等腰直角三角形，∠OAC=45°；
过点P作PF⊥y轴于点F，
∵PA⊥AC，∴∠PAF=45°，即△PAF为等腰直角三角形．
设点P坐标为（m，n），则有PF=AF=m，OF=﹣n=OA+AF=5+m，∴m+n=﹣5 ①
又点P在抛物线上，∴n=﹣m2+6m﹣5 ②
联立①②式，解得：m=0或m=7．
当m=0时，点P与原点重合，故舍去，∴m=7，∴n=﹣12，
∴点P坐标为（7，﹣12）．
综上所述，存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．点P的坐标为（2，3）或（7，﹣12）．





　
14.解：（1）把A（1，﹣4）代入y=kx﹣6，得k=2，∴y=2x﹣6，
令y=0，解得：x=3，∴B的坐标是（3，0）．
∵A为顶点，∴设抛物线的解析为y=a（x﹣1）2﹣4，
把B（3，0）代入得：4a﹣4=0，解得a=1，
∴y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．
（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y=﹣x．
设P（m，﹣m），则﹣m=m2﹣2m﹣3，解得m=（m=＞0，舍），
∴P（，）．
（3）①如图，当∠Q1AB=90°时，△DAQ1∽△DOB，∴=，即=，∴DQ1=，
∴OQ1=，即Q1（0，）；
②如图，当∠Q2BA=90°时，△BOQ2∽△DOB，∴=，即=，∴OQ2=，即Q2（0，）；
③如图，当∠AQ3B=90°时，作AE⊥y轴于E，
则△BOQ3∽△Q3EA，∴=，即=，∴OQ32﹣4OQ3+3=0，∴OQ3=1或3，
即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．
综上，Q点坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．

　



















15.方法一：
解：（1）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=3，OE=2．
∵tan∠DBA==，∴BE=6，∴OB=BE﹣OE=4，∴B（﹣4，0）．
∵点B（﹣4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）上，
∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2．
（2）抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2，
令x=0，得y=﹣2，∴C（0，﹣2），
令y=0，得x=﹣4或1，∴A（1，0）．
设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0），
如答图1所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=﹣n，OF=﹣m，BF=4+m．
S四边形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC=BF•MF+（MF+OC）•OF+OA•OC
=（4+m）×（﹣n）+（﹣n+2）×（﹣m）+×1×2=﹣2n﹣m+1
∵点M（m，n）在抛物线y=x2+x﹣2上，∴n=m2+m﹣2，代入上式得：
S四边形BMCA=﹣m2﹣4m+5=﹣（m+2）2+9，
∴当m=﹣2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9．
（3）假设存在这样的⊙Q．
如答图2所示，设直线x=﹣2与x轴交于点G，与直线AC交于点F．
设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，﹣2）代入得：，
解得：k=2，b=﹣2，
∴直线AC解析式为：y=2x﹣2，
令x=﹣2，得y=﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF=6．
在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF===3．
设Q（﹣2，n），则在Rt△QGO中，由勾股定理得：OQ==．
设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=．
在Rt△AGF与Rt△QEF中，
∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE，
∴Rt△AGF∽Rt△QEF，
∴，即，
化简得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=4或n=﹣1．
∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．
方法二：（1）略．（2）∵y=x2+﹣2，∴C（0，﹣2），A（1，0），
连接BC，过点M作x轴垂线，交BC于H，设M（t，t2+t﹣2），
∵B（﹣4，0），C（0，﹣2），∴lBC：y=﹣x﹣2，∴H（t，﹣t﹣2），
S△BCM=（Cx﹣Bx）（Hy﹣My）=×4×（﹣t﹣2﹣t2﹣t+2）=﹣t2﹣4t，
∴当t=﹣2时，S△BCM有最大值等于4，
S△ABC=×5×2=5，∴四边形BMCA面积最大值等于9．

（3）若存在，设圆心为Q（﹣2，t），切点为E，则QE⊥AC，∴KQE×KAC=﹣1，
∵lAC：y=2x﹣2，∴KAC=2，KQE=﹣，∴设lQE：y=﹣x+b，把Q（﹣2，t）代入，
∴b=t﹣1，∴lQE：y=﹣x+t﹣1，
∵lAC：y=2x﹣2，∴x=t+，y=t﹣，∴E（t+，t﹣），Q（﹣2，t），O（0，0），
∵OQ=QE，
∴t2+22=（t++2）2+（t﹣﹣t）2，
∴t2﹣3t﹣4=0，
∴t1=﹣1，t2=4，
∴Q1（﹣2，﹣1），Q2（﹣2，4）．


　





























16.方法一：
解：（1）由题意，得，解得：，∴抛物线的解析式为：y=
（2）如图①，设P（a，a2﹣1），则OE=a，PE=a2﹣1，
∵PQ⊥l，∴EQ=2，∴QP=a2+1．
在Rt△POE中，由勾股定理，得PO==，∴PO=PQ；
（3）①如图②，∵BN⊥l，AM⊥l，
∴BN=BO，AM=AO，BN∥AM，
∴∠BNO=∠BON，∠AOM=∠AMO，∠ABN+∠BAM=180°．
∵∠BNO+∠BON+∠NBO=180°，∠AOM+∠AMO+∠OAM=180°，
∴∠BNO+∠BON+∠NBO+∠AOM+∠AMO+∠OAM=360°
∴2∠BON+2∠AOM=180°，∴∠BON+∠AOM=90°，
∴∠MON=90°，∴ON⊥OM；
②如图③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交抛物线与F，作F′E⊥DG于E，

∴∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90°，FO=FG，F′H=F′O，
∴四边形GHF′E是矩形，FO+FD=FG+FD=DG，F′O+F′D=F′H+F′D ∴EG=F′H，
∴DE＜DF′，∴DE+GE＜HF′+DF′，∴DG＜F′O+DF′，
∴FO+FD＜F′O+DF′，∴F是所求作的点．
∵D（1，1），∴F的横坐标为1，∴F（1，﹣）．
方法二：（1）略．（2）略．
（3）①设直线l与y轴交于点H，由（2）知，改抛物线上任意一点到原点的距离等于到直线l的距离，
∴OA=AM，∠AOM=∠OMA，
∵AM∥y轴，∴∠HOM=∠OMA，∠AOM=∠HOM．
同理∠BON=∠NOH，
∵∠AOM+∠HOM+∠BON+∠NOH=180°，
∴∠HOM+∠NOH=90°，∴ON⊥OM．
②由（2）知抛物线上任意一点到O点的距离等于到直线l的距离．
过点F作直线l的垂线，垂足为G，
∴FO=FG，当且仅当D，F，G三点共线时，FD+FO取得最小值，
∵D（1，1），∴Fx=1把x=1代入y=x2﹣1，
∴y=﹣，F（1，﹣）．
　



17.方法一：
解：（1）把点A（1，0）和B（4，0）代入y=ax2+bx+2得，，解得，
所以，抛物线的解析式为y=x2﹣x+2；

（2）抛物线的对称轴为直线x=，
∵四边形OECF是平行四边形，∴点C的横坐标是×2=5，
∵点C在抛物线上，∴y=×52﹣×5+2=2，∴点C的坐标为（5，2）；
（3）设OC与EF的交点为D，
∵点C的坐标为（5，2），∴点D的坐标为（，1），
①点O是直角顶点时，易得△OED∽△PEO，∴=，即=，解得PE=，
所以，点P的坐标为（，﹣）；
②点C是直角顶点时，同理求出PF=，所以，PE=+2=，所以，点P的坐标为（，）；
③点P是直角顶点时，由勾股定理得，OC==，
∵PD是OC边上的中线，∴PD=OC=，
若点P在OC上方，则PE=PD+DE=+1，此时，点P的坐标为（，），
若点P在OC的下方，则PE=PD﹣DE=﹣1，此时，点P的坐标为（，），
综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（，﹣）或（，）或（，）或（，），使△OCP是直角三角形．
方法二：（1）略．（2）∵FC∥x轴，∴当FC=OE时，四边形OECF是平行四边形．
设C（t，），∴F（，+2），∴t﹣=，∴t=5，C（5，2）．

（3）∵点P在抛物线的对称轴上，设P（，t），O（0，0），C（5，2），
∵△OCP是直角三角形，∴OC⊥OP，OC⊥PC，OP⊥PC，
①OC⊥OP，∴KOC×KOP=﹣1，∴，∴t=﹣，∴P（，﹣），
②OC⊥PC，∴KOC×KPC=﹣1，∴=﹣1，∴t=，P（，），
③OP⊥PC，∴KOP×KPC=﹣1，∴，
∴4t2﹣8t﹣25=0，∴t=或，
点P的坐标为（，）或（，），
综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（，﹣）或（，）或（，）或（，），使△OCP是直角三角形．

　
18.解：（1）根据题意，得，解得，∴抛物线对应的函数表达式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）存在．连接AP，CP，如下图所示：

在y=x2﹣2x﹣3中，令x=0，得y=﹣3．
令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，
∴x1=﹣1，x2=3．
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
又y=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点M（1，﹣4），
容易求得直线CM的表达式是y=﹣x﹣3．
在y=﹣x﹣3中，令y=0，得x=﹣3．
∴N（﹣3，0），
∴AN=2，
在y=x2﹣2x﹣3中，令y=﹣3，得x1=0，x2=2．
∴CP=2，
∴AN=CP．
∵AN∥CP，
∴四边形ANCP为平行四边形，此时P（2，﹣3）；

（3）方法一：
△AEF是等腰直角三角形．
理由：在y=﹣x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=3．
∴直线y=﹣x+3与坐标轴的交点是D（0，3），B（3，0）．
∴OD=OB，
∴∠OBD=45°，
又∵点C（0，﹣3），
∴OB=OC．
∴∠OBC=45度，
由图知∠AEF=∠ABF=45°，∠AFE=∠ABE=45°，
∴∠EAF=90°，且AE=AF．
∴△AEF是等腰直角三角形；
方法二：
∵y=x2﹣2x﹣3，∴B（3，0），C（0，﹣3），
∴lBC：y=x﹣3，
∵lBD：y=﹣x+3，
∴KBC×KBD=﹣1，
∴∠EBF=90°，∵EF为直径，∴∠EAF=90°，
∵点E在直线BD上，∴设E（t，﹣t+3），A（﹣1，0），
∴KAE=，
∵EA⊥AF，∴KAF=，
∵A（﹣1，0），∴lAF：y=x+，
∵lBD：y=x﹣3，∴x=﹣t+2，y=﹣t﹣1，
∴F（﹣t+2，﹣t﹣1），E（t，﹣t+3），
∴AE2=（t+1）2+（﹣t+3）2，
AF2=（﹣t+2+1）2+（﹣t﹣1）2=（t+1）2+（﹣t+3）2，
∴AE2=AF2，
∴AE=AF，
∴△AEF为等腰直角三角形．

（4）当点E是直线y=﹣x+3上任意一点时，（3）中的结论：△AEF是等腰直角三角形成立．

　
19.方法一：
解：（1）如图1，
∵A（﹣3，0），C（0，4），∴OA=3，OC=4．∵∠AOC=90°，∴AC=5．
∵BC∥AO，AB平分∠CAO，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．∴BC=AC．∴BC=5．
∵BC∥AO，BC=5，OC=4，
∴点B的坐标为（5，4）．
∵A（﹣3，0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，∴解得：
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．

（2）如图2，
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（﹣3，0）、B（5，4）在直线AB上，∴解得：
∴直线AB的解析式为y=x+．
设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．
∴yP=t+，yQ=﹣t2+t+4．∴PQ=yQ﹣yP=﹣t2+t+4﹣（t+）
=﹣t2+t+4﹣t﹣=﹣t2++=﹣（t2﹣2t﹣15）
=﹣[（t﹣1）2﹣16]=﹣（t﹣1）2+．
∵﹣＜0，﹣3≤t≤5，∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．∴线段PQ的最大值为．
（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．
抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．∴xH=xG=xM=．
∴yG=×+=．∴GH=．
∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．
∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，∴△AHG∽△MHA．∴．
∴=．解得：MH=11．∴点M的坐标为（，﹣11）．
②当∠ABM=90°时，如图4所示．
∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，
∴BG===．
同理：AG=．
∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，
∴△AGH∽△MGB．∴=．∴=．解得：MG=．
∴MH=MG+GH=+=9．
∴点M的坐标为（，9）．
综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．
方法二：（1）略．（2）略．（3）∵y=﹣x2+x+4，
∴抛物线的对称轴为：x=，
∵△ABM是以AB为直角边的直角三角形，
①∵点M在抛物线的对称轴上，设M（，t），
∵A（﹣3，0），B（5，4），
∴MA⊥BA，KMA×KBA=﹣1，
∴=﹣1，∴t=﹣11，∴M（，﹣11），
②∴MB⊥BA，KMB×KBA=﹣1，∴=﹣1，∴t=9，M（，9），
综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．

（4）∵AM⊥BM，∴KAM×KBM=﹣1，
∴=﹣1，
∴4t2﹣16t﹣55=0，
∴t=或，
∴M1（，），M2（，）．


　


20.方法一：
解：（1）若m=2，抛物线y=x2﹣2mx=x2﹣4x，∴对称轴x=2，
令y=0，则x2﹣4x=0，解得x=0，x=4，∴A（4，0），
∵P（1，﹣2），令x=1，则y=﹣3，∴B（1，﹣3），∴C（3，﹣3）．

（2）∵抛物线y=x2﹣2mx（m＞1），∴A（2m，0）对称轴x=m，
∵P（1，﹣m）把x=1代入抛物线y=x2﹣2mx，则y=1﹣2m，
∴B（1，1﹣2m），∴C（2m﹣1，1﹣2m），
∵PA2=（﹣m）2+（2m﹣1）2=5m2﹣4m+1，
PC2=（2m﹣2）2+（1﹣m）2=5m2﹣10m+5，
AC2=1+（1﹣2m）2=2﹣4m+4m2，
∵△ACP为直角三角形，
∴当∠ACP=90°时，PA2=PC2+AC2，
即5m2﹣4m+1=5m2﹣10m+5+2﹣4m+4m2，整理得：4m2﹣10m+6=0，
解得：m=，m=1（舍去），
当∠APC=90°时，PA2+PC2=AC2，
即5m2﹣4m+1+5m2﹣10m+5=2﹣4m+4m2，整理得：6m2﹣10m+4=0，
解得：m=，m=1，和1都不符合m＞1，故m=．

（3）设点F（x，y）是直线PE上任意一点，过点F作FN⊥PM于N，
∵∠FPN=∠PCB，∠PNF=∠CBP=90°，
∴Rt△FNP∽Rt△PBC，
∴NP：NF=BC：BP，即=，∴y=2x﹣2﹣m，
∴直线PE的解析式为y=2x﹣2﹣m．
令y=0，则x=1+，∴E（1+m，0），∴PE2=（﹣m）2+（m）2=，
∴=5m2﹣10m+5，解得：m=2，m=，
∴E（2，0）或E（，0），
∴在x轴上存在E点，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（2，0）或E（，0）；
令x=0，则y=﹣2﹣m，
∴E（0，﹣2﹣m）∴PE2=（﹣2）2+12=5
∴5m2﹣10m+5=5，解得m=2，m=0（舍去），∴E（0，﹣4）
∴y轴上存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（0，﹣4），
∴在坐标轴上是存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，E点的坐标为（2，0）或（，0）或（0，﹣4）；
方法二：（1）略．（2）∵P（1，﹣m），∴B（1，1﹣2m），
∵对称轴x=m，∴C（2m﹣1，1﹣2m），A（2m，0），
∵△ACP为直角三角形，∴AC⊥AP，AC⊥CP，AP⊥CP，
①AC⊥AP，∴KAC×KAP=﹣1，且m＞1，
∴，m=﹣1（舍）
②AC⊥CP，∴KAC×KCP=﹣1，且m＞1，
∴=﹣1，∴m=，
③AP⊥CP，∴KAP×KCP=﹣1，且m＞1，
∴=﹣1，∴m=（舍）
（3）∵P（1，﹣m），C（2m﹣1，1﹣2m），
∴KCP=，
△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PE⊥PC，∴KPE×KCP=﹣1，∴KPE=2，
∵P（1，﹣m），
∴lPE：y=2x﹣2﹣m，
∵点E在坐标轴上，
∴①当点E在x轴上时，
E（，0）且PE=PC，
∴（1﹣）2+（﹣m）2=（2m﹣1﹣1）2+（1﹣2m+m）2，
∴m2=5（m﹣1）2，
∴m1=2，m2=，
∴E1（2，0），E2（，0），
②当点E在y轴上时，E（0，﹣2﹣m）且PE=PC，
∴（1﹣0）2+（﹣m+2+m）2=（2m﹣1﹣1）2+（1﹣2m+m）2，
∴1=（m﹣1）2，
∴m1=2，m2=0（舍），
∴E（0，4），
综上所述，（2，0）或（，0）或（0，﹣4）．

　

















21.方法一：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），∴，解得b=0，c=﹣1，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣1．

（2）△MAB是等腰直角三角形．
由抛物线的解析式为：y=x2﹣1可知A（﹣1，0），B（1，0），
∴OA=OB=OM=1，∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°，
∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°，AM=BM，∴△MAB是等腰直角三角形．
（3）MC⊥MD；
分别过C点，D点作y轴的平行线，交x轴于E、F，过M点作x轴的平行线交EC延长线于G，交DF于H，
设D（m，m2﹣1），C（n，n2﹣1），∴OE=﹣n，CE=1﹣n2，OF=m，DF=m2﹣1，
∵OM=1，∴CG=n2，DH=m2，
∵EG∥DH，∴=，即=，
m（1﹣n2）=﹣n（m2﹣1），m﹣mn2=﹣m2n+n，（m2n﹣mn2）=﹣m+n，
mn（m﹣n）=﹣（m﹣n），∴mn=﹣1解得m=﹣，
∵==﹣n，===﹣n，∴=，
∵∠CGM=∠MHD=90°，∴△CGM∽△MHD，
∴∠CMG=∠MDH，∵∠MDH+∠DMH=90°
∴∠CMG+∠DMH=90°，∴∠CMD=90°，即MC⊥MD．
方法二：
（1）略．
（2）A（﹣1，0），B（1，0），M（0，﹣1），
∴KAM==﹣1，KBM==1，∴KAM×KBM=﹣1，∴AM⊥BM，
又AM=，
BM=，∴AM=BM，
∴△MAB为等腰直角三角形．

（3）当直线为x轴时，直线CD与抛物线的交点为A，B，由（2）可知CM⊥DM，设CD的直线方程为：y=kx（k≠0）
∴⇒x=或，
∴C（，），D（，），
KCM=，KDM=，
∴KCM×KDM=﹣1，∴CM⊥DM．

　
22.方法一：解：（1）∵y=x﹣1，当x=0时，y=﹣1，∴B（0，﹣1）．
当x=﹣3时，y=﹣4，∴A（﹣3，﹣4）．
∵y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点，∴，∴，
∴抛物线的解析式为：y=x2+4x﹣1；

（2）∵P点横坐标是m（m＜0），∴P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）
如图1①，作BE⊥PC于E，∴BE=﹣m．
CD=1﹣m，OB=1，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，
∴PD=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2，∴，
解得：m1=0（舍去），m2=﹣2，m3=﹣；
如图1②，作BE⊥PC于E，∴BE=﹣m．
PD=m2+4m﹣1+1﹣m=3m+m2，∴=2×，
解得：m=0（舍去）或m=（舍去）或m=，
∴m=﹣，﹣2或时，S四边形OBDC=2S△BPD；

（3）如图2，当∠APD=90°时，设P（m，m2+4m﹣1），则D（m，m﹣1），
∴AP=m+3，CD=1﹣m，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，
∴DP=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2．
在y=x﹣1中，当y=0时，x=1，∴F（1，0），∴OF=1，∴CF=1﹣m．AF=4．
∵PC⊥x轴，∴∠PCF=90°，∴∠PCF=∠APD，∴CF∥AP，
∴△APD∽△FCD，，∴，
解得：m=﹣1或m=﹣3（舍去），
∴P（﹣1，﹣4）
如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，
∴∠AEF=90°，CE=m+3，EF=4，AF=4，PD=m﹣1﹣（﹣1+4m+m2）=﹣3m﹣m2．
∵PC⊥x轴，∴∠DCF=90°，∴∠DCF=∠AEF，
∴AE∥CD．∴，∴AD=（3+m）．
∵△PAD∽△FEA，∴，∴，∴m=﹣2或m=﹣3（舍去）
∴P（﹣2，﹣5）．
当∠APD=90°时
∴点A与点P关于对称轴对称
∵A（﹣3，﹣4）∴P（﹣1，﹣4）
综上，存在点P（﹣2，﹣5）或P（﹣1，﹣4）使△PAD是直角三角形．
方法二：（1）略．（2）∵S四边形OBDC=2S△BPD，
∴OC×（OB+CD）=2×DP×OC，
∴OB+CD=2DP，
∵P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1），B（0，1），
∵CD=1﹣m，OB=1，
∴1+1﹣m=2|m2+4m﹣1﹣m+1|，
①﹣2m2﹣6m=2﹣m，
∴2m2+5m+2=0，
∴m1=﹣，m2=﹣2，
②2m2+6m=2﹣m，
∴2m2+7m﹣2=0，
m=（舍）或m=，
∵m＜0，∴满足题意的解m1=﹣，m2=﹣2，m3=，
（3）设P（m，m2+4m﹣1），则D（m，m﹣1），A（﹣3，﹣4），
∵△PAD是直角三角形，∴PD⊥PA，PD⊥DA，PA⊥DA．
①PD⊥PA，∵PD⊥x轴，∴PA∥x轴，∴PY=AY，
∴m2+4m﹣1=﹣4，∴m=﹣1，m=﹣3（舍），
②PD⊥DA，∵PD⊥x轴，
∴DA∥x轴，∴DY=AY，
∴m﹣1=﹣4，m=﹣3（舍）
③PA⊥DA，∴KPA×KDA=﹣1，
∴=﹣1，
∴m=﹣2，
综上，存在点P1（﹣1，﹣4），P2（﹣2，﹣5）使△PAD是直角三角形．


　










23.方法一：
解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，∴﹣=2，0=0+0+c，
∴b=4，c=0，∴y=﹣x2+4x．

（2）如图1，连接OB，OC，过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，

∵=，∴=，∴=，
∵EB∥FC，∴==．
∵y=kx+4交y=﹣x2+4x于B，C，∴kx+4=﹣x2+4x，即x2+（k﹣4）x+4=0，
∴△=（k﹣4）2﹣4•4=k2﹣8k，
∴x=，或x=，
∵xB＜xC，∴EB=xB=，FC=xC=，
∴4•=，
解得 k=9（交点不在y轴右边，不符题意，舍去）或k=﹣1．∴k=﹣1．

（3）∵∠BOC=90°，∴∠EOB+∠FOC=90°，
∵∠EOB+∠EBO=90°，∴∠EBO=∠FOC，
∵∠BEO=∠OFC=90°，∴△EBO∽△FOC，∴，
∴EB•FC=EO•FO．
∵xB=，xC=，且B、C过y=kx+4，
∴yB=k•+4，yC=k•+4，
∴EO=yB=k•+4，OF=﹣yC=﹣k•﹣4，
∴•=（k•+4）•（﹣k•﹣4），
整理得 16k=﹣20，∴k=﹣．
方法二：
（1）略．（2）过点B作y轴垂线，垂足为E，设直线AC与x轴交点为H，
∵lAC：y=kx+4，当y=0时，x=﹣，即H（﹣，0），
⇒x=或，
∴BX=，CX=，
BY=，CY=，
S△AOB=AO×BE=×4×Bx，S△BOC=OH×（BY﹣CY）
∵，∴OH×（BY﹣CY）=3×4×BX，
∴，
∴k2﹣8k﹣9=0，∴k1=﹣1，k2=9，
由图象可知k＜0，∴k=﹣1．

（3）∵以BC为直径的圆经过原点，
∴OB⊥OC，∴KOB×KOC=﹣1，
∴=﹣1，
∴k=﹣．

　
24.方法一：
解：（1）由A（4，0），可知OA=4，
∵OA=OC=4OB，∴OA=OC=4，OB=1，∴C（0，4），B（﹣1，0）．
设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，则，解得：，
则抛物线的解析式是：y=﹣x2+3x+4；

（2）存在．
第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．
∵∠ACP1=90°，∴∠MCP1+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，∴∠MCP1=∠OAC．
∵OA=OC，∴∠MCP1=∠OAC=45°，∴∠MCP1=∠MP1C，∴MC=MP1，
设P（m，﹣m2+3m+4），
则m=﹣m2+3m+4﹣4，
解得：m1=0（舍去），m2=2．∴﹣m2+3m+4=6，
即P（2，6）．
第二种情况，当点A为直角顶点时：过A作AP2，交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP2交y轴于点F．∴P2N∥x轴，
由∠CAO=45°，∴∠OAP2=45°，∴∠FP2N=45°，AO=OF．∴P2N=NF，
设P2（n，﹣n2+3n+4），则n=（﹣n2+3n+4）+4，
解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），
∴﹣n2+3n+4=﹣6，
则P2的坐标是（﹣2，﹣6）．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，
根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．
又∵DF∥OC，∴DF=OC=2，∴点P的纵坐标是2．
则﹣x2+3x+4=2，解得：x=，
∴当EF最短时，点P的坐标是：（，2）或（，2）．
方法二：（1）略．（2）①当以C为直角顶点时，过点C作CP⊥AC，交抛物线于点P，
∵A（4，0），C（0，4），∴KAC=﹣1，
∵CP⊥AC，∴KCP×KAC=﹣1，KCP=1，∴lCP：y=x+4，∴⇒x2﹣2x=0，
∴x1=0（舍），x2=2，
∴P（2，6），
②当点A为直角顶点时，过点A做AP⊥AC交抛物线于点P，
∵AP⊥AC，∴KAP×KAC=﹣1，∴KAP=1
∴lAP：y=x﹣4，∴⇒x2﹣2x﹣8=0，
∴x1=4（舍），x2=﹣2，∴P（﹣2，﹣6），
综上所述，P点的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6），

（3）设P（t，﹣t2+3t+4），E（0，﹣t2+3t+4），
lAC：y=﹣x+4，
∴D（t2﹣3t，﹣t2+3t+4），F（t2﹣3t，0），
∴EF2=（t2﹣3t）2+（t2﹣3t﹣4）2，
令t2﹣3t=m，
∴EF2=m2+（m﹣4）2=2m2﹣8m+16，
∴当m=2时，EF2有最小值，即t2﹣3t=2时，
∴t=或，
∴当EF最短时，点P的坐标是：（，2）或（，2）．
　
25.方法一：
解：（1）∵当x=﹣2时，y=（﹣2）k+2k+4=4．∴直线AB：y=kx+2k+4必经过定点（﹣2，4）．
∴点C的坐标为（﹣2，4）．
（2）∵k=﹣，∴直线的解析式为y=﹣x+3．联立，解得：或．
∴点A的坐标为（﹣3，），点B的坐标为（2，2）．
过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q，
过点A作AM⊥PQ，垂足为M，
过点B作BN⊥PQ，垂足为N，如图1所示．

设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为a．∴yP=a2，yQ=﹣a+3．
∵点P在直线AB下方，∴PQ=yQ﹣yP=﹣a+3﹣a2
∵AM+NB=a﹣（﹣3）+2﹣a=5．∴S△APB=S△APQ+S△BPQ
=PQ•AM+PQ•BN=PQ•（AM+BN）=（﹣a+3﹣a2）•5=5．
整理得：a2+a﹣2=0．
解得：a1=﹣2，a2=1．当a=﹣2时，yP=×（﹣2）2=2．
此时点P的坐标为（﹣2，2）．当a=1时，yP=×12=．
此时点P的坐标为（1，）．
∴符合要求的点P的坐标为（﹣2，2）或（1，）．
（3）过点D作x轴的平行线EF，作AE⊥EF，垂足为E，作BF⊥EF，垂足为F，如图2．

∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AED=∠BFD=90°．
∵∠ADB=90°，∴∠ADE=90°﹣∠BDF=∠DBF．
∵∠AED=∠BFD，∠ADE=∠DBF，∴△AED∽△DFB．∴．
设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，
则点A、B、D的纵坐标分别为m2、n2、t2．
AE=yA﹣yE=m2﹣t2．BF=yB﹣yF=n2﹣t2．
ED=xD﹣xE=t﹣m，DF=xF﹣xD=n﹣t．
∵，∴=．∴=．
∵t≠m，t≠n，∴=
去分母并整理得：mn+（m+n）t+t2+4=0．
∵点A、B是直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交点，
∴m、n是方程kx+2k+4=x2即x2﹣2kx﹣4k﹣8=0两根．
∴m+n=2k，mn=﹣4k﹣8．∴﹣4k﹣8+2kt+t2+4=0，
即t2+2kt﹣4k﹣4=0．即（t﹣2）（t+2k+2）=0．
∴t1=2，t2=﹣2k﹣2（舍）．∴定点D的坐标为（2，2）．
过点D作x轴的平行线DG，
过点C作CG⊥DG，垂足为G，如图3所示．

∵点C（﹣2，4），点D（2，2），∴CG=4﹣2=2，DG=2﹣（﹣2）=4．
∵CG⊥DG，∴DC====2．
过点D作DH⊥AB，垂足为H，如图3所示，
∴DH≤DC．
∴DH≤2．
∴当DH与DC重合即DC⊥AB时，
点D到直线AB的距离最大，最大值为2．
∴点D到直线AB的最大距离为2．
方法二：
（1）略．
（2）当k=﹣时，直线AB：y=﹣x+3，又y=x2，
∴x1=﹣3，x2=2，∴A（﹣3，），B（2，2），
过点P作x轴垂线，交直线AB于Q，设P（t，），
∴Q（t，﹣t+3），
S△ABP=（QY﹣PY）（BX﹣AX）=（﹣t+3﹣t2）（3+2）=5，
∴t2+t﹣2=0，∴t1=﹣2，t2=1，∴P1（﹣2，2），P2（1，）．
（3）∵D为抛物线上一点，∴设D（m，m2），A（x1，），B（x2，），
∵∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∴KAD×KBD=﹣1，×=﹣1，
∴m2+（x1+x2）m+x1x2=﹣4，
∵y=kx+2k+4，y=x2，∴x2﹣2kx﹣4k﹣8=0，∴x1+x2=2k，x1x2=﹣4k﹣8，
∴m2+2km﹣4k﹣8=﹣4，∴m2+2km﹣4k﹣4=0，
∴当m=2时，此式与k无关，
∴D（2，2）
∵y=kx+2k+4经过定点C（﹣2，4），
∴当CD⊥AB时，距离最大，
∴CD=．