中考数学三轮冲刺考前强化练习04 三角形与四边形（教师版）

这是一份中考数学三轮冲刺考前强化练习04 三角形与四边形（教师版），共43页。试卷主要包含了三角形的三边关系，三角形外角，特殊三角形，三角形与圆等内容，欢迎下载使用。

04 三角形与四边形
知识点包含：三角形三边关系、与三角形的几条重要线段、等腰（边）三角形的性质与判断、直角三角形的性质与判断、特殊平行四边形性质定理、
特殊平行四边形的判定定理、n边形的内角和与外角和公式、
三角形全等（相似）的判断定理、全等（相似）三角形的性质定理、

知识点清单：
知识点一：三角形
1、三角形的三边关系：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和
2、三角形外角：三角形的外角等于和它不相邻的两内角的和
3、特殊三角形：
（1）等腰三角形：注意双解，并用三角形三边关系进行验证
等腰三角形的性质：等边对等角、 三线合一（顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高）
底边上的任一点到两腰的高（距离之和）之和等于一腰上的高
等腰三角形的判定：等边对等角 三线合一
（2）等边三角形的判定：有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形
（3）直角三角形：两锐角互余、勾股定理、斜边的中线等于斜边的一半
30度角所对的直角边等于斜边的一半
4、 三角形重要的线段：
（1）线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等，（看到垂直平分线找等腰三角形）
（2）角平分线上的点，到角两边的距离相等，（看到平行线、角平分线找等腰三角形）
（3）中位线性质：平行于第三边并且等于第三边的一半
5、三角形与圆
（1）三边垂直平分线的交点是外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等
（2）三角角平分线的交点是内切圆圆心，到三角形三边的距离相等
（3）直角三角形内切圆半径= （其中a、b为直角三角形的直角边；c为斜边）

6、在三角形中看到中点想中位线和中线，
一般用倍长中线法、斜边的中线等于斜边的一半
中考在线：
1、（2018•陇南）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则c＝　　．
【解答】解：∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，
∴a﹣7＝0，b﹣1＝0，
解得a＝7，b＝1，
∵7﹣1＝6，7+1＝8，
∴6＜c＜8，
又∵c为奇数，
∴c＝7，
故答案是：7．
2、（2019•金华）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．8
【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
即符合的只有3，
故选：C．
3、（2017•白银）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（　　）
A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0
【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，
∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式＝a+b﹣c+（c﹣a﹣b）
＝a+b﹣c+c﹣a﹣b＝0．
故选：D．
4、（2019•青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（　　）

A．35° B．40° C．45° D．50°
【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝，∠AFB＝∠EFB＝90°，
∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°，
∴AB＝BE，
∴AF＝EF，
∴AD＝ED，
∴∠DAF＝∠DEF，
∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，
∴∠BED＝∠BAD＝95°，
∴∠CDE＝95°﹣50°＝45°，
故选：C．


5、（2017•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（　　）

A．1 B． C． D．2
【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，
∵P是Rt△ABC的重心，
∴CD是△ABC的中线，PD＝CD，
∵∠C＝90°，
∴CD＝AB＝3，
∵AC＝BC，CD是△ABC的中线，
∴CD⊥AB，
∴PD＝1，即点P到AB所在直线的距离等于1，
故选：A．

6、（2019•大庆）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠EBM＝∠ABC，
∵CE是外角∠ACM的平分线，
∴∠ECM＝∠ACM，
则∠BEC＝∠ECM﹣∠EBM＝×（∠ACM﹣∠ABC）＝∠A＝30°，[来源:学§科§网Z§X§X§K]
故选：B．
7、（2019•恩施州）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠CFE的度数为（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
【解答】证明：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴∠ADE＝∠B，∠B＝∠EFC，
∴∠ADE＝∠EFC＝65°，
故选：B．

8、（2018•湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（　　）

A．20° B．35° C．40° D．70°
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，[来源:Z_xx_k.Com]
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°．
故选：B．
9、（2019•天水）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（　　）

A．（1，1） B．（1，） C．（，1） D．（，）
【解答】解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，

∴OH＝1，BH＝．
∴点B的坐标为（1，）．
故选：B．
10、（2018•包头）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE．若∠C+∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为（　　）

A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠C+∠BAC＝2∠C+∠BAC＝180°，
又∵∠C+∠BAC＝145°，
∴∠C＝35°，
∵∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴∠AED＝45°，
∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝10°，
故选：D．
11、（2018•广安）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝　2　．

【解答】解：作EH⊥OA于H，
∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB，EH⊥OA，
∴EH＝EC＝1，∠AOB＝30°，
∵EF∥OB，
∴∠EFH＝∠AOB＝30°，∠FEO＝∠BOE，
∴EF＝2EH＝2，∠FEO＝∠FOE，
∴OF＝EF＝2，
故答案为：2．


12、（2019•大连）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝2，则AD的长为　　．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝60°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠BAD＝90°，
∴AD＝＝＝2．
故答案为2．
13、（2019•聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F，使CF＝BC，连接FE并延长交AB于点M．若BC＝a，则△FMB的周长为　　．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2a，AC＝a．
∵DE是中位线，
∴CE＝a．
在Rt△FEC中，利用勾股定理求出FE＝a，
∴∠FEC＝30°．
∴∠A＝∠AEM＝30°，
∴EM＝AM．
△FMB周长＝BF+FE+EM+BM＝BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB＝．
故答案为．
14、（2019•临沂）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是　　．

【解答】解：∵DC⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACD＝30°，
延长CD到H使DH＝CD，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADH与△BCD中，，
∴△ADH≌△BCD（SAS），
∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，
∵∠ACH＝30°，
∴CH＝AH＝4，
∴CD＝2，
∴△ABC的面积＝2S△BCD＝2××4×2＝8，
故答案为：8．

15、（2019•哈尔滨）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为　　度．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，

∵∠B＝30°，
∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，

∵∠A＝50°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，
综上，则∠BCD的度数为60°或10°；
故答案为：60°或10；
16、（2018•包头）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：
①△ACE≌△BCD；
②若∠BCD＝25°，则∠AED＝65°；
③DE2＝2CF•CA；
④若AB＝3，AD＝2BD，则AF＝．
其中正确的结论是　①②③　．（填写所有正确结论的序号）

【解答】解：∵∠ACB＝90°，
由旋转知，CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，，
∴△BCD≌△ACE，故①正确；

∵∠ACB＝90°，BC＝AC，
∴∠B＝45°
∵∠BCD＝25°，
∴∠BDC＝180°﹣45°﹣25°＝110°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠AEC＝∠BDC＝110°，
∵∠DCE＝90°，CD＝CE，
∴∠CED＝45°，
则∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝65°，故②正确；

∵△BCD≌△ACE，
∴∠CAE＝∠CBD＝45°＝∠CEF，
∵∠ECF＝∠ACE，
∴△CEF∽△CAE，
∴，
∴CE2＝CF•AC，
在等腰直角三角形CDE中，DE2＝2CE2＝2CF•AC，故③正确；

如图，过点D作DG⊥BC于G，
∵AB＝3，
∴AC＝BC＝3，
∵AD＝2BD，
∴BD＝AB＝，
∴DG＝BG＝1，
∴CG＝BC﹣BG＝3﹣1＝2，
在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD＝＝，
∵△BCD≌△ACE，
∴CE＝，
∵CE2＝CF•AC，
∴CF＝＝，
∴AF＝AC﹣CF＝3﹣＝，故④错误，
故答案为：①②③．

[来源:学科网]
知识点二：四边形
1、 特殊平行四边形问题，关键看各特殊平行四边形的边、角、对角线的性质
① 平行四边形：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称图形
② 矩形的特殊性：每个角是直角、对角线相等且互相平分、 中心对称图形和轴对称图形
矩形问题转化为：等腰三角形、直角三角形、三角形相似、面积不变
③菱形的特殊性：每条边相等、对角线相互垂直且互相平分、中心对称图形和轴对称图形
菱形问题转化为：直角三角形、等边三角形、
④ 正方形特殊性：每个角是直角、 每条边相等、对角线相等、垂直且互相平分、中心对称图形和轴对称图形 [来源:Zxxk.Com]
正方形问题转化为：直角三角形、等腰直角三角形
2、 中点四边形：只与原图形的对角线有关
原图形的对角线没有关系：得到平行四边形
原图形的对角线相等：得到菱形
原图形的对角线垂直：得到矩形
原图形的对角线相等且垂直：得到正方形
中考在线：
1、（2019•娄底）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【解答】解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC且EF＝AC，
同理，GH∥AC且GH＝AC，
∴EF∥GH且EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，
∴EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故选：C．

2、（2019•宁夏）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）

A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
【解答】解：∵四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
当∠ABD＝∠CBD时，
由AD∥BC得：∠CBD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
故选：C．
3、（2019•朝阳）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为（　　）

A．5 B．6 C．10 D．6
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，
∴OC＝OD，
∵EO＝2DE，
∴设DE＝x，OE＝2x，
∴OD＝OC＝3x，AC＝6x，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC＝∠OEC＝90°，
在Rt△OCE中，
∵OE2+CE2＝OC2，
∴（2x）2+52＝（3x）2，
∵x＞0，
∴DE＝，AC＝6，
∴CD＝＝＝，
∴AD＝＝＝5，
故选：A．
4、（2019•鄂尔多斯）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为（　　）

A．15° B．35° C．45° D．55°
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
在等边△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝∠AEB＝60°，
在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝∠BAD+∠BAE＝90°+60°＝150°，
所以，∠AED＝（180°﹣150°）＝15°，
所以∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°．
故选：C．
5、（2019•包头）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（　　）

A． B． C．﹣1 D．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF＝15°，
在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示：
∴AG＝FG，∠DGF＝30°，
∴DF＝FG＝AG，DG＝DF，
设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x，
∵AG+DG＝AD，
∴2x+x＝1，
解得：x＝2﹣，
∴DF＝2﹣，
∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣）＝﹣1；
故选：C．

6、（2019•抚顺）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（　　）

A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC
【解答】解：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，
∴EN、NF、FM、ME分别是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线，
∴EN∥AB∥FM，ME∥CD∥NF，EN＝AB＝FM，ME＝CD＝NF，
∴四边形EMFN为平行四边形，
当AB＝CD时，EN＝FM＝ME＝NF，
∴平行四边形ABCD是菱形；
当AB⊥CD时，EN⊥ME，
则∠MEN＝90°，
∴菱形EMFN是正方形；
故选：A．
7、（2019•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，若点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（　　）

A．1 B． C．2 D．4
【解答】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，∴，＝
∵G、H分别是AC的三等分点
∴，＝
∴
∴EG∥BC
∴，且BC＝6
∴EG＝2，
同理可得HF∥AD，HF＝2
∴四边形EHFG为平行四边形，且EG和HF间距离为1
∴S四边形EHFG＝2×1＝2，
故选：C．

8、（2019•广州）如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（　　）

A．EH＝HG
B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD
D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
【解答】解：∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，
∴EH＝AD＝2，HG＝AB＝1，
∴EH≠HG，故选项A错误；
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴EH＝，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；
由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；
∵点E、F分别为OA和OB的中点，
∴EF＝，EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB，
∴，
即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，
故选：B．
9、（2019•广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（　　）

A．4 B．4 C．10 D．8
【解答】解：连接AE，如图：
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，
∴AB＝＝＝4，
∴AC＝＝＝4；
故选：A．

10、（2019•乐山）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：
如图，设BC＝x，则CE＝1﹣x
易证△ABC∽△FEC
∴＝＝＝
解得x＝
∴阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝
故选：A．

11、（2019•绵阳）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（　　）

A．（2，） B．（，2） C．（，3） D．（3，）
【解答】解：过点E作EF⊥x轴于点F，
∵四边形OABC为菱形，∠AOC＝60°，
∴＝30°，∠FAE＝60°，
∵A（4，0），
∴OA＝4，
∴＝2，
∴，EF＝＝＝，
∴OF＝AO﹣AF＝4﹣1＝3，
∴．
故选：D．

12、（2019•遂宁）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，
若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（　　）

A．28 B．24 C．21 D．14
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形的周长为28，
∴AB+AD＝14
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝ED，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝14，
故选：D．
13、（2019•沈阳）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，若AD＝BC＝2，则四边形EGFH的周长是　4　．

【解答】证明：∵E、G是AB和AC的中点，
∴EG＝BC＝×＝，
同理HF＝BC＝，
EH＝GF＝AD＝＝．
∴四边形EGFH的周长是：4×＝4．
故答案为：4．
14、（2019•内江）如图，点A、B、C在同一直线上，且AB＝AC，点D、E分别是AB、BC的中点，分别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作S1、S2、S3，若S1＝，则S2+S3＝　　．

【解答】解：设BE＝x，则EC＝x，AD＝BD＝2x，

∵四边形ABGF是正方形，
∴∠ABF＝45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴BD＝DH＝2x，
∴S1＝DH•AD＝，即2x•2x＝，
，
∵BD＝2x，BE＝x，
∴S2＝MH•BD＝（3x﹣2x）•2x＝2x2，
S3＝EN•BE＝x•x＝x2，
∴S2+S3＝2x2+x2＝3x2＝，
故答案为：．
15、（2019•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　　．

【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
16、（2019•广西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝　　．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，
∴BD＝8，
∵S菱形ABCD＝AC×BD＝24，
∴AC＝6，
∴OC＝AC＝3，
∴BC＝＝5，
∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，
∴AH＝；
故答案为：．
17、（2019•兰州）如图，矩形ABCD，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若BE＝1，则矩形ABCD的面积等于　3　．

【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
由作图知，AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE，
过E作EF⊥AC于F，
∴EF＝BE＝1，
∴AC＝2CF＝2，
∴AB＝，BC＝3，
∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝3，
故答案为：3．

18、（2019•武汉）如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为　21°　．

【解答】解：设∠ADE＝x，
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，
∵AE＝EF＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCA＝x，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，
∴2x＝63°﹣x，
解得：x＝21°，
即∠ADE＝21°；
故答案为：21°．
19、（2019•绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为　15°或45°　．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠BAM＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD＝AB，
当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，
∴∠ADE＝45°，
当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E′A＝E′M，
∴△AE′M为等边三角形，
∴∠E′AM＝60°，
∴∠DAE′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∵AD＝AE′，
∴∠ADE′＝15°，
故答案为：15°或45°．

20、（2019•菏泽）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是　8　．

【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，
由勾股定理得：DE＝＝＝2，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×＝8，
故答案为：8．

21、（2019•青海）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．

【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE
∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
∴AE＝DE，BD＝CD
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
（2）由（1）知，AF＝BD，且BD＝CD，
∴AF＝CD，且AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴四边形ADCF是菱形．



知识点三：三角形、四边形技巧：
在解决三角形问题时，应注意找边和角；四边形问题应注意边、角、对角线和进行转化为三角形
1、 看到题目中的特殊词，应注意联系：
角平分线：找角相等或到角两边的距离相等的线段
（引申双平一等找等腰三角形）
垂直平分线：找相等的线段或等腰三角形
等边对等角、三线合一、底上任一点到两腰的距离之和为一腰的高线
看中点：找相等线段→引申看有没有三角形全等
倍长中线利用全等或直角三角形斜边中线
找中位线，利用中位线与第三边的平行和一半的关系
高线：找直角三角形，看30°角、斜边的中线、锐角的三角函数
2、看到公共角、直角→想三角形相似
看到公共角、一边重合→想三角形相似（想射影定理或母子相似）
锐角三角函数只能在直角三角形中
3、无论全等还是相似，
找角相等的方法：公共角、对顶角、等边对等角、平行线、角平分线、三角形外角、同弧所对的圆周角、 等角的余角相等、圆内接四边形定理：外角=它的内对角
找边相等的方法：等角对等边、直角三角形斜边的中线、中点、双平一等、夹在两平行线间的平行线段、
4、三角形全等的判定定理：边角边定理、角边角定理、边边边定理、HL
两三角形相似的判定定理：两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例、直角三角形。
5、 四边形的内角和等于360°；外角和等于360°
6、 n边形的内角和等于180°；
任意多边形的外角和等于360°
设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为。
7、点到线的距离指点到线的垂线段的长；利用两平行线间的距离求同底等高的三角形面积
8、在求三角形面积比问题：在相似三角形中，面积比=相似比的平方
在等底（或等高）的三角形面积比为高的比（或底的比）
9、在看到菱形或直角三角形时，常用等积法求有关问题
中考在线：
1．（2018•天水）如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E．若OE＝3，BC＝8，则OB的长为（　　）

A．4 B．5 C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥CD，AD＝BC＝8，
∵OE∥AB
∴OE∥CD
∴，且AO＝AC，OE＝3
∴CD＝6，
在Rt△ADC中，AC＝＝10
∵点O是斜边AC上的中点，
∴BO＝AC＝5
故选：B．
2．（2018•铁岭）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC：BD＝3：4，AE⊥CD于点E，则AE的长是（　　）

A．4 B． C．5 D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，
∵AC：BD＝3：4，
∴AO：OB＝3：4，
设AO＝3x，OB＝4x，则AB＝5x，
∵AB＝5，
∴5x＝5，x＝1，
∴AC＝6，BD＝8，
S菱形ABCD＝，
∴，
AE＝，
故选：B．
3．（2018•德阳）如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FO＝3OC，连接AB、AC、BC，则在△ABC中S△ABO：S△AOC：S△BOC＝（　　）

A．6：2：1 B．3：2：1 C．6：3：2 D．4：3：2
【解答】解：连接BF．设平行四边形AFEO的面积为4m．
∵FO：OC＝3：1，BE＝OB，AF∥OE
∴S△OBF＝S△AOB＝m，S△OBC＝m，S△AOC＝，
∴S△AOB：S△AOC：S△BOC＝m：：m＝3：2：1
故选：B．
4．（2018•兰州）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD＝3．

∵∠A＝∠G，∠AEB＝∠GED，AB＝GD＝3，
∴△AEB≌△GED．
∴AE＝EG．
设AE＝EG＝x，则ED＝4﹣x，
在Rt△DEG中，ED2＝GE2+GD2，x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝．
故选：C．
5、（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（　　）

A．1 B． C． D．
【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，
∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1，
∴AD∥GF，
∴∠GFH＝∠PAH，
又∵H是AF的中点，
∴AH＝FH，
在△APH和△FGH中，
∵，
∴△APH≌△FGH（ASA），
∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，
∴PD＝AD﹣AP＝1，
∵CG＝2、CD＝1，
∴DG＝1，
则GH＝PG＝×＝，
故选：C．
6、（2018•宿迁）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是（　　）

A． B．2 C．2 D．4
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD是菱形，AO＝CO，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB＝AD＝4，
∵∠BAD＝60°，
∴DH＝4×＝2，
∴S菱形ABCD＝4×2＝8，
∴S△CDA＝×8＝4，
∵点E为边CD的中点，
∴OE为△ADC的中位线，
∴OE∥AD，
∴△CEO∽△CDA，
∴△OCE的面积＝×S△CDA＝×4＝，
（方法二：∵点E是DC边上的中点，
∴△OCE的面积为△ODC的面积的一半，
∵四边形ABCD是菱形，且周长为16，
∴∠BCD＝∠BAD，∠OCD＝∠OCB，CD＝4，
又∵∠BAD＝60°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝2，根据勾股定理可求出OC的长，进而可求△OCD的面积．）
故选：A．


7、（2018•眉山）如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确结论的个数共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．

∵CD＝2AD，DF＝FC，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠FBH，
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△CFG（ASA），
∴FE＝FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故②正确，
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确，
故选：D．
8、（2018•益阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC，②四边形ADEF为菱形，③S△ADF：S△ABC＝1：4．其中正确的结论是　①②③　．（填写所有正确结论的序号）

【解答】解：①∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线，
∴AD＝AB＝FE，AF＝AC＝FC，DF＝BC＝EC．
在△ADF和△FEC中，，
∴△ADF≌△FEC（SSS），结论①正确；
②∵E、F分别为BC、AC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF＝AB＝AD，
∴四边形ADEF为平行四边形．
∵AB＝AC，D、F分别为AB、AC的中点，
∴AD＝AF，
∴四边形ADEF为菱形，结论②正确；
③∵D、F分别为AB、AC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴＝（）2＝，结论③正确．
故答案为：①②③．
9、（2018•赤峰）如图，P是▱ABCD的边AD上一点，E、F分别是PB、PC的中点，若▱ABCD的面积为16cm2，则△PEF的面积（阴影部分）是　2　cm2．

【解答】解：∵▱ABCD的面积为16cm2，
∴S△PBC＝S▱ABCD＝8，
∵E、F分别是PB、PC的中点，
∴EF∥BC，且EF＝BC，
∴△PEF∽△PBC，
∴＝（）2，即＝，
∴S△PEF＝2，
故答案为：2．
10、（2018•镇江）如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE＝AB，CF＝CB，AG＝AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于　27　．

【解答】解：在CD上截取一点H，使得CH＝CD．连接AC交BD于O，BD交EF于Q，EG交AC于P．

∵＝，
∴EG∥BD，同法可证：FH∥BD，
∴EG∥FH，同法可证EF∥GH，
∴四边形EFHG是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥EG，
∴四边形EFHG是矩形，易证点O在线段FG上，四边形EQOP是矩形，
∵S△EFG＝6，
∴S矩形EQOP＝3，即OP•OQ＝3，
∵OP：OA＝BE：AB＝2：3，
∴OA＝OP，同法可证OB＝3OQ，
∴S菱形ABCD＝•AC•BD＝×3OP×6OQ＝9OP×OQ＝27．
故答案为27．
11、（2018•苏州）如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为　2　（结果留根号）．

【解答】解：连接PM、PN．

∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，
∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，
∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，
∴∠MPN＝60°+30°＝90°，
设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），
∴MN＝＝＝，
∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2，
故答案为2．
12、（2018•青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　　．

【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF＝＝，
∴GH＝BF＝，
故答案为：．
13、（2019•潍坊）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．
（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．
（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形
∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°
∵AD∥BC，AH∥DG
∴四边形AHGD是平行四边形
∴AH＝DG，AD＝HG＝CD
∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG
∴△DCG≌△HGF（SAS）
∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD
∴AH＝HF，
∵∠HGD+∠DGF＝90°
∴∠HFG+∠DGF＝90°
∴DG⊥HF，且AH∥DG
∴AH⊥HF，且AH＝HF
∴△AHF为等腰直角三角形．
（2）∵AB＝3，EC＝5，
∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5
∵AD∥EF
∴＝，且DE＝2
∴EM＝
14、（2019•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
15、（2018•巴彦淖尔）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G；
（1）求证：△CFG≌△AEG；
（2）若AB＝6，求四边形AGCD的对角线GD的长．

【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，AF⊥BC，
∴AB＝AC，AC＝BC，
∴AB＝AC＝BC，
∴∠B＝60°，
∴∠BAF＝∠BCE＝30°，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴AE＝CF，
在△CFG和△AEG中，
，
∴△CFG≌△AEG；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形，
∴∠ADC＝∠B＝60°，AD＝CD，
∵AD∥BC，CD∥AB，
∴AF⊥AD，CE⊥CD，
∵△CFG≌△AEG，
∴AG＝CG，
∵GA⊥AD，GC⊥CD，GA＝GC，
∴GD平分∠ADC，
∴∠ADG＝30°，
∵AD＝AB＝6，
∴DG＝＝4．

16、（2018•兰州）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接
DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，
CF．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．
（2）若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长．

【解答】解：（1）∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵AB∥CD，[来源:学。科。网Z。X。X。K]
∴∠AFE＝∠CDE，
在△AEF和△CED中，
∵，
∴△AEF≌△CED（AAS），
∴AF＝CD，
又AB∥CD，即AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形；

（2）∵AB∥CD，
∴△GBF∽△GCD，
∴＝，即＝，
解得：CD＝，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AF＝CD＝，
∴AB＝AF+BF＝+＝6．