专题27 向量的数量积-数量积的投影定义（解析版）学案

专题27  向量的数量积-数量积的投影定义

【热点聚焦与扩展】

平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．

1、向量的投影：

（1）有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果实数满足，且当与轴同向时，，当与轴反向时，，则称为轴上有向线段的值.

（2）点在直线上的投影：若点在直线外，则过作于，则称为在直线上的投影；若点在直线上，则在在直线上的投影与重合.所以说，投影往往伴随着垂直.

（3）向量的投影：已知向量，若的起点在所在轴（与同向）上的投影分别为，则向量在轴上的值称为在上的投影，向量称为在上的投影向量.

2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记为向量的夹角

（1）为锐角：则投影（无论是在上的投影还是在上的投影）均为正

（2）为直角：则投影为零

（3）为钝角：则投影为负

3、投影的计算公式：以在上的投影为例，通过构造直角三角形可以发现

（1）当为锐角时，，因为，所以

（2）当为锐角时，，因为，所以即

（3）当为直角时，，而，所以也符合

综上可得：在上的投影，即被投影向量的模乘以两向量的夹角

4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：

向量数量积公式为，可变形为或，进而与向量投影找到联系

（1）数量积的投影定义：向量的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即（记为在上的投影）

（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：

，即数量积除以被投影向量的模长

5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题

（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）

（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题

【经典例题】

例1．（2020·吉林高三三模）已知向量，，若，，则在上的投影为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，，，

所以，解得，

所以，，

所以在上的投影为.

故选：A.

例2．（2020·安徽省泗县第一中学高三三模）已知向量，，，则在方向上的投影为（    ）

A．-5 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【解析】因为向量，，，

所以，即，

解得，

所以，

所以.

故选：A.

例3．（2020·湖北武汉·高三三模）已知向量，满足，在上投影为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】在上投影为，即.

，，,则，，

，

.

故选：B．

例4．（2020·湖南天心·长郡中学高三三模）在中,则在方向上的投影为（    ）．

A．4 B．3 C．-4 D．5

【答案】C

【解析】对等式两边平方得，

，整理得，，则，

，

设向量与的夹角为，

所以，在方向上的投影为，

故选C．

例5．（2020·哈尔滨市第一中学校高三三模）设，，，且，则向量在上的投影的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，，，建立以点为原点的直角坐标系，

设，，则，，

即有．

设向量与的夹角为，

所以向量在上的投影为．

当时，；

当时，，由可得，，即，所以；

当时，，由可得，，即，所以．

综上可知，向量在上的投影的取值范围为．

故选：A．

例6．（2020·全国高三三模）已知非零向量，满足，且，，，则在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵，

∴，∴，

又，，，

，

设和的夹角为，

∴在方向上的投影为，

即.

故选：A.

例7．（2020·全国山东省实验高三三模）已知，，，是边上的点，且，为的外心，的值为（    ）

A．8 B．10 C．18 D．9

【答案】D

【解析】因为，所以，因此；

取，中点分别为，则，；

因此，

所以.

故选D

例8．（2020·浙江高三三模）已知向量，，向量在向量上的投影等于1，则的最小值为______.

【答案】

【解析】由向量在向量上的投影等于1，可知（向量、夹角）又，，所以

当与反向，时，等号成立.

故答案为:

【精选精练】

1．（2020·四川省内江市第六中学高三三模）已知向量与的夹角是，且，，则在上的投影为（    ）.

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】由题意，向量与的夹角是，且，，

所以在上的投影为.

故选：A.

2．（2020·浙江高三三模）已知，，，则在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意知：，

∴，

故在方向上的投影：，故选：A

3．（2020·安徽高三三模）已知向量，满足，，且在方向上的投影是，则实数（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】D

【解析】由题意得，则在方向上的投影是，化简得，得，解得（舍去）或.所以.

故选：D.

4．（2020·梅河口市第五中学三模）如图，已知圆中，弦的长为，圆上的点满足，那么在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解法一：连接BC，由得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，为正三角形，所以，弦AB的长为，所以在方向上的投影为，

故选：D.

解法二：由，得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，建立如图所示的直角坐标系，则，所以，，所以，
所以，所以在方向上的投影为，

故选：D.

5．（2020·安徽省舒城中学高三三模）已知非零向量满足，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为在方向上的投影与在方向上的投影相等，

 设这两个向量的夹角为，则，

 又由且，

所以，故选B.

6．（2020·浙江高三三模）已知，，是空间单位向量，且满足，若向量.则在方向上的投影的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，

∴，

，

∴①，

因为要求最大值，故不妨取，

令，则，

代入①式得②，

令，

故②式小于等于.故选：D.

7．（2020·哈尔滨市第一中学校高三三模）设，，，，且，则向量在上的投影的取值范围　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由于，则．由于，，如图所示建系，设，，

由于，且，则P、A、B三点共线．

设，则，即．

向量在上的投影为

设，

所以当时，；

当时，

当时，，所以，解得；

当时，，所以，解得．

综上，向量在上的投影的取值范围为．

故选：C．

8．（2020·浙江高三三模）若，，平面内一点，满足，的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由，可得

因为，所以，即是角平分线

所以由角平分线的性质可得

设，则，由可得

因为

当且仅当，即时等号成立，即的最小值为

所以的最大值是故选：C

9．（2020·重庆高三三模）最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的（九章算术也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有满足“勾3股4弦5”.其中.D为弦BC上一点（不含端点），且满足勾股定理.则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由等面积法可得，依题意可得，，则在上的投影为，所以.

故选：D

10．（2020·辽宁沙河口·辽师大附中高三三模）在中，，向量 在上的投影的数量为，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵向量 在上的投影的数量为，

∴．①

∵，∴，

∴．②

由①②得，

∵为的内角，∴，

∴．

在中，由余弦定理得

，

∴．故选C．

11．（2020·浙江省富阳中学高三三模）已知向量，，满足，在方向上的投影为2，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，向量的夹角为，则，则，

因为，所以.

不妨设，，设，

则，整理得，

所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆，记圆心为，

又，即，

当直线过圆心，且垂直于轴时，可取得最小值，即.

12．（2020·广东广州·高三三模）在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-，0），C（，0），P（0，0），

由可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即轴上，且圆心到直线BC的距离为，即圆心为，半径为.

所以点A的轨迹方程为：，则 ，则 ，

由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|，

则在方向上投影的最大值是，故选C．