菏泽一中2020-2021第一学期高三数学宏志班小练习（2020年11月20）

菏泽一中2020-2021第一学期高三数学宏志班小练习（14）

2020.11.20

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．方程所表示曲线的大致形状为（    ）

A．     B．      C．     D．

2．方程表示的曲线是（ ）

A．一个圆 B．两个半圆 C．两个圆 D．半圆

3．已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则x0的取值范围是(　　)

A.       B.      C.        D.

4、已知M，N分别是椭圆＋y2＝1和圆C：x2＋(y－4)2＝1上的动点，则|MN|的最大值为(　　)

A．5        B．6        C．2＋1        D．3＋1

5．已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足，且，则当取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为(　　)

A.        B.          C．4          D．5

6．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是(　　)

A．[3，＋∞)      B．(3，＋∞)       C．(1，3]          D．(1，3)

7、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋)2＝1上一点，则|MN|＋|MF2|的最小值为(　　)

A．8      B．9        C．10        D．11

8、已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝6(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)

A.       B．3        C.         D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．下列说法正确的是（    ）

A．方程表示一条直线            B．到x轴的距离为2的点的轨迹方程为

C．方程表示四个点        D．是的必要不充分条件

10．动点分别到两定点连线的斜率的乘积为，设的轨迹为曲线，分别为曲线的左、右焦点，则下列命题中正确的有（    ）

A．曲线的焦点坐标为；       B．若，则；

C．的内切圆的面积的最大值为；    D．设，则的最小值为．

11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（    ）

A．点P的轨迹曲线是一条线段

B．点P的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点

C．不是“最远距离直线”

D．是“最远距离直线”

12、如图，已知椭圆C1：＋y2＝1，过抛物线C2：x2＝4y焦点F的直线交抛物线于M，N两点，连接NO，MO并延长分别交C1于A，B两点，连接AB，△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN，S△OAB，则在下列命题中，正确的为(　　)

A．若记直线NO，MO的斜率分别为k1，k2，则k1k2的大小是定值为－.

B．△OAB的面积S△OAB是定值1.

C．线段OA，OB长度的平方和|OA|2＋|OB|2是定值4。

D．设λ＝，则λ≥2。

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13、 椭圆E：＋＝1的左顶点为A，点B，C是椭圆E上的两个动点，若直线AB与AC的斜率乘积为定值－，则动直线BC恒过定点的坐标为________．

14、已知A，B是椭圆E：＋＝1(a>b>0)上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若△ABF面积的最大值恰为2，则椭圆E的长轴长的最小值为________．

15．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上(P不与A1，A2重合)且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________．

16．已知F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，K点是△F1PF2内切圆的圆心，过F1作F1M⊥PK于M，O是坐标原点，则|OM|的取值范围为________．

菏泽一中2020-2021第一学期高三数学宏志班小练习（14）参考答案

1、答案：A【解析】令，解得，令，解得，故排除C、D选项；易知该函数图象不是圆，排除B选项，又因为点满足条件.

2、答案：A  【解析】,表示一个圆，选A

3、答案：A  解析：由题意可知F1(－，0)，F2(，0)，则·＝(x0＋)·(x0－)＋y＝x＋y－3<0.因为点P在椭圆上，所以y＝1－.所以x＋－3<0，解得－<x0<，即x0的取值范围是.

4、.答案：D   解析：圆心为(0，4)，设M(x，y)，则|MC|＝＝，又因为－1≤y≤1，所以当y＝－时，|MC|max＝3，则|MN|max＝3＋1

5、答案：B  解析：由·＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，所以所求的距离d＝.

6、答案：A   解析：依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x＋2＝0.因为渐近线与抛物线有交点，所以Δ＝－8≥0，求得b2≥8a2，所以c＝≥3a，所以e＝≥3.

7、答案：B   解析：由题意可得2a＝6，即a＝3，渐近线方程为y＝±x，即有＝，即b＝1，可得双曲线方程为－y2＝1，焦点为F1(－，0)，F2(，0)，由双曲线的定义可得|MF2|＝2a＋|MF1|＝6＋|MF1|，由圆E：x2＋(y＋)2＝1可得E(0，－)，半径r＝1，|MN|＋|MF2|＝6＋|MN|＋|MF1|，连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，可得|MN|＋|MF1|取得最小值，且为|EF1|＝＝4，则|MN|＋|MF2|的最小值为6＋4－1＝9.

8、答案：D   解析：设直线AB的方程为x＝ty＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M(m，0)，将x＝ty＋m代入y2＝x，可得y2－ty－m＝0，则y1·y2＝－m.因为·＝6，所以x1x2＋y1y2＝6，从而(y1y2)2＋y1y2－6＝0.因为点A，B位于x轴的两侧，所以y1y2＝－3，故m＝3.不妨令点A在x轴上方，则y1>0，又F，所以S△ABO＋S△AFO＝×3×(y1－y2)＋×y1＝y1＋≥2＝，当且仅当y1＝，即y1＝时取“＝”，所以△ABO与△AFO面积之和的最小值是.

9、答案：CD  【解析】因为，所以，表示直线去掉点，故A错误；根据题意可知，满足要求的的轨迹方程为，故B错误；因为，所以，解得或或或，表示四个点，故C正确；因为时，，所以充分性不满足，又因为时，根据不等式性质可知，所以必要性满足，所以是的必要不充分条件，故D正确.

10、【答案】ACD  【解析】由题意可知:化解得，，，即曲线C的焦点坐标为，故A项正确；先推导焦点三角形面积公式：在中，设，，，由余弦定理得

∴,即，∴=．

故B项错误；在三角形中，设内切圆的半径为r ，由椭圆形定义， ，，解得（），当M在上顶点时，，内切圆半径r取最大值，内切圆最大面积为，故C正确；在三角形中,,则，当 三点共线，并且M在A的上方时，有最小值，即 ，故D项正确.

11、【答案】BCD【解析】由题意可得，点P到点M的距离比到直线l的距离小1，即等价于“点P到点M的距离等于到直线：的距离”，故P点轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，其方程是，故A错误点P的轨迹方程是抛物线，它与直线没交点，即两者是没有交会的轨迹，故B正确要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线有交点，把代入抛物线，消去y并整理得，因为，无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确；把代入抛物线，消去y并整理得，因为，有解，所以是“最远距离直线”，故D正确．

12、故选ABD.   解析：　A．F(0,1)，设直线MN的方程为y＝kx＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

联立方程组消元得：x2－4kx－4＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，∴y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，∴k1k2＝·＝＝－，故A正确；

B．设直线OA的方程为y＝mx(m＞0)，则直线OB的方程为y＝－x，

联立方程组解得x2＝，不妨设A在第三象限，则A，用－替换m可得B，∴A到OB的距离d＝＝，

又|OB|＝ ＝，

∴S△OAB＝·|OB|·d＝··＝1，故B正确；

C．又|OA|2＝＋＝，|OB|2＝，∴|OA|2＋|OB|2＝＝5，故C不正确；

D．联立方程组可得x(x－4m)＝0，故N(4m，4m2)，∴|ON|＝4m，－替换m可得M，∴M到直线OA的距离h＝＝，

∴S△OMN＝·|ON|·h＝2m＝2m＋≥2，当且仅当2m＝即m＝时取等号．

∴λ＝＝S△OMN≥2，故D正确．

13、答案：(1，0)    解析：由题意知A(－2，0)，设B(x1，y1)C(x2，y2)，设BC的方程为x＝ny＋t，代入椭圆方程得：(3n2＋4)y2＋6nty＋3t2－12＝0，则y1＋y2＝－，y1y2＝，直线AB与AC的斜率乘积为定值k1·k2＝·＝－，所以4y1y2＋(ny1＋t＋2)(ny2＋t＋2)＝0，即(n2＋4)y1y2＋n(t＋2)(y1＋y2)＋(t＋2)2＝0，韦达定理代入得t2＋t－2＝0，解得t＝1或－2，当t＝－2时，定点与A重合，舍去，所以t＝1，直线x＝ny＋1过定点(1，0)．

14、答案：4      解析：如图所示，设AB的方程为ty＝x，F(c,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

则y1＝－y2.联立可得y2＝＝－y1y2，

∴△ABF的面积S＝c|y1－y2|＝c＝c ≤cb，当t＝0时取等号．

∴bc＝2，∴a2＝b2＋c2≥2bc＝4，a≥2.

∴椭圆E的长轴长的最小值为4.

15、答案：  解析：由椭圆C：＋＝1可知左顶点A1(－2，0)，右顶点A2(2，0)，设P(x0，y0)(x0≠±2)，则＋＝1，得＝－，因为kPA1＝，kPA2＝，所以kPA1·kPA2＝＝－，又因为－2≤kPA2≤－1，所以－2≤－≤－1，解得≤kPA1≤，即直线PA1斜率的取值范围为.

16、答案：(0，)     解析：如图，延长PF2，F1M相交于N点，

∵K点是△F1PF2内切圆的圆心，∴PK平分∠F1PF2，

∵F1M⊥PK，∴|PN|＝|PF1|，M为F1N中点，

∵O为F1F2中点，M为F1N中点，

∴|OM|＝|F2N|＝||PN|－|PF2||＝||PF1|－|PF2||<|F1F2|＝c＝，∴|OM|的取值范围为(0，)．