2024届山东省菏泽市菏泽第一中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2024届山东省菏泽市菏泽第一中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合,定义差集且，若,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据新定义，直接计算即可求解.
【详解】且，，，
且，
故选：D
2．是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分，必要条件的定义，结合不等式的性质，即可判断.
【详解】，由，不能得到，也得不到，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
3．已知函数，则该函数在上的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】可以得出，从而可得出在上单调递减，在，上单调递增，从而求出在，上的最小值为，并求出，的值，这样即可得出在，上的值域．
【详解】，
在上单调递减，在，上单调递增，
是在，上的最小值，且，，
在，上的值域为，．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数的单调性，函数值域的定义及求法，根据函数单调性求值域的方法，考查了计算和推理能力，属于基础题．
4．函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】判断函数为奇函数排除CD，当时，排除A得到答案.
【详解】，
，函数为奇函数，
排除.
当时，，，故，排除.
故选：B
5．已知函数的图像关于对称，且对任意，∈，都有，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性与对称性，确定自变量到对称轴的距离即可得函数值大小关系.
【详解】函数的图像关于对称，且对任意，∈，都有，
则函数在上单调递减，在上单调递增
又，且
所以，即.
故选：B.
6．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分段函数单调性的性质，结合二次函数、反比例函数的单调性进行求解即可.
【详解】二次函数的对称轴为，且开口向下，
因为是上的增函数，
所以有，
故选：B
7．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、幂函数和对数函数的单调性可得出，，然后即可得出，，的大小关系
【详解】，，
．
故选：D．
8．若可导函数是定义在R上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，，又导函数得到在上单调递减，结合是定义在R上的奇函数得到与0的大小，从而解不等式.
【详解】令，，
则，
当时，，
故在上单调递减，
则当时，，
因为可导函数是定义在R上的奇函数，故，
当时，
所以，解得，
又，故不等式的解集为.
故选：B
二、多选题
9．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由二次不等式的解集可知，相应的二次函数图像开口向下，由相应的一元二次方程的两根结合起韦达定理可求的符号，将代入即可得解.
【详解】因为不等式的解集为，
故相应的二次函数的图像开口向下，所以，故A错误；
易知2和是方程的两个根，则有，，
又，故，，故BC正确；
因为，所以，故D正确．
故选：BCD
10．下列各组函数表示的是不同函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】ACD
【分析】利用相同函数的定义求解.
【详解】A. 的定义域为，且，的定义域为，解析式不同，所以不是同一函数，故错误；
B. 的定义域为R，定义域为R，且解析式相同，所以是同一函数，故正确；
C. 的定义域为R，的定义域为，所以不是同一函数，故错误；
D.，由得，所以的定义域为，由，得 或 ，
所以函数的定义域为或 ，所以不是同一函数，故错误；
故选：ACD
11．下列命题中正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．当时，的最小值是3
C．当时，的最大值是5
D．若正数满足，则的最小值为3
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，①，
但是无解，所以①等号不成立，所以A选项错误.
B选项，当时，，
，
当且仅当时等号成立，所以B选项正确.
C选项，当时，，
所以，
当且仅当时等号成立，所以C选项正确.
D选项，是正数，
，
当且仅当时等号成立，所以D选项正确.
故选：BCD
12．已知函数是定义域为的偶函数，满足，当时，，则（ ）
A．的最小值是，最大值是B．的周期为
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性求得正确答案.
【详解】由于，所以图象关于直线对称，
由于是定义在上的偶函数，所以图象关于轴对称，
所以是周期为的周期函数，B选项正确.
当时，，
当时，，所以，
当时，的开口向上，对称轴为，
所以，
根据的周期性、对称性可知的最小值是，最大值是，A选项正确.
，C选项错误.
，
，
所以，D选项正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知函数，则f（lg23）＝ ．
【答案】
【详解】由已知得
14．19世纪德国数学家狄利克雷提出的“狄利克雷函数”，在现代数学的发展过程中有着重要意义，已知狄利克雷函数的表达式为，则 .
【答案】
【分析】根据分段函数的性质，即可求解.
【详解】解：，
原式.
故答案为：1.
15．给出定义：如果函数的定义域为，值域也是，那么称函数为“保域函数”.下列函数中是“保域函数”的有 （填上所有正确答案的序号）.
①，；
②，；
③，；
④，.
【答案】①③④
【分析】根据函数的单调性与最值分析值域，结合“保域函数”的定义判断即可.
【详解】①在上单调递增，代入可得值域为，所以①是“保域函数”；
②，所以在上最小值为，所以不是“保域函数”；
③是上的递增函数，代入可得值域，所以是“保域函数”；
④是上的递增函数，代入可得值域，所以是“保域函数”.
故答案为：①③④
16．已知定义在R上的函数满足，，当时，，则 .
【答案】
【分析】先判定为定义在上的奇函数，则解出，再由判定函数是周期为4的周期函数，从而，最后结合奇偶性即可求解
【详解】由题意知为定义在上的奇函数，，即.
因为，所以，所以函数的周期为4，则.
因为，为奇函数，
所以.
故答案为：
四、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】根据指数和对数运算法则直接化简求解即可.
【详解】（1）.
（2）.
18．（1）已知求的解析式.
（2）已知函数，求函数，的解析式
（3）已知是二次函数，且，求的解析式
（4）已知函数满足，则=_____________.
【答案】（1），；（2）；；（3）；（4）.
【分析】（1）先令，求出的范围，再由题中条件，求出，进而可得的解析式；
（2）令，根据题中条件，求出，进而可得的解析式；
（3）设二次函数，根据题中条件，由待定系数法，即可求出解析式；
（4）由已知条件，得到，根据消元法，即可求出结果.
【详解】（1）令，当时，，当且仅当时，等号成立；
当时，，当且仅当时，等号成立；
所以；
又，所以，，
因此，；
（2）令，因为，所以，即；
所以；
（3）设二次函数，
因为，
所以，
即，即，
因此，解得，所以；
（4）因为函数满足①，
所以②，
②①可得：，
整理得.
【点睛】方法点睛：
求函数解析式的常用方法：
1.换元法：已知的解析式，求时，常用换元法求解，求解时利用，求出，再由相等函数的概念，即可得出结果；
2.待定系数法：已知函数类型求解析式时，常永待定系数法求解，先设函数解析式，根据题中条件，列出关于待定系数的方程组，求出待定系数，即可得出解析式；
3.消元法（解方程组法）：已知与、与（为常数）等之间的关系式，只需结合原式得出新的式子，两式联立，利用消元法，即可求出.
19．已知幂函数在上单调递增，函数.
(1)求的值；
(2)当时，记的值域分别为集合，若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据幂函数定义和在第一象限内的单调性可构造方程组求得；
（2）由一次函数和二次函数单调性可求得，由并集结果可构造不等式组求得结果.
【详解】（1）为幂函数且在上单调递增，，解得：；
（2）由（1）知：，当时，，即；
当时，，即；
，，解得：，即实数的取值范围为.
20．某单位在甲地成立了一家医疗器械公司吸纳附近贫困村民就工，已知该公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该型号医疗器械x千件且能全部销售完，每千件的销售收入为万元，已知
(1)请写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；
(2)月产量为多少千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大？并求出最大月利润（精确到0.1万元）.
【答案】(1)
(2)当月产量为8千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大，最大月利润为14.1万元
【分析】（1）根据的表达式，去掉成本即可求解月利润，
（2）求导，利用导数求解上的最值，结合基本不等式即可求解 的最值，即可比较求解.
【详解】（1）当时，，
当时，，
（2）①当时，，，
令，可得
当时，，单调递增；当时，，单调递关系；
时，（万元）；
②当时，（万元）（当且仅当时取等号）.
综合①②知，当时，y取最大值14.1，
故当月产量为8千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大，最大月利润为14.1万元.
21．设．
(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对进行分类讨论来分析恒成立问题.
（2）解不等式时要对进行分类讨论.
【详解】（1）不等式.
当时，，即不等式仅对成立，不满足题意，舍.
当时，要使对一切实数恒成立.
则解得.
综上，实数的取值范围为.
（2）当时，解得.
当时，.
①若，的解为；
②若，当即时，解得.
当时，，的解为或.
当时，，的解为或.
综上，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或.
22．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并利用结论解不等式.
【答案】(1)
(2)是R上的增函数；
【分析】（1）根据奇函数的性质，求出a的值，再利用奇函数的定义进行验证即可；
（2）运用函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断函数的单调性，最后根据单调性的性质，通过解一元二次不等式进行求解即可；
【详解】（1）是定义在R上的奇函数，
，从而得出，
当时，，
；
（2）是R上的增函数，证明如下：设任意，且，
，，
，，，，
是在上是单调增函数.
，
又是定义在R上的奇函数且在上单调递增，
，
，，
故解集为：；