人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系精品单元测试练习

第二章 点、直线、平面之间的位置关系单元测试卷（基础版）

一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 如图，网格上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（   ）

A.          B.          C.           D.

【答案】.

2. 某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为（    ）

A.          B.           C.          D.  

【答案】A

3. 已知某几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（    ）

A．     B．     C．      D．

【答案】B.

【解析】              

试题分析：由三视图及体积为，可知，该几何体为一四棱锥，故俯视图为B，故选B.

4. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（   ）

（A）外接球的半径为  （B）表面积为

（C）体积为          （D）外接球的表面积为

【答案】B

5. 某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（   ）

A．   B．   C．    D．

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为，故选C.

6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，且，则下列

结论一定正确的是（   ）

A．              B．                  C．与相交               D．与异面

【答案】A

考点：1、线面垂直的性质；2、面面垂直的性质.

7. 某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（    ）  

A．            B．  

C．      D．

【答案】C

8. 如图，四边形是矩形， 沿直线将翻折成，异面直线与所

成的角为, 则（   ） 

A．                    B．

C.                     D．

【答案】B

【解析】

试题分析：将平移到,则由异面直线所成角的定义可知就是异面直线所成角,则,即,故应选B.

9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（   ）

A．                        B．                     C.                   D．

【答案】D

10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（   ）

A．                    B．                     C．                  D．

【答案】A

【解析】

试题分析：如图，正四棱锥中，为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心必在正四棱锥的高线所在的直线上，延长交球面于一点，连接，，由球的

性质可知为直角三角形且，根据平面几何中的射影定理可得，因为，所以侧棱长，，所以，所以，所以．故选A

11．（2020届四川省泸州市高三二诊）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？”已知1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.43立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（　　）

A．44斛 B．144斛 C．288斛 D．388斛

【答案】B

【解析】3丈＝30尺，30＝3×R，解得R＝10，由题意可得：3×102×7144斛，故选B。

12．（2020届四川省泸州市高三二诊）若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边长为2，侧棱长为1．设该正三棱柱的外接球半径为R，易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是2sin 60°×＝，所以R2＝＋＝，则该球的表面积为4πR2＝。

二、填空题  共4小题，每小题5分，共20分。

13. 如图，已知矩形，，为边上的点，现将沿翻折至，使得点在平面上的投影在上，且直线与平面所成角为30°，则线段的长为_________．

【答案】.

14. 一个多面体从前面、后面、左侧、右侧、上方看到的图形分别如图所示（其中每个正方形边长都为1），则该多面体的体积为_________，表面积为___________．

【答案】

15. 已知圆柱M的底面半径为2，高为6；圆锥N的底面直径和母线长相等．若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为       ．

【答案】6

【解析】

试题分析：设圆锥的底面半径为，则高为，所以，，所以高为．

16.在△中，，，，若使△绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是         ．

【答案】

【解析】

试题分析：过A作AD垂直BC于D点，则，因此所形成的几何体的体积是

三、解答题  共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．

  （1）求证：MN∥平面BB1C1C；

（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．

（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．

又AD平面ABC，所以CC1⊥AD．                           …………………… 8分

因为AD⊥DC1，DC1平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，

所以AD⊥平面BB1C1C．                                    …………………… 10分

又BC平面BB1C1C，所以AD⊥BC．                         …………………… 12分

又由（1）知，MN∥BC，所以MN⊥AD．                     …………………… 14分

考点：线面平行的判定，线面垂直的判定与性质．

18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若、分别为、的中点.

（1）求证：∥平面；（2）求证：平面.

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD平面ABCD，又CD⊥AD，

所以CD⊥平面PAD，     …………………………………………………………………………………8分

又PA平面PAD，∴CD⊥PA ，因为EF//PA， ∴CD⊥EF……………………………………10分

又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD

又EF//PA， ∴PD⊥EF         ………………………………………………………………13分

而CD∩PD=D，∴ PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC………………………14分

19. 如图，正方形所在的平面与△所在的平面交于，平面，且．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面．

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

20. 如图，在等腰梯形中，，，，四边形

为矩形，平面平面，.

（1）求证：平面；

（2）点在线段上运动，设平面与平面二面角的平面角为，试求的取值范围.

【答案】（1）由余弦定理求出，由勾股定理的逆定理证明即可；（2）分别以直线为轴，轴，轴建立所示空间直角坐标系，令,求出平面与平面的法向量(用表示)即可求的范围.

令，则，

∴,

设为平面的一个法向量，

由，得，

取，则，

∵是平面的一个法向量，

∴.

∵，∴当时，有最小值，

当时，有最大值，

∴.

21. 如图，四边形是矩形，，是的中点，与交于点，平面.

（Ⅰ）求证：面；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.  

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

（2）在中，

     在中， ……………7分

     在中，，                           

     ∴ ………………9分

     设点到平面的距离为，则，

　　∴

　　　 ……………11分

     设直线与平面所成角的大小为，则 ……………12分

　　设是平面的法向量，

则，即，

取，得………10分         

设直线与平面所成角的大小为，

则

∴直线与平面所成角的正弦值为 ………………12分

22. 已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，且平面.

（1）求的长度；

（2）求与平面所成角的余弦值.

【答案】（1）（2）