2020年中考数学真题分类汇编17：尺规作图试卷

2020年中考数学试题分类汇编之十七

尺规作图

一、选择题

6.（2020河北）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．

如图2，步骤如下，

第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；

第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；

第三步：画射线．射线即为所求．

下列正确的是（    ）

A. ，均无限制 B. ，的长

C. 有最小限制，无限制 D. ，的长

【答案】B

【详解】第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；

∴；

第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；

∴的长；

第三步：画射线．射线即为所求．

综上，答案为：；的长，

故选：B．

10（2020河南）.如图，在中， ，分别以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接则四边形的面积为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

连接BD交AC于O，由已知得△ACD为等边三角形且BD是AC的垂直平分线，然后解直角三角形解得AC、BO、BD的值，进而代入三角形面积公式即可求解．

【详解】连接BD交AC于O，

由作图过程知，AD=AC=CD，

∴△ACD为等边三角形，

∴∠DAC=60º，

∵AB=BC,AD=CD，

∴BD垂直平分AC即：BD⊥AC，AO=OC，

在Rt△AOB中，

∴BO=AB·sin30º=，

AO=AB·cos30º=，AC=2AO=3，

在Rt△AOD中，AD=AC=3,∠DAC=60º，

∴DO=AD·sin60º=，

∴=，

故选：D．

9.（2020贵阳）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（  ）

A. 无法确定 B.  C. 1 D. 2

【答案】C

【详解】解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，

根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，

∵∠C=90°，  ∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，

故答案为：C．

7．（2020广西南宁）（3分）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°

【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ACB的度数，观察作图过程可得，进而可得∠DCE的度数．

【解答】解：∵BA＝BC，∠B＝80°，∴∠A＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，

∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝130°，

观察作图过程可知：CE平分∠ACD，

∴∠DCE＝ACD＝65°，∴∠DCE的度数为65°故选：B．

二、填空题

18．(2020天津)如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，均落在格点上，点在网格线上，且．

（I）线段的长等于______；

（II）以为直径的半圆与边相交于点，若，分别为边，上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）_______．

答案:(1)(2)）如图，取格点，，连接，连接并延长，与相交于点；连接，与半圆相交于点，连接，与相交于点，连接并延长，与相交于点，则点，即为所求．

18(2020苏州）.如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则________．

【详解】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，

由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB，

∴OH⊥AB，AH=BH，

∵，

∴DE∥AB，

∵，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴AB=DE=12，

∴AH=6，

∴OH=，

∵OB∙AG=AB∙OH，

∴AG===，

∴=．

故答案是：．

13．（2020新疆生产建设兵团）（5分）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为　3　．

【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，结合点P在第一象限，可得关于a的方程，求解即可．

【解答】解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，

∴点P在∠BOA的角平分线上，

∴点P到x轴和y轴的距离相等，

又∵点P在第一象限，点P的坐标为（a，2a﹣3），

∴a＝2a﹣3， ∴a＝3．

故答案为：3．

16．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为　5　．

14．（2020宁夏）（3分）如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝　32　度．

三、解答题

20.（2020北京）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=BC，CD∥AB.

求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=.

作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP.线段BP就是所求作线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：∵CD∥AB，

∴∠ABP=       .

∵AB=AC，

∴点B在⊙A上.

又∵∠BPC=∠BAC（       ）（填推理依据）

∴∠ABP=∠BAC

【解析】（1）如图所示

（2）∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

23．（2020广州）（本小题满分12分）

如图10，△ABD中，∠ABD =∠ADB．

（1）作点A关于BD的对称点C；

（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）所作的图中，连接BC，DC，连接AC，

交BD于点O．

① 求证：四边形ABCD是菱形；

② 取BC的中点E，连接OE，若，，求点E到AD的距离．

【详解过程】解：(1)作图如下：∴点C为所求的点A关于BD的对称点。

（2）①证明：∵点A与点C关于BD对称

∴BC=BA,   DC=DA

∵△ABD中，∠ABD =∠ADB

∴AB=AD

∴AB=BC=CD=DA

∴四边形ABCD是菱形。

②过B作BF⊥AD于点F。根据平行线上的距离处处相等可知BF的长度就是点E到AD的距离。

∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD于点O,即∠BOC＝90°。

∵在RT△BOC中，E为BC中点，,

∴BC=2OE=13.

∴AB=BC=CD=DA=13.

∵BD=10.

∴BO=DO=5

∴在RT△BCO中，CO=12.

∴AC＝2CO=24.

∴==120.

∵

∴13×BD=120,即BD=.

所以点E到AD的距离。

23.（2020福建）如图，为线段外一点．

（1）求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的四边形中，，相交于点，，的中点分别为，求证：三点在同一条直线上．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【详解】解：（1）

则四边形就是所求作的四边形．

（2）∵，∴，，

∴，∴．

∵分别为，的中点，

∴，，∴．

连接，，又∵，

∴，∴，

∵点在上∴，∴，

∴三点在同一条直线上．

【点睛】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想．

17．（2020陕西）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）

【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°即可．

【解答】解：如图，点P即为所求．

22．（2020哈尔滨）（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．

（1）在图中画出以为边的正方形，点和点均在小正方形的顶点上；

（2）在图中画出以为边的等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的周长为．连接，请直接写出线段的长．

【解答】解：（1）如图，正方形即为所求．

（2）如图，即为所求．．

16（2020江西）.如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）.

（1）在图1中，作关于点对称的；

（2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的.

【解析】作图如下：

27．（2020南京）（9分）如图①，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的、两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．

（1）如图②，作出点关于的对称点，线段与直线的交点的位置即为所求，即在点处建燃气站，所得路线是最短的．

为了证明点的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点，连接、，证明．请完成这个证明．

（2）如果在、两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．

①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

【解答】证明：（1）如图②，连接，

点，点关于对称，点在上，

，

，

同理可得，

，

；

（2）如图③，

在点出建燃气站，铺设管道的最短路线是，（其中点是正方形的顶点）；

如图④，

在点出建燃气站，铺设管道的最短路线是，（其中，都与圆相切）

16.（2020贵阳）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形．

（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；

（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．

【分析】

（1）画一个边长为3,4,5的三角形即可；

（2）利用勾股定理，找长为、和4的线段，画三角形即可；

（3）利用勾股定理，找长为、和的线段，画三角形即可；

【详解】解：（答案不唯一）

图①（2）图②（3）图③

24.（2020无锡）如图，已知是锐角三角形．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若，，则的半径为________．

解：（1）①先作的垂直平分线：分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点即为直线l，分别交、于、；

②再作的角平分线：以点B为圆心，任意长为半径作圆弧，与的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点B，即为的角平分线，这条角平分线与线段MN的交点即为；

③以为圆心，为半径画圆，圆即为所求；

（2）过点作，垂足为，设

∵，，∴，∴

根据面积法，∴

∴，解得，

故答案为：．

19.（2020长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：

已知：

求作：的平分线

做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，

（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C

（3）画射线OC，射线OC即为所求．

请你根据提供的材料完成下面问题：

（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．

①   ② ③   ④

（2）请你证明OC为的平分线．

解：（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线；

故答案为：①；

（2）如图，

连接MC、NC．
根据作图的过程知，
在△MOC与△NOC中，

，
∴△MOC≌△NOC（SSS），

∠AOC=∠BOC，

∴OC为的平分线．

15（2020山东青岛）.已知：．．

求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，

解：根据题意可知，先作∠A的角平分线，

再作线段BC的垂直平分线相交于O，

即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，

如下图所示：

21.(2020甘肃定西）如图，在中，是边上一点，且.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：

①作的角平分线交于点；

②作线段的垂直平分线交于点.

（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系.

.解：（1）①作出的角平分线；

②作出线段的垂直平分线.

（2）数量关系：；

位置关系：.

19．（2020吉林）（7分）图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：

（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．

（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．

（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．

解：（1）如图①，MN即为所求；

（2）如图②，PQ即为所求；

（3）如图③，△DEF即为所求．

17．（2020宁夏）（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．

（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；

（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．

解：（1）由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1），

则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），

连接A1C1，A1B1，B1C1

得到△A1B1C1．

如图所示△A1B1C1为所求；

（2）由题意知：位似中心是原点，

则分两种情况：

第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧

则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），

连接各点，得△A2B2C2．

第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧

A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣2），C2（﹣2，﹣2），

连接各点，得△A2B2C2．

综上所述：如图所示△A2B2C2为所求；

21．（2020江苏泰州）（10分）如图，已知线段，点在平面直角坐标系内．

（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点，使点到两坐标轴的距离相等，且与点的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，若，点的坐标为，求点的坐标．

【解答】解：（1）如图，点即为所求；

（2）由（1）可得是角平分线，设点，

过点作轴于点，过点作轴于点，于点，

，点的坐标为，

，，

根据勾股定理，得

，

，

解得，（舍去）．

所以点的坐标为．