知识点45 尺规作图2018--2

一、选择题

1. （2018浙江嘉兴，8，3）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（）

【答案】C 【解析】根据尺规作图以及菱形的判定方法．

二、填空题

1. （2018年江苏省南京市，14，2分） .如图，在中，用直尺和圆规作、的垂直平分线，分别交、于点、，连接.若，则          ．

【答案】5

【解析】∵用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，∴D为AB的中点，E为AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=5cm．故答案为：5．

【知识点】线段垂直平分线   中位线

2. （2018吉林省，11, 2分）如图，在平面直角坐标系中，A(4，0),B(0，3),以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为__________

【答案】（-1,0）

【解析】由题意知，OA=4,OB=3,∴AC=AB=5，则OC=1. 则点C坐标为（-1,0）

【知识点】尺规作图，实数与数轴的一一对应关系

3. （2018山西省，14题，3分）  如图，直线MN∥PQ.直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C,交AB于点D;②分别以C,D为圆心,以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E;③作射线AE交PQ于点F.若AB=2.∠ABP =60°则线段AF的长为           ．

【答案】

【解析】解：过点A作AG⊥PQ交PQ与点G

由作图可知，AF平分∠NAB

            ∵  MN∥PQ；AF平分∠NAB；∠ABP =60°

∴  ∠AFG =30°

在Rt△ABG中，∠ABP =60°，AB=2；

∴  AG =

在Rt△AFG中，∠AFG =30°，AG =；

∴  AF =2

【知识点】角平分线、特殊角三角函数

4. （2018内蒙古通辽，16，3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD，AB＝6，∠C＝30°，则△ACD的面积为            ．

【答案】9

【解析】依题意MN是AC的垂直平分线，所以∠C＝∠DAC＝30°，所以∠ADB＝∠C＋∠DAC＝60°，又AB＝BD，所以△ABD为等边三角形，∠BAD＝60°，所以∠BAC＝∠DAC＋∠BAD＝90°，因为AB＝6，所以AC＝6，所以△ABC的面积为×6×6＝18．又BD＝AD＝DC，所以S△ACD＝S△ABC＝9，故应填：9．

5. （2018辽宁省抚顺市，题号16，分值3）如图，ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是__________.

【答案】10

【解析】由题可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=EC.∵在ABCD中DE+EC=CD=AB=7,AD= BC=3，∴△AED的周长为AD+DE+AE=BC+DE+EC=BC+CD=10.

【知识点】用尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质.

三、解答题

1. （2018广东省，题号，分值）  如图，是菱形的对角线，，

（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）

  （2）在（1）条件下，连接,求的度数.

【思路分析】（1）根据尺规作图步骤作垂直平分线，保留痕迹即可；（2）先利用菱形性质求得∠DBA的度数，再利用垂直平分线性质求得∠ABF的度数，进而求得∠DBF的度数.

【解题过程】（1）如图直线MN为所求

（2）解：∵四边形ABCD是菱形

∴AD=AB，AD∥AB，

∵∠DBC=75°，

∴∠ADB=75°，

∴∠ABD=75°

∴∠A=30°

∵EF为AB的垂直平分线

∴∠A=∠FBE=30°，

∴∠DBE=45°

【知识点】菱形性质；线段垂直平分线性质；尺规作图

2. (2018甘肃省兰州市,20,6分)如图,在Rt△ABC中.
(1)利用尺度作图,在BC边上求作一点P,使得点P到AB的距离(PD的长)等于PC的长;

（2）利用尺规作图,作出(1)中的线段PD.

(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)

【思路分析】PC⊥AC,要使P到AB的距离(PD的长)等于PC的长,即求∠A的角平分线与BC的交点.

【解题过程】(1)作∠A的平分线AD,交BC于P;

(2)过点P作直线AB的垂线,垂中为D｡

【知识点】尺规作图 

3. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，18，5分）图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．

（1）在图①中，画出∠MON的平分线OP；

（2）在图②中，画一个Rt△ABC，使点C在格点上．

【思路分析】（1）在只能用直尺画角平分线的情况下，就设法将∠MON放置在能画出角平分线的图形中，如菱形．（2）原图是由全等的小菱形组成的，∴要想找到直角就要从菱形的对角线方面入手考虑．设法找让三角形中的一个顶点处在两个菱形的对角线交点位置，并且在格点上．

【解题过程】解：（1）如图①，将∠MON放在菱形AOBC中，连接对角线OC，并取格点P，OP即为所求．                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      2分

如图②所示，△ABC或△ABC1均可．

4. （湖北省咸宁市，18，7）已知：.

求作：使

作法：

(1)如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

(2)如图2，画一条射线,以点为圆心长为半径画弧，交于点于点；

(3)以点为圆心，长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点；

(4)过点 画射线，则 .

根据以上作图步骤，请你证明.

【思路分析】由画一条射线,以点为圆心长为半径画弧，交于点于点可得OC=O′C′，由以点为圆心，长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点可得OD=O′D′，CD=C′D′，从而

【解题过程】证明：由作图步骤可知，

在和中，

,

.

即.

【知识点】三角形全等；尺规作图

5. （2018广西贵港，20，5分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．

如图，已知∠α和线段a，

求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠C＝90°，AB＝a．

【思路分析】先作∠A等于已知角∠α，再在角的一边上截取线段AB＝a，再过B点作角的另一边的垂线，垂足为C，则△ABC即为所求．

【解答过程】所作图形如下

6.（2018江苏常州，27，10）(本小题满分10分)

(1)如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．

求证:∠AFE=∠CFD;

(2)如图2，在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．

①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN(保留作图痕迹，不要求写作法）．

②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗?为什么?

【解答过程】（1）∵EK垂直平分BC，点F在EK上，∴FC=FB，且∠CFD=∠BFD

         ∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=∠CFD

（2） 如图所示，点Q为所求作的点.

（3）Q是GN的中点。

Q是GN的中点。

∵∠G=60°，∠M=90°，∴∠GNM=30°

由①作图可知，PN=HN，∠HNG=∠GNP=30°，可得ΔHPN为等边三角形。

又∵P为MN的中点，∴HP=PN=PM，∴∠QMN=30°=∠QNM，∴MQ=QN

又可得∠GMQ=60°，则ΔGMQ为等边三角形，因而MQ=GQ

∴GQ=QN，即Q为GN的中点。