2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之圆和尺规作图

这是一份2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之圆和尺规作图，共39页。

2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之圆和尺规作图
一．选择题（共4小题）
1．（2017•河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣
2．（2018•河南）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧在AC两侧分别交于P、Q两点，作直线PQ交BC于点D，交AC于点E．若AB＝6，BC＝14，则BD的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
3．（2017•河南）如图，把半径为2的⊙O沿弦AB，AC折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C．2 D．4
4．（2018•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　）

A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
二．填空题（共5小题）
5．（2018•河南）如图，在矩形ABCD中，BC＝2，CD＝，以点B为圆心，BC的长为半径作交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径作交AB于点F，则图中阴影部分的面积为　 　．

6．（2021•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，∠BAC＝22.5°，则的长为 　 　．

7．（2021•黑龙江）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为 　 　．

8．（2018•河南）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为　 　．

9．（2020•河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　 　．

三．解答题（共8小题）
10．（2020•河南）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．

使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，　 　．
求证：　 　．
11．（2019•河南）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：△ADF≌△BDG；
（2）填空：
①若AB＝4，且点E是的中点，则DF的长为　 　；
②取的中点H，当∠EAB的度数为　 　时，四边形OBEH为菱形．

12．（2017•河南）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．
（1）求证：BD＝BF；
（2）若AB＝10，CD＝4，求BC的长．

13．（2018•河南）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；
②矩形的面积等于k的值．

14．（2021•河南）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⨀O上，当点P在⨀O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与⨀O相切时，点B恰好落在⨀O上，如图2．
请仅就图2的情形解答下列问题．
（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；
（2）若⨀O的半径为5，AP＝，求BP的长．

15．（2017•河南）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上任一点．
（1）若∠BAC＝30°，过点C作半圆O的切线交直线AB于点P．求证：△PBC≌△AOC；
（2）若AB＝6，过点C作AB的平行线交半圆O于点D．当以点A，O，C，D为顶点的四边形为菱形时，求的长．

16．（2018•河南）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．
（1）求证：CE＝EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为　 　时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为　 　时，四边形ECOG为正方形．

17．（2018•河南）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点O在BC上，以线段OC的长为半径的⊙O与AB相切于点D，分别交BC、AC于点E、F，连接ED并延长，交CA的延长线于点G．
（1）求证：∠DOC＝2∠G．
（2）已知⊙O的半径为3．
①若BE＝2，则DA＝　 　．
②当BE＝　 　时，四边形DOCF为菱形．


2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之圆和尺规作图
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2017•河南）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．版权所有
【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′＝60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′＝60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B＝120°，得到∠O′B′B＝∠O′BB′＝30°，根据图形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OO′，BO′，
∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴∠OAO′＝60°，
∴△OAO′是等边三角形，
∴∠AOO′＝60°，OO′＝OA，
∴点O′中⊙O上，
∵∠AOB＝120°，
∴∠O′OB＝60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B＝120°
∵∠AO′B′＝120°，
∴∠B′O′B＝120°，
∴∠O′B′B＝∠O′BB′＝30°，
∴图中阴影部分的面积＝S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）＝×1×2﹣（﹣×2×）＝2﹣．
故选：C．

【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．（2018•河南）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧在AC两侧分别交于P、Q两点，作直线PQ交BC于点D，交AC于点E．若AB＝6，BC＝14，则BD的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．版权所有
【专题】作图题．
【分析】连接AD，如图，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得∠C＝∠DAC，接着证明∠B＝∠ADB，所以AD＝CD＝AB＝6，然后计算BC﹣CD即可．
【解答】解：连接AD，如图，

由作法得DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠C，
∵∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴AD＝CD＝AB＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝14﹣6＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
3．（2017•河南）如图，把半径为2的⊙O沿弦AB，AC折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C．2 D．4
【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；垂径定理．版权所有
【专题】与圆有关的计算．
【分析】作OD⊥AC于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD＝30°，得到∠AOB＝2∠AOD＝120°，进而求得∠AOC＝120°，再利用阴影部分的面积＝2S△AOC求出即可．
【解答】解：作OD⊥AC于D，连接AO、BO、CO，
∵OD＝AO＝＝1，AD＝AC＝，
∴∠OAD＝30°，AC＝2，
∴∠AOC＝2∠AOD＝120°，
同理∠AOB＝120°，
∴∠BOC＝120°，
∴阴影部分的面积＝2S△AOC＝2××2×1＝2，
故选：C．

【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、扇形面积以及圆的面积公式等知识，解题的关键是确定∠AOC＝120°．
4．（2018•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　）

A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质；平行四边形的性质．版权所有
【专题】多边形与平行四边形．
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO＝，依据∠AGO＝∠AOG，即可得到AG＝AO＝，进而得出HG＝﹣1，可得G（﹣1，2）．
【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），
∴AH＝1，HO＝2，
∴Rt△AOH中，AO＝，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG＝∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO＝∠EOG，
∴∠AGO＝∠AOG，
∴AG＝AO＝，
∴HG＝﹣1，
∴G（﹣1，2），
故选：A．

【点评】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
二．填空题（共5小题）
5．（2018•河南）如图，在矩形ABCD中，BC＝2，CD＝，以点B为圆心，BC的长为半径作交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径作交AB于点F，则图中阴影部分的面积为　+　．

【考点】扇形面积的计算；矩形的性质．版权所有
【专题】与圆有关的计算．
【分析】连接BE、EF，根据勾股定理求出AE，根据正弦的定义求出∠ABE，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接BE、EF，
由题意得．BE＝BC＝2，
由勾股定理得，AE＝＝1，
sin∠ABE＝＝，
∴∠ABE＝30°，
∴∠CBE＝60°，
则图中阴影部分的面积＝扇形EBC的面积+△ABE的面积﹣扇形EAF的面积
＝+×1×﹣
＝+，
故答案为：+．

【点评】本题考查的是扇形面积计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．
6．（2021•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，∠BAC＝22.5°，则的长为 　　．

【考点】弧长的计算．版权所有
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．利用弧长公式求解即可．
【解答】解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．

∵OA＝OB＝OD＝5，∠BOC＝2∠BAC＝45°，
∴的长＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是正确寻找圆心O的位置，属于中考常考题型．
7．（2021•黑龙江）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为 　+π　．

【考点】扇形面积的计算；二次根式的混合运算．版权所有
【专题】与圆有关的计算．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD的面积与扇形OBC的面积之和再减去△BDO的面积，本题得以解决．
【解答】解：作OE⊥AB于点F，
∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2，
∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴OD＝OA•tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，
∴BD＝2，
∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，
故答案为：+π．

【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2018•河南）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为　π﹣　．

【考点】扇形面积的计算；旋转的性质；等腰直角三角形．版权所有
【专题】圆的有关概念及性质．
【分析】先利用勾股定理求出DB′＝＝，再根据S阴＝S扇形BDB′﹣S△DBC﹣S△DB′C，计算即可．
【解答】解：连接DB′，BD．
∵△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，
DB′＝＝＝，
∴S阴＝﹣×1×1﹣×1×2＝π﹣．
故答案为π﹣．

【点评】本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．（2020•河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　　．

【考点】弧长的计算；轴对称﹣最短路线问题．版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；与圆有关的计算；运算能力；应用意识．
【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．
【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝2，
的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为2+＝．
故答案为：．

【点评】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
三．解答题（共8小题）
10．（2020•河南）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．

使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，　AB＝OB，EN切半圆O于F　．
求证：　EB，EO就把∠MEN三等分　．
【考点】切线的性质；切线长定理；数学常识；圆周角定理．版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】根据垂直的定义得到∠ABE＝∠OBE＝90°，根据全等三角形的性质得到∠1＝∠2，根据切线的性质得到∠2＝∠3，于是得到结论．
【解答】解：已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于F．M、A、E三点共线．
求证：EB，EO就把∠MEN三等分，
证明：∵EB⊥AC，
∴∠ABE＝∠OBE＝90°，
∵AB＝OB，BE＝BE，
∴△ABE≌△OBE（SAS），
∴∠1＝∠2，
∵BE⊥OB，
∴BE是⊙O的切线，
∵EN切半圆O于F，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴EB，EO就把∠MEN三等分．
故答案为：AB＝OB，EN切半圆O于F；EB，EO就把∠MEN三等分．
【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
11．（2019•河南）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：△ADF≌△BDG；
（2）填空：
①若AB＝4，且点E是的中点，则DF的长为　4﹣2　；
②取的中点H，当∠EAB的度数为　30°　时，四边形OBEH为菱形．

【考点】圆的综合题．版权所有
【专题】计算题；证明题；几何综合题．
【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB＝∠AEB＝90°，再应用同角的余角相等可得∠DAF＝∠DBG，易得AD＝BD，△ADF≌△BDG得证；
（2）作FH⊥AB，应用等弧所对的圆周角相等得∠BAE＝∠DAE，再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得BE＝OB，结合三角函数特殊值可得∠EAB＝30°．
【解答】解：（1）证明：如图1，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∴∠ADF＝∠BDG＝90°
∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°
∴∠DAF＝∠DBG
∵∠ABD+∠BAC＝90°
∴∠ABD＝∠BAC＝45°
∴AD＝BD
∴△ADF≌△BDG（ASA）；
（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，
∵点E是的中点，
∴∠BAE＝∠DAE
∵FD⊥AD，FH⊥AB
∴FH＝FD
∵＝sin∠ABD＝sin45°＝，
∴，即BF＝FD
∵AB＝4，
∴BD＝4cos45°＝2，即BF+FD＝2，（+1）FD＝2
∴FD＝＝4﹣2
故答案为．
②连接OH，EH，
∵点H是的中点，
∴OH⊥AE，
∵∠AEB＝90°
∴BE⊥AE
∴BE∥OH
∵四边形OBEH为菱形，
∴BE＝OH＝OB＝AB
∴sin∠EAB＝＝
∴∠EAB＝30°．
故答案为：30°



【点评】本题主要考查了圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值等，关键在灵活应用性质定理．
12．（2017•河南）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．
（1）求证：BD＝BF；
（2）若AB＝10，CD＝4，求BC的长．

【考点】切线的性质；等腰三角形的性质．版权所有
【分析】（1）根据圆周角定理求出BD⊥AC，∠BDC＝90°，根据切线的性质得出AB⊥BF，求出∠ACB＝∠FCB，根据角平分线性质得出即可；
（2）求出AC＝10，AD＝6，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理求出BC即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∴BD⊥AC，∠BDC＝90°，
∵BF切⊙O于B，
∴AB⊥BF，
∵CF∥AB，
∴CF⊥BF，∠FCB＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠ACB＝∠FCB，
∵BD⊥AC，BF⊥CF，
∴BD＝BF；

（2）解：∵AB＝10，AB＝AC，
∴AC＝10，
∵CD＝4，
∴AD＝10﹣4＝6，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD＝＝8，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC＝＝4．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
13．（2018•河南）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；
②矩形的面积等于k的值．

【考点】作图—应用与设计作图；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的判定与性质．版权所有
【专题】常规题型．
【分析】（1）将P点坐标代入y＝，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过格点P（2，2），
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）如图所示：
矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形．

【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．
14．（2021•河南）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⨀O上，当点P在⨀O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与⨀O相切时，点B恰好落在⨀O上，如图2．
请仅就图2的情形解答下列问题．
（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；
（2）若⨀O的半径为5，AP＝，求BP的长．

【考点】切线的性质；圆周角定理．版权所有
【专题】推理能力．
【分析】（1）连接切点与圆心，根据角之间的互余关系及等量代换代换求解即可．
（2）作出相关辅助线，构造相似三角形Rt△POD与Rt△OAP，利用相似三角形的性质求得PD＝3，OD＝4，最后根据直角三角形的勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：如图①，

连接OP，延长BO与圆交于点C，则OP＝OB＝OC，
∵AP与⨀O相切于点P，
∴∠APO＝90°，
∴∠PAO+∠AOP＝90°，
∵MO⊥CN，
∴∠AOP+∠POC＝90°，
∴∠PAO＝∠POC，
∵OP＝OB，
∴∠OPB＝∠PBO，
∴∠POC＝∠OPB+∠PBO＝2∠PBO，
∴∠PAO＝2∠PBO；
（2）解：如图②所示，

连接OP，延长BO与圆交于点C，连接PC，过点P作PD⊥OC于点D，
则有：AO＝＝，
由（1）可知∠POC＝∠PAO，
∴Rt△POD∽Rt△OAP，
∴，即，解得PD＝3，OD＝4，
∴CD＝OC﹣OD＝1，
在Rt△PDC中，PC＝＝，
∵CB为圆的直径，
∴∠BPC＝90°，
∴BP＝＝＝3，
故BP长为3．
【点评】本题考查切线的性质及圆周角定理，解此类型题目的关键是作出适当的辅助线，比如连接切点与圆心、将直径的两端与圆上某一点连接、过圆上某点作垂直于半径的线段等，根据辅助线构造直角三角形及相似三角形，再根据相关性质进行求解．
15．（2017•河南）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上任一点．
（1）若∠BAC＝30°，过点C作半圆O的切线交直线AB于点P．求证：△PBC≌△AOC；
（2）若AB＝6，过点C作AB的平行线交半圆O于点D．当以点A，O，C，D为顶点的四边形为菱形时，求的长．

【考点】切线的性质；弧长的计算；全等三角形的判定与性质；菱形的判定；圆周角定理．版权所有
【专题】图形的全等；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，推出△OBC是等边三角形，根据等边三角形和外角的性质得到∠AOC＝∠PBC＝120°，根据切线的性质得到∠OCP＝90°，根据全等三角形的判定即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到OA＝AD＝CD＝OC，连接OD，得到△AOD与△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOD＝∠COD＝60°，求得∠BOC＝60°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC＝BC，∠OBC＝∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠PBC＝120°，
∵CP是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACO＝∠PCB，
在△PBC与△AOC中，，
∴△PBC≌△AOC（ASA）；
（2）如图1，连接AD，BD，CD，
∵四边形AOCD是菱形，
∴OA＝AD＝CD＝OC，
则，OA＝OD＝OC，
∴△AOD与△COD是等边三角形，
∴∠AOD＝∠COD＝60°，
∴∠BOC＝60°，
∴的长＝＝π；
如图2，同理∠BOC＝120°，
∴的长＝＝2π，
综上所述，的长为π或2π．


【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定，菱形的性质，圆周角定理，弧长的计算，正确的作出图形是解题的关键．
16．（2018•河南）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．
（1）求证：CE＝EF；
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为　30°　时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为　22.5°　时，四边形ECOG为正方形．

【考点】切线的性质；菱形的判定与性质；正方形的判定．版权所有
【专题】证明题．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠1+∠4＝90°，再利用等腰三角形和互余证明∠1＝∠2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；
（2）①当∠D＝30°时，∠DAO＝60°，证明△CEF和△FEG都为等边三角形，从而得到EF＝FG＝GE＝CE＝CF，则可判断四边形ECFG为菱形；
②当∠D＝22.5°时，∠DAO＝67.5°，利用三角形内角和计算出∠COE＝45°，利用对称得∠EOG＝45°，则∠COG＝90°，接着证明△OEC≌△OEG得到∠OGE＝∠OCE＝90°，从而证明四边形ECOG为矩形，然后进一步证明四边形ECOG为正方形．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，即∠1+∠4＝90°，
∵DO⊥AB，
∴∠3+∠B＝90°，
而∠2＝∠3，
∴∠2+∠B＝90°，
而OB＝OC，
∴∠4＝∠B，
∴∠1＝∠2，
∴CE＝FE；
（2）解：①当∠D＝30°时，∠DAO＝60°，
而AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠3＝∠2＝60°，
而CE＝FE，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE＝CF＝EF，
同理可得∠GFE＝60°，
利用对称得FG＝FC，
∵FG＝EF，
∴△FEG为等边三角形，
∴EG＝FG，
∴EF＝FG＝GE＝CE，
∴四边形ECFG为菱形；
②当∠D＝22.5°时，∠DAO＝67.5°，
而OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝67.5°，
∴∠AOC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，
∴∠AOC＝45°，
∴∠COE＝45°，
利用对称得∠EOG＝45°，
∴∠COG＝90°，
易得△OEC≌△OEG，
∴∠OGE＝∠OCE＝90°，
∴四边形ECOG为矩形，
而OC＝OG，
∴四边形ECOG为正方形．
故答案为30°，22.5°．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形和正方形的判定．
17．（2018•河南）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点O在BC上，以线段OC的长为半径的⊙O与AB相切于点D，分别交BC、AC于点E、F，连接ED并延长，交CA的延长线于点G．
（1）求证：∠DOC＝2∠G．
（2）已知⊙O的半径为3．
①若BE＝2，则DA＝　　．
②当BE＝　3　时，四边形DOCF为菱形．

【考点】圆的综合题．版权所有
【专题】综合题．
【分析】（1）由⊙O与AB相切于点D推出∠ODB为90°，证明OD∥GC，推出∠G＝∠ODE＝∠OED，由三角形外角的性质即可推出结论；
（2）①利用勾股定理求出BD的长，再利用△BOD与△BCA相似，即可求出AD的长；
②连接DF，OA，将四边形DOCF为菱形作为条件，求出DF的长，再利用三角函数求出AF的长，进一步得到AC的长，再利用△BOD与△BCA相似即可求出BE的长．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∴∠BAC＝∠ODB＝90°，
∴OD∥CG，
∴∠G＝∠ODE，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵∠DOC＝∠ODE+∠OED，
∴∠DOC＝2∠ODE＝2∠G；

（2）解：①在Rt△BOD中，
OD＝3，OB＝OE+BE＝5，
∴BD＝＝4，
由（1）知，OD∥CG，
∴△BOD∽△BCA，
∴＝，
即＝，
∴AD＝，
故答案为：；

（3）如下图，连接DF，OF，

当四边形DOCF为菱形时，
DF＝CF＝OC＝OD＝3，
∵OF＝3，
∴△ODF为等边三角形，
∴∠ODF＝60°，
∴∠ADF＝90°﹣∠ODF＝30°，
在Rt△DAF中，DF＝3，
∴AF＝3×＝，
∴AC＝CF+AF＝，
由（2）知，∴△BOD∽△BCA，
∴＝，
即＝，
∴BE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质等，解题的关键是能够灵活运用相似三角形的性质与菱形的性质．

考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
4．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
5．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
6．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
7．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
8．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
9．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
10．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
11．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
12．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

13．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
14．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
15．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．

16．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
17．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
18．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
19．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
20．切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
21．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
22．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
23．圆的综合题
圆的综合题．
24．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
25．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
26．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
27．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
28．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．