高中数学第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.2 椭圆的几何性质精品导学案及答案

这是一份高中数学第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.2 椭圆的几何性质精品导学案及答案，共13页。




1.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质．


2.椭圆离心率的求解问题.





重点：椭圆的几何性质


难点：椭圆离心率的求解问题





知识梳理


1.椭圆的几何性质











2.离心率


(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的 ．


(2)性质：离心率e的范围是 ．当e越接近于1时，椭圆 ；当e越接近于 时，椭圆就越接近于圆．


eq \f(c,a);离心率;(0,1); 越扁;0


1．（2014·全国高考）已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为( )


A． B． C． D．


2．（2016·全国高考）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 ( )


A． B． C． D．


3．（2012·全国高考）设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）


A．B． C．D．








典例解析


类型一 利用几何性质求椭圆的标准方程


例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：


(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝eq \f(\r(6),3)；


(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；


(3)求经过点M(1,2)，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同离心率的椭圆的标准方程.








利用椭圆的几何性质求标准方程的思路


1．利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：


(1)确定焦点位置；


(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；


(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等


2．在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．


提醒：与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．


跟踪训练1．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为( )


A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1


C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1





(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cs∠OFA＝eq \f(2,3)，则椭圆的标准方程是________．





类型二 求椭圆的离心率


例2、（1）已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，怎样求椭圆的离心率？





（2）．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为eq \f(b,\r(7))，求椭圆的离心率e.





例3、已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是________.


求椭圆离心率及范围的两种方法


(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解．


(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．


跟踪训练2．(1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是( )


A.eq \r(3)－1 B．2－eq \r(3) C.eq \r(2)－1 D．2－eq \r(2)


(2)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．








.1．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1有相同的长轴，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的短轴长与eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短轴长相等，则( )


A．a2＝15，b2＝16 B．a2＝9，b2＝25


2．（2018·全国高考）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（ ）


A．B．C．D．


3．（2019·全国高考）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为


A．B．C．D．


4．（2017·全国高考）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为( )


A． B． C． D．


5．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 ．








1.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质．


2.椭圆离心率的求解问题.











参考答案：


知识梳理


1． 【答案】A


【解析】若△AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,


,,,，


所以方程为，故选A.


2． 【答案】B


【解析】不妨设直线，


即椭圆中心到的距离，故选B.


3． 【答案】C


【解析】如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有,


所以，


所以


又因为，所以，，所以








学习过程


类型一 利用几何性质求椭圆的标准方程


例1、[解] (1)若焦点在x轴上，则a＝3，


∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，∴c＝eq \r(6)，


∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.


∴椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1.


若焦点在y轴上，则b＝3，


∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(9,a2))＝eq \f(\r(6),3)，解得a2＝27.


∴椭圆的方程为eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1.


∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1.


典(2)设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，








OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，


∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，


故所求椭圆的方程为eq \f(x2,32)＋eq \f(y2,16)＝1.


(3)法一：由题意知e2＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，即a2＝2b2


设所求椭圆的方程为eq \f(x2,2b2)＋eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,2b2)＋eq \f(x2,b2)＝1.


将点M(1,2)代入椭圆方程得eq \f(1,2b2)＋eq \f(4,b2)＝1或eq \f(4,2b2)＋eq \f(1,b2)＝1


解得b2＝eq \f(9,2)或b2＝3.故所求椭圆方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1.


法二：设所求椭圆方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝k2(k2>0)，


将点M的坐标代入可得eq \f(1,12)＋eq \f(4,6)＝k1或eq \f(4,12)＋eq \f(1,6)＝k2，解得k1＝eq \f(3,4)，k2＝eq \f(1,2)，


故eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝eq \f(3,4)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝eq \f(1,2)，


即所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1.


跟踪训练1．(1)B [由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋2b＝18，,c＝3，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝4.))因为椭圆的焦点在x轴上，


所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.]


(2) 答案：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1或eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,9)＝1


[因为椭圆的长轴长是6，cs∠OFA＝eq \f(2,3)，


所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，


所以eq \f(c,3)＝eq \f(2,3)，所以c＝2，b2＝32－22＝5，


所以椭圆的方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1或eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,9)＝1.]


类型二 求椭圆的离心率


例2、（1）解：如图，设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)．





∵OP∥AB，∴△PFO∽△BOA，


∴eq \f(c,a)＝eq \f(m,b)， ①


又P(－c，m)在椭圆上，


∴eq \f(c2,a2)＋eq \f(m2,b2)＝1. ②


将①代入②，得eq \f(2c2,a2)＝1，即e2＝eq \f(1,2)，∴e＝eq \f(\r(2),2).


（2）解：由A(－a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB＝eq \f(b,a)，故AB所在的直线方程为y－b＝eq \f(b,a)x，


即bx－ay＋ab＝0.又F1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d＝eq \f(|－bc＋ab|,\r(a2＋b2))＝eq \f(b,\r(7))，


∴eq \r(7)·(a－c)＝eq \r(a2＋b2).又b2＝a2－c2，整理，得8c2－14ac＋5a2＝0，


即8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))eq \s\up12(2)－14eq \f(c,a)＋5＝0.∴8e2－14e＋5＝0，∴e＝eq \f(1,2)或e＝eq \f(5,4)(舍去)．


综上可知，椭圆的离心率e＝eq \f(1,2).


例3、 [思路探究] △ABF2为正三角形⇒∠AF2F1＝30°⇒把|AF1|，|AF2|用C表示．


解： 不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝eq \r(|AF2|2－|AF1|2)＝eq \r(3)x＝2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，





所以e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(\r(3)x,3x)＝eq \f(\r(3),3).[答案] eq \f(\r(3),3)


跟踪训练2． (1)A (2)eq \r(3)－1


[(1)如图，设F(c,0)，由△OAF是等边三角形，





得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，因为点A在椭圆上，所以有eq \f(c2,4a2)＋eq \f(3c2,4b2)＝1 ①，


在椭圆中有a2＝b2＋c2 ②，联立①②，得c2＝(4－2eq \r(3))a2，


即c＝(eq \r(3)－1)a，则其离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1.


(2)法一 如图，∵△DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，∴F1N⊥F2N，








∵|NF2|＝c，∴|NF1|＝eq \r(|F1F2|2－|NF2|2)＝eq \r(4c2－c2)＝eq \r(3)c，


由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，


∴eq \r(3)c＋c＝2a，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \r(3)－1.


法二 注意到焦点三角形NF1F2中，∠NF1F2＝30°，∠NF2F1＝60°，


∠F1NF2＝90°，则由离心率的三角形式，可得e＝eq \f(sin∠F1NF2,sin∠NF1F2＋sin∠NF2F1)＝eq \f(sin 90°,sin 30°＋sin 60°)＝eq \f(1,\f(1,2)＋\f(\r(3),2))＝eq \r(3)－1.]


达标检测


.1．【答案】D


[由题意得，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的焦点在x轴上，且a2＝25，b2＝9.]


2． 【答案】C


【解析】根据题意，可知，因为，


所以，即，


所以椭圆的离心率为，故选C.


3． 【答案】B


【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，


解得．所求椭圆方程为，故选B．





法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，


两式消去，


得，解得．


所求椭圆方程为，故选B．


4． 【答案】A


【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.


5．【答案】


【解析】设A，B，则①，②，


∵M是线段AB的中点，∴，


∵直线AB的方程是，∴，


∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（a＞b＞0）


相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即．


焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准


方程
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
范围
-a≤x≤a且-b≤y≤b
-b≤x≤b且-a≤y≤a
顶点
A1(-a,0),A2(a,0),


B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),


B1(-b,0),B2(b,0)
轴长
长轴长为2a,短轴长为2b
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
焦距
2c
对称性
对称轴:x轴、y轴,对称中心:坐标原点
离心率