人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质学案设计

椭圆的几何性质

【学习目标】

1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质

2．掌握标准方程中的几何意义，以及的相互关系

3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法

【学习重难点】

1．椭圆的几何性质

2．如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质

【学习过程】

一、自主学习训练：

1．椭圆定义：

2．标准方程：

3．问题：

（1）椭圆曲线的几何意义是什么？



（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的取值范围是什么？其图形位置是怎样的？

（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？

（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？的几何意义各是什么？

（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？

（6）画椭圆草图的方法是怎样的？

4．由椭圆方程() 研究椭圆的性质。(利用方程研究，说明结论与由图形观察一致)

（1）范围：

从标准方程得出，，即有，，可知椭圆落在组成的矩形中。

（2）对称性：

把方程中的换成方程不变，图象关于轴对称。换成方程不变，图象关于轴对称。把同时换成方程也不变，图象关于原点对称。

如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称。

原点叫椭圆的       ，简称中心。轴、轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

在椭圆的方程里，令得，因此椭圆和轴有两个交点，它们是椭圆的顶点

令，得，因此椭圆和轴有两个交，它们也是椭圆的顶点 因此椭圆共有四个顶点：      ，

加两焦点共有六个特殊点。

叫椭圆的    ，叫椭圆的      。长分别为

分别为椭圆的       和        。椭圆的      即为椭圆与对称轴的交点。

至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围， 对称性， 顶点。因而只需少量描点就可以较正确的作图了。

 （4）离心率：

发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同

这种扁平性质由什么来决定呢？

概念：              

定义式：              

范围：                

考察椭圆形状与的关系：

，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例

椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例  

二、合作探究：

例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形。

先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：

例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：

（1）　　（2）

例3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：

（1）　　　（2）

三、课堂练习：

1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为：两段，求其离心率

2．如图，求椭圆，()内接正方形ABCD的面积

四、课堂小结

我的收获：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法