人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.5 椭圆及其方程2.5.2 椭圆的几何性质第一课时学案设计

椭圆的几何性质

“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现．

[问题]　你知道椭圆有什么样的性质吗？

知识点　椭圆的简单几何性质

椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．　　　

1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)

A．5，3，　　　　　　  B．10，6，

C．5，3，     D．10，6，

答案：B

2．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．

答案：

第一课时　椭圆的几何性质(一)

[例1]　(链接教科书第132页例1)求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．

[解]　把已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝9，b＝3，c＝＝6，

所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝.

两个焦点的坐标分别为F1(－6，0)，F2(6，0)，四个顶点的坐标分别为A1(－9，0)，A2(9，0)，B1(0，－3)，B2(0，3).

用标准方程研究几何性质的步骤

(1)将椭圆方程化为标准形式；

(2)确定焦点位置；

(3)求出a，b，c；

(4)写出椭圆的几何性质．

[注意]　长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．　　

[跟踪训练]

已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．

(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；

(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．

解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(－6，0)，离心率e＝.

(2)椭圆C2：＋＝1.

性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；

②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；

③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；

④焦点：(0，6)，(0，－6)；

⑤离心率：e＝.

[例2]　(链接教科书第134页练习A2题)求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴长是10，离心率是；

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.

[解]　(1)设椭圆的方程为

＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0).

由已知得2a＝10，a＝5.

又∵e＝＝，∴c＝4.

∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.

∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).

如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，

则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，

故所求椭圆的方程为＋＝1.

利用椭圆的几何性质求标准方程的思路

利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：

(1)确定焦点位置；

(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；

(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．

[跟踪训练]

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)过点(3，0)，离心率e＝；

(2)过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率．

解：(1)当椭圆的焦点在x轴上时，

设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意，得a＝3，

因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，

所以椭圆的标准方程为＋＝1；

当椭圆的焦点在y轴上时，

设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意，得b＝3，

因为e＝，所以＝，

把b＝3代入，得a2＝27，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

综上可知，所求椭圆的标准方程为

＋＝1或＋＝1.

(2)设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，

将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，

解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，

即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

[例3]　(链接教科书第132页例3)已知点P为椭圆x2＋2y2＝98上一个动点，点A的坐标为(0，5)，求|PA|的最小值．

[解]　设P(x，y)，则

|PA|＝＝，

因为点P为椭圆x2＋2y2＝98上一点，

所以x2＝98－2y2，－7≤y≤7，

则|PA|＝

＝，

因为－7≤y≤7，所以当y＝7时，|PA|min＝2.

解析几何中的最值问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用不等式的性质以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响．

[跟踪训练]

1．已知点P(3，4)在椭圆＋＝1上，则以点P为其中一个顶点的椭圆的内接矩形PABC的面积是(　　)

A．12　　　　　　　　　  B．24

C．48     D．与a，b的值有关

解析：选C　根据椭圆的对称性，以点P为其中一个顶点的椭圆的内接矩形PABC的面积是6×8＝48.

2．以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为(　　)

A．     B．

C．2     D．2

解析：选D　由题意知，当椭圆上的点为短轴的一个端点时，三角形的面积最大，故·b·2c＝1，即bc＝1，c＝，∴a2＝b2＋c2＝b2＋≥2，当且仅当b＝1时取等号，∴a≥，∴2a≥2.

1．对于椭圆＋＝1，下面说法正确的是(　　)

A．长轴长为2     B．短轴长为3

C．离心率为     D．焦距为1

解析：选C　根据题意，椭圆的方程为＋＝1，其中a＝＝2，b＝，则c＝＝1，则其长轴长为2a＝4，短轴长2b＝2，焦距2c＝2，其离心率e＝＝.故选C.

2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(　　)

A．(±10，0)     B．(±，0)

C．(0，±13)     D．(0，±)

解析：选D　由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±).

3．若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程(　　)

A．＋＝1     B．＋＝1

C．＋＝1     D．＋＝1

解析：选A　由已知得a＝9，2c＝×2a，∴c＝a＝3，b2＝a2－c2＝72.

又焦点在x轴上，∴椭圆方程为＋＝1.

4．已知椭圆的标准方程为＋＝1.

(1)求椭圆的长轴长和短轴长；

(2)求椭圆的离心率；

(3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点P(－4，1)的椭圆方程．

解：(1)椭圆的长轴长为2a＝6，短轴长为2b＝4.

(2)c＝ ＝，

所以椭圆的离心率e＝＝.

(3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点，则b′＝3，可设椭圆方程为＋＝1，又椭圆过点P(－4，1)，

将点P(－4，1)代入得＋＝1，

解得a′2＝18.故所求椭圆方程为＋＝1.