人教版八年级上册数学几何与方程应用强化练习题（一）

这是一份初中数学人教版八年级上册本册综合优秀同步训练题，共17页。




1．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD．





（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；


（2）如图2，∠CAB与∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P．











2．如图，在△ABC中，已知BD是高，CE是角平分线，BD，CE相交于点F，∠ABC＝50°，∠A＝60°，求∠BFC的度数．














3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝16°．求∠BAE和∠C的度数．











4．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°．


（1）求∠BAC的度数；


（2）AE平分∠BAC交BC于E，AD⊥BC于D，求∠EAD的度数．











5．如图，将△ABC的一角折叠，使点C落在△ABC内一点


（1）若∠1＝40°，∠2＝30°，求∠C的度数；


（2）试通过第（1）问，直接写出∠1、∠2、∠C三者之间的关系．








6．如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．


【问题解决】


如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；


【类比探究】


如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．





7．如图，AD是△ABC的中线，延长AD，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F．求证：DE＝DF．














8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．


（1）求∠B的度数．


（2）若DE＝5，求BC的长．














9．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．


（1）求证：△ABD≌△ACE；


（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．














10．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．


（1）求证：∠ABE＝∠ACE；


（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，CE的延长线交AB于点G．求证：EF＝EG．











11．甲、乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天．


（1）求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？


（2）已知甲、乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是150元和120元，疫情期间，某医院紧急需要3000套这种防护服，甲厂单独加工一段时间后另有安排，剩下任务只能由乙单独完成．如果总加工费不超过6360元，那么甲厂至少要加工多少天？











12．仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．


（1）第一批仙桃每件进价是多少元？


（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润＝售价﹣进价）








13．5月18日，襄阳市5.3万余名初三学生回到阔别100多天的校园．为了返校学生的安全，快速筛查体温异常学生，某校在学生返校前购买了一批额温枪发放到班主任及相关人员手中．购买前有A，B两种型号的额温枪可供选择，已知每只A型额温枪比每只B型额温枪贵20元，用5000元购进A型额温枪与用4500元购进B型额温枪的数量相等．


（1）每只A型，B型额温枪的价格各是多少元？


（2）该校欲购进A，B两种型号的额温枪共30只，购买两种额温枪的总资金不超过5800元．则最多可购进A型号额温枪多少只？














14．某市地铁1号线全长约60km，市政府通过招标，甲、乙两家地铁工程公司承担了施工任务，根据招标合同可知，甲公司每月计划施工效率是乙公司的1.2倍，则乙公司单独施工比甲公司单独施工多用10个月，且市政府需要支付给甲公司的施工费用为6亿元/km，乙公司的施工费用为5亿元/km．


（1）甲、乙两家地铁工程公司每月计划施工各为多少km？


（2）由于设备和施工现场只能供一家地铁工程公司单独施工的原因，现计划甲、乙两家公司共用55个月恰好完成施工任务（每家公司施工时间不足一个月按照一个整月计算），且甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍，应如何安排才能使市政府支付给两家地铁工程公司的总费用最少？











15．某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．


（1）该商场第一次购进这种运动服多少套？


（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率＝×100%．








参考答案


1．证明：（1）在△AOC中，∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，


在△BOD中，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，


∵∠AOC＝∠BOD，


∴∠A+∠C＝∠B+∠D；


（2）在AP、CD相交线中，有∠CAP+∠C＝∠P+∠CDP，


在AB、DP相交线中，有∠B+∠BDP＝∠P+∠BAP，


∴∠B+∠C+∠CAP+∠BDP＝2∠P+∠CDP+∠BAP，


∵AP、DP分别平分∠CAB、∠BDC，


∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，


∴∠B+∠C＝2∠P．


2．解：∵∠ABC＝50°，∠A＝60°，


∴∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，


∵CE是角平分线，


∴∠FCD＝35°，


∵BD是高，


∴∠DFC＝90°﹣35°＝55°，


∴∠BFC＝180°﹣55°＝125°．


3．解：∵AD是BC边上的高，


∴∠ADE＝90°．


∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，


∴∠AED＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝180°﹣90°﹣16°＝74°．


∵∠B+∠BAE＝∠AED，


∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝74°﹣42°＝32°，


∵AE是∠BAC平分线，


∴∠BAC＝2∠BAE＝2×30°＝64°．


∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，


∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣42°﹣64°＝74°．


4．解：（1）∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝40°，∠C＝80°，


∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°；





（2）∵AD⊥BC，


∴∠ADC＝90°，


∵∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C，∠C＝80°，


∴∠DAC＝180°﹣90°﹣80°＝10°，


∵AE平分∠BAC，


∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，


∴∠BAE＝∠CAE＝30°，


∵∠EAD＝∠CAE﹣∠DAC，


∴∠EAD＝20°．


5．解：（1）∵△C′DE是由△CDE折叠而成，


∴∠C＝∠C′，∠C′DE＝∠CDE，∠C′ED＝∠CED，


又∠1+∠C′DC＝180°，∠2+∠C′EC＝180°，


∴∠C′DC+∠C′EC＝360°﹣（∠1+∠2）＝290°，


又四边形C′DCE的内角和为360°，


∴∠C′+∠C＝70°，


∴∠C＝35°．





（2）2∠C＝1+∠2，


理由是：∵△C′DE是由△CDE折叠而成，


∴∠C＝∠C′，∠C′DE＝∠CDE，∠C′ED＝∠CED，


又∠1+∠C′DC＝180°，∠2+∠C′EC＝180°，


∴∠C′DC+∠C′EC＝360°﹣（∠1+∠2），


又四边形C′DCE的内角和为360°，


∴∠C′+∠C＝360°﹣[360°﹣（∠1+∠2）]，


即∠C′+∠C＝∠1+∠2，


∵∠C′＝∠C


∴2∠C＝∠1+∠2．


6．【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：


∵△ABC是等边三角形，


∴∠ECH＝60°，


∴△CEH是等边三角形，


∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，


∵△DEF是等边三角形，


∴DE＝FE，∠DEF＝60°，


∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，


∴∠DEH＝∠FEC，


在△DEH和△FEC中，


，


∴△DEH≌△FEC（SAS），


∴DH＝CF，


∴CD＝CH+DH＝CE+CF，


∴CE+CF＝CD；


【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：


∵△ABC是等边三角形，


∴∠A＝∠B＝60°，


过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：


∵GD∥AB，


∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，


∴∠GDC＝∠DGC＝60°，


∴△GCD为等边三角形，


∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，


∵△EDF为等边三角形，


∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，


∴∠EDG＝∠FDC，


在△EGD和△FCD中，


，


∴△EGD≌△FCD（SAS），


∴EG＝FC，


∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．








7．证明：∵AD是△ABC的中线，


∴BD＝CD，


∵BE⊥AD，CF⊥AD，


∴∠BED＝∠CFD＝90°，


在△BDE和△CDF中，


，


∴△BDE≌△CDF（AAS），


∴DE＝DF．


8．解：（1）∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点，


∴DE是线段AB的垂直平分线，


∴DA＝DB，


∴∠2＝∠B，


∵∠C＝90°，


∴∠B＝∠1＝∠2＝30°；


（2）∵DE⊥AB，∠B＝30°，


∴BD＝2DE＝10，


∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，


∴DC＝DE＝5，


∴BC＝CD+BD＝15．


9．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，


∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，


∴∠1＝∠EAC，


在△ABD和△ACE中，


，


∴△ABD≌△ACE（SAS）；


（2）解：∵△ABD≌△ACE，


∴∠ABD＝∠2＝30°，


∵∠1＝25°，


∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．


10．解：（1）证明：∵点D是BC的中点，


∴BD＝CD，


在△ABD和△ACD中，


，


∴△ABD≌△ACD（SSS），


∴∠BAD＝∠CAD，


在△ABE和△ACE中，


，


∴△ABE≌△ACE（SAS），


∴∠ABE＝∠ACE；


（2）如图，





由（1）知，△ABE≌△ACE，


∴BE＝CE，∠ABE＝∠ACE，


在△BEG和△CEF中，


，


∴△BEG≌△CEF（ASA），


∴EG＝EF．


11．解：（1）设乙厂每天加工x套防护服，则甲厂每天加工1.5x套防护服，


根据题意，得﹣＝4．


解得x＝50．


经检验：x＝50是所列方程的解．


则1.5x＝75．


答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服；





（2）设甲厂要加工m天，


根据题意，得150m+120×≤6360．


解得m≥28．


答：甲厂至少要加工28天．


12．解：（1）设第一批仙桃每件进价x元，则，


解得 x＝180．


经检验，x＝180是原方程的根．


答：第一批仙桃每件进价为180元；


（2）设剩余的仙桃每件售价打y折．


可得×0.1y﹣3700≥440，


解得 y≥6．


答：剩余的仙桃每件售价至少打6折．


13．解：（1）设A型额温枪的价格是x元，B型额温枪的价格是（x﹣20）元，


由题意可得：，


解得：x＝200，


经检验：x＝200是原方程的根，


∴x﹣20＝180元，


答：A型额温枪的价格是200元，B型额温枪的价格是180元；


（2）设购进A型号额温枪a只，


∵200a+180（30﹣a）≤5800，


∴a≤20，


∴最多可购进A型号额温枪20只．


14．解：（1）设乙公司每月计划施工xkm，则甲公司每月施工1.2xkm，


根据题意，得，


解得，x＝1，


经检验，x＝1是原方程的根，


∴1.2x＝1.2×1＝1.2km，


答：甲公司每月计划施工1.2km，乙公司每月施工1km；


（2）设甲公司施工了m个月，则乙公司施工（55﹣m）个月，共支付的总费用为w亿元，


由题意可得：w＝1.2×6•m+1×5•（55﹣m）＝7.2m+275﹣5m＝2.2m+275，


∵k＝2.2＞0，w随着m的增大而增大，


∵甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍，


∴m≥2（55﹣m），


∴，


∴当m＝37时，w有最小值，


∴55﹣37＝18，


答：甲公司施工37个月，乙公司施工18个月，总费用最少．


15．解：（1）设该商场第一次购进这种运动服x套，第二次购进2x套，


由题意得，﹣＝10，


解得：x＝200，


经检验：x＝200是原分式方程的解，且符合题意，


答：该商场第一次购进200套；





（2）设每套售价是y元，两批运动服总数：200+400＝600


由题意得：


600y﹣32000﹣68000≥（32000+68000）×20%，


解得：y≥200，


答：每套售价至少是200元．