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初中数学华师大版八年级下册17.3 一次函数综合与测试教案
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这是一份初中数学华师大版八年级下册17.3 一次函数综合与测试教案，共6页。教案主要包含了创设问题情境，一次函数的定义，范例，课堂练习，作业，教后记等内容，欢迎下载使用。
17．3.1．一次函数
教学目标
1．经历探索过程，发展学生的抽象思维能力．
2．理解一次函敷和正比例函数的概念。
3．能根据已知条件，写出简单的一次函数表达式，进一步发展学生的数学应用能力．
教学过程
一、创设问题情境
问题l：小明暑假第一次去北京，汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均速度是95千米／时．巳知A地直达北京的高速公路全程为 570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离．
分析：我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化，要想找出这两个变化着的量的关系，并据此得出相应的值．显然，应该探究这两个量的变化规律．为此，我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时，汽车距北京的路程为s千米，根据题意，s和t的函数关系式是
S＝570－95t (1)
说明：找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步，这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s为因变量。
问题2：小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月存12元。试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式．
分析：我们设从现在开始的月份数为x，小张的存款数为9元，得到所求函数关系式为
y＝__________ (2)
问题3：以上(1)与(2)表示的这两个函数有什么共同点?
(上述(1)与(2)表示的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的)
二、一次函数的定义
函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数．一次函数通常可以表示为y＝kx+b的形式，其中k、b是常数，k≠0。当b=0时，一次函数y＝kx(常数k≠0)也叫做正比例函数．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例。
三、范例
例1．梯形的上下底边长分别为6cm和l0cm，写出梯形的面积与它的高之间的函数关系式，并问这是一次函数吗?是正比例函数吗?
例2．写出多边形的内角和与它的边数之间的函数关系式，利用这函数关系式求边数取多少时，其内角和等于900度?
四、课堂练习
P40页练习1、2以及P41页练习3。
五、作业
P47页习题18．3 2、3。
六、教后记
17．3.2一次函数的图象
第一课时 一次函数的图象(一)
教学目标
1．经历一次函数的作图过程，能熟练地作出一次函数的图象．
2．探索一次函数图象的特点以及某些一次函数图象的异同点，培养学生发现问题和解决问题的能力。
教学过程
一、复习
1．作函数图象一般步骤是什么?
2．在同个平面直角坐标系中画出下列函数的图象．
(1)y＝ EQ \f(1,2) x (2)y＝ EQ \f(1,2) x＋2 (3)y＝3x (4)y＝3x＋2
教学要点：要求学生按照列表、描点、连线的一般作图步骤作出函数图象；请两位同学板演；在学生互相评判的基础上教师加以评析．
二、提出问题，解决问题
问题l：以上四个一次函数图象是什么形状呢?
让学生观察、讨论，得出四个函数的图象都是直线．
问题2：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象都是一条直线吗?举例验证．
让学生猜想，举例验证，发现一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线。教师指出这条直线通常也称为直线y＝kx＋b(b≠0)，特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过(0，0)的一条直线．
问题3：几个点可以确定一条直线?
问题4：画一次函数图象时，只要取几个点?
只要取两点。教师指出，今后画一次函数的图象，只要取两点再过两点画直线即可．
问题5：观察“做一做”画出的四个函数的图象，如图所示，比较下列各对一次函数的图象有什么共同点，有什么不同点．
(1)y＝3x与y＝3x＋2 (2)y＝ EQ \f(1,2) x与y＝ EQ \f(1,2) x＋2
(3)y＝3x＋2与y＝ EQ \f(1,2) x＋2
能否从中发现一些规律?
让学生分组讨论、交流，教师引导观察，总结。
问题6：对于直线y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)．常数k和b的取值对于直线的 位置各有什么影响?
让学生讨论，交流，发表意见，达成共识，然后填空：
两个一次函数，当k一样，b不一样时，有
共同点：__________________________
不同点:___________________________
当两个一次函数，b一样，k不一样时，有
共同点：__________________________
不同点：__________________________
在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象(画在课本直角坐标系上)。
(1)y＝2x与y＝2x＋3
(2)y＝2x＋l与y＝ EQ \f(1,2) x＋1
请同学们画出图象后，看看是否与上面的讨论结果一样．
提问：你取的是哪几个点?和同学比较一下，怎样取比较简便?
通过比较，教师点拨，得出结论：一般情况下，要取直线与x，y轴的交点比较简便。
三、课堂练习 P42页练习l、2。
四、小结
1．一次函数的图象是什么形状呢?
2．画一次函数图象时，只要取几个点?怎样取比较简便?
3．两个一次函数图象，当k一样，b不一样时，有什么共同点和不同点?当b一样，k不一样时，有什么共同点和不同点?
五、作业 P47页习题18．3第4、5题。
六、教后记：
第二课时 一次函数的图象(二)
教学目标
1、使学生熟练的作出一次函数的图象。
2、探索一次函数作图过程。
教学过程
一、复习
1．一次函数的图象是什么形状呢?
2．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过哪一点的一条直线?
3．画一次函数图象时．只要取几点?
4．在同一直角坐标系中画出下列函数的图象．并说出它们有什么关系。
y＝4x y＝4x＋2
二、范例
例l：求直线y＝－2x－3与x轴和y轴的交点．并画出这条直线．
提问：
平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标有什么特征?
让学生分组讨论、交流，发表意见，教师引导并归纳为x轴上的点的坐标为(x，0),y轴上的点坐标(0,y)
说明:1.画出直线后，要在直线旁边写出一次函数解析式。
2．在坐标轴上取点有什么好处?
例2，画出问题1中小明距北京的路程与开车时间t之间函数
s＝570－95t的图象。
提问：
1．这里s和t取的数悬殊较大，怎么办?
让学生分组讨论，然后发表意见，教师引导并归纳为：在实际问题中，我们可以在表示时间的t轴和表示路程的s轴上分别选取适当的单位长度，画出平面直角坐标系，如图所示．
2．作图要取几点?如何取点最好?
3．你能画出这个函数图象吗?试试看．
让学生动手画出函数s＝570－95t的图象，教师巡视指导，及时纠正学生画图中可能出现的错误画法。
画出这个函数图象后，讨论以下几个问题：
1.这个函数是不是一次函数?
2.这个函数中自变量t的取值范围是什么?函数的图象是什么?
3.在实际问题中，一次函数的图象除了直线和本题的图形外，还有没有其他情形?你能不能找出几个例子加以说明?
对于以上第1和第2个问题，可让学生在讨论的基础上发表自己的看法，教师引导并归纳为：函数y＝570－95t是一次函数，函数中自变量的取值范围是0≤t≤6，函数的图象是一条线段．对于第3个问题，只要求各小组分别能举出一个例子在班上交流，培养学生编题能力和创新精神．
三、课堂练习
P44页练习l、2。
四、小结
1．在坐标轴上取点有什么好处?如何取点?
2．在实际问题中，当自变量x和因变量y取的数较大，应如何选取直角坐标系的单位长度?
3．在实际问题中，一次函数的图象都是直线吗?为什么?
五、作业 P47页习题18．3 6、7．
六、教后记：
17．3.3．一次函数的性质
教学目标
1、探索一次函数图象观察、分析等过程，提高学生数形结合意识，培养数形结合的能力．
2、掌握一次函数y＝kx＋b的性质。
教学过程
一、观察、分析一次函数图象特点
1．画出一次函数y＝ EQ \f(2,3) x＋1的图象．
让学生动手画出一次函数，y＝ EQ \f(2,3) x＋l的图象，复习一次函数的怍图方法．教师在黑板上画出一次函数y＝ EQ \f(2,3) x＋1的图象。
2．观察，分析函数y＝ EQ \f(2,3) x＋l图象的变化规律．
师生共同观察分析，当一个点在直线上从左向右移动(自变量x从小到大)时,它的位置也在逐渐从低到高变化(函数y的值也从小到大)
问题2中的函数y＝50＋12x是否这样?
这就是说，函数值y随自变量x增大而_______
在同一直角坐标系中画出函数y＝3x－2的图象(如图中的虚线)是否也有这种现象．进—步引导学生观察、分析得出与上面相同的结论．
3、画出函数y＝－x＋2和y＝－ EQ \f(3,2) x－1的图象。
学生动手画出以上一次函数图象，教师指导并纠正学生可能出现的错误画法．同时，教师在黑板面出这两个一次函数的图象．
4、观察、分析函数y＝－x＋2和y＝－ EQ \f(3,2) x－1图象的变化规律．
问题l：仿照以上研究方法，研究它们是否也有相应的性质，有什么不同?你能否发现什么规律?
让学生分组讨论．发表意见，教师评析并归纳为：当一个点在直线上从左到右 (自变量x从小到大)时它的位置也在逐渐从高到低变化(函数y的值也从大到小)．其规律是函数值随自变量x的增大而减小．
再联想问题1中的函数y＝570－95t，是否也有这样的规律，发表你的看法．
让学生讨论回答，问题1中的函数y＝570－95t也有与上面得出的同样规律。
二、归纳、概括
根据以上研究的结果，你能表述一次函数y＝kx＋b的性质吗?
让学生归纳、概括、表述如下性质:
1．当k>0时,y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
2．当k<0时,y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降．
这些性质在P40问题1和P41问题2中，反映怎样的实际意义?
让学生思考后回答．
三、做一做
画出函数y＝－2x＋2的图象，结合图象回答下列问题：
1．这个函数中，随着x的增大y将增大还是减小?它的图象从左到右怎样变化?
2．当x取何值时，y＝0？
3.当x取何值时,y>0?
四、课堂练习 P45页练习l、2．
五、小结：一次函数y＝kx＋b有哪些性质?
六、作业
P47页习题18.3 8、9(1)
七、教后记：
17.3.4 求一次函数的表达式
教学目标
1．使学生理解待定系数法。
2.能用待定系数法术一次函数的解析式．
教学过程
一、范例
已知弹簧的长度g(厘米)在一定的限度内是所挂重物质量x(千克)的一次函 数．现己测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式．
分析:已知y与x的函数关系式是一次函数，则关系式必是y＝kx＋b的形式．所以要求的就是系数k和b的值，而两个已知条件就是x和y的两组对应值，也就是当x＝6时,y＝6；当x＝4时,y＝7.2．可以分别将它们代入函数式，进而求得k和b的值．
提问： 1．确定一次函数的表达式需要几个条件?
2．确定正比例函数的表达式需要几个条件?举例说明。
待定系数法：先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数)，再根据条件列出方程式方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。
二、做一做
已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(－1，1)和点(1，－5)，求当x＝5时，函数y的值。
提问：1．这里的已知条件是否给出了x和y的对应值?
2．题意并没有要求写出函数关系式，解题中是否应该求出?该如何人手。
让学生认真思考以上问题并回答。
三、课堂练习：P46页练习l、2，阅读P48页内容。
四、小结：1．什么叫做待定系数法?
2．用待定系数法求正比例函数表达式需要几个条件?
3．用待定系数法确定一次函数表达式需要几个条件?
五、作业 ：P47页习题18．3 8、9、10。
六、教后记：
17．3.1．一次函数
教学目标
1．经历探索过程，发展学生的抽象思维能力．
2．理解一次函敷和正比例函数的概念。
3．能根据已知条件，写出简单的一次函数表达式，进一步发展学生的数学应用能力．
教学过程
一、创设问题情境
问题l：小明暑假第一次去北京，汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均速度是95千米／时．巳知A地直达北京的高速公路全程为 570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离．
分析：我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化，要想找出这两个变化着的量的关系，并据此得出相应的值．显然，应该探究这两个量的变化规律．为此，我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时，汽车距北京的路程为s千米，根据题意，s和t的函数关系式是
S＝570－95t (1)
说明：找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步，这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s为因变量。
问题2：小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月存12元。试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式．
分析：我们设从现在开始的月份数为x，小张的存款数为9元，得到所求函数关系式为
y＝__________ (2)
问题3：以上(1)与(2)表示的这两个函数有什么共同点?
(上述(1)与(2)表示的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的)
二、一次函数的定义
函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数．一次函数通常可以表示为y＝kx+b的形式，其中k、b是常数，k≠0。当b=0时，一次函数y＝kx(常数k≠0)也叫做正比例函数．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例。
三、范例
例1．梯形的上下底边长分别为6cm和l0cm，写出梯形的面积与它的高之间的函数关系式，并问这是一次函数吗?是正比例函数吗?
例2．写出多边形的内角和与它的边数之间的函数关系式，利用这函数关系式求边数取多少时，其内角和等于900度?
四、课堂练习
P40页练习1、2以及P41页练习3。
五、作业
P47页习题18．3 2、3。
六、教后记
17．3.2一次函数的图象
第一课时 一次函数的图象(一)
教学目标
1．经历一次函数的作图过程，能熟练地作出一次函数的图象．
2．探索一次函数图象的特点以及某些一次函数图象的异同点，培养学生发现问题和解决问题的能力。
教学过程
一、复习
1．作函数图象一般步骤是什么?
2．在同个平面直角坐标系中画出下列函数的图象．
(1)y＝ EQ \f(1,2) x (2)y＝ EQ \f(1,2) x＋2 (3)y＝3x (4)y＝3x＋2
教学要点：要求学生按照列表、描点、连线的一般作图步骤作出函数图象；请两位同学板演；在学生互相评判的基础上教师加以评析．
二、提出问题，解决问题
问题l：以上四个一次函数图象是什么形状呢?
让学生观察、讨论，得出四个函数的图象都是直线．
问题2：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象都是一条直线吗?举例验证．
让学生猜想，举例验证，发现一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线。教师指出这条直线通常也称为直线y＝kx＋b(b≠0)，特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过(0，0)的一条直线．
问题3：几个点可以确定一条直线?
问题4：画一次函数图象时，只要取几个点?
只要取两点。教师指出，今后画一次函数的图象，只要取两点再过两点画直线即可．
问题5：观察“做一做”画出的四个函数的图象，如图所示，比较下列各对一次函数的图象有什么共同点，有什么不同点．
(1)y＝3x与y＝3x＋2 (2)y＝ EQ \f(1,2) x与y＝ EQ \f(1,2) x＋2
(3)y＝3x＋2与y＝ EQ \f(1,2) x＋2
能否从中发现一些规律?
让学生分组讨论、交流，教师引导观察，总结。
问题6：对于直线y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)．常数k和b的取值对于直线的 位置各有什么影响?
让学生讨论，交流，发表意见，达成共识，然后填空：
两个一次函数，当k一样，b不一样时，有
共同点：__________________________
不同点:___________________________
当两个一次函数，b一样，k不一样时，有
共同点：__________________________
不同点：__________________________
在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象(画在课本直角坐标系上)。
(1)y＝2x与y＝2x＋3
(2)y＝2x＋l与y＝ EQ \f(1,2) x＋1
请同学们画出图象后，看看是否与上面的讨论结果一样．
提问：你取的是哪几个点?和同学比较一下，怎样取比较简便?
通过比较，教师点拨，得出结论：一般情况下，要取直线与x，y轴的交点比较简便。
三、课堂练习 P42页练习l、2。
四、小结
1．一次函数的图象是什么形状呢?
2．画一次函数图象时，只要取几个点?怎样取比较简便?
3．两个一次函数图象，当k一样，b不一样时，有什么共同点和不同点?当b一样，k不一样时，有什么共同点和不同点?
五、作业 P47页习题18．3第4、5题。
六、教后记：
第二课时 一次函数的图象(二)
教学目标
1、使学生熟练的作出一次函数的图象。
2、探索一次函数作图过程。
教学过程
一、复习
1．一次函数的图象是什么形状呢?
2．正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过哪一点的一条直线?
3．画一次函数图象时．只要取几点?
4．在同一直角坐标系中画出下列函数的图象．并说出它们有什么关系。
y＝4x y＝4x＋2
二、范例
例l：求直线y＝－2x－3与x轴和y轴的交点．并画出这条直线．
提问：
平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标有什么特征?
让学生分组讨论、交流，发表意见，教师引导并归纳为x轴上的点的坐标为(x，0),y轴上的点坐标(0,y)
说明:1.画出直线后，要在直线旁边写出一次函数解析式。
2．在坐标轴上取点有什么好处?
例2，画出问题1中小明距北京的路程与开车时间t之间函数
s＝570－95t的图象。
提问：
1．这里s和t取的数悬殊较大，怎么办?
让学生分组讨论，然后发表意见，教师引导并归纳为：在实际问题中，我们可以在表示时间的t轴和表示路程的s轴上分别选取适当的单位长度，画出平面直角坐标系，如图所示．
2．作图要取几点?如何取点最好?
3．你能画出这个函数图象吗?试试看．
让学生动手画出函数s＝570－95t的图象，教师巡视指导，及时纠正学生画图中可能出现的错误画法。
画出这个函数图象后，讨论以下几个问题：
1.这个函数是不是一次函数?
2.这个函数中自变量t的取值范围是什么?函数的图象是什么?
3.在实际问题中，一次函数的图象除了直线和本题的图形外，还有没有其他情形?你能不能找出几个例子加以说明?
对于以上第1和第2个问题，可让学生在讨论的基础上发表自己的看法，教师引导并归纳为：函数y＝570－95t是一次函数，函数中自变量的取值范围是0≤t≤6，函数的图象是一条线段．对于第3个问题，只要求各小组分别能举出一个例子在班上交流，培养学生编题能力和创新精神．
三、课堂练习
P44页练习l、2。
四、小结
1．在坐标轴上取点有什么好处?如何取点?
2．在实际问题中，当自变量x和因变量y取的数较大，应如何选取直角坐标系的单位长度?
3．在实际问题中，一次函数的图象都是直线吗?为什么?
五、作业 P47页习题18．3 6、7．
六、教后记：
17．3.3．一次函数的性质
教学目标
1、探索一次函数图象观察、分析等过程，提高学生数形结合意识，培养数形结合的能力．
2、掌握一次函数y＝kx＋b的性质。
教学过程
一、观察、分析一次函数图象特点
1．画出一次函数y＝ EQ \f(2,3) x＋1的图象．
让学生动手画出一次函数，y＝ EQ \f(2,3) x＋l的图象，复习一次函数的怍图方法．教师在黑板上画出一次函数y＝ EQ \f(2,3) x＋1的图象。
2．观察，分析函数y＝ EQ \f(2,3) x＋l图象的变化规律．
师生共同观察分析，当一个点在直线上从左向右移动(自变量x从小到大)时,它的位置也在逐渐从低到高变化(函数y的值也从小到大)
问题2中的函数y＝50＋12x是否这样?
这就是说，函数值y随自变量x增大而_______
在同一直角坐标系中画出函数y＝3x－2的图象(如图中的虚线)是否也有这种现象．进—步引导学生观察、分析得出与上面相同的结论．
3、画出函数y＝－x＋2和y＝－ EQ \f(3,2) x－1的图象。
学生动手画出以上一次函数图象，教师指导并纠正学生可能出现的错误画法．同时，教师在黑板面出这两个一次函数的图象．
4、观察、分析函数y＝－x＋2和y＝－ EQ \f(3,2) x－1图象的变化规律．
问题l：仿照以上研究方法，研究它们是否也有相应的性质，有什么不同?你能否发现什么规律?
让学生分组讨论．发表意见，教师评析并归纳为：当一个点在直线上从左到右 (自变量x从小到大)时它的位置也在逐渐从高到低变化(函数y的值也从大到小)．其规律是函数值随自变量x的增大而减小．
再联想问题1中的函数y＝570－95t，是否也有这样的规律，发表你的看法．
让学生讨论回答，问题1中的函数y＝570－95t也有与上面得出的同样规律。
二、归纳、概括
根据以上研究的结果，你能表述一次函数y＝kx＋b的性质吗?
让学生归纳、概括、表述如下性质:
1．当k>0时,y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；
2．当k<0时,y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降．
这些性质在P40问题1和P41问题2中，反映怎样的实际意义?
让学生思考后回答．
三、做一做
画出函数y＝－2x＋2的图象，结合图象回答下列问题：
1．这个函数中，随着x的增大y将增大还是减小?它的图象从左到右怎样变化?
2．当x取何值时，y＝0？
3.当x取何值时,y>0?
四、课堂练习 P45页练习l、2．
五、小结：一次函数y＝kx＋b有哪些性质?
六、作业
P47页习题18.3 8、9(1)
七、教后记：
17.3.4 求一次函数的表达式
教学目标
1．使学生理解待定系数法。
2.能用待定系数法术一次函数的解析式．
教学过程
一、范例
已知弹簧的长度g(厘米)在一定的限度内是所挂重物质量x(千克)的一次函 数．现己测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米．求这个一次函数的关系式．
分析:已知y与x的函数关系式是一次函数，则关系式必是y＝kx＋b的形式．所以要求的就是系数k和b的值，而两个已知条件就是x和y的两组对应值，也就是当x＝6时,y＝6；当x＝4时,y＝7.2．可以分别将它们代入函数式，进而求得k和b的值．
提问： 1．确定一次函数的表达式需要几个条件?
2．确定正比例函数的表达式需要几个条件?举例说明。
待定系数法：先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数)，再根据条件列出方程式方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。
二、做一做
已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(－1，1)和点(1，－5)，求当x＝5时，函数y的值。
提问：1．这里的已知条件是否给出了x和y的对应值?
2．题意并没有要求写出函数关系式，解题中是否应该求出?该如何人手。
让学生认真思考以上问题并回答。
三、课堂练习：P46页练习l、2，阅读P48页内容。
四、小结：1．什么叫做待定系数法?
2．用待定系数法求正比例函数表达式需要几个条件?
3．用待定系数法确定一次函数表达式需要几个条件?
五、作业 ：P47页习题18．3 8、9、10。
六、教后记：
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