初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数优秀第2课时2课时教学设计

这是一份初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数优秀第2课时2课时教学设计，共4页。

第2课时 余弦函数和正切函数








1．理解余弦、正切的概念；(重点)


2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．(重点)





一、情境导入


教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义？





学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？


二、合作探究


探究点一：余弦函数和正切函数的定义


【类型一】 利用余弦的定义求三角函数值


在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则csA＝( )


A.eq \f(5,13) B.eq \f(5,12) C.eq \f(12,13) D.eq \f(12,5)


解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴csA＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(12,13).故选C.


方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题


【类型二】 利用正切的定义求三角函数值


如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝( )





A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5)


C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)


解析：在直角△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴tanA＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(4,3).故选D.


方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题


探究点二：三角函数的增减性


【类型一】 判断三角形函数的增减性


随着锐角α的增大，csα的值( )


A．增大 B．减小


C．不变 D．不确定


解析：当角度在0°～90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B.


方法总结：当0°＜α＜90°时，csα的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．


【类型二】 比较三角函数的大小


sin70°，cs70°，tan70°的大小关系是( )


A．tan70°＜cs70°＜sin70°


B．cs70°＜tan70°＜sin70°


C．sin70°＜cs70°＜tan70°


D．cs70°＜sin70°＜tan70°


解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cs70°＜1，tan70°＞1.又∵cs70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cs70°＝sin20°.故选D.


方法总结：当角度在0°≤∠A≤90°之间变化时，0≤sinA≤1，0≤csA≤1，tanA≥0.


探究点三：求三角函数值


【类型一】 三角函数与圆的综合





如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD.


(1)求证：DC＝BC；


(2)若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．


解析：(1)连接OC，求证DC＝BC可以先证明∠CAD＝∠BAC，进而证明eq \(DC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))；(2)由AB＝5，AC＝4，可根据勾股定理得到BC＝3，易证△ACE∽△ABC，可以求出CE、DE的长，在Rt△CDE中根据三角函数的定义就可以求出tan∠DCE的值．


(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°.∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OCE＝90°，∴OC∥AE，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BAC，∴eq \(DC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵)).∴DC＝BC；


(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(52－42)＝3.∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC，∴eq \f(EC,BC)＝eq \f(AC,AB)，即eq \f(EC,3)＝eq \f(4,5)，EC＝eq \f(12,5).∵DC＝BC＝3，∴ED＝eq \r(DC2－CE2)＝eq \r(32－（\f(12,5)）2)＝eq \f(9,5)，∴tan∠DCE＝eq \f(ED,EC)＝eq \f(\f(9,5),\f(12,5))＝eq \f(3,4).


方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等．利用圆的有关性质，寻找或构造直角三角形来求三角函数值，遇到比较复杂的问题时，可通过全等或相似将线段进行转化．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第5题


【类型二】 利用三角形的边角关系求三角函数值


如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝eq \f(3,4)，求sinC的值．





解析：根据tan∠BAD＝eq \f(3,4)，求得BD的长．在直角△ACD中由勾股定理可求AC的长，然后利用正弦的定义求解．


解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD＝eq \f(BD,AD)＝eq \f(3,4)，∴BD＝AD·tan∠BAD＝12×eq \f(3,4)＝9，∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，∴AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝eq \r(122＋52)＝13，∴sinC＝eq \f(AD,AC)＝eq \f(12,13).


方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键．


变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题


三、板书设计


1．余弦函数的定义；


2．正切函数的定义；


3．锐角三角函数的增减性．





在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识.